2020届湖北省黄冈中学高三下学期4月高考模拟测试数学(理)试题

2020届湖北省黄冈中学高三下学期4月高考模拟测试数学
（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数2
()2f x x x =-，集合{|()0}A x f x =≤，{}
|()0B x f x '=≤，则A
B =
（ ） A ．[-1,0] B ．[-1,2]
C ．[0,1]
D ．(,1][2,)-∞⋃+∞
2．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z
+=（ ）
A ．1i +
B ．1i -
C ．1i --
D ．1i -+
3．命题“(0,1),ln x x e x -∀∈>”的否定是（ ） A ．(0,1),ln x x e x -∀∈≤ B ．0
00(0,1),ln x x e x -∃∈> C ．0
00(0,1),ln x x e
x -∃∈<
D ．0
00(0,1),ln x x e
x -∃∈≤
4．已知||3a =，||2b =，若()
a a
b ⊥-，则向量a b +在向量b 方向的投影为（ ） A ．
12
B ．
72
C ．12
-
D ．72
-
5．在锐角ABC 中，A 、B 为其内角，则“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．既非充分也非必要条件
D ．充分必要条件
6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）
A ．
11
12
B ．6
C ．
112
D ．
223
7．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积（ ）
A
．24π+B
．48π+C
．48π+D
．144π+8
．函数cos 220,
2y x x x π⎛⎫
⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
的单调递增区间是（ ） A ．06
,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．0,
3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ C ．,62ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D ．,32ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
9．在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪
+-≤⎨⎪-+≥⎩
所表示的平面区域内存在点
()00,x y ，使不等式0010x my ++≤成立，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．5(,]2
-∞-
B ．1(,]2
-∞-
C ．[4,)+∞
D ．(,4]-∞-
10．已知函数1()2x f x e x -=+-的零点为m ，若存在实数n 使230x ax a --+=且
||1m n -≤，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[2,4]
B ．72,3
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．7,33
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．[2,3]
11．已知双曲线22
22:1(0,0)x y E a b a b
-=>>满足以下条件：①双曲线E 的右焦点与抛
物线2
4y x =的焦点F 重合；②双曲线E 与过点(4,2)P 的幂函数()f x x α
=的图象交于点Q ，且该幂函数在点Q 处的切线过点F 关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ） A
．
1
2
B
．
1
2
C ．
32
D
1
12．已知函数()1x
f x xe
-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数
()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围
为（ ） A ．(1,]e B ．2(,]e e e
-
C ．22(,]e e e e
-
+ D ．2
(1,]e e
-
二、填空题
13．()()6
121x x -+的展开式中2x 的系数为__________．
14．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所
谓“实”、“隅”指的是在方程2
px q =中，p 为“隅”，q 为“实”．即若ABC 的大斜、中
斜、小斜分别为a ，b ，c ，则22222
22142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
.已知点D 是ABC 边
AB 上一点，3AC =，2BC =，45︒∠=ACD ，tan BCD ∠=，则ABC 的面积为________．
15．过直线7y kx =+上一动点(,)M x y 向圆22
:20C x y y ++=引两条切线MA ，
MB ，
切点为A ，B ，若[1,4]k ∈，则四边形MACB 的最小面积S ∈的概率为________． 16．三棱锥S ABC -中，点P 是Rt ABC ∆斜边AB 上一点.给出下列四个命题： ①若SA ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -的四个面都是直角三角形；
②若4AC =，4BC =，4SC =，SC ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -的外接球体
积为；
③若3AC =，4BC =，SC =S 在平面ABC 上的射影是ABC ∆内心，则三棱
锥S ABC -的体积为2；
④若3AC =，4BC =，3SA =，SA ⊥平面ABC ，则直线PS 与平面SBC 所成的最大角为60︒.
其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确命题的序号都填上）
三、解答题
17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足4618a a +=，11121S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设()32n
n n b a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .
18．某小学为了了解该校学生课外阅读的情况，在该校三年级学生中随机抽取了50名男生和50名女生进行调查，得到他们在过去一整年内各自课外阅读的书数（本），并根据统计结果绘制出如图所示的频率分布直方图.
如果某学生在过去一整年内课外阅读的书数（本）不低于90本，则称该学生为“书虫”. （1）根据频率分布直方图填写下面22⨯列联表，并据此资料，在犯错误的概率不超过
5%的前提下，你是否认为“书虫”与性别有关？
附：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
（2）从所抽取的50名女生中随机抽取两名，记“书虫”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.
