九年级数学直线形首师大版

九年级数学直线形首师大版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
（一）中考聚焦
1. 直线形内容包括：
线段、角、相交线与平行线，三角形，四边形，相似形
（二）复习内容
1. 线段、角、平行线和相交线：
（1）掌握直线、线段的性质，垂线的性质。

（2）掌握平行线的性质与判定。

（3）掌握角的度量和角的分类，理解对顶角、余角、补角和邻补角的概念及性质，会进行简单的计算。

（4）掌握角平分线定理及线段垂直平分线定理。

（5）理解三个距离：两点间距离、点到直线的距离、平行线间的距离。

2. 三角形：三角形在近几年中考中约占6%～10%。

（1）理解三角形的分类，注意分类标准，按边分或按角分。

（2）掌握三角形中的主要线段：中线、高线、角平分线，三角形的中位线的有关概念及性质。

（3）理解三角形三边关系定理。

（4）掌握三角形内角和定理及其推论。

（5）灵活运用全等三角形的性质和判定定理证明有关线段、角的数量关系问题。

（6）掌握特殊三角形的性质与判定：等腰三角形、直角三角形的性质和判定定理。

（7）灵活运用勾股定理及逆定理计算及证明有关问题。

（8）理解比例的有关概念，掌握比例的性质，会根据比例有关概念及性质确定线段的比、比例中项、第四比例中项，会证明线段成比例。

（9）掌握平行线分线段成比例定理及其推论。

（10）灵活运用相似三角形的判定定理判定两个三角形相似，会利用相似三角形的性质定理解证一类简单的几何问题。

（11）综合运用相似三角形的性质定理和判定定理探究以相似为背景的综合问题及实际问题。

（20%）
（12）考查的主要思想方法：方程的思想，对称的思想，数形结合及分类讨论的思想；同时考查我们的阅读理解、分析问题、解决问题的能力。

（20%）
3. 四边形：四边形是平行线和三角形这两部分知识的运用与深化，在近几年中考中约占
8%。

（1）掌握多边形的内角和、外角和定理，会根据多边形的内外角和公式确定多边形的边数，会用分割法确定多边形的对角线数、三角形数及变化规律。

（2）掌握平行四边形的概念，灵活运用平行四边形的性质和判定定理解决与线段、角有关的数量关系问题和求值等问题。

（3）能运用定义及判定定理判断特殊四边形：矩形、正方形、菱形、梯形、等腰梯形。

（4）掌握特殊四边形的性质，并会应用其解决解证问题。

（5）能根据三角形中位线定理，梯形中位线定理解决有关线段的位置和数量关系问题；掌握平行线等分线段定理及其推论。

（6）考查的主要思想方法：方程的思想，对称的思想，转化思想、数形结合及分类讨论的思想；同时考查我们的识图的能力，运用几何知识解决实际问题的能力，以及探索、发现问题、解决问题的能力。

（20%）
4. 对称：明确轴对称、中心对称与轴对称图形、中心对称图形的区别与联系，理解轴对称图形、中心对称图形的性质，并能结合实际图形予以辨认及作图。

5. 面积：掌握三角形面积公式、特殊四边形的面积公式，会运用其解决一类与面积有关的几何问题。

6. 作图：掌握
（1）五种基本作图：
①作一条线段等于已知线段；
②作一个角等于已知角；
③平分已知角；
④经过一点作已知直线的垂线；
⑤作线段的垂直平分线。

（2）三角形、等腰三角形、直角三角形；
（3）轴对称图形、中心对称图形。

（三）复习方法
1. 掌握重点基础知识、基本技能技巧，达到复习、巩固和综合提高的目的。

特殊——一般——特殊的认识过程：
2. 根据定理的不同作用，对定理进行分类归纳总结，培养对知识的组织、应用能力。

如分类归纳总结出：
（1）证明两直线平行的主要依据和基本思考方法；
（2）证明两条线段（或角）相等的主要依据和思考方法；
（3）证明四条线段成比例的主要依据和思考方法；……
（4）证明两直线互相垂直的主要依据和思考方法；……
如：总结“证明两直线平行的主要依据和思考方法”。

