2025届云浮市重点中学高三第二次调研数学试卷含解析

2025届云浮市重点中学高三第二次调研数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．50,
6⎛⎤
⎥ ⎝⎦
B ．5,15⎡⎫
⎪⎢
⎪⎣⎭
C ．250,
5⎛⎤
⎥ ⎝⎦
D ．25,15⎡⎫
⎪⎢
⎪⎣⎭
2．如图在直角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线()2
10y x x =+≥的切线，切点为P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）
A ．
1
6
B ．
15
C ．
14
D ．
12
3．已知函数()2cos (0)3f x x πωω⎛⎫
=-
> ⎪⎝
⎭在,32ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则ω的取值范围（ ） A ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．2,13⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．(0,2]
4．设集合{}1,0,1,2A =-，{}
2
2530B x x x =-++>，则A B =（ ）
A ．{}0,1,2
B ．{}0,1
C ．{}1,2
D ．{}1,0,1-
5．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学
成绩分析．
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
6．()
2
5
2(2)x x -+的展开式中含4x 的项的系数为（ ） A ．20-
B ．60
C ．70
D ．80
7．已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得
2DE EF =，则AF BC ⋅的值为（ ）
A ．
118
B ．
54
C ．
14
D ．
18
8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（ ） A ．28
B ．14
C ．7
D ．2
9．已知函数()(
),1
2,1x e x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()10f x mx --=恰有两个不同实根，则正数m 的取值范围为（ ）
A ．()1,11,12e e -⎛⎫
-
⎪⎝⎭ B ．(]1,11,12e e -⎛⎫
-
⎪⎝⎭
C ．()1,11,13e e -⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ．(]1,11,13e e -⎛⎫
-
⎪⎝⎭
10．i 是虚数单位，复数1z i =-在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
11．20世纪产生了著名的“31x +”猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘
3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输入正整
数m 的值为40，则输出的n 的值是（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
12．曲线3
12ln 3
y x x =
+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3
B ．2
C ．
32
D ．1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数()()2
3241f x ax x a x =+++--的最小值为2，则a =_________．
14．已知抛物线()2
20y px p =>的焦点和椭圆22
143
x y +=的右焦点重合，直线过抛物线的焦点F 与抛物线交于P 、
Q 两点和椭圆交于A 、B 两点，M 为抛物线准线上一动点，满足8PF MF +=，3
MFP π
∠=
，当MFP 面积最
大时，直线AB 的方程为______. 15．已知α，3,4πβπ⎛⎫∈
⎪⎝⎭，()4cos 5αβ+=，5cos 413πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭______.
16．在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若412
cos ,cos 513
B C ==，1b =，则a =__________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的右焦点为2F ，过2F 作x 轴的垂线交椭圆E 于点A （点A 在x 轴上
方），斜率为()0k k <的直线交椭圆E 于,A B 两点，过点A 作直线AC 交椭圆E 于点C ，且AB AC ⊥，直线AC 交
y 轴于点D .
（1）设椭圆E 的离心率为e ，当点B 为椭圆E 的右顶点时，D 的坐标为210,3b a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，求e 的值.
（2）若椭圆E 的方程为2212x y +=，且2
2
k <-，是否存在k 使得2AB AC =成立？如果存在，求出k 的值；
如果不存在，请说明理由.
18．（12分）已知关于x 的不等式|1||3||2|x x m m +--≥-+有解. （1）求实数m 的最大值t ；
（2）若a ，b ，c 均为正实数，且满足a b c t ++=.证明：3333a b b c c a abc ++≥.
19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量()cos ,sin a αα=，
cos ,sin 44b ππαα⎛
⎫⎛
⎫
⎛
⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭
，其中02πα<<. （1）求()
b a a -⋅的值； （2）若()1,1
c =，且()
b c
+a ，求α的值.