19．如图，已知边长为2的正三角形ABE 所在的平面与菱形ABCD 所在的平面垂直，
且60DAB ∠=︒，点F 是BC 的中点.
（1）求证：BD EF ⊥；
（2）求二面角E DF B --的余弦值.
20．已知1F ，2F 为椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆
上，且过点2F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，1AF B ∆的周长为8. （1）求椭圆E 的方程；
（2）我们知道抛物线有性质：“过抛物线()2
20y px p =>的焦点为F 的弦AB 满足
2
||||||||AF BF AF BF p
+=
⋅.”那么对于椭圆E ，问是否存在实数λ，使得2222AF BF AF BF λ+=⋅成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由.
21．已知函数()2
1x f x e
-=+.
（1）求函数()2f x 在1x =处的切线方程；
（2）若不等式()()f x y f x y mx ++-≥对任意的[0,)x ∈+∞，[0,)y ∈+∞都成立，求实数m 的取值范围.
22．在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为12
1x y t
⎧
=+⎪⎨⎪=+⎩ (t 为参数).以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C
的极坐标方程为4πρθ⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭.
（1）写出直线l 的普通方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求AB ． 23．已知函数()|2|f x x =+.
（1）求不等式(2)(4)2f x f x -->的解集；
（2）当0a >时，不等式()()1f ax af x a ++恒成立，求实数a 的取值范围
.
参考答案
1．C 【分析】
分别求解不等式得到集合,A B ,再利用集合的交集定义求解即可. 【详解】
2{|20}{|02}A x x x x x =-≤=≤≤,{|220}{|1}B x x x x =-=≤≤
， ∴{|01}A
B x x =≤≤．
故选C ． 【点睛】
本题主要考查了集合的基本运算,难度容易. 2．A 【分析】
结合复数的除法运算和模长公式求解即可 【详解】
∵复数1z i =+，∴||z =
，()2
212z i i =+=，则
22||22(1)
221211(1)(1)
z i z i i i i i z i i i -+=+=+=-+=+++-， 故选：A. 【点睛】
本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题 3．D 【分析】
根据全称命题的否定是特称命题,对命题进行改写即可. 【详解】
全称命题的否定是特称命题，所以命题“(0,1)x ∀∈,ln x e x ->”的否定是：0(0,1)x ∃∈，
00ln x e x -≤．
故选D ． 【点睛】
本题考查全称命题的否定,难度容易. 4．B 【分析】
由()
a a
b ⊥-，||3a =，||2b =3a b ⇒⋅=，再由向量a b +在向量b 方向的投影为
()||
a b b
b +⋅化简运算即可 【详解】
∵()
a a
b ⊥-∴()
2
30a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=，∴3a b ⋅=， ∴向量a b +在向量b 方向的投影为
2
()347
||cos ,22||||
a b b a b b a b a b b b b +⋅⋅++++====.
故选：B. 【点睛】
本题考查向量投影的几何意义，属于基础题 5．D 【分析】
根据正弦定理可得边角的关系，再由不等式的性质和充分必要条件的判定可得选项. 【详解】
由正弦定理
()>0sin sin a b k k A B ==，得sin ,sin a b
A B k k
==， 由sin sin A B >得a b
k k
>，即a b >，由大边对大角得A B >，又由于,A B 是锐角，所以由
A B >得tan tan A B >；
当tan tan A B >时，又由于,A B 是锐角，所以A B >，得a b >，即a b
k k
>，又由正弦定理得sin sin A B >，
因此“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的充要条件， 故选：D. 【点睛】
本题考查正弦定理的应用以及充分必要条件的判断，属于基础题. 6．D
【分析】
用列举法，通过循环过程直接得出S 与n 的值，得到8n ＝时退出循环,即可求得. 【详解】
执行程序框图，可得0S =，2n =，满足条件，1
2
S =
，4n ＝，满足条件，113244S =+=，
6n =，满足条件，11111
24612
S =
++=，8n ＝，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值为11228123
⨯=. 故选D ． 【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的S 与n 的值是解题的关键,难度较易. 7．C 【分析】
由三视图知几何体是一个从圆锥中截出来的锥体,圆锥底面半径为r =圆锥
的高h =
截去的底面劣弧的圆心角为
23
π
，底面剩余部分的面积为221412sin 2323
S r r ππ=⋅+,利用锥体的体积公式即可求得.
