江西省新余市第四中学高二数学下学期开学考试试题 理

新余四中2017-2018学年下学期高二年级开学考试
理科数学试题
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
第I 卷（选择题：共60分）
一、选择题（每题5分，共计60分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

） 1.若0a b <<，则下列不等式中不成立的是( ) A. a b > B.
11a b a >- C. 11
a b
> D. 22a b > 2．某地市高二理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布
()
2100,N σ，已知(80100)0.40P ξ<≤=，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行
分析，则应从120分以上的试卷中抽取( )
A. 5份
B. 10份
C. 15份
D. 20份
3．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据
收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程6.5468.0ˆ+=x y
表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（ ）
A ．68
B ．68.2
C ．69
D ．75
4．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin A =
， 2a =，
ABC S ∆b 的值为（ ）
C. 5．在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2
310x x ++=的两根”是“81a =±”的（ ）
A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件
6．已知5
1
()(21)ax x x
+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为（ ） A. 20- B.10- C.10 D.20
7.设,x y 满足约束条件201130
x y x y y -≥+≤≥⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩,若z ax y =-+取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的
值为（ ）
A. 2或3-
B. 3或2-
C. 1
3-或
12 D. 1
3
-或2 8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为34,3,10n S a S ==，则数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前100项的和为（ ）
A.
200101 B. 100101 C. 1101 D. 2
101
9．高三某班有60名学生（其中女生有20名），三好学生占
6
1
，而且三好学生中女生占一半，现在从该班任选一名学生参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率是（ ） A.
61 B.81 C.101 D.12
1
10.正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为2 ，侧棱长为4 ，则1B 点到平面1AD C 的
距离为 （ ） A.
83
B. 3
C. 3
D. 43
11．在某市记者招待会上，需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问，两家电视台均有记
者5人，主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问，且这4人中，要求既有甲电视台记者，又有乙电视台记者，且甲电视台的记者不可以连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）
A ．1200
B ．2400
C ．3000
D ．3600 12．实数,x y 满足()
()()22
2
1122cos
11
x y xy
x y x y ++--+-=
-+，则xy 的最小值为（ ）
A. 2
B. 1
C.
12 D. 1
4
第II 卷（非选择题：共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共计20分。

