广东省广州市高二下学期教学质量调研数学试题(解析版)

高二下学期教学质量调研数学试题
一、单选题
1．已知，，且，则（ ） ()3,2,5a = ()4,1,b x =- a b ⊥
x =A ． B ．2
C ．
D ．
1
212
-2-【答案】D
【分析】根据向量垂直坐标表示求解即可
【详解】已知，，且, ()3,2,5a = ()4,1,b x =- a b ⊥
所以，即得. ()=34+2150a b x ⋅⨯⨯-+=
2x =-故选：D.
2．已知数列满足，，则（ ） {}n a 12a =1
1
2(2)n n a n a -=-≥4a =A ．
B ．
C ．
D ．
54
43
45
34
【答案】A
【分析】利用数列的递推式，直接代入求解即可. 【详解】因为， ()11
1
2,22n n a a n a -==-≥所以， 211132222
a a =-
=-=， 321242233a a =-=-=. 431352244
a a =-
=-=故选：A
3．设，方程所表示的曲线是（ ） 090α︒<<︒22cos 1x y α+=A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线
【答案】C
【分析】求出值的范围，把曲线化为标准形式，判断曲线的形状． cos α2
211cos y x α
+
=【详解】若，则，
090α︒<<︒0cos 1α<<
曲线,即， 22cos 1x y α
+=2
2
1
1cos y x α
+=， 1
1cos α
>
表示焦点在轴上的椭圆． 2
2
1
1cos y x α
∴+=y 故选：
C 4．在等比数列中，，，则公比（ ） {}n a 1316a a =2412a a +=q =A ．
B ．
C
D ．
【答案】D
【分析】设等比数列的公比为，利用通项公式化简条件，解方程求. {}n a q q 【详解】设等比数列的公比为， {}n a q 因为，，
1316a a =2412a a +=所以，
23
111116,12a a q a q a q ⋅=+=由可得，
()2
1112a q q +=10a q >
所以， 14a q
=q =当
q
1a =当时， q =1a =-故选：D.
二、多选题
5．已知O ，A ，B ，C 为空间的四个点，则（ ）
A ．若构成空间的一个基底，则O ，A ，
B ，
C 四点共面
,,OA OB OC
B ．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 {,,}OA OB OC
{,,}OA OB OA OB OC +- C ．若与共线，则存在一个向量与构成空间的一个基底
OA BC
,OA BC D ．若，则是M ，A ，B ，C 四点共面的充要条件
OM xOA yOB zOC =++
1x y z ++=【答案】BD
【分析】结合基底的定义依次判断各选项即可.
【详解】由构成空间的一个基底，可得O ，A ，B ，C 四点不共面，A 错误； ,,OA OB OC
假设不是空间的一个基底，则存在使得
{,,}OA OB OA OB OC +-
,m n ()()
OC OA O OA m B n OB +=+- ，
所以，与是空间的一个基底矛盾， ()()OC OA n OB m n m =++- {,,}OA OB OC
所以也是空间的一个基底，B 正确；
{,,}OA OB OA OB OC +-
因为与共线，对于任意非零向量，都满足共面，故不存在一个向量与构
OA BC a
,,OA BC a ,OA BC 成空间的一个基底，C 错误；
由，可得
OM xOA yOB zOC =++
1x y z ++=， ()x y z OM xOA yOB zOC ++=++
所以，
0xMA yMB zMC ++= 因为，所以至少有一个数不为0，
1x y z ++=,,x y z 不妨设，则，所以M ，A ，B ，C 四点共面，
0x ≠y z MA MB MC x x
=-- 若M ，A ，B ，C 四点共面，则存在唯一实数对使得，
,λμAM AB AC λμ=+
所以，
()()
OM OA OB OA OC OA λμ-=-+- 所以，又 ()1OM OA OB OC λμλμ=--++ OM xOA yOB zOC =++ 所以，故，D 正确； 1,,x y z λμλμ--===1x y z ++=故选：BD.
三、单选题
6．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知20km 小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，()10km 0a a >40km 不会有触礁危险，则a 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
∞⎫
+⎪⎪⎭
(1,)+∞
C ．
D ．
⎫+∞⎪⎪⎭
(2,)+∞【答案】C
【分析】根据题意得到，解得答案.