【详解】
由已知中的三视图知圆锥底面半径为6r ==，圆锥的高
6h ==，圆锥母线l ==截去的底面弧的圆心角为120°，底
面剩余部分的面积为2222212212sin 66sin 24323323S r r ππ
πππ=
+=⨯+⨯⨯=+
故几何体的体积为：11
(2464833
V Sh ππ==⨯+⨯=+故选C. 【点睛】
本题考查了三视图还原几何体及体积求解问题,考查了学生空间想象,数学运算能力,难度一般. 8．D 【分析】
利用辅助角公式,化简函数的解析式,再根据正弦函数的单调性,并采用整体法,可得结果. 【详解】
因为cos 22y x x =2sin(
2)2sin(2)66
x x π
π
=-=--，由3222,262
k x k k π
ππππ+-+∈Z ≤≤，解得5,36k x k k Z ππ
ππ+≤≤+∈，即函数的增区
间为5[
,
],3
6k k k π
πππ++∈Z ，所以当0k =时，增区间的一个子集为[,]32
ππ
. 故选D. 【点睛】
本题考查了辅助角公式,考查正弦型函数的单调递增区间,重点在于把握正弦函数的单调性，同时对于整体法的应用,使问题化繁为简,难度较易. 9．B 【分析】
依据线性约束条件画出可行域，目标函数0010x my ++≤恒过()1,0D -，再分别讨论m 的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系，即可求解 【详解】
作出不等式对应的平面区域，如图所示：
其中()2,6A ，直线10x my ++=过定点()1,0D -，
当0m =时，不等式10x +≤表示直线10x +=及其左边的区域，不满足题意；
当0m >时，直线10x my ++=的斜率1
0m
-
<， 不等式10x my ++≤表示直线10x my ++=下方的区域，不满足题意； 当0m <时，直线10x my ++=的斜率1
0m
-
>， 不等式10x my ++≤表示直线10x my ++=上方的区域， 要使不等式组所表示的平面区域内存在点()00,x y ，
使不等式0010x my ++≤成立，只需直线10x my ++=的斜率1
2AD k m
-
≤=，解得12
m ≤-.
综上可得实数m 的取值范围为1(,]2
-∞-， 故选：B. 【点睛】
本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题，分类讨论与数形结合思想，属于中档题 10．D 【分析】
易知()f x 单调递增,由(1)0f =可得唯一零点1m =,通过已知可求得02n ≤≤,则问题转化为使方程230x ax a --+=在区间[]0,2上有解,化简可得4
121
a x x =++-+,借助对号函数即可解得实数a 的取值范围. 【详解】
易知函数1
()2x f x e x -=+-单调递增且有惟一的零点为1m =，所以|1|1n -≤，∴
02n ≤≤，问题转化为：使方程230x ax a --+=在区间[]0,2上有解，即
223(1)2(1)4412111
x x x a x x x x ++-++===++-+++
在区间[]0,2上有解，而根据“对勾函数”可知函数4
121
y x x =++
-+在区间[]
0,2的值域为[2,3]，∴23a ≤≤.
故选D ．
【点睛】
本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难. 11．B 【分析】
由已知可求出焦点坐标为(1,0)(-1,0)，
,
可求得幂函数为()f x =设出切点通过导数求出
切线方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切点坐标,然后求解双曲线的离心率． 【详解】
依题意可得，抛物线2
4y x =的焦点为(1,0)F ，F 关于原点的对称点(1,0)-；24α=，
1
2
α=，
所以1
2()f x x ==
，()f x '=
，设0(Q x
0=01x =，∴ ()1,1Q ，可得
22111a b -=，又1c =，222
c a b =+
，可解得a =，故双曲线的离
心率是
c e a
=
==
. 故选B ． 【点睛】
本题考查双曲线的性质,已知抛物线方程求焦点坐标,求幂函数解析式,直线的斜率公式及导数的几何意义,考查了学生分析问题和解决问题的能力,难度一般. 12．D 【分析】
将原题等价转化为方程()2
0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根，先求导
()'f x ，可判断()0,1x ∈时，
()0f x '>，()f x 是增函数；
当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤，再令
2
()ln 1F x x x ax =-++，求导得221
()x ax F x x
'
--=-，结合韦达定理可知，要满足题意，
只能是存在零点1x ，使得()0F x '=在()0,e 有解，通过导数可判断当()10,x x ∈时
()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数；当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是
减函数；则应满足()()1max 1F x F x =>，再结合2
11210x ax --=，构造函数
()2ln 1m x x x =+-，求导即可求解；
【详解】
函数()2
0()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，
等价于方程()2
0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根.