（1）同位角（内错角）相等，两直线平行；
（2）同旁内角互补，两直线平行；
（3）平行（或垂直）于同一直线的两直线平行；
（4）平行四边形对边平行；
（5）三角形中位线平行于第三边；
（6）梯形中位线平行于两底；
（7）一直线截三角形两边所得的对应线段成比例，则这条直线平行于第三边。

……
平面几何应突出基本图形，图文相结合，这样有助于我们的理解记忆。

例如：证明两直线互相垂直的基本图形及其思考方法：
（1）若_______________，则CD⊥AB，文字叙述_____________________________。

……
3. 按章（或单元）的形式总结典型基本图形，理解基本图形结构的形成、变化和发展的过程。

（1）人们认识平面图形的过程是由简单的、基本的开始，而对于复杂的图形，又是通过分解的方法，将它们化归为简单的、基本的图形去认识的，它的基本模式是：
简单的、基本的图形组合复杂的图形
分解（化归）
例如，
（2）由较复杂的图形中分解出基本图形：
在基本图形中指出基本元素及其关系、性质。

可以作一些分解图形的练习：
例如：如图，平行四边形ABCD中，图中能分解出_________个“A”字形，分解出_________个“8”字形，还有其它的基本图形吗？
（3）应用基本图形解题的基本思考方法：
①直接应用基本图形；
②添设辅助线后构造出基本图形。

例1. 如图，平行四边形ABCD中，BC＝2CD，延长CD到E，延长DC到F，使CF＝CD ＝DE。

AF和BE交于G。

求证：AF⊥BE
提示一：转化为利用图④；
提示二：转化为利用图⑥；
提示三：转化为利用图⑧；
提示四：转化为利用图⑨。

例2. 如图，已知：在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC BC 1
4。

求证：EF ⊥AF
提示一：转化为利用图②；
提示二：转化为利用图⑦，计算； 提示三：转化为利用图①或⑥； 提示四：转化为利用图⑧，计算。

（4）等腰三角形由简单到复杂的组合： ①直线平行于一边：
②直线垂直于一边：
例3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，∠AEF＝∠AFE。

求证：EF⊥BC
③直线和边或其延长线相交：
【典型例题】
例1. 已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，求最大边AC 的X 围。

解：由已知，得：AC AB
BC AB AC AB BC ≥-<<+⎧⎨
⎩
即AC AC ≥<<⎧⎨
⎩
213 ∴≤<23AC
注意：最大边可能大于或等于BC 。

例2. 如图1，已知：BD ＝DC ，ED ⊥BC 交∠BAC 的平分线于E ，作EM ⊥AB 于M ，EN ⊥AC ，交AC 的延长线于N 。

求证：BM ＝
证明：连结BE 、EC ∵BD ＝DC ，ED ⊥BC ∴BE ＝EC
∵AE 平分∠BAC ，EM ⊥AB 于M ，EN ⊥AC ∴ME ＝NE
在Rt △BME 和Rt △E 中
BE CE
ME NE ==⎧⎨
⎩
∴≅Rt BME Rt CNE ∆∆
∴BM ＝
例3. 如图2，已知：△ABC 中，AB ＝AC ，在AB 上取点D ，在AC 的延长线上取点F ，使BD ＝CF ，连结DF 交BC 于点E 。

求证：DE＝FE
证明一：如图2－1，过D作DH∥AF交BC于H
∴∠ACB＝∠DHB
∵AB＝AC
∴∠B＝∠ACB
∴∠B＝∠DHB
∴BD＝DH
∵BD＝CF
∴DH＝CF
∵DH∥CF
∴∠HDE＝∠F，∠DHE＝∠FCE
∴△DHE≌△FCE
∴DE＝FE
证明二：过F作FI∥AB交BC的延长线于I
证法同一。