20d =
>
【详解】小岛到航线的距离为，解得.
20d =>a >故选：C
7．设椭圆与双曲线的离心率分别为，若椭圆的焦距
22122:1(0)x y C a b a b +=>>22
222:1x y C a b -=12,e e 1C 大于双曲线的虚轴长，则的取值范围是（ ） 2C 12e e
A ．
B ．
C ．
D ．
⎛ ⎝⎫
⎪⎪⎭
10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
1
,12
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
【答案】B
【分析】由题意先求出椭圆与双曲线的离心率，表示出1C 2C 12,e e 12e e =的焦距大于双曲线的虚轴长建立不等式，结合题意求出的范围，进而求出的取值范
1C 2C 2
b a ⎛⎫
⎪⎝⎭
12e e 围.
【详解】由椭圆知：，
22
122:1(0)x y C a b a b
+=>>22211c a b c =-⇒=
所以
11c e a =
又双曲线知：
22222:1x y C a b -=2
2222c a b c =+⇒=
所以，
22c e a ==
所以
12e e ===因为椭圆的焦距大于双曲线的虚轴长，
1C 2C 所以，
22222
11122c b c b c b a b b >⇒>⇒>⇒->所以，
44
22111000244b b b a a a ⎛⎫⎛⎫
<<⇒<<⇒-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以
，
43114b a ⎛⎫<-< ⎪⎝
⎭
1<<
121e e =<故选：B.
8．已知A ，B 两点的坐标分别为，，O 是坐标原点，直线AM ，BM 相交于点M ，且它()2,0-()2,0们的斜率之积是．斜率为l 的直线与点M 的轨迹交于P ，Q 两点，则的面积的最大值是
3
4
-
OPQ △（ ） A
． B C ．1 D 1
2【答案】D
【分析】先设点M 的坐标求出轨迹方程，再应用弦长公式求出PQ 的值，由面积公式应用基本不等式求出最大值即可
【详解】设因为满足与的斜率之积为，
(),M x y (),M x y MA MB 3
4
-所以有；
22
3(2),1(2)22443y y x y x x x x ⋅=-≠±+=≠±+-M 的轨迹为
22
1(2)43x y x +=≠±设直线，
:PQ y x m =+联立 22
143
x y y x m ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
可得
22784120x mx m ++-= 122
12870
4127m x x m x x ⎧
+=-⎪⎪⎪
∆>⎨⎪-⎪=
⎪⎩
点O 到直线的距离:PQ y x m =
+d
(
)
22
1277
2
2
OPQ S PQ d m m ==-+=≤
=
=:
四、多选题
9．已知圆与圆，则（ ） 224x y +=222440x y x y ++-+=A ．两圆圆心所在直线的斜率为
1
2
-B ．两圆的公共弦所在的直线的方程为 240x y -+=C ．两个圆关于直线对称 20x y -+=D ．直线是两圆的一条公切线 2x =-【答案】BD
【分析】由圆的方程求出两圆的圆心坐标和半径，由两点斜率公式求圆心连线的斜率判断A ，由两圆方程判断两圆相交，再由两圆方程相减可求公共弦，判断B ，根据圆心的位置关系和半径关系判断C ，根据直线与圆的位置关系判断D.
【详解】圆的圆心为，半径， 224x y +=()10,0C 12r =方程可化为， 222440x y x y ++-+=()()2
2
121x y ++-=所以圆的圆心为，半径为， 222440x y x y ++-+=()21,2C -21r =所以直线的斜率为，A 错误； 12C C 2-
因为， 1C 121212r r C C r r -<<+所以圆和圆相交，
1C 2C 两圆方程相减可得，
240x y -+=所以两圆的公共弦方程为，B 正确；
240x y -+=因为圆和圆的半径不相等，且直线的斜率为， 1C 2C 12C C 2-所以两个圆不于直线对称，C 错误； 20x y -+=因为到直线的距离为2， ()10,0C 2x =-所以直线与圆相切， 2x =-224x y +=因为到直线的距离为1， ()21,2C -2x =-所以直线与圆相切， 2x =-222440x y x y ++-+=故直线为两圆的公切线，D 正确.