20．（12分）已知等腰梯形ABCD 中（如图1），4AB =，2BC CD DA ===，F 为线段CD 的中点，E 、M 为线段AB 上的点，1AE EM ==，现将四边形AEFD 沿EF 折起（如图2）
（1）求证：//AM 平面BCD ；
（2）在图2中，若6BD =，求直线CD 与平面BCFE 所成角的正弦值.
21．（12分）已知矩形ABCD 中，24AB BC ==，E ，F 分别为AB ，CD 的中点.沿EF 将矩形AEFD 折起，使
135
AEB
∠=︒，如图所示.设P、Q分别为线段DF，BC的中点，连接PQ.
（1）求证：//
PQ平面DEB；
（2）求二面角A BE D
--的余弦值.
22．（10分）如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点．
（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；
（2）点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为4
5
，求λ的值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C
【解析】
根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.
【详解】
当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.
22
12665
+=，短轴长为6，
所以椭圆离心率e ==
所以0,5e ⎛∈ ⎝⎦
.
故选：C 【点睛】
本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题. 2、A 【解析】
设所求切线的方程为y kx =，联立()2
01
y kx k y x ⎧=>⎨
=+⎩，消去y 得出关于x 的方程，可得出0∆=，求出k 的值，进而求得
切点P 的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】
设所求切线的方程为y kx =，则0k >，
联立()2
01
y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得210x kx -+=①，由240k ∆=-=，解得2k =， 方程①为2210x x -+=，解得1x =，则点()1,2P ， 所以，阴影部分区域的面积为()1
2
3210
111233S x
x dx x x x ⎛⎫
=
+-=-+= ⎪⎝⎭
⎰， 矩形OAPB 的面积为122S '=⨯=，因此，所求概率为1
6
S P S =='. 故选：A. 【点睛】
本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题. 3、B 【解析】 由ππ32x -
≤≤,可得πππ
333
ππ32x ωωω--≤--≤,结合cos y x =在[π,0]-上单调递增,易得ππ,[π,0]33ππ3
2ωω⎡⎤--⊆-⎢⎥⎣⎦-,即可求出ω的范围. 【详解】
由ππ32x -
≤≤,可得πππ333
ππ32x ωωω--≤--≤, 0x =时,
π(0)2cos 3f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
,而ππ,320⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦,
又cos y x =在[π,0]-上单调递增,且π
[π,0]3
-
-∈, 所以ππ,[π,0]33ππ32ωω⎡⎤--⊆-⎢⎥⎣⎦-,则π
ππ33π
π0
2
30ωωω⎧--≥-⎪⎪⎪-≤⎨⎪>⎪⎪⎩
,即2230
ωωω≤⎧⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎩,故203ω<≤. 故选:B. 【点睛】
本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题. 4、A 【解析】
解出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B .
【详解】
因为{
}{
}
2
2
1
2530253032B x x x x x x x x ⎧⎫=-++>=--<=-
<<⎨⎬⎩⎭
，又{}1,0,1,2A =-，所以{}0,1,2A B ⋂=. 故选：A. 【点睛】
本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 5、C 【解析】
利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可． 【详解】
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高
分，平均成绩为低于
分，①错误；
②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间
内，②正确；
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确； ④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确．
【点睛】
本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题． 6、B 【解析】
展开式中含4x 的项是由5(2)x +的展开式中含4x 和2x 的项分别与前面的常数项2-和2x 项相乘得到，由二项式的通项，可得解 【详解】
由题意，展开式中含4x 的项是由5
(2)x +的展开式中含4x 和2x 的项分别与前面的常数项2-和2x 项相乘得到，
所以(
)
2
5
2(2)x x -+的展开式中含4x 的项的系数为133
5522260C C -⨯+⨯=．
故选：B 【点睛】
本题考查了二项式系数的求解，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题. 7、D 【解析】
设BA a =，BC b =，作为一个基底，表示向量()
1122DE AC b a =
=-，()
33
24
DF DE b a ==-，()
1324AF AD DF a b a =+=-+-53
44
a b =-+，然后再用数量积公式求解.
