积分的级数收敛性

积分的级数收敛性
当我们想要计算函数值时，通常会很自然地考虑利用微积分里
的积分来求解。

积分的概念是很深奥的，但是在初学阶段，我们
会学到一个很重要的性质：积分具有可加性。

什么是可加性呢？简单地说，就是如果我们需要计算一个由多
个部分组成的函数的积分，我们可以将这个函数拆分成多个子函数，分别进行积分计算，最后将结果相加即可。

这就是积分的可
加性。

在实际计算中，我们常常将复杂的函数表达式化简为级数形式，从而方便进行积分计算。

比如下面这个例子：
$$\int_0^1 \frac{x^2}{1+x^4} dx$$
该函数的分式分解形式为：
$$\frac{x^2}{1+x^4} = \frac{1}{4} \cdot \frac{(x^2-1)^2 +
2x^2}{x^4+1}$$
我们可以将其提取出前面的 $\frac{1}{4}$，然后将 $x^2-1$ 展开为 $(x-1)(x+1)$，于是得到：
$$\int_0^1 \frac{x^2}{1+x^4} dx = \frac{1}{4} \int_0^1 \frac{(x-1)(x+1)+2x^2}{x^4+1} dx$$
接下来，我们可以将右边的分式分解为无理式的形式，得到：
$$\int_0^1 \frac{x^2}{1+x^4} dx = \frac{1}{4} \int_0^1
\left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2-\sqrt{2}x+1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2+\sqrt{2}x+1} \right) dx$$
注意到右边的两个分式都可以化为完全平方的形式，于是可以通过配方法的方式将其化简为：
$$\int_0^1 \frac{x^2}{1+x^4} dx = \frac{1}{4 \sqrt{2}} \left[ \ln |x^2-\sqrt{2}x+1| - \ln |x^2+\sqrt{2}x+1| \right]_0^1 $$
利用这个方法，我们就得到了该函数的积分值。

但是，你会发现其中出现了对 $\ln$ 函数的计算。

这个时候我们就需要注意到$\ln$ 函数的一个性质：
$$|\ln x| \leq x-1 \qquad (x>0)$$
这个不等式告诉我们，对于任意的 $x>0$，$\ln x$ 都小于等于$x-1$。

特别地，当 $x=1$ 时，$\ln x = 0$。

于是，我们可以将 $\ln$ 函数的计算转化为级数的形式。

对于$0 \leq x \leq 1$，我们可以利用泰勒级数展开式：
$$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}$$
得到：
$$\ln |x^2+\sqrt{2}x+1| = \ln |1+x^2+\sqrt{2}x| =
\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{(x^2+\sqrt{2}x)^n}{n}$$
$$\ln |x^2-\sqrt{2}x+1| = \ln |1+x^2-\sqrt{2}x| = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{(x^2-\sqrt{2}x)^n}{n}$$
将这两个级数代入原式，得到：
$$\int_0^1 \frac{x^2}{1+x^4} dx = \frac{1}{4 \sqrt{2}}
\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \left( \frac{1}{n} \cdot \left[ (\sqrt{2}-1)^n - (-1)^n (\sqrt{2}+1)^n \right] \right)$$
注意到我们得到的是一个级数的形式。

如果我们能够证明该级数是收敛的，那么就可以通过逐项积分的方式，得到原函数的积分值了。

首先，我们可以将级数拆分为两个部分：
$$\frac{1}{4 \sqrt{2}} \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} \cdot (\sqrt{2}-1)^n \right) - \frac{1}{4 \sqrt{2}} \sum_{n=1}^\infty
\left( \frac{(-1)^n}{n} \cdot (\sqrt{2}+1)^n \right)$$
我们现在只需要证明两个级数分别是收敛的即可。

对于第一个级数，由于 $\sqrt{2}-1<1$，所以该级数是一个正项级数，并且比较容易证明其是收敛的。

对于第二个级数，我们可以利用莱布尼茨判别法来证明其是收
敛的。

这里我们不再详细讲解莱布尼茨判别法的具体内容，只需
要说明一下，该判别法的条件为：
1. $\{a_n\}$ 是一个单调递减的正数列；
2. $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$；
3. $\{(-1)^n b_n\}$ 是一个有界数列。

对于我们这个例子，我们可以取 $b_n = (\sqrt{2}+1)^n$，则
$\{(-1)^n b_n\}=(-\sqrt{2}-1)^n$ 是一个有界数列。

同时，$a_n =
\frac{1}{n}$ 是一个单调递减的正数列，并且 $\lim_{n \to \infty}
a_n = 0$。

综合以上的条件，我们可以利用莱布尼茨判别法得到该级数是
收敛的。

于是，我们证明了两个级数都是收敛的。

最后，利用逐项积分的方式，我们可以得到原函数的积分值为：
$$\int_0^1 \frac{x^2}{1+x^4} dx = \frac{1}{4 \sqrt{2}}
\left( \sum_{n=1}^\infty \left[ \frac{(\sqrt{2}-1)^n}{n^2} - \frac{(-1)^n (\sqrt{2}+1)^n}{n^2} \right] \right)$$
这就是我们要求解的问题的答案。

综上所述，我们看到了利用级数的方法来求解积分问题的例子。

在这个过程中，我们需要注意到 $\ln$ 函数的性质，以及莱布尼茨
判别法的应用。

通过逐步分析和推导，我们最终得到了函数积分
值的解析式。