111()(1)x x x f x e xe x e '---=-=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；
当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤.
设2
()ln 1F x x x ax =-++，2121
()2x ax F x x a x x
'
--=-+=-，
若()0F x '=在()0,e 无解，则()F x 在(0,]e 上是单调函数，不合题意；所以()0F x '=在
()0,e 有解，且易知只能有一个解.
设其解为1x ，当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数； 当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数.
因为0(0,]x e ∀∈，方程()2
0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内有两个不同的根，
所以()()1max 1F x F x =>，且()0F e ≤.由()0F e ≤，即2ln 10e e ae -++≤，解得
2
a e e
≤-
. 由()()1max 1F x F x =>，即2111ln 11x x ax -++>，所以2
111ln 0x x ax -+>.
因为2
11210x ax --=，所以11
12a x x =-
，代入2111ln 0x x ax -+>，得2
11ln 10x x +->. 设()2
ln 1m x x x =+-，()1
20m x x x
'=
+>，所以()m x 在()0,e 上是增函数， 而()1ln1110m =+-=，由2
11ln 10x x +->可得()()11m x m >，得11x e <<.
由1112a x x =-
在()1,e 上是增函数，得112a e e
<<-. 综上所述2
1a e e
<≤-， 故选：D. 【点睛】
本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题 13．3 【分析】
分别用1和()2x -进行分类讨论即可 【详解】
当第一个因式取1时，第二个因式应取含2x 的项，则对应系数为：22
66115C C ⨯==；
当第一个因式取2x -时，第二个因式应取含x 的项，则对应系数为：()1
6212C -⨯=-；
故()()6
121x x -+的展开式中2x 的系数为()21
6623C C +-=.
故答案为：3 【点睛】
本题考查二项式定理中具体项对应系数的求解，属于基础题 14
．
4
. 【分析】
利用正切的和角公式求得tan ACB ∠,再求得cos ACB ∠,利用余弦定理求得AB ,代入“三斜求积术”公式即可求得答案. 【详解】
tan tan tan tan()1tan tan ACD BCD
ACB ACD BCD ACD BCD
∠+∠∠=∠+∠=
=-∠∠1
cos 4
ACB ∠=-，由余弦定理可知2222cos 16AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠=，得
4
AB=.根据“三斜求积术”可得
2
222
222
1423135 42
4216 S
⎡⎤
⎛⎫
+-
⎢⎥=⨯-=
⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦
，所以4
S=.
【点睛】
本题考查正切的和角公式,同角三角函数的基本关系式,余弦定理的应用,考查学生分析问题的能力和计算整理能力,难度较易.
15
【分析】
先求圆的半径,四边形MACB
的最小面积S∈,转化为MBC
S
△
的最小值为MBC
S∈
△
，
求出切线长的最小值
min
MB∈,再求MC的距离也就是圆心到直线的距离,可解得k的取值范围,利用几何概型即可求得概率．
【详解】
由圆的方程得22
(1)1
x y
++=，所以圆心为(0,1)
-，半径为1
r=，四边形的面积
2
MBC
S S
=
△
，若四边形MACB
的最小面积S∈，所以MBC
S
△
的最小值为MBC
S∈
△
，而
1
2
MBC
S r MB
=
△
，即MB
的最小值
min
MB∈，此时MC
最小为圆心到直线的距离，此时d=，因为0
k>，
所以k∈，所以[1,4]
k∈
的概率为
3
．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系,及与长度有关的几何概型,考查了学生分析问题的能力,难度一般.
