高考数学高三模拟考试试卷压轴题猜题押题高考数学试卷理科001

高考数学高三模拟考试试卷压轴题猜题押题高考数学试卷（理科）
一、选择题
1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x¡ÊA}，则A∩B=（）
A．{1} B．{4} C．{1，3} D．{1，4}
2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为
（）
A．﹣4 B．6 C．10 D．17
3．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（5分）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（5分）设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的（）
A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知双曲线﹣=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的
圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
7．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）
A．﹣B．C．D．
8．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，] B．[，] C．[，]∪{} D．[，）∪{}
二、填空题
9．（5分）已知a，b¡ÊR，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则的值为．
10．（5分）（x2﹣）8的展开式中x7的系数为（用数字作答）
11．（5分）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为
m3
12．（5分）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为．
13．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a 满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是．
14．（5分）设抛物线（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A 作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．若|CF|=2|AF|，且△ACE的面
积为3，则p的值为．
三、计算题
15．（13分）已知函数f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．
16．（13分）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．
17．（13分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．
（1）求证：EG∥平面ADF；
（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；
（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．
18．（13分）已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n¡ÊN+，bn是an和an+1的等比中项．
（1）设cn=b﹣b，n¡ÊN+，求证：数列{cn}是等差数列；
（2）设a1=d，Tn=（﹣1）kbk2，n¡ÊN*，求证：．
19．（14分）设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A．已知
+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y 轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．
20．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，x¡ÊR，其中a，b¡ÊR．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3；
（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．
天津市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5分）（•天津）已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x¡ÊA}，则A∩B=（）A．{1} B．{4} C．{1，3} D．{1，4}
【分析】把A中元素代入y=3x﹣2中计算求出y的值，确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：把x=1，2，3，4分别代入y=3x﹣2得：y=1，4，7，10，即B={1，4，7，10}，∵A={1，2，3，4}，
∴A∩B={1，4}，
故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）（•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最
小值为（）
A．﹣4 B．6 C．10 D．17
【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出直线l0：2x+5y=0，平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6．
【解答】解：作出不等式组表示的可行域，
如右图中三角形的区域，
作出直线l0：2x+5y=0，图中的虚线，
平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6．
故选：B．
【点评】本题考查简单线性规划的应用，涉及二元一次不等式组表示的平面区域，关键是准确作出不等式组表示的平面区域．
3．（5分）（•天津）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接利用余弦定理求解即可．
【解答】解：在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，
AB2=BC2+AC2﹣2AC•BCcosC，
可得：13=9+AC2+3AC，
解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．
故选：A．
【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．
4．（5分）（•天津）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据程序进行顺次模拟计算即可．
【解答】解：第一次判断后：不满足条件，S=2×4=8，n=2，i＞4，
第二次判断不满足条件n＞3：
第三次判断满足条件：S＞6，此时计算S=8﹣6=2，n=3，
第四次判断n＞3不满足条件，
第五次判断S＞6不满足条件，S=4．n=4，
第六次判断满足条件n＞3，
故输出S=4，
故选：B．
【点评】本题主要考查程序框图的识别和运行，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．5．（5分）（•天津）设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的（）
A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
【分析】利用必要、充分及充要条件的定义判断即可．
【解答】解：{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，