2x =-
10．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） {}n a n n S 50S >60S <A ．数列是递减数列 B ．数列是等差数列
{}n a {}
10n a
C ．
D ．取得最大值时，
322n n n S S S +=n S 3n =【答案】AD
【分析】利用等差数列的求和公式和下标和性质可判断选项AD ；利用等比数列的定义可判断选项B ；利用等差数列前项和的基本量运算，可判断选项C ． n 【详解】设等差数列的公差为，，， {}n a d 50S > 60S <151650,6022
a a a a
++∴⨯>⨯<等价于，即，
15160,0a a a a +>+<3340,0a a a >+<由可得，，数列是递减数列，选项A 正确； 340,0a a ><10,0a d ><{}n a 且取得最大值时，，选项D 正确；
n S 3n =为常数，数列是等比数列，选项B 错误； 11101010110
n n n n a a a d a ++-==≠ ∴{}
10n a
，
()()21113133110434222
n n n n n n n n
na d na d na d S S ---+++=++=，即，选项C 错误；
()212122184224222n n n n n
na d na d S ⎡⎤--=+=+⎢⎥⎣⎦322n n n S S S ≠+故选：AD
11．设抛物线的顶点为O ，经过焦点F 且垂直于对称轴的直线交抛物线于A ，B 两22(0)y px p =>点，从抛物线上一点M 向x 轴作垂线，垂足为N ，线段FM 的中点为Q ，则（ ） A ．
2||||||MN AB ON =B ．以线段FM 为直径的圆与y 轴相切
C ．当点M 在抛物线上运动时，线段MN 的中点的轨迹方程为 2y px =
D ．当点M 在抛物线上运动时，直线OQ 与x 轴的夹角不超过 45︒【答案】ABD
【分析】设，计算判断A ，根据直线与圆的位置关系的定义判断B ，()00,M x y 2||||||,MN AB ON 利用代点法求线段MN 的中点的轨迹方程判断C ，求直线OQ 的斜率的绝对值，结合基本不等式求斜率范围，根据倾斜角和斜率关系判断D.
【详解】抛物线的焦点的坐标为，直线的方程为，
22y px =F ,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
AB 2
p
x =
联立可得， 222y px p
x ⎧=⎪⎨=
⎪⎩
y p =±所以，
,,,22p p A p B p ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，
2AB p =设点，则，，， ()00,M x y ()0,0N x 002,42p x y Q +⎛⎫
⎪⎝⎭
2
002y px =
所以，又，， 2
02MN px =2AB p =0ON x =所以，A 正确；
2||||||MN AB ON =因为点的坐标为， Q 002,42p x y +⎛⎫
⎪⎝
⎭所以点到轴的距离为，又，
Q y 024
p x +02p
MF x =+所以以线段FM 为直径的圆的圆心到y 轴的距离等于该圆的半径， 故以线段FM 为直径的圆与y 轴相切，B 正确；
设的中点为，则，又，
MN ()11,P x y 01012,y y x x ==2
002y px =所以， 2
1
12
px y =
所以线段MN 的中点的轨迹方程为，C 错误； 2
2
px
y =
因为
，当且仅当时等号成立， 0002
00
224
1222OQ y y y k y p x y p p
=
⋅=≤=+
+0y p =±所以直线OQ 与x 轴的夹角不超过，D 正确. 45︒故选：ABD.
