人教版九年级上数学册《第22章二次函数》综合检测试卷有答案AlHKHU

人教版九年级上册数学综合检测含答案
第22章 二次函数
（时间：120分钟 总分120分）
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项。

） 1．下列各式中，y 是x 的二次函数的个数为( A )
①y ＝2x 2＋2x ＋5；②y ＝－5＋8x －x 2；③y ＝(3x ＋2)(4x －3)－12x 2；④y ＝ax 2＋bx ＋c ；⑤y ＝mx 2＋x ；⑥y ＝bx 2＋1(b 为常数，b ≠0)．
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
2．若函数y ＝226
a a ax －－是二次函数且图象开口向上，则a ＝( B ) A ．－2 B ．4 C ．4或－2 D ．4或3
3．将抛物线y ＝3x 2平移得到抛物线y ＝3(x －4)2－1 的步骤是( D ) A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
4．抛物线y ＝1
2
x 2－4x ＋3的顶点坐标和对称轴分别是( D )
A ．(1,2)，x ＝1
B ．(1－，2)，x ＝－1
C ．(－4，－5)，x ＝－4
D ．(4，－5)，x ＝4
5.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图 ，则下列结论：
第5题图
①a ，b 同号；②当x ＝1和x ＝3时，函数值相等；③4a ＋b ＝0；④当y ＝－2时，x 的值只能为0，其中正确的个数是( B )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．我们在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看成是抛物线．如图 所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m ，距地面均为1 m ，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 m,2.5 m 处，绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5 m ，则学生丁的身高为( B )
第6题图
A ．1.5 m
B ．1.625 m
C ．1.66 m
D ．1.67 m
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．已知函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3(m 为常数). (1)当m ____≠2______时，该函数为二次函数； (2)当m _____＝2_____时，该函数为一次函数．
8．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－1,10)和(2,7)，且3a ＋2b ＝0，则该抛物线的解析式为___y ＝2x 2
－3x ＋5_____．
9．已知二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为k <－7
4
且k ≠0 .
10．出售某种手工艺品，若每个获利x 元，一天可售出(8－x )个，则当x ＝___4___元，一天出售该种手工艺品的总利润y 最大．
11．若函数y=mx 2
+2x+1的图象与x 轴只有一个公共点,则常数m 的值是 1或0 . 12．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：
已知二次函数2
y ax bx c =++的图象过点（1，0）……求证这个二次函数的图象关于直线x=2对称. 根据现有信息，得出有关这个二次函数的下列结论：①过点（3，0）；②顶点是（2，－2）；
③在x 轴上截得的线段的长是2； ④与y 轴的交点是（0，3）．其中正确的有__①③④_____(填序号).
三、解答题 （本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．已知抛物线y ＝ax 2经过点A (－2，－8)．
(1)求此抛物线的函数解析式；
(2)判断点B (－1，－4)是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上纵坐标为－6的点的坐标． 解：(1)把(－2，－8)代入y ＝ax 2，得－8＝a (－2)2.
解得a ＝－2，故函数解析式为y ＝－2x 2.
(2)∵－4≠－2(－1)2，∴点B (－1，－4)不在抛物线上． (3)由－6＝－2x 2，得x 2＝3，x ＝±3.
∴纵坐标为－6的点有两个，它们分别是(3，－6)与(－3，－6)．
14．如图 ，A (－1,0)，B (2，－3)两点都在一次函数y 1＝－x ＋m 与二次函数y 2＝ax 2＋bx －3的图象上． (1)求m 的值和二次函数的解析式；
(2)请直接写出当y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围．
第14题图
解：(1)由于点A (－1,0)在一次函数y 1＝－x ＋m 的图象上，得－(－1)＋m ＝0，即m ＝－1；
已知点A (－1,0)，点B (2，－3)在二次函数y 2＝ax 2＋bx －3的图象上，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧ a －b －3＝0，4a ＋2b －3＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝－2.
∴二次函数的解析式为y 2＝x 2－2x －3.
(2)由两个函数的图象知：当y 1＞y 2时，－1＜x ＜2.
15．已知抛物线y ＝x 2－2x －8.
(1)试说明抛物线与x 轴一定有两个交点，并求出交点坐标；
(2)若该抛物线与x 轴两个交点分别为A ，B (A 在B 的左边)，且它的顶点为P ，求S △ABP 的值． 解：(1)∵Δ＝(－2)2－4×1×(－8)＝4＋32＝36>0， ∴抛物线与x 轴一定有两个交点．
当y ＝0，即x 2－2x －8＝0时，解得x 1＝－2，x 2＝4. 故交点坐标为(－2,0)，(4,0)． (2)由(1)，可知：|AB |＝6.
y ＝x 2－2x －8＝x 2－2x ＋1－1－8＝(x －1)2－9.
∴点P 坐标为(1，－9)．过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，则|PC |＝9.
∴S △ABP ＝12|AB |·|PC |＝1
2
×6×9＝27.
16．如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一个
点)的路线是抛物线y ＝－3
5
x 2＋3x ＋1的一部分．
(1)求演员弹跳离地面的最大高度； (2)已知人梯高BC ＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？说明理由．
解：(1)y ＝－35
x 2＋3x ＋1
＝－35⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋194
.
故函数的最大值是19
4
，
∴演员弹跳离地面的最大高度是19
4
米．
(2)当x ＝4时，y ＝－35
×42
＋3×4＋1＝3.4＝BC .
∴这次表演成功．
17．如图，抛物线y ＝ax 2－5x ＋4a 与x 轴相交于点A ，B ，且过点C (5,4)． (1)求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标；
(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．
第17题图
解：(1)a ＝1，P ⎝⎛⎭⎫52
，－94. (2)答案不唯一，满足题意即可．如向上平移10
4
个单位长度后，再向左平移3个单位长度等．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图,二次函数y=ax 2
-4x+c 的图象过原点,与x 轴交于点A(-4,0).
(1)求此二次函数的解析式.
(2)在抛物线上存在点P,满足S △AOP =8,请直接写出点P 的坐标.
解：(1)依题意,得⎩⎨⎧=+=016160
a c 错误！未找到引用源。

