浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考试题 数学

绝密★考试结束前
浙南名校联盟第一学期第一次联考
高三年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题纸。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|x2≤1}，B＝{x|lgx≤1}，则A∩B＝
A.[0，1]
B.(0，1]
C.(0，1)
D.[－1，10]
2.己知双曲线C：
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>的离心率为2，且其右焦点为F2
，0)，则双曲线C的方
程为
A.
22
1
39
x y
-= B.
22
1
93
x y
-= C.
22
1
412
x y
-= D.
22
1
124
x y
-=
3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A.4
B.
3 C.
8
3
D.
4
3
4.已知实数x，y满足
1
20
1
x y
x y
y
+≥
⎧
⎪
--≤
⎨
⎪≤
⎩
，则
y
x
的最小值为
A.－3
B.3
C.
1
3
- D.
1
3
5.设x ，y ∈R ，则“0<xy<1”是“1
x y
<
”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.函数3
ln ()x
f x x =
的部分图像是
7.设0<x<
1
2
，随机变量ξ的分布列如下：
则当x 在(0，
1
2
)内增大时 A.E(ξ)减小，D(ξ)减小； B.E(ξ)增大，D(ξ)增大； C.E(ξ)增大，D(ξ)减小； D.E(ξ)减小，D(ξ)增大。

8.设点M 是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AD 的中点，AA 1＝AD ＝4，AB ＝5，点P 在面BCC 1B 1上，若平面D 1PM 分别与平面ABCD 和平面BCC 1B 1所成的锐二面角相等，则P 点的轨迹为
A.椭圆的一部分
B.抛物线的一部分
C.一条线段
D.一段圆弧
9.己知正三角形ABC 的边长为2，D 是边BC 的中点，动点P 满足1PD ≤，且AP xAB y AC =+，其中x ＋y ≥1，则2x ＋y 的最大值为 A.1 B.
32 C.2 D.52
10.己知数列{a n }满足*1111
2()n n n n
a a n N a a +++
=+∈，则
A.当0<a n <1*()n N ∈时，则a n ＋1>a n
B.当a n >1*
()n N ∈时，则a n ＋1<a n C.当11
2
a =
时，则111n n a a +++>当a 1＝2
时，则111n n a a +++<二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11.瑞士数学家欧拉于1777年在《微分公式》一书中，第一次用i 来表示－1的平方根，首创了用i 作虚数的单位。

若复数51i
Z i
-=
+(i 为虚数单位)，则复数Z 的虚部为 ，|Z|＝ 12.已知(x ＋a)3
(x ＋1)2
展开式中所有项的系数之和为－4，则a ＝ ，x 2
项的系数为 。

13.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，己知b ＝1，c ＝2且2cosA(bcosC ＋ccosB)＝a ，则A ＝ ；若M 为边BC 的中点，则|AM|＝ 。

14.3名男学生、3名女学生和2位老师站成一排拍照合影，要求2位老师必须站正中间，队伍左右两端不能同时是一男学生与一女学生，则总共有 种排法。

15.已知点P 在圆x 2
＋y 2
－6y ＋8＝0上，点Q 在椭圆22
21(1)x y a a
+=>上，且|PQ|的最大值等于5，，则椭
圆的离心率的最大值等于 ，当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为F ，则|PQ|＋|QF|的最大值等于 。

16.已知非零向量,,a b c ，满足2
3
2,3,22
a a
b b
c a c =⋅==⋅-，则对任意实数t ，c tb -的最小值为 。

17.设函数32()6f x x x ax b =-++，若对任意的实数a 和b ，总存在x 0∈a[0，3]，使得f(x 0)≥m ，则实数m 的最大值为 。

三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.(本题满分14分)函数
f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ
<2
π
)的图像过点(12，且相邻的最高点。