若“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”不一定成立，
例如：当首项为2，q=﹣时，各项为2，﹣1，，﹣，…，此时2+（﹣1）=1＞0，+
（﹣）=＞0；
而“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”，前提是“q＜0”，
则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的必要而不充分条件，
故选：C．
【点评】此题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
6．（5分）（•天津）已知双曲线﹣=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为
半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
【分析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，利用四边形ABCD的面积为2b，求出A的坐标，代入圆的方程，即可得
出结论．
【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，
设A（x，x），则∵四边形ABCD的面积为2b，
∴2x•bx=2b，
∴x=±1
将A（1，）代入x2+y2=4，可得1+=4，∴b2=12，
∴双曲线的方程为﹣=1，
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7．（5分）（•天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中
点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）
A．﹣B．C．D．
【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．
【解答】解：如图，
∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，
∴•==
==
===
=．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题．8．（5分）（•天津）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上
单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是
（）
A．（0，] B．[，] C．[，]∪{} D．[，）∪{}
【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据f（x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出a的范围．
【解答】解：y=loga（x+1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，
函数f（x）在R上单调递减，则：
；
解得，；
由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且仅有一个解，
故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同样有且仅有一个解，
当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）x+3a|=2﹣x，
则△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0，
解得a=或1（舍去），
当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，
综上：a的取值范围为[，]∪{}，
故选：C．
【点评】本题考查了方程的解个数问题，以及参数的取值范围，考查了学生的分析问题，解决问题的能力，以及数形结合的思想，属于中档题．
二、填空题
9．（5分）（•天津）已知a，b¡ÊR，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则的值为2．
【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于a，b的方程，解得a，b的值，进而可得答案．【解答】解：∵（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i=a，a，b¡ÊR，
∴，
解得：，
∴=2，
故答案为：2
【点评】本题考查的知识点是复数的乘法运算，复数相等的充要条件，难度不大，属于基础题．
10．（5分）（•天津）（x2﹣）8的展开式中x7的系数为﹣56（用数字作答）
【分析】利用通项公式即可得出．
【解答】解：Tr+1==x16﹣3r，
令16﹣3r=7，解得r=3．
∴（x2﹣）8的展开式中x7的系数为=﹣56．
故答案为：﹣56．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）（•天津）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为
2m3
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，
棱锥的底面是底为2，高为1的平行四边形，故底面面积S=2×1=2m2，
棱锥的高h=3m，
故体积V==2m3，
故答案为：2
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
12．（5分）（•天津）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，
BD=ED，则线段CE的长为．
【分析】由BD=ED，可得△BDE为等腰三角形，过D作DH⊥AB于H，由相交弦定理求得DH，在Rt△DHE中求出DE，再由相交弦定理求得CE．
【解答】解：如图，
过D作DH⊥AB于H，
∵BE=2AE=2，BD=ED，
∴BH=HE=1，则AH=2，BH=1，
∴DH2=AH•BH=2，则DH=，
在Rt△DHE中，则，
由相交弦定理可得：CE•DE=AE•EB，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查相交弦定理的应用，是中档题．
13．（5分）（•天津）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（，）．
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化进行求解即可．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，
∴f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，
则f（2|a﹣1|）＞f（﹣），等价为f（2|a﹣1|）＞f（），
即﹣＜2|a﹣1|＜，
则|a﹣1|＜，即＜a＜，
故答案为：（，）
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．
14．（5分）（•天津）设抛物线（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为．
【分析】化简参数方程为普通方程，求出F与l的方程，然后求解A的坐标，利用三角形的面积列出方程，求解即可．
【解答】解：抛物线（t为参数，p＞0）的普通方程为：y2=2px焦点为F（，
0），如图：过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．|CF|=2|AF|，
|CF|=3p，|AB|=|AF|=p，A（p，），
△ACE的面积为3，，
可得=S△ACE．
即：=3，
解得p=．
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的参数方程的应用，考查分析问题解决问题的能力．
三、计算题
15．（13分）（•天津）已知函数f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．
