数学归纳法(理)

第 六 章 不 等 式、 推 理 与 证 明
第 七 节 数 学 归 纳 法 (理)
抓 基 础
明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练
提 能 力
[备考方向要明了]
考 什 么 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些
简单的数学命题.
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怎 么 考 1.用数学归纳法证明与正整数有关的不等式以及与数列
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[冲关锦囊]
用数学归纳法证明恒等式应注意 (1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立． (2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变 形目标． (3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项； ③配方法.
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[精析考题] [例2] 1 (2011· 苏北四市联考)已知数列{an}满足：a1＝－2，
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1n (2)由(1)得bn＝(4) an－2 1 n 1＋2·n 4 由bn＝ ＝(4) 得an＝ n 得 an＋1 4 －1 1＋2·n 4 3·n 4 an＋1＝ n ＋1＝ n . 4 －1 4 －1 ∴ 3 1 ＝1－4n. an＋1
1 1 1 ∴C1· 2· Cn＝(1－4)· 42)· (1－4n)． C „· (1－ „· 下面用数学归纳法证明不等式：
[精析考题]
[例3] (2012· 北京海淀模拟)数列{an}满足Sn＝2n－
an(n∈N*)．
(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
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[自主解答]
(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1.
3 当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝2. 7 当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝4. 15 当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝ 8 . 2n－1 由此猜想an＝ n－1 (n∈N*)． 2
成立；假设当n＝k时等式成立， 即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k· 3· „· 1· 5· (2k－1)，
那么当n＝k＋1时，
左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)· (k＋1＋k＋1) „· ＝(k＋2)(k＋3)· (k＋k)(2k＋1)(2k＋2) „· ＝2k· 3· „· 1· 5· (2k－1)(2k＋1)· k＋1· 3· „· 2＝2 1· 5· (2k－1)(2k＋1)， 这就是说当n＝k＋1时等式也成立．
解析：第一步检验的第一个值n0应为3. 答案： 3
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数学归纳法的应用
(1)数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证 明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不
可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第
二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n＝k＋1 时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的
综上可知原等式对于任意正整数n都成立．
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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．用数学归纳法证明： 1 1 1 1 n ＋ ＋ ＋„＋ ＝ (n∈N*)． 2×4 4×6 6×8 2n2n＋2 4n＋1
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1 1 证明：(1)当n＝1时，等式左边＝ ＝ ， 2×1×2×1＋2 8 等式右边＝ 1 1 ＝8. 41＋1
n＝k＋1 时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所 有正整数n都成立．
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1 1 1 1．(教材习题改编)已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－2＋3－4＋„ 1 1 1 1 －n＝2( ＋ ＋„＋2n)时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时 n＋2 n＋4 命题为真，则还需要用归纳假设再证 A．n＝k＋1时等式成立 C．n＝2k＋2时等式成立 B．n＝k＋2时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立 ( )
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(2)证明：①当n＝1时，a1＝1，结论成立． ②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立， 2k－1 即ak＝ k－1 .那么n＝k＋1时， 2 ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1， ∴2ak＋1＝2＋ak.
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2k－1 2＋ kห้องสมุดไป่ตู้1 2 2＋ak 2k＋1－1 ∴ak＋1＝ 2 ＝ ＝ 2k . 2 这表明n＝k＋1时，结论成立． 2n－1 由①②知猜想an＝ n－1 (n∈N*)成立． 2
答案： D
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1 1 1 1 3．已知f(n)＝n＋ ＋ ＋„＋n2，则 n＋1 n＋2 1 1 A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝2＋3 1 1 1 B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝2＋3＋4 1 1 C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝2＋3 1 1 1 D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝2＋3＋4
关键是“一凑假设，二凑结论”．
(2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k到k＋1 时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误． 返回
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[精析考题] [例1] 求证：(n＋1)(n＋2)· (n＋n)＝2n· 3· „· „· 1· 5· (2n－ 1)(n∈N*)．
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[自主解答]
当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式
1 1 >－a2k－ ，即a2k>a2k＋1. a2k－1＋2 a2k＋2
同上法可得a2k＋2>a2k＋1，∴当n＝k＋1时结论成立． 由①②知对一切n∈N*均有a2n>a2n－1成立．
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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
3an＋2 2．(2011· 湖北八市联考)已知数列{an}满足：a1＝3，an＋1＝ ，n an＋2 an－2 ∈N ，记bn＝ . an＋1
则n＝k＋1时，左边应为： 1 1 1 1 1 1 1＋2＋3＋„＋ k ＋ k＋ ＋„＋ k＋1 2 －1 2 2k＋1 2 －1 则增加的项数为2k＋1－1－2k＋1＝2k.
答案：2k
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1 5．(教材习题改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为2n(n－3) 条时，第一步检验第一个值n0＝________.
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[冲关锦囊] 1．用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式，一般有 三种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证 明；二是比较两个式子的大小，先利用n的几个特殊
值猜想大小再给出证明；三是已知不等式成立，寻求
变量的取值范围． 2．在证明由n＝k到n＝k＋1成立时，一定要用归纳假设 n＝k时得到的中间过渡式，由过渡式到目标式的证 明可以用放缩法、基本不等式、分析法等. 返回
(
)
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1 1 1 解析：由f(n)可知，共有n2－n＋1项，且n＝2时，f(2)＝2＋3＋4.