【详解】
设BA a =，BC b =，
所以()
1122DE AC b a =
=-，()3324DF DE b a ==-，()
1324AF AD DF a b a =+=-+-5344
a b =-+， 所以531
448
AF BC a b b b ⋅=-⋅+⋅=.
故选：D 【点睛】
本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 8、B 【解析】
根据等差数列的性质6345a a a a +=+并结合已知可求出4a ，再利用等差数列性质可得1774()
772
a a S a +==，即可求出结果．
因为6345a a a a +=+，所以5452a a a +=+，所以42a =， 所以17747()
7142
a a S a +===， 故选：B 【点睛】
本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式，属于基础题． 9、D 【解析】
当1x >时，函数周期为2，画出函数图像，如图所示，方程两个不同实根，即函数()f x 和1y mx =+有图像两个交点，计算1
3
AC e k -=，1BC k e =-，根据图像得到答案. 【详解】
当1x >时，()()2f x f x =-，故函数周期为2，画出函数图像，如图所示： 方程()10f x mx --=，即()1f x mx =+，即函数()f x 和1y mx =+有两个交点.
()x f x e =，()'x f x e =，故()'01f =，()1,B e ，()3,C e ，1
3
AC e k -=
，1BC k e =-. 根据图像知：(]1,11,13e m e -⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
.
故选：D .
【点睛】
本题考查了函数的零点问题，确定函数周期画出函数图像是解题的关键. 10、D 【解析】
求出复数z 在复平面内对应的点的坐标，即可得出结论.
复数1z i =-在复平面上对应的点的坐标为()1,1-，该点位于第四象限. 故选：D. 【点睛】
本题考查复数对应的点的位置的判断，属于基础题. 11、C 【解析】
列出循环的每一步，可得出输出的n 的值. 【详解】
1n =，输入40m =，112n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则40
202
m ==； 213n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则20
102m =
=； 314n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则10
52
m ==；
415n =+=，1m =不成立，m 是偶数不成立，则35116m =⨯+=；
516n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则16
82
m ==； 617n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则8
42
m ==； 718=+=n ，1m =不成立，m 是偶数成立，则224
m =
=； 819n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则2
12
m ==；
9110n =+=，1m =成立，跳出循环，输出n 的值为10.
故选：C. 【点睛】
本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题. 12、A 【解析】
根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率3k ≥，即可得出答案. 【详解】 解：由于3
12ln 3
y x x =
+，根据导数的几何意义得：
()()2221130k f x x x x x x x '==+=++≥=>， 即切线斜率3k ≥，
当且仅当1x =等号成立， 所以312ln 3
y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为3. 故选：A.
【点睛】
本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、12
【解析】
首先利用绝对值的意义去掉绝对值符号，之后再结合后边的函数解析式，对照函数值等于2的时候对应的自变量的值，从而得到分段函数的分界点，从而得到相应的等量关系式，求得参数的值.
【详解】
根据题意可知()()()()2222242,24102244,2410x x x a x f x x a x x a x ⎧+++--≥⎪=⎨-+-++--<⎪⎩
， 可以发现当2x =-或0x =时是分界点，
结合函数的解析式，可以判断0不可能，所以只能是2x =-是分界点，
故()()()2224210a ⨯-+-⨯--=，解得12a =，故答案是12. 【点睛】
本题主要考查分段函数的性质，二次函数的性质，函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14、)1y x =-
【解析】
根据均值不等式得到16PF MF ⋅≤，MFP S ≤△AB 的倾斜角为
3
π，计算得到直线方程.
【详解】 由椭圆22
143
x y +=，可知1c =，12p =，2p =，24y x ∴=，
13sin 234MFP S PF MF PF MF π=⋅=⋅△， 82PF MF PF MF =+≥⋅，16PF MF ⋅≤，
33164344
MFP S PF MF =⋅≤⨯=△（当且仅当4PF MF ==，等号成立）， 4MF =，12F F =，16FMF π∴∠=
，13MFF π∠=， ∴直线AB 的倾斜角为3
π，∴直线AB 的方程为()31y x =-. 故答案为：()31y x =-.