证法三：过D、F分别作BC所在直线的垂线，垂足分别为M、N 证法类同一，证两次全等。

证明四：过D作DG∥BC，交AC于G，如图2－2
∴
=
DB AB GC
AC
∵AB ＝AC ∴DB ＝GC ∵BD ＝CF ∴GC ＝CF ∵EC ∥DG ∴DE ＝EF
证明五：过F 作FJ ∥BC 交AB 的延长线于J 证法同四。

例4. 如图3，已知：△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 上一点，BE 的延长线交AC 于F ，且BE ＝AC 。

求证：AF ＝EF
证明一：如图3－1，延长ED 到G ，使DG ＝ED ，连结GC
∵D 是BC 中点，∴BD ＝DC 又∵∠BDE ＝∠CDG ∴△BED ≌△CGD
∴∠BED ＝∠G ，BE ＝GC
∵BE ＝AC ，∴AC ＝GC ∴∠EAF ＝∠G ∵∠BED ＝∠AEF ∴∠EAF ＝∠AEF ∴AF ＝EF
证明二：延长AD 到H ，使DH ＝AD ，连结BG 证法同一。

证明三：过A 作AF ⊥BF 的延长线交于M ，过E 作EN ⊥AC 于N ，连结EC ，如图3－
2
∵D 为BC 中点 ∴BD ＝DC
∴==S S S S ABD ADC BED DEC ∆∆∆∆， ∴-=-S S S S ABD BED ADC DEC ∆∆∆∆ 即S S BEA AEC ∆∆=
则121
2
BE AM AC EN ⋅=⋅
∵BE ＝AC ∴AM ＝EN
S EF AM AF EN AEF ∆=
⋅=⋅121
2
∴AF ＝EF
例5. 如图4，有一直立标杆，它的上部被风从B 处吹折，杆顶C 着地，离杆脚2米，修好后又被风吹折，因新断处D 比前一次低米，故杆顶E 着地比前一次远1米。

求原标杆的高。

解：设AD ＝x ，BF ＝y ，依题意，有：
()在中，Rt ADE x y ∆222
305+=+. ()在中，Rt ABC x y ∆+-=0522
22.
()()()()则解方程组x y x y x y x y --++=-<>-+++=-<>
⎧⎨
⎪⎩⎪0505910505
42....
<>÷<>--
-+
=
12
05
05
9
4，得：
x y
x y
.
.
∴-=-<>
x y133
.
<3>代入<1>，得：x＋y＋＝5
答：原标杆的高为5米。

【模拟试题】
一. 选择题。

1. 一个角比它的补角的一半小15°，则这个角的度数为（）
A. 70°
B. 50°
C. 40°
D. 15°
2. 在8:30时，时钟上的时针和分针之间的夹角为（）
A. 85°
B. 75°
C. 70°
D. 60°
3. 如图1，已知AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝75°，则∠BFD 等于（）
° B. 35°° D. 36°
4. 下列命题中，真命题的个数有（）
（1）在三角形中，连结一个顶点和它对边中点的直线叫做三角形的中线；
（2）三角形的三条高线中，至少有一条在三角形的内部；
（3）三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等；
（4）三角形的重心是三角形中线的三分之一点。