【分析】（1）利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式，结合三角函数的辅助角公式进行化简求解即可．
（2）利用三角函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：（1）∵f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．
∴x≠kπ+，即函数的定义域为{x|x≠kπ+，k¡ÊZ}，
则f（x）=4tanxcosx•（cosx+sinx）﹣
=4sinx（cosx+sinx）﹣
=2sinxcosx+2sin2x﹣
=sin2x+（1﹣cos2x）﹣
=sin2x﹣cos2x
=2sin（2x﹣），
则函数的周期T=；
（2）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k¡ÊZ，
得kπ﹣≤x≤kπ+，k¡ÊZ，即函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k¡ÊZ，
当k=0时，增区间为[﹣，]，k¡ÊZ，
∵x¡Ê[﹣，]，∴此时x¡Ê[﹣，]，
由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k¡ÊZ，
得kπ+≤x≤kπ+，k¡ÊZ，即函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k¡ÊZ，
当k=﹣1时，减区间为[﹣，﹣]，k¡ÊZ，
∵x¡Ê[﹣，]，∴此时x¡Ê[﹣，﹣]，
即在区间[﹣，]上，函数的减区间为¡Ê[﹣，﹣]，增区间为[﹣，]．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的诱导公式，两角和差的余弦公式以及辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．
16．（13分）（•天津）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．
【分析】（1）选出的2人参加义工活动次数之和为4为事件A，求出选出的2人参加义工活动次数之和的所有结果，即可求解概率．则P（A）．
（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P （X=3）的值，由此能求出X的分布列和EX．
【解答】解：（1）从10人中选出2人的选法共有=45种，
事件A：参加次数的和为4，情况有：①1人参加1次，另1人参加3次，②2人都参加2次；
共有+=15种，
∴事件A发生概率：P==．
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．
P（X=0）==
P（X=1）==，
P（X=2）==，
X012
P
∴EX=0×+1×+2×=1．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年的高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意古典概型的灵活运用．
17．（13分）（•天津）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面
OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．
（1）求证：EG∥平面ADF；
（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；
（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．
【分析】（1）取AD的中点I，连接FI，证明四边形EFIG是平行四边形，可得EG∥FI，利用线面平行的判定定理证明：EG∥平面ADF；
（2）建立如图所示的坐标系O﹣xyz，求出平面OEF的法向量，平面OEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；
（3）求出=（﹣，，），利用向量的夹角公式求出直线BH和平面CEF所成角的
正弦值．
【解答】（1）证明：取AD的中点I，连接FI，
∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，
∵G，I是中点，
∴GI∥BD，GI=BD．
∵O是正方形ABCD的中心，
∴OB=BD．
∴EF∥GI，EF=GI，
∴四边形EFIG是平行四边形，
∴EG∥FI，
∵EG⊄平面ADF，FI⊂平面ADF，
∴EG∥平面ADF；
（2）解：建立如图所示的坐标系O﹣xyz，则B（0，﹣，0），C（，0，0），E（0，﹣，2），
F（0，0，2），
设平面CEF的法向量为=（x，y，z），则，取=（，0，1）
∵OC⊥平面OEF，
∴平面OEF的法向量为=（1，0，0），
∵|cos＜，＞|=
∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值为=；
（3）解：AH=HF，∴==（，0，）．
设H（a，b，c），则=（a+，b，c）=（，0，）．
∴a=﹣，b=0，c=，
∴=（﹣，，），
∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos＜，＞|==．
【点评】本题考查证明线面平行的判定定理，考查二面角O﹣EF﹣C的正弦值，直线BH和平面CEF所成角的正弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
18．（13分）（•天津）已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n¡ÊN+，bn 是an和an+1的等比中项．
（1）设cn=b﹣b，n¡ÊN+，求证：数列{cn}是等差数列；
（2）设a1=d，Tn=（﹣1）kbk2，n¡ÊN*，求证：．
【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质，建立方程关系，根据条件求出数列{cn}的通项公式，结合等差数列的定义进行证明即可．
（2）求出Tn=（﹣1）kbk2的表达式，利用裂项法进行求解，结合放缩法进行不等式的证明即可．
【解答】证明：（1）∵{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n¡ÊN+，bn是an 和an+1的等比中项．
∴cn=b﹣b=an+1an+2﹣anan+1=2dan+1，
∴cn+1﹣cn=2d（an+2﹣an+1）=2d2为定值；
∴数列{cn}是等差数列；
（2）Tn=（﹣1）kbk2=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）=2d
（a2+a4+…+a2n）=2d
=2d2n（n+1），
∴==（1﹣…+﹣）=（1﹣）．
即不等式成立．
【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列与不等式的综合，根据等比数列和等差数列的性质分别求出对应的通项公式以及利用裂项法进行求解是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
19．（14分）（•天津）设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A．已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y 轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．
【分析】（1）由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入+=，转化为关于a
的方程，解方程求得a值，则椭圆方程可求；
（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF⊥HF，得，整理得到M的坐标与k的
关系，由∠MOA≤∠MAO，得到x0≥1，转化为关于k的不等式求得k的范围．
【解答】解：（1）由+=，得，
即，
∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2．
∴椭圆方程为；
（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），
设B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2）），
∵∠MOA≤∠MAO，
∴x0≥1，
再设H（0，yH），
联立，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0．
△=（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）=144＞0．
由根与系数的关系得，
∴，，
MH所在直线方程为，
令x=0，得，
∵BF⊥HF，
∴，
即1﹣x1+y1yH=，
整理得：，即8k2≥3．
∴或．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法，考查运算能力，是难题．
20．（14分）（•天津）设函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，x¡ÊR，其中a，b¡ÊR．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3；
（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．
【分析】（1）求出f（x）的导数，讨论a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R上递增；当a＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（2）f′（x0）=0，可得3（x0﹣1）2=a，分别计算f（x0），f（3﹣2x0），化简整理即可得证；
（3）要证g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于，即证在[0，2]上存在x1，x2，使得f
（x1）﹣f（x2）≥．讨论当a≥3时，当0＜a＜3时，运用单调性和极值，化简整理即可得
证．
【解答】解：（1）函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b的导数为
f′（x）=3（x﹣1）2﹣a，
当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R上递增；
当a＞0时，当x＞1+或x＜1﹣时，f′（x）＞0，
当1﹣＜x＜1+，f′（x）＜0，
可得f（x）的增区间为（﹣∞，1﹣），（1+，+∞），减区间为（1﹣，1+）；
（2）证明：f′（x0）=0，可得3（x0﹣1）2=a，
由f（x0）=（x0﹣1）3﹣3x0（x0﹣1）2﹣b=（x0﹣1）2（﹣2x0﹣1）﹣b，
f（3﹣2x0）=（2﹣2x0）3﹣3（3﹣2x0）（x0﹣1）2﹣b
=（x0﹣1）2（8﹣8x0﹣9+6x0）﹣b=（x0﹣1）2（﹣2x0﹣1）﹣b，
即为f（3﹣2x0）=f（x0）=f（x1），
即有3﹣2x0=x1，即为x1+2x0=3；
（3）证明：要证g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于，
即证在[0，2]上存在x1，x2，使得f（x1）﹣f（x2）≥．
当a≥3时，f（x）在[0，2]递减，f（2）=1﹣2a﹣b，f（0）=﹣1﹣b，
f（0）﹣f（2）=2a﹣2≥4＞，递减，成立；
当0＜a＜3时，f（1﹣）=（﹣）3﹣a（1﹣）﹣b=﹣﹣a+a﹣b
=﹣a﹣b，
f（1+）=（）3﹣a（1+）﹣b=﹣a﹣a﹣b
=﹣﹣a﹣b，
f（2）=1﹣2a﹣b，f（0）=﹣1﹣b，
f（2）﹣f（0）=2﹣2a，
若0＜a≤时，f（2）﹣f（0）=2﹣2a≥成立；
若a＞时，f（1﹣）﹣f（1+）=＞成立．
综上可得，g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和最值，考查不等式的证明，注意运用分类讨论的思想方法和转化思想，考查分析法的证明，以及化简整理的运算能力，属于难题．
高考理科数学试题及答案
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目
要
求
的。

1.
31i
i
+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -
2. 设集合{}1,2,4A =，{}
2
40x x x m B =-+=．若{}1A
B =，则B =（）
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百
八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某
几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π
5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的最小值是（）
A ．15-
B ．9-
C ．1
D ．9
6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共
有（）
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种
7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，
2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家
说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的
S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
9. 若双曲线C:22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐
近线被圆()2
224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．
23
10. 若2x =-是函数2
1`
()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）
A.1-
B.32e --
C.35e -
D.1
11. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB
与1C B 所成角的余弦值为（）
A ．32
B ．155
C ．105
D ．33
12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）
A.2-
B.32-
C. 4
3
- D.1-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽
到的二等品件数，则D X =． 14. 函数()23sin 3cos 4
f x x x =+-
（0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
）的最大值是． 15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则
11
n
k k
S ==∑． 16. 已知F 是抛物线C:2
8y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为
F N 的中点，则F N =．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）
ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2
sin()8sin 2
B
A C +=． (1)求cos B
(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b
18.（12分）
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：
1.