(I)求函数f(x)的解析式；
(II)求f(x)在[0，2]上的单调递增区间。

19.(本题满分15分)如图，四棱锥P －ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD//BC ，∠DAB ＝2
π
，AP ＝AB ＝BC ＝12AD ，
E 为AD 的中点，AC 与BE 相交于点O 。

(I)求证：PO ⊥平面ABCD ；
(II)求直线AB 与平面PBD 所成角的正弦值。

20.(本题满分15分)已知等比数列{a n }的公比q>1，且a 1＋a 3＋a 5＝42，a 3＋9是a 1，a 5的等差中项。

数列
{b n }
的通项公式*n
n b n N =∈。

(I)求数列{a n }的通项公式；
(II)证明：b 1＋b 2＋…＋b n
*n N ∈。

21.(本题满分15分)己知点A(x 0，y 0)在抛物线y 2
＝4x 上，P ，Q 是直线y ＝x ＋2上的两个不同的点，且线段AP ，AQ 的中点都在抛物线上。

(I)求y 0的取值范围；
(II)若△APQ
的面积等于y 0的值。

22.(本题满分15分)设()ln x a
f x b x e
=
-，其中,a b R ∈，函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为12
(1)1y x e e
=-+++。

其中 2.7182e ≈
(I)求证：函数f(x)有且仅有一个零点； (II)当x ∈(0，＋∞)时，()k
f x ex
<恒成立，求最小的整数k 的值。

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高三年级数学学科参考答案
一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11.3-；13 12.2-；10 13.
3
π
； 27 14.576 15.2 ；5+16.4
1
17. 2
三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.（I ）函数()f x 的周期=T ωπ∴，
……3分
把坐标1
(2
代入得2sin()cos 2
2
π
ϕϕ+=∴=
又2
0π
ϕ<
<，4
π
ϕ=
∴， ……6分
()2sin()4
f x x π
π∴=+ ……7分
（II ）令22,2
4
2
k x k k Z π
π
π
πππ-≤+
≤+
∈ ……10分
解得 31
22,44k x k k Z
-
≤≤+∈
……12分 ]2,0[∈x
∴()f x 在[]0,2上的单调递增区间是]41,0[和]2,4
5[ ……14分
19.
（I ）
由已知⊥AP 平面PCD ，可得AP ⊥ PC ，AP ⊥ CD ， 由题意得，ABCD 为直角梯形，如图所示，
DE BC =//
,所以BCDE 为平行四边形，所以BE //CD,所以AP ⊥ BE.
又因为BE ⊥ AC ，且AC ∩AP=A,所以BE ⊥ 面APC, 故BE ⊥PO.………………………………4分 在直角梯形中，
AP ， 因为AP ⊥ 面PCD ，所以AP ⊥ PC ，
所以PAC ∆为等腰直角三角形，O 为斜边AC 上的中点，所以PO ⊥AC. 且AC ∩BE=O, 所以PO ⊥ 平面ABCD …………………………………………………………………7分
（II ）法一：以O 为原点，分别以OB ，OC ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴的建立直角坐标系. 不妨设BO=1
A(0,-1,0) , B(1,0,0), P (0,0,1), D(-2,1,0),…………9分 设(,,)n x y z =是平面PBD 的法向量.
满足00
n PB n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,所以030x z x y -+=⎧⎨-+=⎩ ，则令1x = ，解得(1,3,1)n =…………12分
222
sin cos ,11
AB n AB n AB n
θ⋅==
=
⋅ …………………………………………15分 法二：（等体积法求A 到平面
PBD 的距离）
A PBD P ABD
V V --= …………
9分
设AB=1 ，计算可得 4
PBD
S
=
………11分
PO S h S ABD PBD ⨯⨯=⨯⨯∆∆3
1
3
1， 解得h =…………（13分）
sin h AB θ==…………（15分）
20.（I ）由93+a 是1a ，5a 的等差中项得
182351+=+a a a ，……2分
所以421833531=+=++a a a a ， 解得 83=a ，……4分 由3451=+a a ，得
