湖北省襄州区六校联考2020届数学中考模拟试卷

湖北省襄州区六校联考2020届数学中考模拟试卷
一、选择题
1．函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
2．如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数
221
k k y x
-+=
的图象上．若点A 的坐标为（﹣4，﹣4），则k 的值为（ ）
A ．16
B ．﹣3
C ．5
D ．5或﹣3
3．如图，点A 在反比例函数k
y x
=
（x ＜0）的图象上，过点A 的直线与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，且AB BC =，若BOC ∆的面积为1.5，则k 的值为( )
A ．3-
B ． 4.5-
C ．6
D ．6-
4．下列运算中，结果正确的是（ ） A.235a a a +=
B.236a a a =
C.()
2
3
6a a =
D.623a a a ÷=
5．下列整式的计算正确的是（ ） A ．2x ﹣x ＝1 B ．3x•2x＝6x C ．（﹣3x ）2＝﹣9x 2
D ．（x 2）3＝（x 3） 2
6．不等式组372
291x x +≥⎧⎨-<⎩
整数解的个数是（）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
7．下列说法错误的是
A ．Rt △ABC 中，AB=3，BC=4，则AC=5；
B ．极差能反映一组数据的变化范围；
C ．经过点A （2，3）的双曲线一定经过点B （-3，-2）；
D ．连接菱形各边中点所得的四边形是矩形．
8．从三个不同方向看一个几何体，得到的平面图形如图所示，则这个几何体是( )
A ．圆柱
B ．圆锥
C ．棱锥
D ．球
9．如图，平面直角坐标系中，
P 与x 轴分别交于A 、B 两点，点P 的坐标为()3,1-，
AB =P 沿着与y 轴平行的方向平移多少距离时P 与x 轴相切 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．1或3
10．如图，∠AOB ＝45°，OC 是∠AOB 的角平分线，PM ⊥OB ，垂足为点M ，PN ∥OB ，PN 与OA 相交于点N ，那么
PM
PN
的值等于（ ）
A ．
12
B C D ．
11．如图，已知正五边形 ABCDE 内接于O ，连结BD ，则ABD ∠的度数是（ ）
A ．60︒
B ．70︒
C ．72︒
D ．144︒
12．某校对部分参加研学旅行社会实践活动的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：
A ．15，14
B ．15，13
C ．14，14
D ．13，14
二、填空题
13．在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （﹣3，5），B （﹣4，3），C （﹣1，1）．写出各点关于原点的对称点的坐标_____，_____，_____．
14．谷丰源公交车站每隔5min 发一班车，小亮来到汽车站，想体验一下公交车的运行情况，则他候车时间等于或超过2min 的概率为_____．
15．已知，，三个数的平均数是，且，，，四个数的平均数是，则的值为____．
16．如图，已知PA ＝PB ＝PC ＝4，∠BPC ＝120°，PA ∥BC ，以AB 、PB 为邻边作平行四边形ABPD ，连接CD ，则CD 的长为_____________________．
17．在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共60只，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（2）班的数学学习小组做了摸球实验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到表中的一组统计数据：
18．在Rt △ABC 中，AB ＝2，AC ＝4，将△ABC 绕点C 顺时针旋转，A 、B 的对应点分别为D 、E ，当B 、C 、D 三点在同一直线上时旋转停止，此时线段AB 扫过的阴影面积为_____．
三、解答题
191tan 602|︒-+-．
20．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m+3）x+m 2+2＝0． （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22＝31+|x 1x 2|，求实数m 的值．
21．如图，在矩形ABCD 中，BC=1，∠CBD=60°，点E 是AB 边上一动点（不与点A 、B 重合），连接DE ，过点D 作DF ⊥DE 交BC 的延长线于点F ，连接EF 交CD 于点G ．
（1）求证：△ADE∽△CDF；
（2）设AE的长为x，△DEF的面积为y．求y关于x的函数关系式；
（3）当△BEF的面积S取得最大值时，连接BG，请判断此时四边形BGDE的形状，并说明理由．
22．九年级(1)班和(2)班分别有一男一女共4名学生报名参加学校文艺汇演主持人的选拔.
(1)若从报名的4名学生中随机选出1名，则所选的这名学生是女生的概率是____；
(2)若从报名的4名学生中随机选出2名，用画树状图或列表的方法写出所有可能的情况，并求出这2名学生来自同一个班级的概率.
