旋转曲面方程与柱面方程
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1.球面方程
球面图形如图
第四节 二次曲面
二、二次曲面
2.椭球面方程
中心在原点且关于坐标 轴对称的椭球面方 程为
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
第四节 二次曲面
二、二次曲面
2.椭球面方程
椭球面的图形
第四节 二次曲面
二、二次曲面
2.椭球面方程
z
椭球面的画法
a x
c
O
b
y
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
1.旋转曲面方程
给定 yOz 面上一条平面曲线 f ( y，z) 0 绕 z 轴旋转一周得到的旋转 曲面方程为
f ( x y ，z ) 0
2 2
绕 y 轴旋转一周得到的旋转 曲面方程为
f ( y， x z )0
2 2
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
2 2 2
第四节 二次曲面
四、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ习
3.求 经 过 点 (1 ， 2， 3)且 平 行 于 平 面 x yz2 0的平面方程．
4.单叶双曲面方程
单叶双曲面 的图形如图
第四节 二次曲面
二、二次曲面
4.单叶双曲面方程
类似地，由方程
x y z 2 2 1 2 a b c
2 2 2
x y z 2 2 2 1 a b c 所表示的曲面也叫做单叶双曲 面．
2
2
2
第四节 二次曲面
二、二次曲面
5.双叶双曲面方程
1.旋转曲面方程
y2 z2 例 将 yOz 面 上 的 椭圆 2 2 1分别绕y 轴 b c 和 z 轴旋转一周 ，求 所 生 成 的 旋 转 曲 面 方 的 程．
如图
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
1.旋转曲面方程 思考
(1) xOy 面 上 的 平 面 曲 线 g ( x，y ) 0
O
母线与z轴平行.
y
x
第四节 二次曲面
二、二次曲面
常见二次曲面方程有球面方 程，椭球面方程(包括旋转椭球面 方程)，单叶双曲面方程 (包括单 叶旋转双曲面方程)，双叶双曲面 方程(包括双叶旋转双曲面方程)， 椭圆抛物面方程(包括旋转椭圆抛 物面方程)，双曲抛物面方程．
第四节 二次曲面
二、二次曲面
1. 椭圆柱面
z
C:
x2 a2
y2 b2
1,
o C
L
y
母线L与z轴平行.
x
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
2.柱面方程
2、双曲柱面
z
C:
x a
2 2
y b
2 2
y
1,
O
x
母线与z轴平行.
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
2.柱面方程
z
3、抛物柱面
C : x 2 2 py 0,
分 别 绕x 轴 和 y 轴 旋 转 所 生 成 的 旋 转面 曲的 方程是什么？ (2) zOx 面 上 的 平 面 曲 线 h( z , x ) 0 分 别
绕 z 轴 和 x 轴 旋 转 所 生 成 的 旋 转面 曲的 方 程 是什么？
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
2.柱面方程 由与平面相交的直线沿平面内一条曲 线平行移动形成的曲面称为柱面． 其中平面内的曲线称为柱面的准线． 动直线称为柱面的母线．
准线，则母线平行于 x 轴的柱面方程是什么
准线，则母线平行于 y 轴的柱面方程是什么
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
2.柱面方程 例 试 分 析方 程 x 2 y 2 R 2 在 平 面 和 空
间中各表示什么?并图 画说明 ．
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
2.柱面方程
2.柱面方程
椭圆锥面:
z
x2 a2
y2 b2
z2
O
平面z=t(t≠0)与曲面的 交线是：椭圆； 平面z=t(t=0)与曲面的 交线是：原点．
x
y
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
2.柱面方程 思考
(1)若 以 yOz 平 面 内 的 曲 线 g ( y，z ) 0 为 (2)若 以 zOx 平 面 内 的 曲 线 h( x，z ) 0 为
四、练习
什么样的图形？ (1) x 2； (2) y x 1； (3) x y 4．
2 2
1.指 出 下 列 方 程 在 平 面 和 中空 间 中 各 表 示
2.说 明 下 列 旋 转 曲 面 是 样 怎形成的 : x y z 2 2 2 (1) 1； (2) x y z 1． 4 5 4
由方程 2 2 2 x y z 2 2 1 2 a b c 所表示的曲面叫做双叶双曲面．
第四节 二次曲面
二、二次曲面
5.双叶双曲面方程
双叶双曲面 的图形如图
第四节 二次曲面
三、小结
1.平面方程的位置关系与参数方程 2.旋转曲面方程与柱面方程 3. 5个二次曲面方程
第四节 二次曲面
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
1.旋转曲面方程 一条平面曲线绕其平面上的一条定直 线旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面． 其中定直线称为旋转曲面的旋转轴． 平面曲线称为旋转曲面的母线．
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
1.旋转曲面方程
旋转曲 面形成过程 的动画演示
第四节 二次曲面
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
2.柱面方程
柱面形 成过程的动 画演示
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
2.柱面方程
若 以 xOy 平 面 内 的 曲 线 f ( x，y ) 0 为 准线，则母线平行于 z 轴的柱面方程为
f ( x，y) 0
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
二、二次曲面
3.抛物面方程
旋转抛物面zx2y2：
平面 xa 或 yb与曲面 的交线都是抛物线。
抛物面的图形演示
zx2y2
第四节 二次曲面
二、二次曲面
4.单叶双曲面方程
由方程 2 2 2 x y z 2 2 1 2 a b c
