2015年高考数学(苏教版,理)一轮题库：第10章 第1讲 椭圆

第十章圆锥曲线与方程
第1讲椭圆
一、填空题
1．已知椭圆错误!＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该椭圆上，且错误!·错误!＝0,则点M到y轴的距离为________．
解析由题意,得F1（－3，0),F2(错误!,0)．
设M（x，y)，则错误!·错误!＝（－错误!－x，－y)·(错误!－x,－y）＝0，
整理得x2＋y2＝3。

①
又因为点M在椭圆上，故错误!＋y2＝1，
即y2＝1－错误!.②
将②代入①,得错误!x2＝2，解得x＝±错误!.
故点M到y轴的距离为错误!.
答案错误!
2．方程为错误!＋错误!＝1(a>b〉0）的椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它短轴上的一个端点,若3错误!＝错误!＋2错误!，则该椭圆的离心率为________．
解析设点D(0，b）,则错误!＝(－c,－b），错误!＝（－a，－b),错误!＝
（c，－b）,由3错误!＝错误!＋2错误!得－3c＝－a＋2c，即a＝5c,故e ＝错误!。

答案错误!
3．如图，已知点P是以F1、F2为焦点的
椭圆错误!＋错误!＝1(a>b〉0）上一点，若PF1⊥P F2，tan∠PF1F2＝错误!，则此椭圆的离心率是________．
解析由题得△PF1F2为直角三角形，设PF1＝m，
∵tan∠PF1F2＝错误!，∴PF2＝错误!，F1F2＝错误!m，
∴e＝错误!＝错误!＝错误!。

答案错误!
4．如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点,OC的延长线交椭圆于点M，且OF＝错误!，若MF⊥OA，则椭圆的方程为
________．
解析设所求的椭圆方程为x2
a2＋错误!＝1（a>b>0）,则
A(a，0），B(0，b），C错误!，F(错误!，0）．
依题意，得错误!＝错误!,FM的直线方程是x＝错误!，所以M错误!.
由于O ,C ，M 三点共线，所以错误!＝错误!，即a 2－2＝2，所以a 2＝4，
b 2＝2. 所求方程是x 2
4
＋错误!＝1。

答案 错误!＋错误!＝1
5．已知F 1，F 2为椭圆错误!＋错误!＝1的两个焦点,点P 在椭圆上，如果线段PF 1
的中点在y 轴上，且PF 1＝t ·PF 2，则t 的值为________．
解析 设N 为PF 1的中点，则NO ∥PF 2，故PF 2⊥x 轴，
故PF 2＝错误!＝错误!，而PF 1＋PF 2＝2a ＝4错误!，
∴PF 1＝错误!,t ＝7。

答案 7
6．设F 1、F 2分别是椭圆错误!＋错误!＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任
一点，点M 的坐标为(6，4），则PM ＋PF 1的最大值为________． 解析 PF 1＋PF 2＝10，PF 1＝10－PF 2,PM ＋PF 1＝10＋PM －PF 2，易知M 点在椭圆外,连结MF 2并延长交椭圆于P 点，此时PM －PF 2取最大值MF 2，故PM ＋PF 1的最大值为10＋MF 2＝10＋错误!＝15. 答案 15
7．在△ABC 中，AB ＝BC ，cos B ＝－错误!，
若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，则
该椭圆的离心率e ＝________。

解析 如图所示，设AB ＝BC ＝x ,
由cos B ＝－错误!及余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝
x 2＋x 2＋2x 2×718,∴AC 2＝错误!x 2，∴AC ＝错误!x 。

∵椭圆以A 、B 为焦点,∴焦距为2c ＝AB ＝x .
又椭圆经过点C ，∴AC ＋BC ＝53
x ＋x ＝2a ， ∴2a ＝错误!x ，∴e ＝错误!＝错误!.
答案 错误!
8．已知F 1(－c,0），F 2（c,0)为椭圆错误!＋错误!＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点,P
为椭圆上一点且PF 1，
→·错误!＝c 2,则此椭圆离心率的取值范围
是________．
解析 设P (x ，y )，则错误!·错误!＝(－c －x ，－y ）·
(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2①
将y 2＝b 2－b 2a 2x 2代入①式解得x 2＝错误!，又x 2∈[0，a 2］∴2c 2≤a 2≤3c 2,
∴e＝错误!∈错误!。

