复习课(第1课时+三角函数)课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版(2019)必修第三册

三角函
数线
有向线段MP为正
有向线段OM为余
有向线段AT为正
弦线
弦线
切线
7.同角三角函数的基本关系式有哪些?
提示:sin α+cos α=1,tan
2
2
sin
α=
.
cos
8.诱导公式有哪些?请完成下表.
角
正弦
余弦
正切
2kπ+α(k∈Z)
sin α
cos α
tan α
π+α
-sin α
sin α
tan α
-α
-sin α
cos α
cos α
π-α
-cos α
-cos α
-tan α
cos α
sin α
—
-tan α
-sin α
—
π
-α
2
π
+α
2
3π
+α
2
3π
-α
2
-cos α
sin α
—
-cos α
-sin α
—
口诀
函数名不变,符号看象限
π
3π
2π + , 2π +
2
2
(k∈Z)
[2kπ,2kπ+π](k∈
奇
偶
y=tan x
单调递增区间:
π
π
π- , π +
2
2
(k∈Z)
Z)
奇
10.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一个周期的简图时,如何列表?
提示:
φ
ω

-φ
2
ω
ωx+φ
y=Asin(ωx+φ)
x
-φ
1+tan (-π)
1+2sin cos
已知
=3,求 2
的值.
1-tan (2π+)
si n -co s 2
分析:先化简条件式,再寻找待求式与条件式的关系,从而求值.
1+tan (-π)
1+tan
解:
=3,即
=3,
1-tan (2π+)
1-tan
解得 tan
1
θ=2.
1+2sin cos
× )
(10)利用图象变换作图时,“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长
(9)若 sin
度一致.( × )
(11)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个
周期.( × )
专题归纳 核心突破
专题整合
专题一
任意角的三角函数的定义及三角函数线
【例 1】 求函数 f(x)= 2sin-√3的定义域.
1
∴-2≤sin
2 +
π
6
≤
7π
,
6
≤1,
∴f(x)的最大值为 2+a+1=4,
所示.
(1)求此函数解析式;
(2)分析该函数图象是如何通过y=sin x的图象变换得来的?
解:(1)由题中图象知
1
2
3
2
- - -
A=
2
T=2×
=
1
,k=
2
2π π
3 6
1
2
3
2
- + 2
=-1,
=π,
2π
1
∴ω= =2.∴y=2sin(2x+φ)-1.
当
π
π
π
π
π
π
x=6 时,2×6 +φ= 2 +2kπ,k∈Z,∴φ=6 +2kπ,k∈Z.又|φ|< 2 ,∴φ=6 ,∴所求函数
ω
3
-φ
2
ω
2-φ
ω
0

2
π
3
2
2π
0
A
0
-A
0
11.如何由函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象?
提示:
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)锐角是第一象限的角,第一象限的角也都是锐角.( × )
提示:{β|β=2kπ+α,k∈Z}.
4.1弧度的角是怎样定义的?度和弧度怎样转化?
提示:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角,记作
1 rad.180°=π rad.
5.三角函数的定义和符号规律如何?完成下表.
三角函数
正弦
余弦
正切
设 P(x,y)是角 α 终边上异于原点的任意一点,r= x 2 + y 2 ,则
分析:根据解析式有意义列不等式(组),利用三角函数线解不等式.
解:2sin x-√3≥0,即 sin
故 f(x)=
π
2π
√3
x≥ 2 ,借助三角函数线得{x 3 +2kπ≤x≤ 3 +2kπ,k∈Z}.
π
2π
2sin-√3的定义域是[3 +2kπ, 3 +2kπ](k∈Z).
解答此类题目的关键在于借助单位圆,作出等号成立时对应角的三角函数
对称中心:
(kπ,0)(k∈Z)
周期
2π
对称中心:
π +
π
,0
2
2π
y=tan x
对称中心:
π
,0
2
(k∈Z)
(k∈Z)
π
三角函数
单调性
奇偶性
y=sin x
y=cos x
单调递增区间:
π
π
2π- , 2π +
2
2
(k∈Z)
单调递增区间:
单调递减区间:
[2kπ-π,2kπ](k∈Z)
单调递减区间:
第一象限角的集合
第二象限角的集合
第三象限角的集合
第四象限角的集合

α 2k < α < + 2,k∈Z
2
π
2π + < < 2π + π,∈Z
2
3
α + 2k < α <
+ 2,k∈Z
2
3π
2π +
< < 2π + 2π,∈Z
2
3.所有与角α终边相同的角,连同角α在内,如何表示?
7
5
- ×
12
=- .
175
专题三
三角函数的图象及变换
【例3】 已知函数y=f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象的一段如图
所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
π
(2)若函数y=g(x)的图象是由函数y=f(x)的图象向左平移 3 个单位得到的,求
函数y=g(x)的解析式.
的解析式为
1
y= sin
2
2 +
π
6
-1.
(2)把 y=sin x
π
的图象向左平移 个单位得到
6
1
保持不变、横坐标缩短为原来的2,得到
1
不变,纵坐标变为原来的2得到
最后把函数
1
y=2sin
1
y= sin
2
2 +
π
6
2 +
π
6
-1 的图象.
1
y=2sin
y=sin +
y=sin 2 +
2 +
线,运用运动的观点,找出符合条件的角的范围.在解题过程中实现了一个
转化,即把代数问题几何化,体现了数形结合的思想.
【变式训练 1】 求函数 f(x)= -sin + tan-1的定义域.
-sin ≥ 0,
sin ≤ 0,
解:要使函数 f(x)有意义,则
即
tan ≥ 1.
tan-1 ≥ 0,
解:(1) 由题中图象可知
4π
2π
∴T= 3 ,ω=
将点 N
π
6
=