所表示的曲面叫做单叶双曲面．
第四节 二次曲面
二、二次曲面
球面图形如图
第四节 二次曲面
二、二次曲面
2.椭球面方程
中心在原点且关于坐标 轴对称的椭球面方 程为
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
第四节 二次曲面
二、二次曲面
2.椭球面方程
椭球面的图形
第四节 二次曲面
二、二次曲面
2.椭球面方程
z
椭球面的画法
a x
c
O
b
y
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
1.旋转曲面方程
给定 yOz 面上一条平面曲线 f ( y，z) 0 绕 z 轴旋转一周得到的旋转 曲面方程为
f ( x y ，z ) 0
2 2
绕 y 轴旋转一周得到的旋转 曲面方程为
f ( y， x z )0
2 2
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
2 2 2
第四节 二次曲面
四、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ习
3.求 经 过 点 (1 ， 2， 3)且 平 行 于 平 面 x yz2 0的平面方程．
4.单叶双曲面方程
单叶双曲面 的图形如图
第四节 二次曲面
二、二次曲面
4.单叶双曲面方程
类似地，由方程
x y z 2 2 1 2 a b c
2 2 2
x y z 2 2 2 1 a b c 所表示的曲面也叫做单叶双曲 面．
2
2
2
第四节 二次曲面
二、二次曲面
5.双叶双曲面方程
1.旋转曲面方程
y2 z2 例 将 yOz 面 上 的 椭圆 2 2 1分别绕y 轴 b c 和 z 轴旋转一周 ，求 所 生 成 的 旋 转 曲 面 方 的 程．
如图
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
1.旋转曲面方程 思考
(1) xOy 面 上 的 平 面 曲 线 g ( x，y ) 0
O
母线与z轴平行.
y
x
第四节 二次曲面
二、二次曲面
常见二次曲面方程有球面方 程，椭球面方程(包括旋转椭球面 方程)，单叶双曲面方程 (包括单 叶旋转双曲面方程)，双叶双曲面 方程(包括双叶旋转双曲面方程)， 椭圆抛物面方程(包括旋转椭圆抛 物面方程)，双曲抛物面方程．
第四节 二次曲面
二、二次曲面
1. 椭圆柱面
z
C:
x2 a2
y2 b2
1,
o C
L
y
母线L与z轴平行.
x
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
2.柱面方程
2、双曲柱面
z
C:
x a
2 2
y b
2 2
y
1,
O
x
母线与z轴平行.
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
2.柱面方程
z
3、抛物柱面
C : x 2 2 py 0,
分 别 绕x 轴 和 y 轴 旋 转 所 生 成 的 旋 转面 曲的 方程是什么？ (2) zOx 面 上 的 平 面 曲 线 h( z , x ) 0 分 别
绕 z 轴 和 x 轴 旋 转 所 生 成 的 旋 转面 曲的 方 程 是什么？
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
2.柱面方程 由与平面相交的直线沿平面内一条曲 线平行移动形成的曲面称为柱面． 其中平面内的曲线称为柱面的准线． 动直线称为柱面的母线．
准线，则母线平行于 x 轴的柱面方程是什么
准线，则母线平行于 y 轴的柱面方程是什么
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
2.柱面方程 例 试 分 析方 程 x 2 y 2 R 2 在 平 面 和 空
间中各表示什么?并图 画说明 ．
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
2.柱面方程
2.柱面方程
椭圆锥面:
z
x2 a2
y2 b2
z2
O
平面z=t(t≠0)与曲面的 交线是：椭圆； 平面z=t(t=0)与曲面的 交线是：原点．
x
y
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
2.柱面方程 思考
(1)若 以 yOz 平 面 内 的 曲 线 g ( y，z ) 0 为 (2)若 以 zOx 平 面 内 的 曲 线 h( x，z ) 0 为
四、练习
什么样的图形？ (1) x 2； (2) y x 1； (3) x y 4．
2 2
1.指 出 下 列 方 程 在 平 面 和 中空 间 中 各 表 示
2.说 明 下 列 旋 转 曲 面 是 样 怎形成的 : x y z 2 2 2 (1) 1； (2) x y z 1． 4 5 4
由方程 2 2 2 x y z 2 2 1 2 a b c 所表示的曲面叫做双叶双曲面．
第四节 二次曲面
二、二次曲面
5.双叶双曲面方程
双叶双曲面 的图形如图
第四节 二次曲面
三、小结
1.平面方程的位置关系与参数方程 2.旋转曲面方程与柱面方程 3. 5个二次曲面方程
第四节 二次曲面
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
1.旋转曲面方程 一条平面曲线绕其平面上的一条定直 线旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面． 其中定直线称为旋转曲面的旋转轴． 平面曲线称为旋转曲面的母线．
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
1.旋转曲面方程
旋转曲 面形成过程 的动画演示
第四节 二次曲面
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
2.柱面方程
柱面形 成过程的动 画演示
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
2.柱面方程
若 以 xOy 平 面 内 的 曲 线 f ( x，y ) 0 为 准线，则母线平行于 z 轴的柱面方程为
f ( x，y) 0
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
二、二次曲面
3.抛物面方程
旋转抛物面zx2y2：
平面 xa 或 yb与曲面 的交线都是抛物线。
抛物面的图形演示
zx2y2
第四节 二次曲面
二、二次曲面
4.单叶双曲面方程
由方程 2 2 2 x y z 2 2 1 2 a b c
所表示的曲面叫做单叶双曲面．
第四节 二次曲面
二、二次曲面