请将正确答案直接填在答题卡的相应
位置。

）
13.在ABC ∆中，已知4AB =， 6AC =， 60A =︒， 那么BC = 14．设关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x <，则关于x 的不等式
2
06
ax b
x x +£--的解集为________．
15．如果一个数含有正偶数个数字8，就称它为“优选数”（如188,38888等），否则就称它为
“非优选数”，从由数字0,1,2，…,9共10个数字组成的四位数中任意抽取10个数，随机变量X 表示抽到的“优选数”的个数，则EX = ; 16．已知下列命题：
①设m 为直线，,αβ为平面，且m β⊥，则“//m α”是“αβ⊥”的充要条件； ②若p 是q 的充分不必要条件，则p ⌝是q ⌝的必要不充分条件；；
③已知p ，q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝为真命题” ④若不等式3221x x m ++-≥+恒成立，则m 的取值范围是(,2)-∞； ⑤若命题:p x R ∀∈有20x >，则:p x R ⌝∀∈有20x ≤； 其中真命题的序号是 (写出全部真命题的序号)．
三、解答题：(本大题共6小题．共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17．(本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-．
()1求数列{}n a 的通项公式；
()2若数列1n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，求n T ．
18. (本小题满分12分）
已知a ，b ，c 分别是ABC △的内角A ，B ，
C 所对的边，且2c =
，sin (cos )sin C B B A -=. （1）求角C 的大小；
（2）若cos A ，求边b 的长.
19．(本小题满分12分）甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比
赛进行到有一人比对方多2分或打满8局时停止.设甲在每局中获胜的概率为P （)2
1
>P ,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为9
5. （1）求P 的值；
（2）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望ξE .
20.(本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠BAD ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF=3，H 是CF 的中点. （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；
（Ⅱ）求直线DH 与平面BDEF 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角H BD C --的大小.
21．(本小题满分12分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学,给所有同学几何和代数各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.统计情况如下表:(单位:人)
(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关?
(2)经过多次测试发现:女生甲解答一道几何题所用的时间在5—7分钟,女生乙解答一道几何题所用的时间在6—8分钟,现甲、乙两人独立解答同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率; (3)现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行研究,记甲、乙两名女生被抽到的人数为X ,求X 的分布列及数学期望. 附表及公式
()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
22．(本小题满分12分）设12,x x 为函数2
()(1)1(,0R,f x ax b x a b a =+-+∈>）两个不同零点.
（Ⅰ）若11x =，且对任意R x ∈,都有(2)(2)f x f x -=+，求()f x ；
（Ⅱ）若23b a =-，则关于x 的方程()22+f x x a =-是否存在负实根?若存在,求出该负根的取值范围，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若2a ≥，212x x -=，且当12(,)x x x ∈时，
2()()2()g x f x x x =-+-的最大值为()h a ，求()h a 的最小值.
新余四中2017-2018学年高二下学期开学考试
理科数学答案
一选择题
1-5 BBAAA 6-10 CAABA 11-12 BD 二填空题
13.14.(2,1](3,)-?? 15.23
45
16.②③ 三解答题
17.()1当1n =时， 11122a S a ==-，解得12a =． 当2n ≥时， 1122n n S a --=-，
所以()112222n n n n n a S S a a --=-=---， 即
1
2n
n a a -=， 所以数列{}n a 是以首项为2，公比为2的等比数列， 故()2
*n
n a n N =∈．
()
()11
21()2
n n n n a +=+⋅， 则()23111123()4()1()2222n n T n ⎛⎫
=⋅+⋅+⋅+⋯++⋅
⎪⎝⎭
， ()234111111
2()3()4()1()22222
n n T n +=⋅+⋅+⋅+⋯++⋅， 上面两式相减，可得
()2341111111
1()()()()1()222222
n n n T n +=++++⋯+-+⋅，
()1111114211()1212
n n n -+⎛⎫- ⎪⎝⎭
=+-+⋅-，
化简可得()133()2
n n T n =-+⋅．
18. （1
）因为sin (cos )sin C B B A -=，
所以sin cos sin sin()C B C B B C =+，
所以sin cos sin sin cos cos sin C B C B B C B C =+，
所以tan C =，又C 为三角形内角， 所以5
6C π=.
（2
）因为cos A =
，所以1
sin 3
A =， 所以sin sin()sin cos cos sin
B A
C A C A C =+=+
11
32⎛=⨯+ ⎝⎭
=
. 由正弦定理得sin sin b c
B C
=
，
所以sin sin c B b C ==
19. （1）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束
∴有225(1)9
p p +-=
， 解得23p =或1
3p =
12p >
2
3
p ∴= （2）依题意知，ξ的所有可能值为2,4,6,8 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为
5
9
，若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响 从而有5552055580(2),(4)(1),(6)(1)(1)99981999729P P P ξξξ==
==-===--⋅= 55564
(8)(1)(1)(1)1999729
P ξ==---⋅=
∴随机变量ξ的分布列为：
故520806425222468981729729729
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯= 20. （（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以 AC BD ⊥.
因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，且四边形BDEF 是矩形，所以ED ⊥平面ABCD ， 又因为AC ⊂平面ABCD ，所以 ED AC ⊥. 因为 ED
BD D =，所以 AC ⊥平面
BDEF .
（Ⅱ）解：设AC
BD O =，取EF 的中点N ，连接ON ，因为四边形BDEF 是矩形，,O N
分别为,BD
EF 的中点，所以//ON ED ，又因为 ED ⊥平面ABCD ，所以 ON ⊥平面
ABCD ，由A C B D ⊥，
得,,OB OC ON 两两垂直.所以以O
为原点，,,OB OC ON 所在直线
分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系. 因为底面ABCD 是边长为2的菱形，
60BAD ∠=，3BF =，
所以 (0,A ，(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，
(1,0,3)E -，(1,0,3)F ，C ，13
(,
)222
H . 因为 AC ⊥平面BDEF ， 所以平面BDEF 的法向量(0,AC
=. 设直线DH 与平面
BDEF 所成角为α，由33
(,
)222
DH =， 得
3
2sin |cos ,|DH AC DH AC DH AC
α⨯⋅=<>===，
所以直线DH 与平面BDEF （Ⅲ）解：由（Ⅱ），得13
()22
BH =-，(2,0,0)DB =.设平面BDH 的法向量为111(,,)x y z =n ，
所以0,0,BH DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n
即111130,20,
x z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩
令11z =，
得(0,=n . 由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)ED =-，
则1
cos ,2
ED ED ED
⋅<>=
=
=-n n n .
由图可知二面角H BD C --为锐角，所以二面角H BD C --的大小为60.
(用传统方法解酌情给分)
21. (1)由表中数据得2K 的观测值()2
25022128850
5.024********
9
K ⨯⨯-⨯=
=
≈⨯⨯⨯, 所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关 (2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x y 、分钟, 则基本事件满足的区域为57{
68
x y ≤≤≤≤,
设事件A 为“乙比甲先做完此道题”,则满足的区域为x y >,
所以由几何概型()1
11
12228
P A ⨯⨯==⨯,即乙比甲先解答完的概率18.
(3)由题可知X 可能取值为0,1,2,
()()
()151231
0,1,22828728
P X P X P X ==
=====
, 故X 的分布列为:
所以()151211
0122828282
E X =⨯+⨯+⨯=.
22. （Ⅰ）由(2)(2)f x f x -=+得函数()f x 关于2x =对称，则1
22b a
--= 又110a b +-+= 解得11,33a b =
=- 214
()133
f x x x =-+
（Ⅱ）由0a >知只需考虑2a x ≤
时的情况 当2
a
x ≤时()22+f x x a =-可化为 22(24)122(22)10+ax a x a x ax a x a +-+=-+---=即
221
(22)4(1)8440
0a a a a a a a
--∆=-++=-+><且
所以关于x 的方程()22+f x x a =-存在唯一负实根0x
01(1)x a ⎡=--+⎢⎣
11a
⎡=--⎢⎣
令112t a =
-，则1
2
t >-，
07
1122=x t ⎡⎤⎢⎥⎡⎢--+=-+⎢⎢⎣⎢⎣在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，
则01(1)2
x ∈---.
（Ⅲ）122()()()2()g x a x x x x x x =---+-
2
212122
()()2x x a a x x x x a a ⎛
⎫-+ ⎪=--+≤ ⎪ ⎪
⎝⎭
等号成立条件为2112
2
(,)2
x x a x x x +-
=
∈
所以2
22()2a h a a ⎛
⎫+ ⎪= ⎪ ⎪
⎝⎭
211(1)2a a a a =+=++
因为min 9
2()(2)2
a h a h ≥==。