12．如图，在棱长为的正方体中，分别是棱上的动点，且a 1111OABC O A B C -,E F ,AB BC AE BF =．则（ ）
A ．
11A F C E ⊥B ．三棱锥的体积最大值为
1B BEF -3
18
a
C ．若是的中点，则点到直线E AB 1A EF
D ．若是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 F BC 1A F 1B EF 49
【答案】ACD
【分析】以为原点，建立空间坐标系，设，写出各点坐标，由于
B ()0AE BF m m a ==≤≤，则，选项A 正确；由三棱锥的体积公式结合二次函数的性质，可得三棱锥
110A F C E = :11A F C E ⊥的体积最大值，判断出选项B ；在中，利用等面积计算，可得点到直线的距1B BEF -1A EF :1A EF 离，判断出选项C ；利用坐标求出平面的法向量，由直线与平面所成角的坐标公式计算，可1B EF 判断出选项D ．
【详解】以为原点，建立空间坐标系如图所示，
B 设，则，，，
()0AE BF m m a ==≤≤()10,,A a a ()1,0,C a a (),0,0F m ()0,,0E a m -，，则，即，选()1,,A F m a a =-- ()1,,C E a a m a =--- ()2110A F C E am a a m a =---+=
:11A F C E ⊥项A 正确；
则三棱锥的体积
1B BEF -()()12
11113326
B BEF BEF a V S BB m a m a m am -=⨯⨯=⨯⨯-⨯=-+:当时，三棱锥的体积取到最大值，选项B 错误； 2a
m =
3124
a 若是的中点，则，，，
E AB ()10,,A a a ()1,0,C a a ,0,02a
F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,,02a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
设点到直线的距离为，在中，，，1A EF h 1A EF :1A E =132A F a =
=
，则
，所以EF =
=2
2
2
11111cos 2A E A F EF EA F A E A F +-∠=
==:
1sin EA F ∠=
则，即，
111111sin
22A EF S A
F A E EA F EF h =⨯⨯⨯∠=⨯⨯
:32a h =⨯解得，选项C 正确； h =
若是的中点，则，，，，，
F BC ()10,,A a a ()10,0,B a ()1,0,C a a ,0,02a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,,02a E ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
10,,2a B E a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 1,0,2a B F a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
设平面的法向量为，则，即，令，则，解得
1B EF (),,n x y z = 11·0
·0
n B E n B F ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 102102
y z x z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1z =2x y ==，又，则直线与平面所成角的正弦值为
()2,2,1n =r 1,,2a A F a
a ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
1A F 1B EF ，选项D 正确；
4
sin 9θ==
故选：ACD
五、填空题
13．若等比数列的前n 项和，则________．
{}n a 3n
n S c =-c =【答案】1
【分析】由求出，结合等比数列求得值．
n S n a c 【详解】由题意时，，
2n ≥11
13(3)23n n n n n n a S S c c ---=-=---=⋅当时，，
1n =113a S c ==-
又是等比数列，所以，解得． {}n a 32126
18336
a a a c a ====-1c =故答案为：1．
14．已知抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，且截双曲线所得的弦长为6，则双
2
1:8C y x =2C 2C 曲线的渐近线方程是________．
2C 【答案】
y =【分析】由抛物线的方程求出准线方程，且经过双曲线的焦点，可以设双曲线标准方程，根据抛物线准线与双曲线截得的弦长为6，建立方程求出的值即可求出渐近线方程.
,a b 【详解】由抛物线的焦点为：，准线为：，
2
1:8C y x =()2,02x =-因为经过双曲线的一个焦点，故双曲线的焦点为，
2x =-2C ()2,0-设双曲线的标准方程为，所以，
()22
222:10,0x y C a b a b -=>>2c =又抛物线的准线截双曲线所得的弦长为6，
2C 则将代入，以及得：
2x c =-=-22
221x y a b
-=222+=a b c ，即
2
b y a =±2222633b b b a a a
=⇒=⇒=结合得：，解得：或（舍去）， 2224a b c +==2340a a +-=1a
=4a =-所以，
b 所以双曲线的渐近线方程为：. 2C b
y x
a
=±=故答案为：.
y =
六、双空题
15．如图，在四面体OABC 中，，，，用向量表示
12BM BC = 12MN NO = 34
AP AN = ,,OA OB OC
，则________．若，且 平面ABC ，则实数________． OP
OP =
OQ OB λ= PQ //λ=
【答案】
##0.75 111444
OA OB OC ++ 34【分析】运用空间向量的线性运算法则，将 用基底 表示出来，延长OP 与AM 交OP
,,OA OB OC 于D ，当 时， 平面ABC .
