人教版八年级上册1与三角形有关的角课件
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上的同位角为∠4，结合已知条件可推出
∠1 = ∠4 = 40°，∠2 = ∠5 = 75° ， 即 可
得出∠3的度数= 180° − 40° − 75° = 65°，
故选C.
D.70°
知识梳理
例题2：如图11-2-23所示，在 △ 中，∠ = 90°，是
△ 边上的高，∠1 = 30°，求∠2，∠、∠的度数.
∠ = 180° − ∠ − ∠
= 180° − 75° − 20° = 85°
知识梳理
例 2：如图11-2-13，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的
北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C
两 岛的 视 角 ∠ 是多 少度 ？ 从C 岛 看 A ， B 两 岛的 视 角
因为∠ = 90°，∠1 = 30°，
所以∠2 = ∠ − ∠1 = 90° − 30° = 60°，
因为是 △ 边上的高，
所以∠ = 90° − ∠2 = 90° − 60° = 30°，
∠ = 90° − ∠1 = 90° − 30° = 60°.
知识梳理
例题3：如图11-2-24， ⫽ ，∠和∠ 的平分线相交于H点，
所以∠ + ∠ + ∠ = 2（∠1 + ∠2 + ∠3）.
由∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，
得∠ + ∠ + ∠ = 2 × 180° = 360°.
吗？
知识梳理
例1：如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的
第十一单元 三角形
11.2与三角形有关的角(2)
教材第14~18页
教学新知
知识点1：三角形外角定理：三角形的一边与另一边的延长线
组成的角，叫做三角形的外角.
把△ 的一边延长，得到∠1.像这样，三
角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫
做三角形的外角.
【结论】外角应具备的条件：①角的顶点
是三角形的顶点；②角的一边是三角形的
在△ 中，∠ = 180° − ∠ − ∠
= 180° − 60° − 30° = 90°
你还能想出其他解法
吗？
知识梳理
知识点2：直角三角形的两个锐角互余
在直角三角形中，∵∠ = 90°，
由内角和定理得：∠ + ∠ + ∠ = 180°
即∠ + ∠ + 90° = 180°
∠呢？
知识梳理
例 2：接上页
∠ = ∠ − ∠ = 80° − 50° = 30°.
由//，得∠ + ∠ = 180°
所以
∠ = 180° − ∠ = 180° − 80° = 100°
∠ = ∠ − ∠ = 100° − 40° = 60°
知识梳理
知识点一：三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
例 1：如图11-2-12，在 △ 中，∠ = 40°，∠ = 75° ，
是 △ 的角平分线. 求∠的度数.
由∠ = 40°，是△ 的角平分线，得
∠ =
1
∠
2
= 20°
在△ 中，
第十一单元 三角形
11.2 与三角形有关的角
教学新知
探 索 ： 在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就
得到一个平角.从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？
下面的拼合中，有不同的方法.你用了下图中的哪种方法？
知识梳理
证明：已知△ ，求证∠ + ∠ + ∠ = 180°。
那么△ 是直角三角形吗？为什么？
△ 是直角三角形，理由如下：
因为//，所以∠ + ∠ = 180°.
又因为，平分∠，∠，
1
2
1
2
所以∠ = ∠，∠ = ∠，
所以∠ + ∠ =
1
（∠
2
所以△ 是直角三角形.
所以∠ + ∠ = 90°
【结论】直角三角形的两个锐角互余。直角三角形可
以用符号“Rt△”表示，直角形ABC可以写成Rt△ABC。
知识梳理
例3：如图，∠ = ∠ = 90°，，相交于点。∠与
∠有什么关系？为什么？
在 △ 中，
∠ = 90° − ∠
在 △ 中，
∠ = 90° − ∠
∵ ∠ = ∠，
∴ ∠ = ∠
知识梳理
例题1：如图11-2-17，直线1 ⫽ 2，∠1 = 40°，∠2 = 75°，则∠3
等于（ C ）.
A.55°
B.60°
C.65 °
【解析】设∠2的对顶角为∠5，∠1在2，
以推出下面的推论：三角形的外角等于与
它不相邻的两个内角的和.
知识梳理
例1：如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的
和是多少？
你还能想出其他解法
由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠ = ∠2 + ∠3，∠ = ∠1 + ∠3，∠ = ∠1 + ∠2.
一边；③另一边是三角形中一边的延长线.
教学新知
思考：如图，△ 中，∠ = 70°，∠ = 60°. ∠ 是△ 的
一个外角.能由∠，∠求出∠吗？如果能，∠与∠，
∠有什么关系？任意一个三角形的一个外角与它不相邻的
两个内角是否都有这种关系？
【结论】一般地，由三角形内角和定理可
1
2
+ ∠） = × 180° = 90°，
知识要点
1. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
三角形内角和定理的证明思路：借助平行线的性质将三角
形的三个内角“转移”集中到一个顶点处，合并成一个角，
再说明这个角是平角即可证明三角形的内角和为180°.
2. 直角三角形的两个锐角互余.
由第二种拼合方法，
证明：如图，过点 = ∠4（两直线平行，内错角相等）.
同理∠3 = ∠5.
∵∠1，∠4，∠5组成平角，
∴∠1 + ∠4 + ∠5 = 180°（平角定义）.
∴∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°（等量代换）.