【点睛】
本题考查了抛物线，椭圆，直线的综合应用，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
15、3365
- 【解析】
由已知利用同角三角函数的基本关系式可求得()sin αβ+，sin 4πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的值，由两角差的正弦公式即可计算得sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的值. 【详解】
α，3,
4πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()4cos 5αβ+=，5cos 413πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
， 3,22παβπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，3,424πππβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭
， ()()23sin 1cos 5
αβαβ∴+=--+=-，
12sin 413πβ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， ()sin sin 44ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦()()3541233sin cos cos sin 4451351365ππαββαββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--+-=-⨯--⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：3365-
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.
16、5639
【解析】
先求得sin ,sin B C 的值，由此求得sin A 的值，再利用正弦定理求得a 的值.
【详解】 由于412cos ,cos 513B C ==
，所以35sin ,sin 513
B C ====，所以()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+312455651351365
=⨯+⨯=.由正弦定理得56
sin 56653sin sin sin 395
a b b A a A B B
⋅=⇒===. 故答案为：
5639 【点睛】
本小题主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查三角形的内角和定理，属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）12
e =
；（2）不存在，理由见解析 【解析】
（1）写出2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，根据AD AB ⊥，斜率乘积为-1，建立等量关系求解离心率； （2）写出直线AB 的方程，根据韦达定理求出点B 的坐标，计算出弦长AB ，根据垂直关系同理可得AC ，利用等
AB AC =即可得解.
【详解】
（1）由题可得2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，过点A 作直线AC 交椭圆E 于点C ，且AB AC ⊥，直线AC 交y 轴于点D . 点B 为椭圆E 的右顶点时，D 的坐标为210,3b a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
， AB AC ⊥即AD AB ⊥，
1AD AB k k =-，2221310b b b a a a a c c a
--⋅=--- 化简得：22230c ac a -+=，
即22310e e -+=，解得12e =
或1e =（舍去）， 所以12
e =； （2）椭圆E 的方程为2
212
x y +=， 由（1
）可得,:A AB y kx k ⎛=-+ ⎝⎭
2k <-
联立2212
2x y y kx k +⎧=-+⎪⎪⎨=⎪⎪⎩得：(
)(
2222212210k k x x k k +-+--=， 设B 的横坐标B x
，根据韦达定理1B x ⨯=，
即222112B k x k --=+
，2
k <-，
所以1B A B ==-，
同理可得22212121k k AC k k ⎫-+⎪⎝⎭==⎛⎫- ⎪⎝⎭++
若存在k
AB AC
=成立，
则
22
2
122
k
k k
+
=
++
，
20
k
++=，∆<0，此方程无解，
所以不存在k
AC
=成立.
【点睛】
此题考查求椭圆离心率，根据直线与椭圆的位置关系解决弦长问题，关键在于熟练掌握解析几何常用方法，尤其是韦达定理在解决解析几何问题中的应用.
18、（1）3
t=；（2）见解析
【解析】
（1）由题意，只需找到()|1||3|
f x x x
=+--的最大值即可；
（2）
222
33333
b c a
a b b c c a abc
a b c
++≥⇔++≥，构造并利用基本不等式可得
222
()2()
b c a
a b c a b c
a b c
+++++≥++，即
222
3
b c a
a b c
a b c
++≥++=.
【详解】
（1）()|1||3|
f x x x
=+--
4,3
22,13
4,1
x
x x
x
≥
⎧
⎪
=--<<
⎨
⎪-≤-
⎩
，
∴()
f x的最大值为4.
关于x的不等式|1||3||2|
x x m m
+--≥-+有解等价于
max
()4|2|
f x m m
=≥-+，
（ⅰ）当2
m≥时，上述不等式转化为42
m m
≥-+，解得23
m
≤≤，
（ⅱ）当2
m<时，上述不等式转化为42
m m
≥-++，解得2
m<，
综上所述，实数m的取值范围为3
m≤，则实数m的最大值为3，即3
t=.