答案错误!
9．点M是椭圆错误!＋错误!＝1（a>b〉0)上的点，以M为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q,若△PQM是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是________．
解析由条件MF⊥x轴，其半径大小为椭圆通径的一半,R＝错误!，圆心到y轴距离为c，若∠PMQ为钝角，则其一半应超过错误!，从而错误!〈错误!，则2ac〈错误!b2，即2ac<错误!（a2－c2)，两边同时除以a2，则错误!e2＋2e－错误!<0，又0<e〈1，
∴0〈e〈错误!.
答案错误!
10. 如图，已知椭圆x2
4
＋错误!＝1，A、B是其左
右顶点，动点M满足MB⊥AB,连接AM交椭圆于点P，在x轴上有异于点A、B的定点Q，以MP为直径的圆经过直线BP、MQ的交点,则点Q的坐标为________．
解析法一设M（2,t），P(x0,y0)，则由A，P，M三点共线，得错误!＝错误!，代入错误!＋错误!＝1，解得x0＝错误!,y0＝错误!，k PB＝错误!＝错误!＝
－错误!.设Q(q,0），则k MQ＝错误!＝－错误!＝错误!，解得q＝0，即得Q(0，0)．
法二设M(2，2)，∵A（－2,0)，B(2，0)，
∴MA的方程为：x－2y＋2＝0.
由错误!解得P错误!.
从而可知直线PB的斜率k PB＝－1，
由直径上的圆周角是直角可知PB⊥MQ,∴k MQ＝1，
于是可求得直线MQ的方程为x－y＝0.
又Q点是直线MQ与x轴的交点，故Q点的坐标为(0，0)．
答案（0，0）
二、解答题
11．椭圆的两个焦点坐标分别为F1（－错误!，0)和F2(错误!,0）,且椭圆过点
错误!.
(1)求椭圆方程；
（2）过点错误!作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A 为椭圆的左顶点,试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．解(1）由题意，即可得到错误!＋y2＝1.
（2）设直线MN的方程为x＝ky－错误!，联立直线MN和曲线C
的方程可得
错误!
得(k2＋4)y2－错误!ky－错误!＝0，
设M（x1，y1)，N(x2，y2）,A（－2，0)，
y1y2＝－错误!，y1＋y2＝错误!,
则错误!·错误!＝（x1＋2，y1)·（x2＋2，y2）＝(k2＋1)y1y2＋错误!k（y1＋y2)＋错误!＝0，
即可得∠MAN＝错误!.
12．设椭圆错误!＋错误!＝1(a〉b>0)的左、右焦点分别为F1、F2。

点P （a，b)满足｜PF2|＝|F1F2｜。

(1）求椭圆的离心率e；
（2）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆（x＋1)2＋(y－错误!)2＝16相交于M，N两点,且|MN｜＝错误!｜AB｜，求椭圆的方程．
解（1）设F1(－c，0)，F2（c,0），（c>0)，因为｜PF2｜＝｜F1F2｜,所以错误!＝2c。

整理得2错误!2＋错误!－1＝0，
得错误!＝－1(舍）,或错误!＝错误!。

所以e＝错误!.
（2）由（1)知a＝2c，b＝3c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2,直线PF2的方程为y＝错误!(x－c）．
A、B两点的坐标满足方程组错误!
消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0,x2＝错误!c。

得方程组的解为错误!错误!
不妨设A错误!，B（0，－错误!c），
所以｜AB|＝错误!＝错误!c。

于是|MN｜＝错误!｜AB|＝2c.
圆心（－1，错误!）到直线PF2的距离d＝错误!＝错误!。

因为d2＋错误!2＝42，所以错误!（2＋c)2＋c2＝16.整理得7c2＋12c－52＝0。

得c＝－错误!（舍），或c＝2。

所以椭圆方程为错误!＋错误!＝1.
13. 如图,已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x
轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都是e.直线l ⊥MN，
l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D。

(1)设e＝错误!，求BC与AD的比值；
(2)当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．解(1）因为C1,C2的离心率相同，故依题意可设C1：错误!＋错误!＝1,C2：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）．
设直线l ：x ＝t (|t |＜a )，分别与C 1，C 2的方程联立，求得A 错误!，B 错误!.
当e ＝错误!时，b ＝错误!a ,分别用y A ，y B 表示A ，B 的纵坐标，可知BC ∶AD ＝错误!＝错误!＝错误!.
(2)当t ＝0时的l 不符合题意，当t ≠0时，BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即错误!＝错误!，解得t ＝－错误!＝－错误!·a .
因为|t ｜＜a ，又0＜e ＜1，所以1－e 2
e 2＜1，解得错误!＜e ＜1. 所以当0＜e ≤错误!时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ；
当错误!＜e ＜1时，存在直线l ,使得BO ∥AN .
14．已知椭圆的中心为坐标原点O ,椭圆短轴长为2,动点M （2,t ）（t
＞0)在椭圆的准线上．
(1）求椭圆的标准方程．
(2）求以OM 为直径且被直线3x －4y －5＝0截得的弦长为2的圆的方程；
(3）设点F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线FH ，且与以OM 为直径的圆交于点N ，求证:线段ON 的长为定值,并求出这个定值．
解(1)由2b＝2，得b＝1。

又由点M在准线上，得错误!＝2.
故错误!＝2.所以c＝1。

从而a＝错误!.
所以椭圆的方程为错误!＋y2＝1。

(2）以OM为直径的圆的方程为x（x－2)＋y(y－t)＝0，
即(x－1)2＋错误!2＝错误!＋1.
其圆心为错误!,半径r＝错误!。

因为以OM为直径的圆被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2，所以圆心到直线3x－4y－5＝0的距离d＝错误!＝错误!.
所以错误!＝错误!，解得t＝4.
故所求圆的方程为(x－1)2＋（y－2）2＝5.
(3）法一由平面几何知ON2＝OH·OM.
直线OM：y＝错误!x，直线FN：y＝－错误!(x－1）．
由错误!得x H＝错误!.
所以ON2＝错误!·｜x H｜·错误!·｜x M|
＝错误!·错误!·2＝2.
所以线段ON的长为定值错误!。

法二设N(x0，y0),则错误!＝(x0－1，y0），错误!＝(2，t)，
错误!＝（x0－2，y0－t)，错误!＝（x0,y0)．
因为错误!⊥错误!，所以2（x0－1)＋ty0＝0。

所以2x0＋ty0＝2。

学必求其心得，业必贵于专精
又错误!⊥错误!，所以x0（x0－2）＋y0（y0－t）＝0。

所以x错误!＋y错误!＝2x0＋ty0＝2。

所以|错误!|＝错误!＝错误!为定值。