16．①②③
【分析】
对①，由线面平行的性质可判断正确；
对②，三棱锥外接球可看作正方体的外接球，结合外接球半径公式即可求解；
对③，结合题意作出图形，由勾股定理和内接圆对应面积公式求出锥体的高，则可求解； 对④，由动点分析可知，当P 点与A 点重合时，直线PS 与平面SBC 所成的角最大，结合几何关系可判断错误； 【详解】
对于①，因为SA ⊥平面ABC ，所以SA AC ⊥，SA AB ⊥，SA BC ⊥，又BC AC ⊥， 所以BC ⊥平面SAC ，所以BC SC ⊥，故四个面都是直角三角形，∴①正确；
对于②，若4AC =，4BC =，4SC =，SC ⊥平面ABC ， ∴三棱锥S ABC -的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球，
∴2R ==R =∴体积为34
3
V π=
=，∴②正确；
对于③，设ABC ∆内心是O ，则SO ⊥平面ABC ，连接OC ， 则有222SO OC SC +=，又内切圆半径()1
34512
r =+-=，
所以OC =
222321SO SC OC =-=-=，故1SO =，
∴三棱锥S ABC -的体积为111
3412332
ABC V S SO ∆=
⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，∴③正确；
对于④，∵若3SA =，SA ⊥平面ABC ，则直线PS 与平面SBC 所成的角最大时，P 点与
A 点重合，
在Rt SCA ∆中，3
tan 15
ASC ∠==，∴45ASC ∠=︒，即直线PS 与平面SBC 所成的最大角为45︒， ∴④不正确，
故答案为：①②③. 【点睛】
本题考查立体几何基本关系的应用，线面垂直的性质及判定、锥体体积、外接球半径求解，线面角的求解，属于中档题
17．（1）21n a n =-；（2）2
2n n T n +=⋅
【分析】
（1）结合等差数列下标性质可得465218a a a +==，再由前n 项和公式
()
11111611111212
a a S a +=
==，即可求解；
（2）由（1）()1
32(1)2n
n n n b a n +=+=+，再结合错位相减法即可求解；
【详解】
（1）设数列{}n a 的公差为d ，∵465218a a a +==，∴59a =，
()
11111611111212
a a S a +=
==，∴611a =，
∴651192d a a =-=-=，∴5(5)92(5)21n a a n d n n =+-=+-=-. （2）由（1）可知()1
32(213)2(1)2
n
n
n n n b a n n +=+=-+=+，
∴数列{}n b 的前n 项和为234
1223242(1)2n n T n +=⨯+⨯+⨯+
++，
3451222232422(1)2n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯+
+++，
两式作差，得234
12
22222(1)2n n n T n ++-=⨯+++
+-+(
)1
2
2228128(1)2
828(1)2212
n n n n n n n n -++++-=+
-+=+--+=--，
∴2
2n n T n +=⋅.
【点睛】
本题考查等差数列通项公式的求解，错位相减法求解数列的前n 项和，属于中档题 18．（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为“书虫”与性别有关；（2）分布列见解析，4
()25
E X = 【分析】
（1）由频率分布直方表求出男生与女生中书虫、非书虫的人数分别为：12，38和4，46，填写二联表结合2k 表格可以求解；
（2）结合题意可知，X 符合超几何分布，结合超几何分布公式求出对应概率，列出分布类，即可求解对应期望； 【详解】
（1）由频率分布直方图可得，男生书虫、非书虫的人数分别为12，38，女生书虫、非书虫的人数分别为4，46，故得如下22⨯列联表：
根据列联表中数据可得：2
2
100(1246438) 4.76216845050
K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，
由于4.762 3.841>，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为“书虫”与性别有关.
（2）由频率分布直方图可得女生“书虫”的人数为4，X 的所有可能取值为0，1，2，
则246250207(0)245C P X C ===，11464250184(1)1225C C P X C ===，422
506
(2)1225
C P X C ===， 故X 的分布列为
X 的数学期望为20718461964
()01224512251225122525
E X =⨯
+⨯+⨯==. 【点睛】
本题考查频率分布直方表中频数的求解，二联表的填表与计算，离散型随机变量的分布列与数学期望求解，属于中档题 19．（1）见解析；（2）7
【分析】
（1）取AB 的中点O ，连结EO ，OF ，AC ，通过线面垂直的性质和菱形对角线性质证明BD AC ⊥，BD OF ⊥即可证明；
（2）通过建系法求解，以OE 为x 轴，OB 为y 轴，OD 为z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面DEF 和平面DFB 的法向量，结合向量夹角的余弦公式即可求解； 【详解】
（1）证明：取AB 的中点O ，连结EO ，OF ，AC ，
由题意知，EO AB ⊥，又因为平面ABCD ⊥平面ABE ，所以EO ⊥平面ABCD .