//PQ BD //PQ 【详解】
由条件可知：
()
33134444
OP OA AP OA AN OA ON OA OA ON =+=+=+-=+ ； ()
132111111443422444
OA OM OA OB OC OA OB OC =+⨯=+⨯+=++
延长 与AM 交于D ，连接BD ，则当 时， 平面ABC ， OP //PQ BD PQ ⊄Q 平面ABC ， 平面ABC ；
BD ⊂//PQ ∴令 ，则有 ，
,OD OP AD mAM μ== 1111444AD OD OA OP OA OA OB OC μμμμ⎛⎫=-=-=-++ ⎪⎝⎭
，
()()
11112222
AD mAM m AB AC m OB OA OC OA mOA mOB mOC ==+=-+-=-++ 根据向量基底表示法的唯一性，有： ，解得 ，
114
1124m m μμ
⎧
-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩24,33m μ== ，
//,,
OQ OP PQ BD OPQ OBD OB OD
∴= ::34=. 3
4
λ∴=
故答案为：，
111444
OA OB OC ++
34
七、填空题
16．在平面直角坐标系中，过点向直线l ：（λ为任意实()2,1P --()(130)124x y λλλ+++--=数）作垂线，垂足为H ，若为定值，则定点D 的坐标为________．
DH 【答案】##
1,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
()0.5,0-【分析】先求直线所过定点坐标，再由条件求点的轨迹，由此确定定点D 的坐标. l H 【详解】方程可化为，
()(130)124x y λλλ+++--=()()0234x y x y λ+-+-=+由，可得， 20
340x y x y +-=⎧⎨+-=⎩11x y =⎧⎨=⎩所以直线l 过定点， ()1,1Q 设，因为，
(),H x y PH QH ⊥所以为直角三角形，为直角，
PHQ :PHQ ∠设的中点为，则，
PQ M 1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭
=所以点的轨迹方程为，
H 2
211324x y ⎛
⎫++= ⎪⎝
⎭因为为定值，
DH 所以点与点重合，即定点D 的坐标为，
D 1,02M ⎛⎫
- ⎪⎝⎭1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：.
1,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
八、解答题
17．已知数列为等差数列，，，数列满足，
{}n a 13a =2418a a +={}n b 3n
n n b a n =(1)求证：数列为等比数列； {}n b (2)求数列的前n 项的和． {}n n a b +n T 【答案】(1)证明见解析； (2). ()221
33932
n n T n n +=+-+
【分析】（1）设数列的公差为，根据等差数列通项公式化简条件求，由此可求数列的{}n a d d {}n a 通项公式，再由等比数列定义证明数列为等比数列； {}n b （2）利用组合求和法求数列的前n 项的和. {}n n a b +n T 【详解】（1）设数列的公差为， {}n a d 因为，， 13a =2418a a +=所以，
11318a d a d +++=所以，所以，
3d =()3313n a n n =+-=所以，
1333n
n n b n n
+==所以， 2
11333n n n n b b +++==所以数列为等比数列；
{}n b （2）由(1) ，
1
33n n n a b n ++=+所以，
112233n n n T a b a b a b a b =++++++⋅⋅⋅++， 234133639333n n T n +=++++++⋅⋅⋅++，
234136933333n n T n +=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+，
()()913332
13
n n n n
T -+=
+
- ()221
33932
n n T n n +=
+-+
18．已知圆，AB 为过点且倾斜角为α的弦． 229x y +=P (1)当时，求弦AB 的长；
120α=︒(2)若弦AB 被点P 平分，求直线AB 的方程． 【答案】(1)弦AB 的长为3；
(2). 270x -=
【分析】（1）本小题先根据倾斜角求直线斜率，再求直线方程，求圆心到直线的距离，结合弦AB 长公式求弦AB 的长；；
（2）本小题借圆的弦的几何意义先求直线的斜率，再根据点斜式求直线方程.
【详解】（1）当时，直线AB 的斜率为 120α= tan tan120k α===
因为直线AB 过点，
P
所以直线AB 的方程为：， (2)y x =-0y +-=圆的圆心为，半径， 229x y +=()0,0O 3r =
圆心的距离
()0,0O 0y +-=d
所以， 3AB ===所以弦AB 的长为3；
（2）因为，， P ()0,0O
所以 ， OP k =
=
因为弦AB 被点平分，所以 ， P 1AB OP k k ⋅=-
所以 AB k =
所以直线AB 的方程：， (2)y x =-
所以直线AB 的方程：
270x -=19．如图在平行六面体中，，.
