矩阵概念的一些背景

⎜b c e⎟
(6)
⎜⎝ d e f ⎟⎠
来表示.通常，(6)称为二次曲线(5)的矩阵.以后我们会看到，这种表示法不只是形
式的.
3. 在讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵.例如，假设在某一地区，
某一种物资，比如说煤，有 s 个产地 A1, A2 ,L, As ， n 个销地 B1, B2 ,L, Bn ，那么
即，VC 的第 i 行第 j 列元素等于 AW 的第 i 行第 j 列元素．
所以
(AB )C=A(BC ) ．
但是矩阵的乘法不适合交换律，即一般说来
例如，设
AB ≠ BA.
A
=
⎜⎜⎝⎛
1 −1
−11⎟⎟⎠⎞
,
B
=
⎜⎜⎝⎛
1 −1
−11⎟⎟⎠⎞
AB
=
⎜⎜⎝⎛
1 −1
−11⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
1 −1
−11⎟⎟⎠⎞
例1 设
那么
⎜⎛ 1 A = ⎜ −1
⎜⎝ 0
0 −1 13 5 −1
2 ⎟⎞ 0⎟
,
B
=
⎜⎛ ⎜ ⎜
4 ⎟⎠
⎜⎜⎝
0 1 3 −1
3 4 ⎟⎞
2 1 2
1 −1 1
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
,
⎜⎛ 1 AB = ⎜ −1
⎜⎝ 0 例 2 如果
0 −1 13 5 −1
2 0
⎟⎞⎜⎜⎛ ⎟⎜
4 ⎟⎠⎜⎜⎝
0 1 3 −1
( ) A =
aij
sn
=
⎜ ⎜
⎜⎜⎝
a21 M a s1
a12 L a1n ⎟⎞
a22 M as2
L L
a2n M a sn
⎟ ⎟
,
⎟⎟⎠
⎜⎛ b11
( ) B =
bij
sn
=
⎜ ⎜
⎜⎜⎝
b21 M bs1
b12 L b1n ⎟⎞
b22 L b2n ⎟
M bs 2
L
M bsn
⎟ ⎟⎟⎠
是两个 s × n 矩阵，则矩阵
以后用大写的拉丁字母 A, B,L ，或者
(aij ),(bij ),L
来表示矩阵.
有时候，为了指明所讨论的矩阵的级数，可以把 s × n 矩阵写成 Asn , Bsn ,L ，
或者
( ) ( ) aij sn , bij sn ,L
(注意矩阵符号与行列式的符号的区别).
( ) ( ) 设 A = aij mn , bij lk ，如果 m = l, n = k ，且 aij = bij ，对 i = 1,2,L,m; j = 1,2,L, n
C = A+ B.
矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加.当然，相加的矩阵必须要有相同的行
数和列数.由于矩阵的加法归结为它们的元素的加法，也就是数的加法，所以不
难验证，它有
结合律： A + (B + C) = ( A + B) + C ;
交换律： A + B = B + A .
元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为 Osn ，在不致引起含混的时候，可简单 地记为 O .显然，对所有的 A ，
=
⎜⎜⎝⎛
0 0
0 0
⎟⎟⎠⎞
,
而
BA
=
⎜⎜⎝⎛
1 −1
−11⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
1 −1
−11⎟⎟⎠⎞
=
⎜⎜⎝⎛
2 −2
−22⎟⎟⎠⎞ .
由这个例子我们还可看出，两个不为零的矩阵的乘积可以是零，这是矩阵乘
法的一个特点.由此还可得出矩阵消去律不成立.即当 AB = AC 时,不一定有
B=C.
定义 3 主对角线上的元素全是 1，其余元素全是 0 的 n × n 矩阵
同样，矩阵
⎜⎛ a11 a12 a13 ⎟⎞
⎜ a21 a22 a23 ⎟
(4)
⎜⎝ a31 a32 a33 ⎟⎠
就称为坐标变换(3)的矩阵.
2. 二次曲线的一般方程为
ax2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0 .
(5)
(5)的左端可以简单地用矩阵
⎜⎛ a b d ⎟⎞
⎜⎝ a31 a32 a33 ⎟⎠
⎜⎛ x1 ⎟⎞
⎜⎛ x2 ⎟⎞
X 1 = ⎜ y1 ⎟ , X 2 = ⎜ y2 ⎟ ,
⎜⎝ z1 ⎟⎠
⎜⎝ z2 ⎟⎠
那么坐标变换的公式可以写成
X 1 = AX 2 .