设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率；
2.
填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法
3.根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
P （
）
0.050 0.010 0.001 k
3.841 6.635
10.828
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
19.（12分）
如图，四棱锥PABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，
o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠= E 是PD 的中点.
（1）证明：直线//CE 平面PAB
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所
成锐角为o 45 ，求二面角MABD 的余弦值
20. （12分）
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =
.
（1） 求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线x=3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.（12分）
已知函数3
()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1）求a ；
（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且2
30()2e
f x --<<.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，按所做的第一题计
分。

22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2
C 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为(2,
)3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．
23.[选修45：不等式选讲]（10分）
已知3
3
0,0,2a b a b >>+=，证明： （1）3
3()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．
参考答案
1．D
【解析】1是方程240x x m -+=的解，1x =代入方程得3m =
∴2430x x -+=的解为1x =或3x =，∴{}13B =，
3．B
【解析】设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112
-==-a S ，解得13a =．
4．B
【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半．
2211
π310π3663π
22=-=⋅⋅-⋅⋅⋅=V V V 总上
5．A
【解析】目标区域如图所示，当直线-2y =x+z 取到点()63--，时，所求z 最小值为15-．
6．D
【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．
由此把4份工作分成3份再全排得23
43C A 36⋅=
7．D
【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．
甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．
【解析】0S =，1k =，1a =-代入循环得，7k =时停止循环，3S =． 9．A
【解析】取渐近线b
y x a =
，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，
= 得224c a =，24e =，2e =．
10．C
【解析】M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角
（异面线所成角为π02⎛
⎤ ⎥⎝
⎦，）
可知112MN AB =
，1122
NP BC ==， 作BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形． 1=PQ ，1
2
MQ AC =
ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠
14122172⎛⎫
=+-⨯⨯⋅-= ⎪⎝⎭
，=AC
则MQ =
MQP △
中，MP = 则PMN △中，222
cos 2MN NP PM PNM MH NP
+-∠=⋅⋅
222
+-=
= 又异面线所成角为π02⎛
⎤ ⎥⎝⎦
，
．
11．A 【解析】()()21
21x f x x a x a e -'⎡⎤=+++-⋅⎣⎦，
则()()3
2422101f a a e a -'-=-++-⋅=⇒=-⎡⎤⎣⎦，
则()()211x f x x x e -=--⋅，()()212x f x x x e -'=+-⋅， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-．
12．B
【解析】几何法：
如图，2PB PC PD +=（D 为BC 中点）， 则()
2PA PB PC PD PA ⋅+=⋅，
要使PA PD ⋅最小，则PA ，PD 方向相反，即P 点在线段AD 上， 则min 22PD PA PA PD ⋅=-⋅， 即求PD PA ⋅最大值， 又3
23PA PD AD +==⨯
=， 则2
233
24PA PD PA PD ⎛⎫+⎛⎫ ⎪⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭≤， 则min 332242
PD PA ⋅=-⨯=-． 解析法：
建立如图坐标系，以BC 中点为坐标原点，
P
D C
B
A
∴()
03A ，，()10B -，，()10C ，． 设()P x y ，， ()
3PA x y
=--，，
()
1PB x y =---，，
()1PC x y =--，，
∴()
222222PA PB PC x y y ⋅+=-+
2
2
3324x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
则其最小值为33242⎛⎫
⨯-=- ⎪⎝⎭
，此时0x =，3y =．
13．1.96
【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中0.02=p ，100n =
则()11000.020.98 1.96x D np p =-=⨯⨯= 14．1
【解析】()23πsin 3cos 042f x x x x ⎛⎫⎡
⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣
⎦⎝⎭，
()231cos 3cos 4
f x x x =-+-
令cos x t =且[]01t ∈， 21
34y t t =-++
2
31t ⎛⎫
=--+ ⎪ ⎪⎝⎭
则当3
t =时，()f x 取最大值1． 15．
2+1
n n 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ．
则3123a a d =+= 414610S a d =+=
求得11a =，1d =，则n a n =，()12
n n n S +=
()()
1
1
2222
1223
11n
k k
S
n n n n ==
+++
+⨯⨯-+∑
111
111121223
11n n n n ⎛⎫=-+-++-+- ⎪-+⎝⎭
122111n n n ⎛
⎫=-=
⎪++⎝⎭
16．6
【解析】28y x =则4p =，焦点为()20F ，
，准线:2l x =-， 如图，M 为F 、N 中点，
故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， ∵2CN =，4AF =， ∴3ME =
又由定义ME MF =， 且MN NF =， ∴6
NF NM MF =+=
17.