A=2,
2
=
5π
6
π
6
− =
2π
,
3
3
.
2
,-2 代入 y=2sin
3

2
+ ,得 2sin
3
2
π
6
× + =-2,
π
π
3π
∴ +φ=2kπ- ,φ=2kπ- (k∈Z).
4
2
4
3π
∵|φ|<π,∴φ=- 4 .∴函数的解析式为
人教B版 数学 必修第三册
知识梳理 构建体系
【知识网络】
正角、负角、零角
任意角 象限角
任意角和弧度制
终边相同的角
1 弧度的角,180°= π弧度
弧度制
1
1 2
= ,扇形 = =
2
2


正弦 sin = ;余弦 cos =


三角函数的定义

正切 tan =

任意角的三角函数 三角函数线
平方关系:sin2 + cos2 = 1
同角的三角函数关系
sin
商数关系:tan =
cos
2π + (∈Z),π ± ,-公式:函数名不变,符号看象限
诱导公式 π
3π
± ,
± 公式:函数名改变,符号看象限
2
2
正弦曲线、余弦曲线、正切曲线
图象
图象特征
三角函数的图象与性质
定义域、值域

称为

定义

称为

α 的正弦,记
作 sin α

称为

α 的余弦,记
作 cos α
α 的正切,
记作 tan α
各Ⅰ
+
+
+
象Ⅱ
+
-
-
限Ⅲ
-
-
+
符Ⅳ
-
+
-
号 口诀
一全正,二正弦,三正切,四余弦
6.三角函数线是怎样的?
提示:设角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边与单位圆相
交于点P,过点P作PM垂直x轴于点M.由三角函数的定义知,有向线段
如图所示,结合三角函数线知
2π + π ≤ ≤ 2π + 2π(∈Z),
π
π
π + ≤ < π + (∈Z),
4
2
即
5π
3π
2kπ+ ≤x<2kπ+ (k∈Z).
4
2
故 f(x)的定义域为 2π +
5π
3π
,2π +
4
2
(k∈Z).
专题二
同角三角函数关系式及诱导公式
【例 2】
π
6
π
6
π
6
的图象,然后纵坐标
的图象,再横坐标保持
的图象,
的图象向下平移 1 个单位,得到
专题四
三角函数的性质
【例 4】 已知函数 f(x)=2sin 2 +
π
6
+a+1(其中 a 为常数).
(1)求函数 f(x)的单调区间;
(2)若 x∈
π
0, 2
时,f(x)的最大值为 4,求 a 的值;
(3)求函数 f(x)取最大值时 x 的取值集合.
函数名改变,符号看象限
9.正弦、余弦、正切函数的性质有哪些?请完成下表.
三角函数
定义域
y=sin x
y=cos x
y=tan x
R
R
π
≠ π + , ∈Z
2
[-1,1]
[-1,1]
R
图象
值域
三角函数
对称性
y=sin x
y=cos x
对称轴:
对称轴:
π
x=kπ+ (k∈Z)
2
x=kπ(k∈Z)
“伸缩”后“平移”的区别.
3.由已知函数图象求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式时,常用的解题
方法是待定系数法,由图中的最高点或最低点确定A,由周期确定ω,由适合
解析式的点的坐标来确定φ.
π
【变式训练3】 函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,|φ|< 2)的一段图象如图
2
(1)求 sin x-cos x 的值;
sin cos +si n 2
(2)求
的值.
1-tan
x+cos
1
x= .
5
解:(1)将 sin x+cos
1
x= 两边平方,得
5
∴(sin x-cos x) =1-2sin xcos
2
2sin x·cos
24
x=- .
25
49
x=25 .
π
∵-2 <x<0,
性质 周期性、奇偶性、单调性
最大值、最小值、零点
,,对函数图象的影响
函数 = sin( + )的图象
图象画法
已知正弦值求角
已知三角函数值求角 已知余弦值求角
已知正切值求角
五点法
变换法
【要点梳理】
1.角是如何分类的?
提示:任意角可按旋转方向分为正角、零角、负角.
2.象限角如何表示?请完成下表.
∴sin x<0,cos x>0,∴sin x-cos x<0.
故 sin x-cos
7
x=- .
5
sin cos +si n 2
(2)
1-tan
=
sin (sin +cos )
sin
1cos
=
cos sin (sin +cos )
cos -sin
=
12 1
25 5
故 si n 2 -co s 2
=
si n 2 +co s 2 +2sin cos
si n 2 -co s 2
=
ta n 2 +1+2tan
=-3.
2
ta n -1
通过化简条件能更加清楚地理清条件与结论的关系,为快速找到解题途径
创造条件.
【变式训练 2】
π
已知- <x<0,sin
2
3
6
π
π
π
π
∴函数 f(x)的单调递增区间为[- +kπ, +kπ](k∈Z),由 +2kπ≤2x+
3
6
2
6
∈Z,
π
2π
解得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,