如果再作一次坐标系的转轴，设由第二个坐标系 (x2, y2, z2 ) 到第三个坐标系
(x3 , y3 , z3 ) 的坐标变换公式为
(2)
⎪⎩ y3 = b31 z1 + b32 z2 .
由(1)与(2)不难看出 x1, x2 , x3 , x4 与 z1, z2 的关系：
3
3
2
32
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ xi = aik yk = aik ( bkj z j ) =
aik bkj z j
k =1 23
k =1
j =1
23
k =1 j=1
一个调动方案就可以用一个矩阵
⎜⎛ a11
⎜ a21
⎜ ⎜⎜⎝
M a s1
a12 L a1n ⎟⎞
a22 L a2n ⎟
M as2
L
M a sn
⎟ ⎟⎟⎠
来表示，其中 aij 表示由产地 Ai 运到销地 B j 的数量.
4. n 维向量也可以看成矩阵的特殊情形. n 维行向量就是1× n 矩阵， n 维列 向量就是 n ×1 矩阵.
3 2 1 2
4 1 −1 1
⎟⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
=
⎜⎛ ⎜ ⎜⎝
−5 10 −2
6 2 17
7 ⎟⎞ − 6⎟ 10 ⎟⎠
( ) A = aij sn
是一线性方程组的系数矩阵，而
⎜⎛ x1 ⎟⎞
⎜⎛b1 ⎟⎞
X
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
x2 M xn
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
,
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
b2 M bs
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
X 2 = BX 3 ,
其中
⎜⎛ b11 b12 b13 ⎟⎞
⎜⎛ x3 ⎟⎞
B = ⎜ b21 b22 b23 ⎟ , X 3 = ⎜ y3 ⎟ .
⎜⎝ b31 b32 b33 ⎟⎠
⎜⎝ z3 ⎟⎠
那么不难看出，由第一个坐标系到第三个坐标系的坐标变换的矩阵即为
C = AB .
矩阵的乘法适合结合律.设
⎜⎛1 0 L 0⎟⎞
⎜0 1 L 0⎟
⎜ ⎜⎜⎝
M 0
M 0
L
1M ⎟⎟⎟⎠
称为 n 级单位矩阵，记为 En ，或者在不致引起含混的时候简单写为 E .显然有
Asn En = Asn ,
Es Asn = Asn . 矩阵的乘法和加法还适合分配律，即
分别是未知量和常数项所成的 n ×1 和 s ×1矩阵，那么线性方程组就可以写成矩阵
的等式
AX = B .
例 3 在空间中作一坐标系的转轴.设由坐标系 (x1, y1, z1 ) 到 (x2 , y2 , z2 ) 的坐标 变换的矩阵为
如果令
⎜⎛ a11 a12 a13 ⎟⎞ A = ⎜ a21 a22 a23 ⎟
⎜⎜⎝⎛
cos θ sinθ
− sinθ cosθ
⎟⎟⎠⎞
(2)
表示出来.通常，矩阵(2)称为坐标变换(1)的矩阵.在空间的情形，保持原点不动的
仿射坐标系的变换有公式
⎧ ⎪ ⎨
x y
= =
a11 x′ a21 x′
+ +
a12 y′ + a13 z′ , a22 y′ + a23 z′,
(3)
⎪⎩z = a31x′ + a32 y′ + a33 z′.
例如 在§1 我们看到，某一种物资如果有 s 个产地，n 个销地，那么一个调
动方案就可表示为一个 s × n 矩阵.矩阵中的元素 aij 表示由产地 Ai 要运到销地 B j
的这个物资的数量，比如说吨数.如果从这些产地还有另一个物资要运到这些销 地，那么，这种物资的调动方案也可以表示为一个矩阵.于是从产地到销地的总 的运输量也可以表示为一个 s × n 矩阵.显然，这个矩阵就等于上面两个矩阵的和.
⎪⎪ ⎨ ⎪
x2 x3
= =
a21 y1 a31 y1
+ a22 y2 + a32 y2
+ a23 y3 , + a33 y3 ,
(1)
⎪⎩x4 = a41 y1 + a42 y2 + a43 y3 .
又如 z1, z2 是第三组变量，它们与 y1, y2 , y3 的关系为
⎧ ⎪ ⎨
y1 y2
= b11 z1 + b12 z2 , = b21 z1 + b22 z2 ,
3
∑ cij = aik bkj (i = 1, 2,3, 4; j = 1, 2) .