【解析】（1）依题得：2
1cos sin 8sin
84(1cos )22
B B B B -==⋅=-． ∵22sin cos 1B B +=， ∴2216(1cos )cos 1B B -+=， ∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=， ∴15
cos 17
B =
， （2）由⑴可知8sin 17
B =． ∵2AB
C S =△， ∴1
sin 22
ac B ⋅=， ∴18
2217
ac ⋅=， ∴17
2ac =
， ∵15cos 17
B =
， l F
N M C B A
O
y
x
∴22215217
a c
b a
c +-=，
∴22215a c b +-=， ∴22()215a c ac b +--=， ∴2361715b --=， ∴2b =．
18．
【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B
“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C
而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
0.62=
()0.06850.04650.01050.0085P C =⨯+⨯+⨯+⨯
0.66=
()()()0.4092P A P B P C ==
（2）
由计算可得2K 的观测值为
()2
22006266383415.705
10010096104
k ⨯⨯-⨯=
=⨯⨯⨯
∵15.705 6.635> ∴()2 6.6350.001P K ≈≥
∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关．
（3）150.2÷=，()0.20.0040.0200.0440.032-++=
80.0320.06817÷=
，8
5 2.3517
⨯≈ 50 2.3552.35+=，∴中位数为52.35．
19．【解析】
z
y
x
M 'M
O
F
P
A
B
C
D
E
（1）令PA 中点为F ，连结EF ，BF ，CE ．
∵E ，F 为PD ，PA 中点，∴EF 为PAD △的中位线，∴1
2
EF AD ∥．
又∵90BAD ABC ∠=∠=︒，∴BC AD ∥． 又∵12AB BC AD ==
，∴1
2
BC AD ∥，∴EF BC ∥． ∴四边形BCEF 为平行四边形，∴CE BF ∥． 又∵BF PAB ⊂面，∴CE PAB 面∥
（2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系．
设1AB BC ==，则(000)O ，，，(010)A -，，，(110)B -，，，(100)C ，
，，(010)D ，，， (00P ，．
M 在底面ABCD 上的投影为M '，∴MM BM ''⊥．∵45MBM '∠=︒，
∴MBM '△
为等腰直角三角形． ∵POC △为直角三角形，OC =，∴60PCO ∠=︒．
设MM a '=，
CM '=
，
1OM '=．∴100M ⎛⎫' ⎪ ⎪⎝⎭
，
，．
BM a a '==⇒
=
．∴11OM
'==． ∴100M ⎛⎫'
⎪ ⎪⎝
⎭，，10M ⎛ ⎝⎭
2611AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，，，(100)AB =，，．设平面ABM 的法向量11(0)m y z =，，． 116
0y z +
=，∴(062)m =-，， (020)AD =，，，(100)AB =，，．设平面ABD 的法向量为2(00)n z =，，，
(001)n =，，．
∴10
cos ,m n m n m n
⋅<>=
=
⋅． ∴二面角M AB D --的余弦值为10
． 20．
【解析】 ⑴设()P x y ，，易知(0)N x ，
(0)NP y =，又1022NM NP ⎛== ⎪⎝
⎭，
∴1
2M x y ⎛
⎫
⎪⎝⎭
，，又M 在椭圆上． ∴2
2122x += ⎪⎝⎭
，即222x y +=． ⑵设点(3)Q Q y -，，()P P P x y ，，(0)Q y ≠，
由已知：()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ⋅=⋅---=，，， ()
2
1OP OQ OP OP OQ OP ⋅-=⋅-=，
∴2
13OP OQ OP ⋅=+=， ∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ⋅+=-+=．
设直线OQ ：3Q y y x =
⋅-，
因为直线l 与OQ l 垂直． ∴3
l Q
k y =
故直线l 方程为3
()P P Q
y x x y y =
-+， 令0y =，得3()P Q P y y x x -=-，
1
3
P Q P y y x x -⋅=-， ∴1
3
P Q P x y y x =-⋅+，
∵33P Q P y y x =+， ∴1
(33)13
P P x x x =-++=-，
若0Q y =，则33P x -=，1P x =-，1P y =±， 直线OQ 方程为0y =，直线l 方程为1x =-， 直线l 过点(10)-，，为椭圆C 的左焦点．
21．