A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
5. 如图2，已知：△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于F，若BF ＝AC，那么∠ABC的度数为（）
A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 60°
6. 下列图形中，只有一条对称轴的轴对称图形的个数是（）
（1）线段，（2）角，（3）只有两边相等的等腰三角形，（4）等边三角形，（5）矩形，（6）等腰梯形
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
7. 如图3，顺次连结四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，在下列条件中，可使四边形EFGH为矩形的是（）
A. AB＝CD
B. AC＝BD
C. AC⊥BD
D. AD∥BC
8. 如图4，已知AB∥CD，AE⊥DC，AE＝12，BD＝15，AC＝20，则梯形ABCD的面积为（）
A. 130
B. 140
C. 150
D. 160
9. 如图5，在△ABC中，AB＝AC，周长为10cm，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为2cm的两个三角形，则△ABC各边的长为（）
A. 4，4，2
B. 8
3
8
3
14
3，，
C. 4，2，2或8
3
8
3
14
3
，， D. 无法确定
10. 如图6，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由六个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，则这个矩形色块图的面积为（）
A. 143
B. 144
C. 145
D. 146
二. 填空题。

11. 一个角的余角与它的补角的比是3:8，则这个角是___________。

12. 如图7，AB∥CD，EF交CD于H，EG⊥AB，垂足为G，若∠CHE＝125°，则∠FEG ＝__________。

13. 已知等腰三角形的腰长为2，周长c的取值X围为__________。

14. 已知等腰三角形中，若：
（1）一边长为5，另一边长为7，则其周长为____________。

（2）一边长为2，另一边长为4，则其周长为____________。

（3）一角为50°，则它的一个底角是为____________。

（4）一角为95°，则它的一个底角是为____________。

15. 如图8，在△ABC中，∠BAC＝4∠ABC＝4∠C，BD⊥AC于D，则∠ABD的度数为____________。

16. 如图9，已知：△ABC中，AB＝AC，D、E分别在BC、AC上，且∠BAD＝40°，AD＝AE，则∠EDC的度数为____________。

17. 如图10，已知：△ABC中，∠C＝90°，AB：BC＝5：3，D为AC上一点，且∠BDC ＝45°，AD＝3，AB的长为____________。

18. 生活中因为有美丽的图案，才显得丰富多彩，以下是来自现实生活中的三个图案（图1、2、3）。

（1）下面三个图中，轴对称图形有____________，中心对称图形有____________；（写序号）
（2）请在图4中画出是轴对称图形但不是中心对称图形的新图案；在图5中画出既是中心对称图形又是轴对称图形的新图案。

三. 解答题。

19. 如图11，已知：△ABC 中，∠B ＞∠C ，AD 为∠BAC 的平分线，AE ⊥BC 于E 。

求证：()∠∠∠DAE B C =
-1
2
20. 如图12，已知：A 、B 、C 、D 在同一直线上，AB ＝CD ，DE ＝AF ，且DE ∥AF 。

求证：FC ＝BE
21. 如图13，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，D 在AE 上。

（1）求证：AD ＝BE ；
（2）如果将△CDE 绕点C 沿顺时针方向旋转θ°，AD ＝BE 还成立吗？
22. 如图14，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是△ABC 外一点，且∠ABD ＝60°，∠ACD ＝60°。

求证：AB ＝BD ＋DC
23. 如果两个全等的三角板可以拼出各种不同的图形，下面各图已画出其中一个三角形，请你分别补画出另一个与其全等的三角形，使每个图形分别组成不同的轴对称图形（所画的三角形可与原三角形有重叠部分）。

又如何组成中心对称图形呢？
24. 如图15，已知：在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC BC 1
4。

求证：EF ⊥AF
25. 平行四边形ABCD 中，AC 和BD 交于O ，过O 作直线EF 交AD 于E ，交BC 于F ，且EF 平分∠AOD ，过O 作直线MN 交AB 于M ，交CD 于N ，且MN 平分∠AOB 。

求证：EMFN 是菱形。

26. 矩形ABCD 中，E 和F 为AD 上的点，且AE ＝EF ＝FD ＝AB ，AC 和BF 交于O ，连结OE 。

求证：EO⊥BF
27. 如图16，已知：正方形ABCD中，E是BC上一点，过点E作AE的垂线分别交CD、AB的延长线于点F、G。

求证：（1）BE＝BG＋FC；（2）AE＝GF
28. 如图17，已知：AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别为OC、OD 的中点。