23．如图，正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝k
x
的图象相交于A（m，4），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）当﹣2x≤k
x
时，请直接写出x的取值范围．
24．某高速铁路位于某省南部，是国家“八纵八横”高速铁路网的重要连接通道，也是某省“三横五纵”高速铁路网的重要组成部分．东起日照，向西贯穿临沂、曲阜、济宁、菏泽，与郑徐客运专线兰考南站接轨．工程有一段在一条河边，且刚好为东西走向．B处是一个高铁维护站，如图①，现在想过B 处在河上修一座桥，需要知道河宽，一测量员在河对岸的A处测得B在它的东北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进300米到达点C处，测得B在C的北偏西30度方向上．
（1）求所测之处河的宽度；（结果保留的十分位）
（2）除（1）的测量方案外，请你再设计一种测量河宽的方案，并在图②中画出图形．
25．如图，AB是⊙O的直径AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接BD，OE，OE交AD于点F
（1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若
35
AC AB = ，求AF
DF 的值；
（3）在（2）的条件下，若⊙O 的直径为10，求BD 的长．
【参考答案】*** 一、选择题
13．（3，﹣5） （4，﹣3） （1，﹣1）． 14． 15．8
16 17．3 18．
53π
三、解答题 19．
12
【解析】 【分析】
根据负整数指数幂和1
2
【详解】
原式＝+1
2
＝
12
． 【点睛】
本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后进行加减运算．也考查了负整数指数幂以及特殊角的三角函数值． 20．（1）m≥﹣1
12
；（2）m ＝2． 【解析】 【分析】
（1）利用判别式的意义得到（2m+3）2﹣4（m 2+2）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据题意x 1+x 2＝2m+3，x 1x 2＝m 2+2，由条件得x 12+x 22＝31+x 1x 2，再利用完全平方公式得（x 1+x 2）2﹣3x 1x 2﹣31＝0，所以2m+3）2
﹣3（m 2
+2）﹣31＝0，然后解关于m 的方程，最后利用m 的范围确定满足条
件的m 的值． 【详解】
（1）根据题意得（2m+3）2﹣4（m 2+2）≥0， 解得m≥﹣
112
； （2）根据题意x 1+x 2＝2m+3，x 1x 2＝m 2
+2， 因为x 1x 2＝m 2+2＞0， 所以x 12
+x 22
＝31+x 1x 2， 即（x 1+x 2）2﹣3x 1x 2﹣31＝0， 所以（2m+3）2
﹣3（m 2
+2）﹣31＝0，
整理得m 2+12m ﹣28＝0，解得m 1＝﹣14，m 2＝2， 而m≥﹣
112
； 所以m ＝2． 【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2
+bx+c ＝0（a≠0）的两根时，
1212,b c
x x x x a a
+=-=．灵活应用整体代入的方法计算．
21．（1）证明见解析；（2）2x y +
=；（3）四边形BGDE 是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）利用矩形性质可得∠DCF=90°=∠A ，根据等角的余角相等，可得∠ADE=∠CDF ，利用两角对应相等的两个三角形相似，可证△ADE ∽△CDF.
（2） 利用相似三角形的对边成比例，可得DF ，利用勾股定理可得
22221DE AD AE x =+=+ ， 利用△DEF 的面积为
12 DF×DE=2
DE 2
， 代入数据化简即可. （3）利用直角三角形的性质可得CD 的值，利用相似三角形的对边成比例，可
得
AE AD CF CD ==
，即得 CF= x 。

根据△BEF 的面积S =
1
2
×BE×BF，代入数据整理即
得；利用二次函数性质可求出当x 时，△BEF 的面积S 有最大值；此时BE= ， CF=1，BF=2， 利用平行可得△CFG ∽△BFE ， 即得
CG CF
BE BF
= ，从而求出CG 的值，进而得到DG 的值 ， 即得BE=DG ，且BE ∥DG ，由BE=BG ，可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即证. 【详解】
（1）证明：∵在矩形ABCD 中，∠A=∠ADC=∠DCB=90°， ∴∠DCF=90°=∠A ， ∵DF ⊥DE ， ∴∠ADE=∠CDF ， 又∠A=∠EDF=90°， ∴△ADE ∽△CDF. （2）解：∵△ADE ∽△CDF
∴
DF CD CD
DE AD BC
===，即 DF 在Rt △ADE 中， 22221DE AD AE x =+=+ ，
∴△DEF 的面积为y=
222)2DF DE x x ⨯=+= . （3）解：当△BEF 的面积S 取得最大值时，四边形BGDE 是菱形。

理由如下：
∵BC=1，∠DBC=60°，∠DCB=90°，
∴，
∴在矩形ABCD 中，AD=BC=1．
∵AE=x ，∴x ， ∵△ADE ∽△CDF ，
∴
AE AD CF CD ==
，
∴，
∴△BEF 的面积S= 221)(1)22BE BF x x x ⨯==
∴当x 为时，△BEF 的面积S 有最大值；
此时，CF=1，BF=2， ∵CG ∥BE ， ∴△CFG ∽△BFE ， ∴
CG CF
BE BF
= ，
∴ ∴BE=DG ，且BE ∥DG ， ∴四边形BGDE 是平行四边形． 又∵ BE=BG ，
∴平行四边形BGDE 是菱形． 【点睛】
此题考查相似形综合题和菱形的判定，利用相似的性质是解题关键 22．(1)
12；(2)13
. 【解析】 【分析】
(1)直接利用概率公式计算即得.
