双星系统轨道角动量的约化表示及应用

双星系统轨道角动量的约化表示及应用
刘伟民;李媛;司梦
【摘要】对天体物理学中双星轨道角动量表达式进行约化处理,推导结果表明,约化表达式更加有利于理解双星系统之间的参量联系.并对该约化表达式的应用范围展开了讨论.
【期刊名称】《商丘师范学院学报》
【年(卷),期】2013(029)003
【总页数】4页(P33-36)
【关键词】双星系统;轨道角动量;约化表示;质量转移
【作者】刘伟民;李媛;司梦
【作者单位】华北电力大学,北京102206
【正文语种】中文
【中图分类】O411
轨道角动量在天体物理中有着重要的应用，对于双星系统，轨道角动量的变化可能会对系统的轨道间距(一般用a表示)、轨道周期、双星间的吸积过程以及系统质量分布产生重要影响.因此，尽可能的简化轨道角动量的表达式，会有利于加深认识相关概念之间的联系.下面，我们从一些参量的基本定义入手，尝试对轨道角动量的表达式进行约化处理.
1 参量定义
双星系统存在的主要依据，是两个天体(比如恒星)在双方的引力作用下，作相互绕动的圆周运动(理论上，取双星系统轨道偏心率e=0)，不难理解，系统的绕动中心应是双星的质量中心，即质心.如下图所示，为了讨论问题的方便，把质心定义在
坐标系原点O.天体1和天体2的质量分别用M1和M2表示，其各自的绕动半径用r1和r2表示，显然有a=r1+r2.定义系统的相互绕动角速度用ω表示.因为引
力作用的特点，很显然，对于双星系统中每一个独立的天体，其转动角速度也为ω.两天体的轨道角动量分别用J1和J2表示，用J表示系统总的轨道角动量.
2 推导过程
根据力学知识［1］，双星系统的轨道角动量表达式应为
显然，上式即为轨道角动量表达式，如果不加详细的分析，对于这样一个表达式，我们不可能给出更为直观的参量联系.下边接着推导，首先根据质心的定义，有如
下关系式:r1M1=r2M2，代入上式，并分别在分子分母中乘上(M1+M2)，则有
图1 双星系统轨道参量示意图
注意，在双星系统中，两天体除了受到相互作用的引力之外，暂不考虑其他天体对其形成的引力作用(相对双星间的引力而言很小，因此忽略掉)，于是引入约化质量，而上式即变换为
3 讨论
对比(1)式和(3)式，不难发现，(3)式更为简洁也更加有利于理解双星系统间参量之间的联系.
3.1 无质量交换系统
对于此类系统的某一瞬间研究状态，意味着双星间没有质量交换(或者质量交换还
没开始)，根据约化质量表达式，很显然，μ值是一个常量，这就意味着，对于一
个还没有进行质量交换的双星系统，系统的轨道角动量在研究的瞬间状态下，为一个定值，当然，此时系统的轨道间距和相互绕动角速度也都是定值.因此，对于系
统的轨道角动量，换种方式，可以理解为把其中的任何一个天体固定下来，另外一个天体以半径为a、绕动角速度为ω围绕着固定天体进行圆周运动时的角动量，
两个天体中的任何一个作为固定天体都具有相同的等价效应.
下面举例验证，根据上图，假设天体1和天体2的质量分别设为3m和2m，根据质心定理，两天体距离质心的距离分别设为2r和3r，轨道角速度设为ω，则天体1的轨道角动量为J1=12r2mω，天体2的轨道角动量为J2=18r2mω.利用上边
推导出来的简化表达式(3)，首先约化质量，系统轨道间距a=5r，则
J=25r2×1.2mω =30r2mω
显然，把约化质量引入表达式，更为简单和更易计算.