因为BD ⊂平面ABCD ，所以EO BD ⊥， 又因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，
又因为OF AC ∥，所以BD OF ⊥，所以BD ⊥平面EOF .又EF ⊂平面EOF ，所以
BD EF ⊥.
（2）连结DO ，由题意知EO AB ⊥，⊥DO AB .又因为平面ABCD ⊥平面ABE ，所以
DO ⊥平面ABE ，
又O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -. 则()0,0,0O
，)E
，30,,22F ⎛ ⎝⎭，()0,1,0B
，(D
，
30,,22DF ⎛=- ⎝⎭
，(
3,0,DE =
.
设平面DEF 的一个法向量为()1,,n x y z =，则110
0DF n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪
⎩
，即3022
y z ⎧-=⎪⎨=， 令1x =，所以131,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
.又由（1）可知EO ⊥平面ABCD ，所以平面DFB 的一个法
向量为()21,0,0n =，
设二面角E DF B --的平面角为θ，则121221
cos
||||
n n n n θ⋅=
=⋅.
【点睛】
本题考查线面垂直的证明，建系法求解二面角的大小，属于中档题
20．（1）22
143
x y +=；
（2）存在，实数43λ= 【分析】
（1）由题可知，过焦点的三角形1AF B ∆的周长为48a =，求得2a =，再将点31,2P ⎛⎫
⎪⎝⎭
代入椭圆即可求解；
（2）由（1）得()21,0F ，再分直线斜率为0和不为0两种情况作具体讨论，当斜率不为0时，可设直线方程为1x my =+，联立直线与椭圆方程得出关于y 的韦达定理，
22222222
22
11AF BF AF BF AF BF AF BF AF BF λλ++=⋅⇔
=
+=⋅，结合前式所求韦达定理进行代换即可求证 【详解】
（1）根据椭圆的定义，可得12||||2AF AF a +=，12||||2BF BF a +=，
∴1AF B ∆的周长为111122||4AF BF AB AF BF AF BF a ++=+++=，∴48a =，得
2a =，
∴椭圆E 的方程为22
214x y b
+=，将31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆E 的方程可得23b =，所以椭圆E 的
方程为22
143
x y +=.
（2）由（1）可知222431c a b =-=-=，得()21,0F ，依题意可知， 当直线l 的斜率为0时，2224AF BF a +==，
()()222223AF BF a c a c a c b ⋅=+-=-==，则2222
4
3
AF BF AF BF λ+=
=
⋅； 当直线l 的斜率不为0时，
故可设直线l 的方程为1x my =+，由22
143
1x y x my ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
消去x ，整理得
()2
234690m
y my ++-=，
设()11,A x y ，()22,B x y ，则122634m
y y m -+=
+，122
934
y y m -=+，不妨设10y >，20y <，
211||AF y y =
=
==，
同理222BF y y ==，
所以
22121111AF BF y y ⎫+==-⎪⎭
2112122
4334
y y y y m -====
+即22224
||||3AF BF AF BF +=
⋅，所以存在实数43
λ=， 使得2222AF BF AF BF λ+=⋅成立. 【点睛】
本题考查椭圆标准方程的求法，由直线与曲线的位置关系求解与弦长有关的定值问题，韦达定理在圆锥曲线中的应用，转化与化归思想，计算能力，属于难题 21．（1）20x y -=；（2）(,2]-∞ 【分析】
（1）设()()22
21x t x f x e -==+，则()222x t x e -'=，再结合导数的几何意义和点斜式求解
切线方程即可；
（2）原式等价于222x y x y e e mx +---++≥对任意的[0,)x ∈+∞，[0,)y ∈+∞都成立，经检验，当0x =时，不等式2220y y e e ---++≥，显然成立，当0x >时，设
22()2x y x y g x e e +---=++，设22()2x y x y g x e e +---=++，则()g x mx ≥恒成立，通过不等
式放缩可得2
()22x g x e
-≥+，原题转化为2
22x e
mx -+≥，分离参数得
222
x e m x
-+≥对()0,x ∈+∞恒成立，令222
()x e h x x
-+=，通过研究()'h x 的正负分析()h x 的增减性确定
函数()()min 2h x h =，进而求出参数m 范围； 【详解】
（1）设()()22
21x t x f x e
-==+，则()222x t x e -'=，当1x =时，()22112t e -=+=，
()22122t e -'==，
∴函数()2f x 在1x =处的切线方程为()221y x -=-，即20x y -=.