解得⎩
⎨⎧=-=01c a 错误！未找到引用源。

∴二次函数的解析式为y=-x 2
-4x. (2)令P(m,n),
则S △AOP =1
2 错误！未找到引用源。

AO ·|n|=
错误！未找到引用源。

×4|n|=8,解得n=±4, 又∵点P(m,n)在抛物线 y=-x 2
-4x 上,
∴-m 2-4m=±4,分别解得m 1=-2,m 2=-2+2 2 错误！未找到引用源。

和m 3=-2-2错误！未找到引用源。

, ∴P 1(-2,4),P 2(-2+2错误！未找到引用源。

,-4),P 3(-2-2错误！未找到引用源。

,-4).
19．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象C 经过(－5,0)，⎝⎛⎭⎫0，5
2，(1,6)三点，直线l 的解析式为y ＝2x －3.
(1)求抛物线C 的解析式；
(2)判断抛物线C 与直线l 有无交点；
(3)若与直线l 平行的直线y ＝2x ＋m 与抛物线C 只有一个公共点P ，求点P 的坐标．
解：(1)把(－5,0)，⎝⎛⎭⎫0，52，(1,6)分别代入抛物线，解得a ＝12，b ＝3，c ＝52，∴y ＝12x 2＋3x ＋52
. (2)令12x 2＋3x ＋52＝2x －3，整理后，得12x 2＋x ＋11
2＝0，∵Δ<0，∴抛物线与直线无交点．
(3)令12x 2＋3x ＋52＝2x ＋m ，整理后，得12x 2＋x ＋52－m ＝0.由Δ＝12－4×12×⎝⎛⎭⎫5
2
－m ＝0，解得m ＝2，求得点P 的坐标为(－1,0)．
20．在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐助给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y (单位：个)与销售单价x (单位：元/个)之间的对应关系如图 所示：
(1)试判断y 与x 之间的函数关系，并求出函数关系式；
(2)若许愿瓶的价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w (单位：元)与销售单价x (单位：元/个)之间的函数关系式；
(3)若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此
时的最大利润．
图
解：(1)y 是x 的一次函数，设y ＝kx ＋b ，
∵图象过点(10,300)，(12,240)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 10k ＋b ＝300，12k ＋b ＝240.解得⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝－30，b ＝600. ∴y ＝－30x ＋600.
当x ＝14时，y ＝180；当x ＝16时，y ＝120.
即点(14,180)，(16,120)均在函数y ＝－30x ＋600图象上． ∴y 与x 之间的函数关系为y ＝－30x ＋60.
(2)w ＝(x －6)(－30x ＋600)＝－30x 2＋780x －3600.
即w 与x 之间的函数关系式为w ＝－30x 2＋780x －3600. (3)由题意，得6(－30x ＋600)≤900，解得x ≥15.
x ＝－30x 2＋780x －3600图象对称轴为x ＝－780
2×(－30)
＝13.
∵a ＝－30<0.∴抛物线开口向下． 当x ≥15时，w 随x 增大而减小． ∴当x ＝15时，w 最大＝1350，
即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21． 如图，四边形ABCD 是菱形，点D 的坐标是(0，3)，以点C 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 恰好经过x 轴上A ，B 两点．
(1)求A ，B ，C 三点的坐标；
(2)求过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；
(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D 点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位？
解：(1)A ，B ，C 的坐标分别为(1，0)，(3，0)，(2，3) (2)y ＝－3(x －2)2
＋3 (3)设抛物线的解析式为y ＝－3(x －2)2
＋k ，代入D (0，3)，可得k ＝53，平移后的抛物线的解析式为y ＝－3(x
－2)2
＋53，∴平移了53－3＝43个单位
22.某公司投资700万元购买甲、乙两种产品的生产技术和设备后,进行这两种产品的生产加工.已知生产甲种产品每件还需成本费30元,生产乙种产品每件还需成本费20元.经市场调研发现:甲种产品的销售单价定在35元到70元之间较为合理,设甲种产品的销售单价为x(元),年销售量为y(万件).当35≤x ≤50时,y 与x 之间的函数关系式为y=20-0.2x;当50≤x ≤70时,y 与x 之间的函数关系如图所示.乙种产品的销售单价在25元(含)到45元(含)之间,且年销售量稳定在10万件.物价部门规定这两种产品的销售单价之和为
90元.
(1)当50≤x ≤70时,求出甲种产品的年销售量y(万件)与x(元)之间的函数解析式.
(2)若该公司第一年的年销售利润(年销售利润=年销售收入-生产成本)为W(万元),那么怎样定价,可使第一年的年销售利润最大?最大年销售利润是多少?
(3)第二年公司可重新对产品进行定价,在(2)的条件下,并要求甲种产品的销售单价x(元)在50≤x ≤70范围内,该公司希望到第二年年底,两年的总盈利(总盈利=两年的年销售利润之和-投资成本)不低于85万元.请直接写出第二年乙种产品的销售单价m(元)的范围.
解：(1)设当50≤x ≤70时,y 与x 的函数关系式为y=kx+b.把(50,10),(70,8)代入得⎩⎨⎧=+=+8
7010
50b k b k 错误！
未找到引用源。