(5)
k =1
用矩阵的表示法，我们可以说，如果矩阵
( ) ( ) A = aik 43 , B = bkj 32
分别表示变量 x1, x2 , x3 , x4 与 y1, y2 , y3 以及 y1, y2 , y3 与 z1, z2 之间的关系，那么表示
( ) ( ) ( ) A =
aij
,
sn
B=
b jk
nm
,C =
ckl
mr
则
( AB)C = A(BC) .
证： A = (aij )sn B = (bjk )nm
C = (ckl )mr
令
V = AB = (vik )sm ， W = BC = (wjl )nr
其中
n
∑ vik = aijbjk ， j =1
x1, x2 , x3 , x4 与 z1, z2 之间的关系的矩阵
( ) C = cij 42
就由公式(5)决定.矩阵 C 称为矩阵 A 与 B 的乘积，记为
C = AB
一般地，我们有：
定义 2 设
( ) ( ) A =
aik
sn ,
B=
bkj
,
nm
那么矩阵
( ) C =
cij
,
sm
其中
n
∑ cij = ai1b1 j + ai2b2 j + L + ainbnj = aik bkj ,
m
∑ wjl = bjk ckl k =1
m
mn
∑ ∑ ∑ VC 的第 i 行第 j 列元素为 vik ckl = L =
aij bjk ckl ，
k =1
k =1 j=1
m
mn
∑ ∑ ∑ AW 的第 i 行第 j 列元素为 aij wjl = L =
aij bjk ckl ．
j =1
k =1 j=1
1. 在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标系的转轴(反时针方向转 轴)，那么平面直角坐标变换的公式为
⎧x = x′cosθ − y′sinθ ,
⎨ ⎩
y
=
x′ sin θ
+
y ′ cosθ
,
(1)
其中θ 为 x 轴与 x′ 轴的夹角.显然新旧坐标之间的关系，完全通过公式中系数所排
成的 2 × 2 矩阵
第四章 矩 阵
Hale Waihona Puke §1 矩阵概念的一些背景在线性方程组的讨论中，我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的 系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵 的过程.除了线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念， 并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完 全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的.这使 矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念，因而也就使矩阵成为代数特别 是线性代数的一个主要研究对象.
根据矩阵加法的定义应用关于向量组的秩的性质，很容易看出：
秩( A + B )≤ 秩( A )+秩( B ) 2. 乘法 在给出乘法定义之前，先看一个引出矩阵问题.
设 x1, x2 , x3 , x4 和 y1, y2 , y3 是两组变量，它们之间的关系为
⎧x1 = a11 y1 + a12 y2 + a13 y3 ,
(6)
k =1
称为矩阵 A 与 B 的乘积，记为
C = AB .
由矩阵乘法的定义可以看出，矩阵 A 与 B 的乘积 C 的第 i 行第 j 列的元素等
于第一个矩阵 A 的第 i 行与第二个矩阵 B 的第 j 列的对应元素的乘积的和.当然， 在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等.
⎜⎛ a11 + b11
( ) ( ) C =
cij
sn
=
aij + bij
sn
=
⎜ ⎜
⎜⎜⎝
a21 + b21 M
as1 + bs1
a12 + b12 L a1n + b1n ⎟⎞
a22 + b22 L a2n + b2n ⎟
M as2 + bs2
L
M asn + bsn
⎟ ⎟⎟⎠
称为 A 和 B 的和，记为
A+O = A. 矩阵
⎜⎛ − a11
⎜ − a21
⎜ ⎜⎜⎝
M − as1
− a12 L − a1n ⎟⎞
− a22 L − a2n ⎟
M − as2
L
M − asn
⎟ ⎟⎟⎠
称为矩阵 A 的负矩阵，记为 − A .显然有
A + (− A) = O
矩阵的减法定义为
A − B = A + (−B)
都成立，我们就说 A = B .即只有完全一样的矩阵才叫做相等.
§2 矩阵的运算
现在来定义矩阵的运算，它们可以认为是矩阵之间一些最基本的关系.下面
要定义矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置.
为了确定起见，我们取定一个数域，以下所讨论的矩阵全是由数域中的数组
成的.
1. 加法
定义 1 设
⎜⎛ a11
.
(3)
∑∑ ∑ ∑ =
aik bkj z j = ( aik bkj )z j
(i = 1, 2,3, 4)
j=1 k =1
j=1 k =1
如果我们用
2
∑ xi = cij z j (i = 1, 2,3, 4)
(4)
j =1
来表示 x1, x2 , x3 , x4 与 z1, z2 的关系，比较(3),(4)，就有