你还能想出这个定理
的其他证法吗？
∠1 = ∠4 = 40°，∠2 = ∠5 = 75° ， 即 可
得出∠3的度数= 180° − 40° − 75° = 65°，
故选C.
D.70°
知识梳理
例题2：如图11-2-23所示，在 △ 中，∠ = 90°，是
△ 边上的高，∠1 = 30°，求∠2，∠、∠的度数.
∠ = 180° − ∠ − ∠
= 180° − 75° − 20° = 85°
知识梳理
例 2：如图11-2-13，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的
北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C
两 岛的 视 角 ∠ 是多 少度 ？ 从C 岛 看 A ， B 两 岛的 视 角
因为∠ = 90°，∠1 = 30°，
所以∠2 = ∠ − ∠1 = 90° − 30° = 60°，
因为是 △ 边上的高，
所以∠ = 90° − ∠2 = 90° − 60° = 30°，
∠ = 90° − ∠1 = 90° − 30° = 60°.
知识梳理
例题3：如图11-2-24， ⫽ ，∠和∠ 的平分线相交于H点，
所以∠ + ∠ + ∠ = 2（∠1 + ∠2 + ∠3）.
由∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，
得∠ + ∠ + ∠ = 2 × 180° = 360°.
吗？
知识梳理
例1：如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的
第十一单元 三角形
11.2与三角形有关的角(2)
教材第14~18页
教学新知
知识点1：三角形外角定理：三角形的一边与另一边的延长线
组成的角，叫做三角形的外角.
把△ 的一边延长，得到∠1.像这样，三
角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫
做三角形的外角.
【结论】外角应具备的条件：①角的顶点
是三角形的顶点；②角的一边是三角形的
在△ 中，∠ = 180° − ∠ − ∠
= 180° − 60° − 30° = 90°
你还能想出其他解法
吗？
知识梳理
知识点2：直角三角形的两个锐角互余
在直角三角形中，∵∠ = 90°，
由内角和定理得：∠ + ∠ + ∠ = 180°
即∠ + ∠ + 90° = 180°
∠呢？
知识梳理
例 2：接上页
∠ = ∠ − ∠ = 80° − 50° = 30°.
由//，得∠ + ∠ = 180°
所以
∠ = 180° − ∠ = 180° − 80° = 100°
∠ = ∠ − ∠ = 100° − 40° = 60°
知识梳理
知识点一：三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
例 1：如图11-2-12，在 △ 中，∠ = 40°，∠ = 75° ，
是 △ 的角平分线. 求∠的度数.
由∠ = 40°，是△ 的角平分线，得
∠ =
1
∠
2
= 20°
在△ 中，
第十一单元 三角形
11.2 与三角形有关的角
教学新知
探 索 ： 在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就
得到一个平角.从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？
下面的拼合中，有不同的方法.你用了下图中的哪种方法？
知识梳理
证明：已知△ ，求证∠ + ∠ + ∠ = 180°。
那么△ 是直角三角形吗？为什么？
△ 是直角三角形，理由如下：
因为//，所以∠ + ∠ = 180°.
又因为，平分∠，∠，
1
2
1
2
所以∠ = ∠，∠ = ∠，
所以∠ + ∠ =
1
（∠
2
所以△ 是直角三角形.
所以∠ + ∠ = 90°
【结论】直角三角形的两个锐角互余。直角三角形可
以用符号“Rt△”表示，直角形ABC可以写成Rt△ABC。
知识梳理
例3：如图，∠ = ∠ = 90°，，相交于点。∠与
∠有什么关系？为什么？
在 △ 中，
∠ = 90° − ∠
在 △ 中，
∠ = 90° − ∠
∵ ∠ = ∠，
∴ ∠ = ∠
知识梳理
例题1：如图11-2-17，直线1 ⫽ 2，∠1 = 40°，∠2 = 75°，则∠3
等于（ C ）.
A.55°
B.60°
C.65 °
【解析】设∠2的对顶角为∠5，∠1在2，
以推出下面的推论：三角形的外角等于与
它不相邻的两个内角的和.
知识梳理
例1：如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的
和是多少？
你还能想出其他解法
由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠ = ∠2 + ∠3，∠ = ∠1 + ∠3，∠ = ∠1 + ∠2.
一边；③另一边是三角形中一边的延长线.
教学新知
思考：如图，△ 中，∠ = 70°，∠ = 60°. ∠ 是△ 的
一个外角.能由∠，∠求出∠吗？如果能，∠与∠，
∠有什么关系？任意一个三角形的一个外角与它不相邻的
两个内角是否都有这种关系？
【结论】一般地，由三角形内角和定理可
1
2
+ ∠） = × 180° = 90°，
知识要点
1. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
三角形内角和定理的证明思路：借助平行线的性质将三角
形的三个内角“转移”集中到一个顶点处，合并成一个角，
再说明这个角是平角即可证明三角形的内角和为180°.
2. 直角三角形的两个锐角互余.
由第二种拼合方法，
证明：如图，过点 = ∠4（两直线平行，内错角相等）.
同理∠3 = ∠5.
∵∠1，∠4，∠5组成平角，
∴∠1 + ∠4 + ∠5 = 180°（平角定义）.
∴∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°（等量代换）.
你还能想出这个定理
的其他证法吗？