（2）证明：根据（1）求解知3
t=，所以3
a b c t
++==，
又∵0
a>，0
b>，0
c>，
222
33333
b c a
a b b c c a abc
a b c
++≥⇔++≥，
222222
()
b c a b c a
a b c a b c
a b c a b c
+++++=+++++
2()a b c ≥=++，当且仅当a b c ==时，等号成立， 即222b c a a b c a b c ++≥++，∴222
3b c a a b c
++≥， 所以，3333a b b c c a abc ++≥.
【点睛】
本题考查绝对值不等式中的能成立问题以及综合法证明不等式问题，是一道中档题.
19、（1）
12-（2）512πα=. 【解析】
（1）根据()2b a a a b a -⋅=⋅-，由向量a ，b 的坐标直接计算即得；（2）先求出b c +，再根据向量平行的坐标关系解得α. 【详解】 （1）由题，向量()cos ,sin a αα=，cos ,sin 44b ππαα⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 则()2b a a a b a -⋅=⋅- ()22cos cos sin sin cos sin 44ππαααααα⎛⎫⎛⎫=+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
cos 1142π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭. （2）()1,1c =，cos 1,sin 144b c ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ()b c a +∥，
cos 1sin sin 1cos 044ππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭， 整理得sin cos sin cos cos sin 44ππαααααα⎛
⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
sin 44ππα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 42πα⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，
02πα<<，444πππα∴-<-<， 46ππ
α∴-=，即512πα=
. 【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，以及向量平行，是常考题型.
20、（1）见解析；（2【解析】
（1）先连接CM ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；
（2）在图2中，过点D 作DO EF ⊥，垂足为O ，连接OB ，OC ，证明平面BCFE ⊥平面BOD ，得到点D 在底面BCFE 上的投影必落在直线OB 上，记H 为点D 在底面BCFE 上的投影，连接DH ，HC ，得出DCH ∠即是直线CD 与平面BCFE 所成角，再由题中数据求解，即可得出结果.
【详解】
（1）连接CM ，因为等腰梯形ABCD 中（如图1），2AM AE EM CD =+==，//AB CD ，
所以AM 与CD 平行且相等，即四边形AMCD 为平行四边形；所以//AD CM ；
又F 为线段CD 的中点，E 为AM 中点，易得：四边形AEFD 也为平行四边形，所以//AD EF ；
将四边形AEFD 沿EF 折起后，平行关系没有变化，仍有：//AD CM ，且AD CM =，
所以翻折后四边形AMCD 也为平行四边形；故//AM CD ；
因为AM ⊄平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，
所以//AM 平面BCD ；
（2）在图2中，过点D 作DO EF ⊥，垂足为O ，连接OB ，OC ，
因为2AD =，1AE =，翻折前梯形ABCD 的高为FM DE ==
所以60DAE DFE ∠=∠=，则3sin 602DO DF =⋅=，1cos602OF DF =⋅=； 所以32
OE EF OF =-=； 又3BE EM MB =+=，60FEM DFE ∠=∠=， 所以3602
BO ==，即222BO OE BE +=，所以BO OE ⊥； 又DO BO O ⋂=，且DO ⊂平面BOD ，BO ⊂平面BOD ，
所以EO ⊥平面BOD ；因此，平面BCFE ⊥平面BOD ；
所以点D 在底面BCFE 上的投影必落在直线OB 上；
记H 为点D 在底面BCFE 上的投影，连接DH ，HC ，
则DH ⊥平面BCFE ；
所以DCH ∠即是直线CD 与平面BCFE 所成角， 因为6BD =，所以2221cos 23OB OD BD BOD OB OD +-∠==⋅， 因此3226sin 233DH DO DOB =⋅∠=⋅=，313cos 236
OH DO DOB =⋅∠=⋅=， 故33343263
BH BO OH =-=-=； 因为120OFC EFC FCB ∠=∠=∠=，
所以3601201209030HBC OBC ∠=∠=---=，
因此22232cos 3CH BH BC BH BC HBC =+-⋅⋅∠=
，故222CD DH HC =+=， 所以3sin 3
DH DCH CD ∠==. 即直线CD 与平面BCFE 所成角的正弦值为33
.