1111ABCD A B C D -11AB AD AA ===1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=
(1)求证：直线平面； 1A C ⊥11BDD B (2)求直线和夹角的余弦值. 1AC 1BC 【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）设，，，则为空间的一个基底，根据空间向量的线性运→
→
=AB a AD b →→
=1AA c →→
={}
,,a b c →→→
算得出，，，再根据向量的数量积运算得出，，从而得出
1A C →
BD →
1BB →10A C BD →→⋅=110A C BB →→
⋅=，进而根据线面垂直的判定定理，即可证明直线平面； 111,A C BD A C BB ⊥⊥1A C ⊥11BDD B （2）根据空间向量的线性运算得出，再根据向量的数量积运算求得和
1BC b c →→→=+111A C BC →→
⋅=
，
，即可求出直线
1A C →
=1BC →
=111111
cos ,A C BC A C BC A C BC →→
→→
→
→
⋅=
⋅和夹角的余弦值.
1AC 1BC 【详解】（1）证明：设，，，
→
→
=AB a AD b →→
=1AA c →→
=则为空间的一个基底，且，，，
{}
,,a b c →→→1A C a b c →→→→=+-BD b a →→→
=-1BB c →→
=因为，，
11AB AD AA ===1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=
所以，，
2
2
2
1a b c →→→===1
2
a b b c c a →→
→→
→→
⋅=⋅=⋅=∴，，
10A C BD a b c b a →
→
→→→→→⎛⎫⎛⎫
⋅=+-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭110A C BB a b c c →→
→→→→⎛⎫⋅=+-⋅= ⎪⎝⎭∴，又， 111,A C BD A C BB ⊥⊥1BD BB B ⋂=∴平面.
1A C ⊥11BDD B （2）解：由（1）得，
1BC b c →
→
→
=+
∴，
22
111AC BC a b c b c a b a c b b c b c c →→
→→→→→→→→→→→→→→→
⎛⎫⎛⎫⋅=+-+=⋅+⋅++⋅-⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，
2
2
2
2
2
12222a b c a b c a A C b a c b c →→→→→→
→→→→→→
→
⎛⎫=+-=+++⋅-⋅-⋅= ⎪⎝⎭∴
，则，∴
1A C →=221
2
2
23b B c c b c C b →→
→→
→
→→
⎛⎫
=+=++⋅= ⎪⎝⎭
1BC →=设与的夹角为，则
1A C →1BC →
θ1111
cos A C BC A C BC θ→→
→
→
⋅=
=
=
⋅∴直线和1AC 1BC 20．已知等比数列的前n 项和为，且． {}n a n S ()*
12N n n a S n +=+∈(1)求数列的通项公式；
{}n a (2)在与之间插入n 个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若n a 1n a +2n +n d ，求证：． 12111
n n
T d d d =
+++ 13n T ≤<【答案】(1) 2n n a =(2)证明见解析
【分析】（1）利用及等比数列的定义即可得出；
()12n n n a S S n -=-≥（2）利用等差数列的通项公式求出；再由“错位相减法”和等比数列的前n 项和公式证明结论. n d 【详解】（1）时，由，得，两式相减可得：， 2n ≥12n n a S +=+12n n a S -=+1n n n a a a +-=∴，
12n n a a +=∵时，， 1n =212a S =+∴，
21122a a a =+=∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，则.
{}n a 1222n n
n a -=⨯=（2）由（1）可知，，
2n n a =1
12n n a ++=∵，
()121n n n a a n d +=++-∴，故. 122211
n n n
n d n n +-==
++112n n n d +=
令， 121231*********
n n n n T d d d d +=
++++=+++L L 则， 2311231
22222
n n n n n T ++=++++ ∴，
12311111111111133
421112222222212
n n n n n n n n n T -+++⎛⎫
- ⎪+++⎝⎭=++++-=+-=-- ∴，即. 3
332n n
n T +=-<12311113n
d d d d ++++<L 又因为,所以
11
02n n n d +=>11n T T =≥
13n T ∴≤<21
．如图，把边长为ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，F 是BC 的中点，O
是原正方形ABCD 的中心，动点E 在线段AD （包含端点A ，D ）上．
(1)若E 为AD 的中点，求直线AB 到平面EOF 的距离；
(2)在线段AD 上是否存在点E ，使得平面EOF 与平面ABC 的夹角的余弦值为，若存在，求出
1
3
的值；若不存在，请说明理由． DE
EA
【答案】(2)存在，的值为. DE
EA 12
【分析】(1)利用空间向量的坐标运算求点到平面的距离； (2)利用空间向量的坐标运算表示面面夹角的余弦值即可求解.