【解析】 ⑴ 因为()()ln 0f x x ax a x =--≥，0x >，所以ln 0ax a x --≥．
令()ln g x ax a x =--，则()10g =，()11
ax g x a x x
-'=-
=
， 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 单调递减，但()10g =，1x >时，()0g x <； 当0a >时，令()0g x '=，得1
x a
=． 当10x a <<
时，()0g x '<，()g x 单调减；当1
x a
>时，()0g x '>，()g x 单调增． 若01a <<，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调减，()110g g a ⎛⎫
<= ⎪⎝⎭；
若1a >，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调增，()110g g a ⎛⎫
<= ⎪⎝⎭；
若1a =，则()()min 110g x g g a ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
，()0g x ≥．
综上，1a =．
⑵()2ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--，0x >．
令()22ln h x x x =--，则()121
2x h x x x
-'=-=
，0x >． 令()0h x '=得1
2
x =， 当102x <<
时，()0h x '<，()h x 单调递减；当1
2
x >时，()0h x '>，()h x 单调递增． 所以，()min 112ln 202h x h ⎛⎫
==-+< ⎪⎝⎭
．
因为()22e 2e 0h --=>，()22ln 20h =->，21e 02-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，122⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
，，
所以在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，上，()h x 即()f x '各有一个零点．
设()f x '在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上的零点分别为02x x ，
，因为()f x '在102⎛⎫
⎪⎝⎭
，上单调减，
所以当00x x <<时，()0f x '>，()f x 单调增；当01
2
x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减．因此，0x 是()f x 的极大值点．
因为，()f x '在12⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，上单调增，所以当212x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减，
2x x >时，()f x 单调增，因此2x 是()f x 的极小值点．
所以，()f x 有唯一的极大值点0x ．
由前面的证明可知，201e 2x -⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，，则()()
24220e e e e f x f ---->=+>．
因为()00022ln 0f x x x '=--=，所以00ln 22x x =-，则 又()()22000000022f x x x x x x x =---=-，因为0102x <<，所以()01
4
f x <． 因此，()201
e 4
f x -<<
． 22．
【解析】⑴设()()00M P ρθρθ，
，， 则0||OM OP ρρ==，． 000016
cos 4ρρρθθθ
=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
解得4cos ρθ=，化为直角坐标系方程为
()
2
224x y -+=．()0x ≠
⑵连接AC ，易知AOC △为正三角形．
||OA 为定值．
∴当高最大时，AOB S △面积最大，
如图，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于H 点 交圆C 于B 点， 此时AOB S △最大
max 1||||2S AO HB =
⋅ ()1||||||2
AO HC BC =+
2=
23．
【解析】⑴由柯西不等式得：()()()2255334a b a b a b ++=+=≥
1a b ==时取等号．
⑵∵332a b +=
∴()()
222a b a ab b +-+=
∴()()232a b b ab α⎡⎤++-=⎣⎦ ∴()()3
32a b ab a b +-+= ∴()()
3
23a b ab a b +-=+ 由均值不等式可得：()()32
232a b a b ab a b +-+⎛⎫= ⎪+⎝⎭≤ ∴()()3
2
232a b a b a b +-+⎛⎫ ⎪+⎝⎭
≤ ∴()()33324a b a b ++-≤ ∴()3124
a b +≤ ∴2a b +≤ 当且仅当1a b ==时等号成立．。