求证：AFBE是平行四边形。

29. 如图18，已知：在梯形ABCD中，AB∥DC，中位线EF＝7，对角线AC⊥BD，∠BDC＝30°，AH⊥CD于H。

求梯形的高AH。

试题答案
一. 选择题。

1. D
2. B
3. A
4. C
5. B
6. D
7. C
8. C
9. C 10. A
提示：3. 连结BD；或延长BE交CD于G；或过E、F分别作AB的平行线。

4. （2）（4）正确
6. （2）（3）（6）
8. 过A作AF∥BD交CD的延长线于F，解Rt△AEF和Rt△AEC，或过B作BG⊥CD 于G。

9. 分两种情况。

二. 填空题。

11. 36° 12. 35° 13. 48<<c
14. （1）17或19；（2）10；（3）50°或65°；（4）° 15. 30° 16. 20° 17. 15 18. 1，2，3；1，3 三. 解答题。

19. 提示：由AE ⊥BC 得：∠AED ＝∠DAE ＋∠ADE 根据内外角关系定理，有：
∠B ＋∠BAE ＝∠1＋∠C ＋∠DAC 又∵AD 平分∠BAC
∴∠BAE ＋∠EAD ＝∠DAC
所以，有：∠B ＋∠BAE ＝∠EAD ＋∠C ＋∠BAE ＋∠EAD
()∴=
-∠∠∠EAD B C 1
2
20. 提示：证AB ＋BC ＝BC ＋CD ，即AC ＝BD 由DE ∥AF 可证∠A ＝∠D
可证△AFC ≌△EDB ，则FC ＝BE
21. 提示：（1）可证△ACD ≌△BCE （2）成立
22. 提示：利用截长补短法，构造等边三角形，延长BD 到E ，使BE ＝AB ，连结AE ，则△ABE 是等边三角形，可证AC ＝AB ＝AE ，则可证∠DCE ＝∠DEC ，∴DC ＝DE ，或延长CD 到N ，使＝AC ，连结AN ，BN ，下略。

23. 略
24. 提示：方法一：证∆∆ADF FCE ~；
方法二：利用勾股定理的逆定理，连结AE ，不妨设正方形的边长为4a ，则
AF a EF a AE a ===2555，，
则有AF EF AE 2
2
2
+=
方法三：延长EF 交AD 的延长线于H ，证∆∆EFC HFD ≅，∆∆AEF AHF ≅
方法四：过F 作AD 的平行线AE 交AE 于G ，由平行线等分线段定理的推论可证G 为AE 中点，且()GF AD EC a AG GE a =
+===125252
， 则△AFE 是直角三角形
25. 提示：由EF 平分∠AOD ，MN 平分∠AOB ，可证EF ⊥MN ，依题意证∆∆∆A ∆AEO CFO MO CNO ≅≅，，可证EF 、MN 互相平分。

26. 提示：由AF ∥BC 可证∆∆AOF COB ~，则OF OB AF BC ==2
3
设AB a =，又根据勾股定理得：BF a =
5
则OF a OB a =
=25535
5
， OF AF EF BF ==5555， ∴=
OF AF EF
BF
，又∠EFO ＝∠BFA 可证∆E ∆FO BFA ~
则∠EOF ＝∠BAD ＝90°
27. 提示：过B 作BH ∥GF ，交DC 于H ，可证∆∆ABE BCH ≅。

28. 提示：证∆∆OAC OBD ≅，得OC ＝OD ，则OE ＝OF 由OA ＝OB 可证四边形AFBE 是平行四边形。

29. 提示：过A 作AG ∥BD 交CD 的延长线于G ，则ABDG 为平行四边形
则CG EF CAG AC CG o
====
=214901
27，∠， 又∠CAH ＝30°，则AH AC o
=⋅=cos30732。