348822=+q q ，解得42=q 或4
12
=
q ， 因为1>q ，所以 2=q .……6分
所以， n
n a 2=. ……7分
第19题
（II ）法1：由（I ）可得1
21221-+-=
+n n n
n b ，*N n ∈.
)
12
12)(12
12()
1212(21
2
1221
1
11
----+----=
-+-=
++++n n n n
n n n n n
n
n b
12122
)1212(21212)1212(21111---=----=+-----=++++n n n
n n n n n n n n ,……11分 ∴1212)1212()1212(1231221---++---+---=++++n n n b b b
1211211-<--=++n n .……15分
法2：
由（I ）可得1
21221-+-=
+n n n
n b ，*N n ∈.
我们用数学归纳法证明.微信公众号：浙考神墙750 （1）当1=n 时，3133
12
1<-=+=
b ，不等式成立；……9分
（2）假设k n =（*N k ∈）时不等式成立，即
12121-<++++k k b b b .
那么，当1+=k n 时，
1
2
12
212
2
1
1
1
121-+-+
-<+++++++++k k k k k k b b b b
)
12
12
)(12
12
()
1212(212
2
1
2
1
2111
----+----+
-=++++++++k k k k k k k k
122
)1212(212
21
2111
-=----+-=++++++k k k k k k ，……14分 即当1+=k n 时不等式也成立. 根据（1）和（2），不等式12121-<++++n n b b b ，对任意*N n ∈.成立.……15分
21.（I ）设(,2),(,2)P a a Q b b ++，∵20
0(,)4
y A y ，
则AP 的中点20042
(,)82
y a y a M +++，……2分 代入2
4y x =
得：22
00
0(42)440a y a y y ---++=……4分 同理可得：22
00
0(42)440b y b y y ---++= 所以，,a b 是方程22
00
0(42)440x y x y y ---++=的两个根……6分 ∴222
00
000(42)4(44)8320y y y y y ∆=---++=-> 解得：04y >或00y <……8分
（II ）点A 到PQ
的距离2
2
0|2|y y d -+==……10分
由韦达定理可知：042a b y +=-，2
0044ab y y =-++
则|||PQ a b =-==12分
∴2
11||22APQ
S PQ d ∆==⋅=13分
t =，则有：38240t t +-=，
即：2
(2)(212)0t t t -++=，解得2t =，
即2
00440y y --=
，解得：02y =±15分
22.（I ）
'()x
a b f x e x =-
-，所以'
1(1)(1)a f b e e
=--=-+ ……2分 当1x =时，1y e =，即1
(1)a f e e ==，解得1a b == ……4分
'11
()0x f x e x =--<，函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调减 ……5分
由于1(1)0f e => 1
()10e f e e =-< 则函数()f x 有且仅有一个零点．……7分
（利用趋势或者极限思想说明也可给7分，仅说明单调性给5分）
（II ）一方面，当1=x 时，1(1)k
f e e
=<，由此2k ≥； ……8分 当2k =时，下证：2
()f x ex
<
，在(0,)x ∈+∞时恒成立，
2122()ln ln x x x f x x x x ex e ex e e
<
⇔-<⇔-< ……10分 记函数()x x g x e =，'1()x x
g x e -=，()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,+)∞上单调递减
1
()(1)g x g e
≤=； ……12分
记函数()ln h x x x =，'
()1ln h x x =+，()h x 在)1,0(e 上单调减，在1(,+)e
∞上单调减
11()()h x h e e ≥=-，即1
()h x e
-≤-； ……14分
112
ln ()(())x x x x g x h x e e e e
-=+-≤+=，成立
又因为g(x)和h(x)不能同时在同一处取到最大值， 所以当(0,)x ∈+∞时，ex
x f 2
)(<
恒成立 所以最小整数2k =． ……15分 （此题用其他方法证明也可酌情给分）。