十七(9)综合问题百战奇略-2(教师)

模块：
十七、数学思想专题
课题： 综合问题百战奇略-2
教学目标： 使用出色的解题谋略，使问题由繁难转向简单。

重难点： 如何合理运用数学思想。

一、 知识要点
合理运用数学思想使解答的过程变得简洁、准确、有力。

二、 例题精讲
例1、 己知数列{}n c ，其中23n n n c =+，且数列{}1n n c pc +-为等比数列，求常数p ； 答案：23p p ==或时，数列{}1n n c pc +-为等比数列。

例2、 设点A 、F 分别是双曲线22931x y -=的左顶点和右焦点，点P 是双曲线左支上
的动点。

（1）若PAF ∆是直角三角形，求P 点的坐标；
（2）是否存在常数λ，使得PFA PAF λ∠=∠对任意的点P 恒成立？证明你的结论。

答案：（1）5,12P ⎛± ⎝⎭
；（2）2PFA PAF ∠=∠
例3、 是否存在实数a ，使抛物线2
1y ax =-上总有关于直线1
2
y x =
对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求a 的取值范围。

答案：32
a >
例4、 求证；4
2
2
4
2sin 3sin cos 5cos 5x x x x ++≤ 答案：略
例5、 证明：椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的两条相互垂直的切线的交点P 的轨迹经过双曲
线()22
2210x y a b a b
-=>>的焦点。

答案：略
例6、 设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的对角线1BD
上，记11D P
D B
λ=，当APC ∠为钝角时，求λ的取值范围
答案：1
13
λ<<
例7、 设,a b 为正实数，且1a b +=。

（1）求证：1144
ab ab +
≥；
（2）探索、猜想：将结果填在括号内：()22
221a b a b +
≥；()33
33
1a b a b +≥
答案：（1）略；（2）2222111616a b a b +≥；33
33116464
a b a b +≥
三、 课堂练习
1、从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为______________. 答案：
3554
2、函数1()cos(arcsin )([1,])2
f x x x =∈-的值域为_________. 答案：[]0,1
3、已知等比数列{}n a 的公比不为1，其前n 项和为n S ，若向量()12,i a a = ，()13,j a a =
，
(1,1)k =- 满足()40i j k -⋅= ，则51
S
a = .
答案： 121
4、已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=
，且
PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅
，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的( )
A 、重心 外心 垂心
B 、重心 外心 内心
C 、外心 重心 垂心
D 、 外心 重心 内心 答案：C 5
、已知方程sin 262
x π⎛⎫
+=
⎪⎝⎭，()2|21,33k M x x k k Z πππ⎧⎫==+-⋅-∈⎨⎬⎩⎭， (){}.,14|,34|Z k k x x Z k k x x N ∈+=⋃⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧
∈+
==ππ
π那么（ ） A 、M 和N 都是方程的解集
B 、M 是方程的解集，N 不是方程的解集
C 、M 不是方程的解集，N 是方程的解集
D 、M 和N 都不是方程的解集 答案：A
6、设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n c a b =+，证明：数列{}n c 不是等比数列。

答案：略
四、课后作业 一、填空题
1、方程x x =sin 的实数解的个数为 ． 答案：1
2、直线cos20sin 2030x y +-= 的倾斜角是______________. 答案： 110
3、在直角坐标系xOy 中，已知点()0,1A 和点()3,4B -，若点C 在AOB ∠的平分线上，且
2||=OC ，则=OC ____________.
答案： )5
10
3,510(-
4、直线l 沿y 轴负方向平移()0a a ≠个单位，再沿x 轴正方向平移1a +个单位，若此时所得直线与直线l 重合，则直线l 的斜率是__________. 答案： 1
a a -
+ 5某日某市交警队在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过两个小时共查出酒后驾车者60名，如图所示是对这60名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图，则其中酒
精浓度在70/100m g m l （含70）以上人数约为___________人. 答案：9人
6、已知钝角ABC ∆的最长边为1，其余两边的长为a 、b ，则集合(){}
,,P x y x a y b ===所表示的平面图形面积等于__________. 答案：
2
4
π-
二、选择题
7、已知两组数据12,,,n x x x 与12,,,n y y y ，它们的平均数分别是x 和y
，则新的一组数
(单位:mg/100ml)
0.0250.0200.0150.0100.005
据1122231,231,,231n n x y x y x y -+-+-+ 的平均数是（ ）
A 、23x y -
B 、49x y -
C 、231x y -+
D 、491x y -+ 答案： C
8
、直线3y x =与圆心为D
的圆,
1x y θθ
⎧=⎪⎨=+⎪⎩())0,2θπ⎡∈⎣交与A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为（ ）
A 、 76π
B 、 54π
C 、 43π
D 、53
π 答案：C
9、集合{}21,n
A z z i i i n N ==++++∈ ，{}
1212,,B z z z z A ωω==⋅∈其中（1z 可
以等于2z ），从集合B 中任意取一元素，则该元素的模为1的概率是（ ） A 、
17 B 、27 C 、37 D 、4
7
答案：C
三、解答题
10、证明：()22
2210x y a b a b -=>>的两条相互垂直的切线的交点P 的轨迹经过椭圆
()22
2210x y a b a b
-=>>的焦点。

答案：略
11、己知以1a 为首项的数列{}n a 满足13,,3n n n n n a a c a a a d
+<+⎧⎪
=⎨⎪≥⎩
（1）当11a =，1c =，3d =时，求数列{}n a 的通项公式； （2）当101a <<，1c =，3d =时，试用表示数列前100项的和。

答案：（1）()
1,32,2,*31,3,3,
n n k a k N n k n k =-⎧⎪
=∈=-⎨⎪=⎩
（2）100131111119823S a ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
12、在平面直角坐标系xOy 中，平行于x
轴且过点()
2A 的入射光线1l
被直线
:3
l y x =
反射，反射光线2l 交y 轴于点B 。

圆C 过点A 且与1l ，2l 相切。

（1）求2l 所在直线的方程和圆C 的方程；
（2）求P 、Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求PB PQ +的最小值及此时点P 的坐标。

答案：（1
）240l y --=，圆C
的方程(()2
2
19x y -++=；
（2
）12P ⎫⎪⎪⎝⎭
，min 3PB PQ +=。