答案： D
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1 1 1 4．用数学归纳法证明：“1＋2＋3＋„＋ n <n(n>1)”，由n＝k(k>1) 2 －1 不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项数是________． 1 1 1 解析：当n＝k时，不等式为1＋2＋3＋„＋ k <k. 2 －1
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1 ∵1<ak＋2<2，又y＝t＋ t 在(1,2)内为增函数， ∴ak＋2＋ 1 5 1 ∈(2，2)，∴ak＋1∈(－2，0)， ak＋2
则－1<ak＋1<0. ∴当n＝k＋1时结论成立． 由①②知，对一切n∈N*均有－1<an<0.
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1 1 (2)①当n＝1时，a2＝－6>a1＝－2成立； ②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时结论成立，即a2k>a2k－1， ∴1<a2k－1＋2<a2k＋2<2， ∴a2k－1＋2＋ ∴－a2k－1－ 1 1 <a2k＋2＋ ， a2k－1＋2 a2k＋2
*
(1)求证：数列{bn}是等比数列； 3 2 (2)记Cn＝ ，求证：C1· 2· Cn>3. C „· an＋1
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解：(1)证明：由an＋1＝
3an＋2 得， an＋2
3an＋2 an－2 an＋1－2＝ －2＝ ，① an＋2 an＋2 3an＋2 4an＋1 an＋1＋1＝ ＋1＝ ，② an＋2 an＋2 an＋1－2 1 an－2 a1－2 1 1 ∴ ＝ · ，即bn＋1＝4bn.且b1＝ ＝ . an＋1＋1 4 an＋1 a1＋1 4 1 1 ∴数列{bn}是首项为4，公比为4的等比数列．
解析： ∵n为偶数故假设n＝k成立后，再证n＝k＋2 时等式成立． 答案： B 返回
2．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋„＋2n＋2＝2n＋3－ 1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为 A．1 C．1＋2＋22 B．1＋2 D．1＋2＋22＋23 ( )
解析：由n＝1时，左＝1＋2＋22＋23.
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[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)
an 3．(2012· 舟山三校联考)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足：Sn＝ 2 ＋ 1 －1，且 an＞0，n∈N*. an (1)求 a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式； (2)证明通项公式的正确性．
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解：(1)当n＝1时， a1 1 由已知得a1＝ 2 ＋a －1，a2＋2a1－2＝0. 1
1
∴a1＝ 3－1或a1＝－ 3－1(舍去)． a2 1 当n＝2时，由已知得a1＋a2＝ 2 ＋a －1， 2 将a1＝ 3－1代入并整理得a2＋2 3a2－2＝0. 2 ∴a2＝ 5－ 3或a2＝－ 5－ 3(舍去)．同理可得a3＝ 7－ 5. 由a1，a2，a3，猜想an＝ 2n＋1－ 2n－1(n∈N*)．
a2 ＋(an＋1＋2)an＋2an＋1＋1＝0.求证： n (1)－1<an<0； (2)a2n>a2n－1对一切n∈N*都成立．
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[自主解答]
已知条件可化为(an＋1＋an)(an＋2)＋1＝0， 1 . an＋2
即an＋1＝－an－
(1)①当n＝1时结论成立； ②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时结论成立，即－1<ak<0， 1 那么当n＝k＋1时，ak＋1＝－(ak＋2)－ ＋2. ak＋2
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若x1，x2，…，xn为正数，则(1－x1)· (1－x2)·…·(1－xn)>1
－(x1＋x2＋„＋xn)(n≥2，n∈N)．(*) ①当n＝2时，∵x1>0，x2>0，∴(1－x1)(1－x2)＝1－(x1＋ x2)＋x1x2>1－(x1＋x2)． ②假设当n＝k(k≥2)时，不等式成立，即若x1，x2，„， xk为正数， 则(1－x1)(1－x2)„(1－xk)>1－(x1＋x2＋„＋xk)，
等式左边＝等式右边，所以等式成立． (2)假设n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有 1 1 1 1 k ＋ ＋ ＋„＋ ＝ ， 2×4 4×6 6×8 2k2k＋2 4k＋1
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则当n＝k＋1时，
1 1 1 1 ＋ ＋ ＋„＋ 2×4 4×6 6×8 2k2k＋2
1 k 1 ＋ ＝ ＋ 2k＋1[2k＋1＋2] 4k＋1 4k＋1k＋2 kk＋2＋1 k＋12 k＋1 k＋1 ＝ ＝ ＝ ＝ 4k＋1k＋2 4k＋1k＋2 4k＋2 4k＋1＋1 所以当n＝k＋1时．等式也成立． 由(1)(2)可知，对于一切n∈N*，等式都成立．
有关的命题是高考命题的热点．
2.题型为解答题，着重考查数学归纳法的应用及学生的 逻辑推理能力，难度中、高档.
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数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤：
* 1．(归纳奠基)证明当n取 第一个值n0(n0∈N ) 时命题成立；
2．(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当
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那么(1－x1)(1－x2)„(1－xk)(1－xk＋1)>[1－(x1＋x2＋…＋xk)](1 －xk＋1)＝1－(x1＋x2＋„＋xk＋xk＋1)＋xk＋1(x1＋x2＋„＋xk)>[1－ (x1＋x2＋…＋xk＋xk＋1)]，所以当n＝k＋1时，不等式成立．根 1 1 1 1 据不等式(*)得：C1· 2· 3· Cn＝(1－ )· C C „· (1－ 2)· (1－ n)>1－( „· 4 4 4 4 1 1 2 ＋ 2＋„＋ n)>1－ ＝ . 4 4 1 3 1－ 4 2 ∴C1· 2· 3· Cn> . C C „· 3 1 4