(2)先画出树状图，得出共有12种等可能的结果，选出的2名学生来自同一个班级的结果有4种 ，然后利用概率公式计算即得. 【详解】
(1)一共有4名同学，其中两个为女生，故女生的概率为=
1
2
(2)解：画树状图如图.
∵共有12种等可能的结果，选出的2名学生来自同一个班级的结果有4种， ∴这2名学生来自同一个班级的概率为412=13
. 【点睛】
此题考查列表法与树状图法，概率公式 ，解题关键在于利用概率公式进行计算 23．（1）8
y x
=- ，B （2，﹣4）；（2）﹣2≤x＜0或x≥2． 【解析】 【分析】
（1）将A 坐标代入正比例函数2y x =-求出m 的值，将(24A -，）代入反比例解析式求k 的值，根据A 、B
关于O 点对称即可确定出B 坐标；
（2）根据图象和交点坐标找出正比例函数图象位于反比例函数图象下方时x 的范围即可． 【详解】
解：（1）将4A m （，）代入正比例函数2y x =-得：42m =-， 解得2m =-，
∴(24A ﹣，），
∵反比例函数k
y x
=
的图象经过24A （﹣，） ， ∴248k =-⨯=- ， 则反比例解析式为8
y x
=- ， ∵A 、B 关于O 点对称 ∴B （2，﹣4）；
（2）由图象得：当
2k
x x
≤﹣时，x 的取值范围为20x -≤＜或2x ≥． 【点睛】
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 24．（1）所测之处江的宽度为190.5m ；（2）见解析. 【解析】 【分析】
解：（1）过点B 作BF ⊥AC 于F ，根据题意得到∠EAB ＝45°，∠GCB ＝30°，AC ＝300m ，求得∠FBA ＝45°，∠CBF ＝30°，得到BF ＝AF ，解直角三角形即可得到结论； （2）构造相似三角形，根据相似三角形的性质得到方程即可得到结论．． 【详解】
（1）过点B 作BF ⊥AC 于F ，
由题意得：∠EAB ＝45°，∠GCB ＝30°，AC ＝300m ， ∴∠FBA ＝45°，∠CBF ＝30°， ∴BF ＝AF ，
∴FC ＝300﹣AF ＝300﹣BF （m ）， 在Rt △BFC 中，tan ∠CBF ＝FC
FB
， ∴tan30°＝300BF
BF
-，
300BF
BF
-=
，
解得：BF ﹣150（3m ）， 答：所测之处江的宽度为190.5m ；
（2）①在河岸取点A ，使B 垂直于河岸，延长BA 至C ，测得AC 做记录， ②从C 沿平行于河岸的方向走到D ，测得CD ，做记录， ③B0与河岸交于E ，测AE ，做记录．根据△BAE ～△BCD ， 得到比例线段，从而求出河宽AB ．
【点睛】
此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能构造直角三角形，并能借助于解直角三角形的知识求解是关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．
25．（1）证明见解析；（2）85；（3. 【解析】 【分析】
（1）连接OD ，只需证明OD ⊥DE 即可；
（2）连接BC ，设AC ＝3k ，AB ＝5k ，BC ＝4k ，可证OD 垂直平分BC ，利用勾股定理可得到OG ，得到DG ，于是AE ＝4k ，然后通过OD ∥AE ，利用相似比即可求出
AF
DF
的值． （3）由△ADB ∽△AFO 可得AD ，由Rt △ABD 勾股定理可得BD 【详解】
（1）证明：连接OD ， ∵OD ＝OA ， ∴∠OAD ＝∠ADO ， ∵∠EAD ＝∠BAD ， ∴∠EAD ＝∠ADO ， ∴OD ∥AE ，
∴∠AED+∠ODE ＝180°，
∵DE⊥AC，即∠AED＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是圆的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接OD，BC交OD于G，如图，∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵OD∥AE，
∴∠OGB＝∠ACB＝90°，
∴OD⊥BC，
∴G为BC的中点，即BG＝CG，
又∵
3
5 AC
AB
=，
∴设AC＝3k，AB＝5k，根据勾股定理得：BC
4k，
∴OB＝1
2
AB＝
5k
2
，BG＝
1
2
BC＝2k，
3k
2
=，
∴DG＝OD﹣OG＝5k3k
22
-＝k，
又∵四边形CEDG为矩形，∴CE＝DG＝k，
∴AE＝AC+CE＝3k+k＝4k，而OD∥AE，
∴
48
55
2
AF AE k
k
FD OD
===
．
（3）连接BD
由（2）可知
8
5 AF
DF
=
设AF＝8k，DF＝5k
△ADB∽△AFO
AF AO
AB AD
=
解得k
AD＝
2
在Rt△ADB中，AB2＝AD2+BD2
BD
【点睛】
考查了切线的判定定理，能够综合运用角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理．。