解得⎩
⎨
⎧=-=151
.0b k 错误！未找到引用源。

∴当50≤x ≤70时,
y 与x 的函数解析式为y=-0.1x+15.
(2)①依题意知:25≤90- x ≤45,即45≤x ≤65. 当45≤x ≤50时,W=(x-30)(20-0.2x)+10(90-x-20)
=-0.2x 2+16x+100=-0.2(x-40)2
+420.
由函数的性质知,当x=45时,W 最大值为415. 当50≤x ≤65时,
W=(x-30)(-0.1x+15)+10(90-x-20)
=-0.1x 2+8x+250=-0.1(x-40)2
+410.
由函数的性质知,当x=50时,W 最大值为400.
综上所述,当x=45时,即甲、乙两种产品的销售单价均定在45元时,可使第一年的年销售利润最大,最大年销售利润是415万元. (3)30≤m ≤40.
(由题意,令W=-0.1x 2
+8x+250+415-700≥85,
整理,得x 2
-80x+120≤0, 解得20≤x ≤60.
∵50≤x ≤65,根据函数的性质分析,50≤x ≤60. 即50≤90-m ≤60.故30≤m ≤40.) 六、（本大题共1小题，共12分） 23．如图，抛物线y ＝ax 2＋3ax ＋c (a >0)与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧．点B 的坐标为(1,0)，OC ＝3OB .
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值；
(3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上．是否存在以A ，C ，E ，P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
第23题图
解：(1)∵OC ＝3OB ，B (1,0)，∴C (0，－3)．
把点B ，C 的坐标代入y ＝ax 2＋3ax ＋c ，得
⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋3a ＋c ＝0，c ＝－3.解得⎩⎪
⎨⎪⎧
a ＝3
4，c ＝－3.
∴y ＝34x 2＋9
4
x －3.
(2)如图D86.过点D 作DM ∥y 轴分别交线段AC 和x 轴于点M ，N . S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝152＋1
2×DM ×(AN ＋ON ) ＝15
2
＋2DM ， ∵A (－4,0)，C (0，－3)，
设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，
代入，求得y ＝－3
4
x －3.
令D ⎝⎛⎭⎫x ，34x 2＋94x －3，M ⎝⎛⎭
⎫x ，－3
4x －3， DM ＝－3
4
x －3－⎝⎛⎭⎫34x 2＋94x －3 ＝－3
4
(x ＋2)2＋3，
当x ＝－2时，DM 有最大值3.
此时四边形ABCD 面积有最大值为27
2
.
图D86 图D87
(3)如图D87，讨论：①过点C 作CP 1∥x 轴交抛物线于点P 1，过点P 1作P 1E 1∥AC 交x 轴于点E 1， 此时四边形ACP 1E 1为平行四边形．
∵C (0，－3)，令34x 2＋9
4
x －3＝－3，
∴x ＝0或x ＝－3.∴P 1(－3，－3)．
②平移直线AC 交x 轴于点E ，交x 轴上方的抛物线于点P ，当AC ＝PE 时，四边形ACEP 为平行四边形，∵C (0，－3)，
∴可令P (x,3)，由34x 2＋9
4
x －3＝3，得x 2＋3x －8＝0.
解得x ＝－3＋412或x ＝－3－41
2
.
此时存在点P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋412，3和P 3⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3－412，3.
综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是P 1(－3，－3)，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋412，3，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－412，3.。