3.2 质量守恒交换系统
所谓质量守恒交换系统，就是双星的系统间有质量交换，且没有质量损失，也即一个天体损失的质量完全转移到另外一个天体(天体物理学中称为吸积过程).并且假定，双星质量交换期间，其总的轨道角动量守恒.在这样的前提下，问题的关键是质量
转移前后，系统的轨道间距以及轨道周期的变化情况.为了考虑问题的方便性，采
用例证的方法来推导其变化规律.根据天体物理学理论［2］，天体的质量转移方向与两个天体质量大小没有必然关系，质量转移并非一定是从小质量天体转移到大质量天体，而是由其演化特征来确定.首先来考虑当物质由大质量天体转移到小质量
天体时的情形.仍然采用图1当中的示意，设两个天体的现有质量分别为m1=8M
和m2=2M，根据质心定理，设其轨道半径分别为r1=2r和r2=8r，经过一段时
间的演化之后，天体2通过吸积过程从天体1得到2m的物质，则此时两天体质
量分别为6m和4m，其轨道半径分别设为2nr和3nr，n是一个比例系数.由以上
条件，利用开普勒第三运动定律
对该双星系统，质量转移前后，有以下表达式:
其中，P1和P2分别为质量转移前后双星系统的轨道周期(period).再利用上述的(3)式，质量变化前后，系统的轨道角动量守恒，则有
简单化简即为
联利(5)式和(7)式，推出，由此推出质量转移后系统的轨道间距为，表明上述系统在质量转移后，尽管系统的总质量以及轨道角动量不发生变化，但是其轨道间距变小，轨道周期变短.有兴趣的读者不妨取其他的随机值带入计算，最终都能得出轨道间距和轨道周期变短的结论.因此我们说，等质量交换系统，当大质量天体往小质量天体转移物质后，系统的轨道间距a和轨道周期P都会减小.反之，大质量天体吸积小质量天体转移过来的物质后，系统的轨道间距a和轨道周期P都会增大.
3.3 质量不守恒交换系统
质量不守恒系统，即系统间进行质量转移的时候，一个天体损失的质量并没有完全被另外一个天体捕获，而是有一部分进入星际空间.显然，这种情形下想要简单的得出结论难度很大.但是其中一个关键点是，损失质量天体(假定为天体2)尽管有一部分质量没有转移到吸积天体(假定为天体1)中，双星系统所损失掉的物质会带走天体2的比轨道角动量.一些学者的研究发现［3］，两天体质量转移过程中损失的质量有可能没有离开双星系统，而是形成一个环绕双星的盘状结构.作者近期的研究也对不守恒双星系统中轨道角动量的变化情况进行了阐述［4］，包含了磁滞动原理，角动量损失螺旋桨效应等复杂过程.Rappaport等研究发现，如果设质量传
输过程中损失掉的物质质量百分比为δ，天体2的质量损失率为M2，两天体的质量比定义为q=M2/M1，则双星系统轨道周期的变化可以由下式描述［5，6］
其中 6P表示系统轨道周期的变化率.对于该关系式，首先要注意，因为天体2是
在损失质量，所以M2自身是一个负值.一般来说，δ是一个较小的数值(＜0.05)，为了验证问题的方便性，这里我们取δ=0.01.如果q＞1，不难验证(可随机取值)，(8)式的右方小于零，也即＜0，表明当物质从大质量天体转移到小质量天体时，系统的轨道周期趋于减小.利用(4)式，因为系统的总质量已经减小，所以轨道间距也
趋于减小.同样，如果q＜1，能够推出＞0，表明大质量天体吸积小质量天体的物
质时，系统的轨道周期会增大，但是对于轨道间距，因为具体的变化情况可能会由于不同参数的选取而略有不同，所以无法简单推断其变化趋势.
4 结论
通过引入双体问题中的约化质量，对天体物理中双星之间的轨道角动量进行了约化处理尝试，并得到了相对简洁表达式.本文主要结论如下:
(1)本文考虑的双星系统指的是在万有引力作用下作相互绕动的双星系统，而且从
理论上讲，轨道系统的偏心率e=0也即双星作圆周运动.
(2)对于无质量交换双星系统，其总的轨道角动量表达式可简写为J=μa2ω.其中μ
是双星系统的约化质量，a是系统两天体对应轨道间距，ω是天体的自转角速度. (3)对于质量守恒交换系统，系统的总质量为一定值，当大质量天体往小质量天体
转移物质后，系统的轨道间距a和轨道周期P都会减小.反之，系统的轨道间距a
和轨道周期P都会增大.
(4)对于质量不守恒交换系统，其变化趋势与质量守恒系统相似，但具体变化过程
会存在差别.
参考文献:
［1］漆安慎，杜婵英.力学［M］.北京:高等教育出版社，1997.
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