（2）根据题意可得222x y x y e e mx +---++≥对任意的[0,)x ∈+∞，[0,)y ∈+∞都成立， 当0x =时，不等式即为2220y y e e ---++≥，显然成立；当0x >时，设
22()2x y x y g x e e +---=++，
则不等式222x y x y e e mx +---++恒成立，即为不等式()g x mx ≥恒成立，
∵()
22222()222222x y x y x y y x x g x e e e e e e e --------=++=++⨯=+（当且仅当0y =时取等号），
∴由题意可得2
22x e
mx -+≥，即有
222
x e m x
-+≥对()0,x ∈+∞恒成立， 令222()x e h x x -+=，则()
22222
1(1)1()22x x x xe e x e h x x x ----+--'=⋅=⋅
， 令()0h x '=，即有()2
11x x e
--=，令2()(1)x m x x e -=-，则
222()(1)x x x m x e x e xe '---=+-=，
当0x >时，
()2
0x m x xe -'=>，∴()m x 在()0,+∞上单调递增，又∵22
(2)(21)1m e -=-=，
∴2(1)1x x e --=有且仅有一个根2x =，当()2,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， 当()0,2x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，∴当2x =时，()h x 取得最小值，
为2222
(2)22
e h -+==，∴2m ≤.∴实数m 的取值范围(,2]-∞.
【点睛】
本题考查由导数的几何意义求解切线方程，双变量不等式恒成立问题的等价转化，基本不等式的应用，构造函数法，利用导数研究函数的增减性与最值，转化与化归能力，属于难题
22．（1
）210x -+=，22
111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭；（2
. 【分析】
(1)利用代入消元法,可求直线l 的普通方程,根据极坐标与直角坐标互化原则可得圆C 直角坐标方程;
(2)将直线的参数方程标准化,借助标准参数方程中参数的几何意义,通过直线l 与圆C 联立即可求得12||AB m m =-. 【详解】
（1）将直线l
的参数方程12
1x y t
⎧
=⎪⎨⎪=+⎩(t 为参数)消去参数t ， 可得直线l
的普通方程为1
1)2y x -=-
，即210x -+=．
由)4
π
ρθ=
-，得cos sin ρθθ=+，所以2cos sin ρρθρθ=+,
得22
x y x y +=+，即2
2
111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．
（2
）由12
1x y t
⎧=+⎪⎨⎪=+⎩
得12112x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（m 为参数）， 将其代入2
2
111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，得2
11024m m +-=，
∴1212m m +=-，121
4
m m =-， ∴
12||AB m m =-=
=
==
. 【点睛】
本题考查参数方程和普通方程互化、极坐标和直角坐标方程互化,考查直线参数的几何意义,难度一般.
23．（1）2
{|3x x >或6}x <-；（2）10,[3,)3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦
. 【分析】
(1)去绝对值将函数化为分段函数的形式,解分段函数的不等式即可.
(2) ()()1f ax af x a ++恒成立，即求函数[]min ()()f ax af x +根据绝对值不等式的性质可得[]min ()()=|22|f ax af x a +-,故原不等式等价于|22|1a a -+,计算求解即可.
【详解】
（1）函数4,1
(2)(4)2223,124,2x x f x f x x x x x x x --<-⎧⎪
--=+--=-<⎨⎪+⎩
，
当1x <-时，不等式即42x -->，求得6x <-，∴6x <-； 当12x -<时，不等式即32x >，求得23
x >
，∴2
23x <<；
当2x ≥时，不等式即42x +>，求得2x >-，∴ 2x ≥． 综上所述，不等式的解集为2
{|3
x x >或6}x <-． （2）当0a >时，
()()|2||2||2||2||(2)(2)||22|
f ax af x ax a x ax ax a ax ax a a +=+++=++++-+=-
∵不等式()()1f ax af x a ++恒成立，∴|22|
1a a -+，
∴221a a -≥+或221a a -≤--，解得3a ≥或103
a <≤， ∴实数a 的取值范围为10,[3,)3
⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝
⎦
.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的求解,主要采用的方法是分类讨论,本题还考查了含参绝对值函数的最值问题,解决问题的方法是利用绝对值不等式的性质进行求解,难度一般.。