【点睛】
本题主要考查证明线面平行，以及求直线与平面所成的角，熟记线面平行的判定定理，以及线面角的求法即可，属于常考题型.
21、（1）证明见解析（2）
33 【解析】
(1) 取DE 中点R ，连接PR ，BR ,可知DEF ∆中,//PR FE 且1=2
PR FE ,由Q 是BC 中点,可得则有//BQ PR 且=BQ PR ,即四边形BQPR 是平行四边形,则有//PQ BR ,即证得//PQ 平面DEB .
(2) 建立空间直角坐标系,求得半平面的法向量: ()2,0,1m =-,()0,0,1n =然后利用空间向量的相关结论可求得二面角A BE D --的余弦值. 【详解】
（1）取DE 中点R ，连接PR ，BR ，
则在DEF ∆中，//PR FE ，且12
PR FE =， 又Q 是BC 中点，所以1122BQ BC EF ==， 而且//BQ EF ，所以//BQ PR ，
所以四边形BQPR 是平行四边形，
所以//PQ BR ，
又PQ ⊄平面DEB ，BR ⊂平面DEB ， 所以//PQ 平面DEB .
（2）在平面ABE 内作EG BE ⊥交AB 于点G ，以E 为原点，EG ，EB ，EF 分别为x ，y ，x 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则各点坐标为()0,0,0E ，()0,2,0B ，)2,2,2D
-， 所以()0,2,0EB =，()
2,2,2ED =-， 设平面BED 的一个法向量为(),,m x y z =，
则0,0,m ED m EB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即22200x z y +==⎪
⎩，
取1z =，得()
2,0,1m =-，
又平面ABE 的一个法向量为()0,0,1n =，
所以1cos ,3
3m n
m n m n ⋅===⨯⋅.
因此，二面角A BE D --的余弦值为3 【点睛】
本题考查线面平行的判定,考查利用空间向量求解二面角,考查逻辑推理能力及运算求解能力,难度一般.
22、（1.（2）1 【解析】
（1）先根据题意建立空间直角坐标系，求得向量BM 和向量AP 的坐标，再利用线线角的向量方法求解. （2，由AN ＝λ，设N (0，λ，0)(0≤λ≤4)，则MN ＝(－1，λ－1，－2)，再求得平面PBC 的一个法向量，利用直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为4
5，由|cos 〈MN ，m 〉|＝||||||
⋅MN MN m m ＝＝45求解. 【详解】
（1） 因为PA ⊥平面ABCD ，且AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD .
又因为∠BAD ＝90°，所以PA ，AB ，AD 两两互相垂直．
分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
则由AD ＝2AB ＝2BC ＝4，PA ＝4可得
A (0，0，0)，
B (2，0，0)，
C (2，2，0)，
D (0，4，0)，P (0，0，4)．
又因为M 为PC 的中点，所以M (1，1，2)．
所以BM ＝(－1，1，2)，AP ＝(0，0，4)，
所以cos 〈AP ，BM 〉＝||||
⋅AP BM AP BM
3
，
所以异面直线AP ，BM .
（2）因为AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，
则MN＝(－1，λ－1，－2)，BC＝(0，2，0)，PB＝(2，0，－4)．设平面PBC的法向量为m＝(x,y,z)，
则
m BC
m PB
⎧⋅=
⎨
⋅=
⎩
即
20
240
y
x z
=
⎧
⎨
-=
⎩
令x＝2，解得y＝0，z＝1，
所以m＝(2，0，1)是平面PBC的一个法向量．
因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为4
5
，
所以|cos〈MN，m〉|＝||
||||
⋅
MN
MN
m
m
＝
2
5(1)5
λ
+-⋅
4
5
，
解得λ＝1∈[0，4]，
所以λ的值为1.
【点睛】
本题主要考查了空间向量法研究空间中线线角，线面角的求法及应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.。