2020版高考数学理科人教B版一轮复习课时规范练15导数

课时规范练15 导数与函数的小综合
基础巩固组
1.函数f (x )=(x-3)e x 的单调递增区间是( ) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞)
2.(2017山东烟台一模)已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示,则下列结论成立的是( )
>0,b>0,c>0,d<0 >0,b>0,c<0,d<0 <0,b<0,c>0,d>0 >0,b>0,c>0,d>0
3.若f (x )=-1
(x-2)2+b ln x 在(1,+∞)上是减函数,则b 的取值范围是( )
A.[-1,+∞)
B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1]
D.(-∞,-1) 4.(2018湖南郴州一模)若b>a>3,f (x )=lnx
x
,则下列各结论中正确的是( )
(a )<f (√ab )<f (a+b
)
(√ab )<f (a+b
2)<f (b ) (√ab )<f (a+b
2)<f (a )
(b )<f (a+b
2)<f (√ab )
5.(2018衡水中学九模,8)已知函数f (x )=2x-ln |x|,则f (x )的大致图象为( )
6.函数
f (x )=1
2
x 2-ln x 的最小值为( )
A.1
2 D.不存在
7.已知函数f (x )=x (ln x-ax )有两个极值点,则实数a 的取值范围是( )
A .(-∞,0)
B .(0,1
2
)
C .(0,1)
D .(0,+∞)
8.(2018衡水中学月考,21改编)已知函数f (x )=ln x-2x 2+3,则函数f (x )的单调增区间为 . 9.设函数f'(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数,f (-1)=0,当x>0时,xf'(x )-f (x )<0,则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是 .
10.(2018河北衡水中学仿真,21改编)已知函数f (x )=e x -(1+a )x-b (a ,b ∈R ),其中e 为自然对数的底数.讨论函数f (x )的单调性及极值.
综合提升组
11.若函数f (x )=x+b
x
(b ∈R )的导函数在区间(1,2)上有零点,则f (x )在下列区间上单调递增的是( )
A.(-2,0)
B.(0,1)
C.(1,+∞)
D.(-∞,-2) 12.(2018河北衡水中学九模,15)设函数f (x )=x 2+1x ,g (x )=x e x ,对任意x 1,x 2∈(0,+∞),不等式g (x 1)
k
≤
f (x 2)
k+1
恒成立,则正数k 的取值范围是 .
创新应用组
13.(2018陕西咸阳二模,12)已知定义在R 上的函数f (x )的导函数为f'(x ),且f (x )+f'(x )>1,设a=f (2)-1,b=e[f (3)-1],则a ,b 的大小关系为( ) <b >b =b D.无法确定
14.(2018湖南长郡中学三模,12)若函数f (x )在区间A 上,对∀a ,b ,c ∈A ,f (a ),f (b ),f (c )为一个三角形的三边长,则称函数f (x )为“三角形函数”.已知函数f (x )=x ln x+m 在区间[1
e 2,e]上是“三角形函数”,则实数m 的取值范围为( )
A.(1,
e 2+2
) B.(2
,+∞) C.(1
e ,+∞)
D.(e 2+2
e ,+∞)
课时规范练15 导数与函数的小综合
函数f (x )=(x-3)e x 的导数为f'(x )=[(x-3)e x ]'=e x +(x-3)e x =(x-2)e x .由导数与函数单调性的关系,得当
f'(x )>0时,函数f (x )单调递增,此时由不等式f'(x )=(x-2)·e x >0,解得x>2. 由题图可知f (0)=d>0,排除选项A,B;∵f'(x )=3ax 2+2bx+c ,
且由题图知(-∞,x 1),(x 2,+∞)是函数的递减区间,可知a<0,排除D .故选C .
由题意可知f'(x )=-(x-2)+b
x ≤0在x ∈(1,+∞)上恒成立,
即b ≤x (x-2)在x ∈(1,+∞)上恒成立.由于φ(x )=x (x-2)=x 2-2x 在(1,+∞)上的值域是(-1,+∞),故只要
b ≤-1即可.
∵f (x )=lnx
x ,∴f'(x )=
1-lnx
x 2
. 令f'(x )=0,解得x=e .
当x ≥e 时,f'(x )<0,为减函数;当0<x<e 时,f'(x )>0,为增函数.
∵b>a>3>e,∴ab>b>a+b
2
>√ab >a>e,
∴f (a )>f (√ab )>f (
a+b
2
)>f (b )>f (ab ).故选D . 当
x<0时,f (x )=2x-ln(-x ),f'(x )=2-1-x ·(-1)=2-1
x
>0,
∴f (x )在(-∞,0)单调递增,则B 、D 错误;当x>0时,f (x )=2x-ln x ,
f'(x )=2-1
x =
2x -1x ,则f (x )在(0,12)单调递减,在(1
2
,+∞)单调递增,故选A . f'(x )=x-1x =x 2-1
x ,且x>0.令f'(x )>0,得x>1;令f'(x )<0,得0<x<1.∴f (x )在x=1处取得极小值也是最小
值,且f (1)=12-ln 1=1
2
.