【详解】（1）
连接，
,,OB OD EF
因为所以
,DA DC =,OD AC ⊥又因为平面平面，平面平面，
ADC ⊥ABC ADC ABC AC =平面,所以平面， OD ⊂ADC OD ⊥ABC 平面，所以，
,OA OB ⊂ABC ,OD OA OD OB ⊥⊥又因为，. BA BC =OB AC ⊥所以建立如图所示空间直角坐标系，
所以,
(2,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(0,2,0),(1,0,1),(1,1,0)A D C B E F --, (2,0,0),(1,0,1),(1,1,0)OA OE OF ===-
设平面的法向量为，
EOF (,,)m x y z =
则有令则，
0,
0,OE m x z OF m x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩
1,x =(1,1,1)m =- 所以点到平面的距离为
A EOF OA m d m ⋅=== 又因为平面，平面， ,A
B OF AB ⊄∥EOF
OF ⊂EOF 所以平面，所以直线AB 到平面EOF //AB EOF （2）设存在点,且,，
E ,01DE DA λλ=≤≤()2,0,2DA =-
因为,
(2,0,22)OE OD DA λλλ=+=-
设平面的法向量为， EOF 1111(,,)m x y z =
则有 111112(22)0,0,OE m x z OF m x y λλ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令则，
1x λ=-(1,1,)m λλλ=--
又因为平面ABC ，所以平面ABC 的一个法向量为为，
OD ⊥(0,0,2)OD
=
所以， 1111
cos ,3m OD m OD m OD ⋅<>===
即解得或（舍），
23210λλ+-=1
3
λ=1λ=-所以存在，且
. 1
2
DE EA =
22．已知双曲线与直线．
2
2
:12
y C x -=:(l y kx m k =+≠
(1)若直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，点是线段AB 的中点，求直线的方程； l ()1,2P l (2)若直线l 与双曲线有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、y 轴于，
(),0D D x 两点．当点M 运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
()0,E E y (),D E P x y 【答案】(1)直线的方程为.
l 10x y -+=(2)点的轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上，实轴长为6，虚轴长为
P 2229x y -=()0y ≠x 线挖去点. ()()3,0,3,0-
【分析】(1)设，利用点差法求直线的斜率，由此确定直线方程，并检验所得直()()1122,,,A x y B x y l 线与双曲线相交.
(2)由直线与双曲线的位置关系确定的关系，求直线的方程，确定点的坐标，由此确定,k m DE ,D E 点的轨迹方程，并判断曲线形状. (),D E P x y 【详解】（1）设，
()()1122,,,A x y B x y 则， 2
2
112
22
212
12
y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩所以，
()()()()1212121202
y y y y x x x x +-+--
=因为点是线段AB 的中点， ()1,2P 所以
， 1212
1,222
x x y y ++==所以，
()()1212220x x y y ---=故，所以直线的斜率为1，
12
12
1y y
x x -=-AB 所以，又点在直线上， 1k =()1,2P AB 所以直线的方程为，
AB 10x y -+=联立，化简可得， 2
212
10y x x y ⎧-
=⎪⎨⎪-+=⎩2230x x --=所以或，满足条件；
34x y =⎧⎨=⎩10
x y =-⎧⎨=⎩所以直线的方程为.
l 10x y -+=
第 21 页 共 21 页（2）当时，直线与双曲线有两个交点，不满足要求， 0k =y m =2212
y x -=由已知有且仅有一组解， 2
212y x y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩
所以方程有且只有一个根，又
()2222220k x kmx m ----=k ≠所以，
()()222244220k m k m ∆=----=所以，
222k m -=设，则，， ()33,M x y 322km x k =-32
22m y k =-因为，所以直线的方程为， 0k ≠DE 222122m km y x k k k ⎛⎫-
=-- ⎪--⎝⎭令，可得， 0x =232E m y k =
-令，可得， 0y =2
32D km x k =-又，，，
222k m -=k ≠0m ≠0y ≠所以，， D E
x k y =22329D E E m x y y =-⇒-=所以轨迹方程为，
22
29x y -=()0y ≠
所以点轨迹为焦点在轴上，实轴长为6，虚轴长为.
P x ()()3,0,3,0-
【点睛】弦的中点问题可以利用点差法解决，但需注意检验所得直线是否与曲线相交.。