∵f (x )=x (ln x-ax ),∴f'(x )=ln x-2ax+1,由题意可知f'(x )在(0,+∞)内有两个不同的零点,令f'(x )=0,
得2a=lnx+1
x ,设g (x )=lnx+1
x ,则g'(x )=-lnx
x 2,
∴g (x )在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减.
∵当x →0时,g (x )→-∞,当x →+∞时,g (x )→0,而g (x )max =g (1)=1,
∴只需0<2a<1,即0<a<1
2.
8.(0,1
2) 依题意,f'(x )=1
x -4x=
1-4x 2x
=
(1+2x )(1-2x )
x
,x ∈(0,+∞). 令f'(x )>0,即1-2x>0,解得0<x<1
2.
故函数f (x )的单调递增区间为(0,1
2).
9.(-∞,-1)∪(0,1) 当x>0时,令F (x )=f (x )
x ,
则F'(x )=xf '(x )-f (x )
x 2<0,
∴当x>0时,F (x )=f (x )
x 为减函数.
∵f (x )为奇函数,且由f (-1)=0,得f (1)=0,故F (1)=0.
在区间(0,1)内,F (x )>0;
在(1,+∞)内,F (x )<0,即当0<x<1时,f (x )>0; 当x>1时,f (x )<0.
又f (x )为奇函数,∴当x ∈(-∞,-1)时,f (x )>0; 当x ∈(-1,0)时,f (x )<0.
综上可知,f (x )>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1). 10.解 由题意,得f'(x )=e x -(1+a ).
当1+a ≤0,即a ≤-1时,f'(x )>0,f (x )在R 内单调递增,没有极值. 当1+a>0,即a>-1时,令f'(x )=0,得x=ln(a+1), 当x<ln(a+1)时,f'(x )<0,f (x )单调递减; 当x>ln(a+1)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,
故当x=ln(a+1)时,f (x )取得极小值f (ln(a+1))=a+1-b-(1+a )ln(a+1),无极大值.
综上所述,当a ≤-1时,f (x )在R 内单调递增,没有极值;当a>-1时,f (x )在区间(-∞,ln(1+a ))内单调递减,在区间(ln(1+a ),+∞)内单调递增,f (x )的极小值为a+1-b-(1+a )ln(a+1),无极大值.
由题意知,f'(x )=1-b
x 2,
∵函数f (x )=x+b
x (b ∈R )的导函数在区间(1,2)上有零点, ∴当1-b
x 2=0时,b=x 2.
又x ∈(1,2),∴b ∈(1,4),令f'(x )>0,解得x<-√b 或x>√b , 即f (x )的单调递增区间为(-∞,-√b ),(√b ,+∞). ∵b ∈(1,4),∴(-∞,-2)符合题意,故选D . 12.[1
2e -1,+∞) 对任意x 1,x 2∈(0,+∞),不等式
g (x 1)k
≤
f (x 2)k+1恒成立等价于(
g (x 1)
k )max
≤(f (x 2
)
k+1)
min
,
∵x>0,∴f (x )=x 2+1x =x+1
x ≥2,当且仅当x=1时取等号,
∴f (x )min =f (1)=2,
即(f (x 2
)
k+1)
min
=2
k+1,
g'(x )=
e x -xe x (e x )2
=1-x e x
,当0<x<1时,g'(x )>0,当x>1时,g'(x )<0,∴函数g (x )在区间(0,1)上单调递增,在区
间(1,+∞)上单调递减,∴g (x )max =g (1)=1
e ,∴(
g (x 1)
k )max
=1
ke ,
∴
1≤
2
,解得k ≥
1. 设g (x )=e x [f (x )-1]=e x f (x )-e x ,则g'(x )=e x f (x )+e x f'(x )-e x =e x [f (x )+f'(x )-1].
∵f (x )+f'(x )>1,∴g'(x )>0,即函数g (x )是R 上的增函数,则g (2)<g (3), ∵g (2)=e 2[f (2)-1]=e 2a ,g (3)=e 3[f (3)-1]=e 2b ,∴e 2a<e 2b ,即a<b. ∵f'(x )=ln x+1,
∴f (x )在[1e 2,1e )单调递减,在[1
e ,e]单调递增,
f (x )min =f (1
e )=-1
e
+m ,f (x )max =f (e)=e +m ,
当2f (x )min >f (x )max 时,函数f (x )就是“三角形函数”, ∴2(-1e +m)>e +m ,解得m>e +2
e ,故选D .。