高等数学(下册)-电子教案 11.1 常数项级数的概念与性质

但此级数发散 .
(2) 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 . 例如, 其一般项为
不趋于0, 因此这个级数发散.
内容小结
1 常数项级数的概念
则称级数 2 收敛级数的性质 性质1 3 级数收敛的必要条件
性质2
收敛.
性质3 性质4
n a q 4 等比级数 的收敛性： q 1 时收敛， n 0
ln 2 (ln 3 ln 2)
ln(n 1) ln n
ln(n 1) ( n ）
所以级数 发散.
例11.1.4
证明调和级数
发散.
1 1 1 证明 Sn 1 2 3 n x 0 时， x ln(1 x) 3 4 Sn ln 2 ln ln 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 2 n n 1 2 3 3 4
1 1 1 ( n ） n 1
所以级数 收敛, 其和为 1 .
例2 判定级数
的收敛性:
4 n 1 3 2 解 Sn ln ln ln ln 3 n 2 1
依次相加, 简记为 u n , 即
n 1
称上式为无穷级数， 其中第 n 项 u n 叫做级数的一般项.
级数的前 n 项和
称为级数的部分和. 数列 Sn 叫做级数 的部分和数列. 则称
定义11.1.2 如果数列 Sn 有极限S ，
, 无穷级数 u n收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作


n 1
n 1


证明 令 S n

k 1
u k , n vk ,
k 1
n
n
则
n ( un vn )
n 1

(u
n 1

n
vn )
这说明级数
n 1
( un vn ) 也收敛, 其和为 u v
n 1 n n 1



这说明
kS
k u
n 1

收敛 , 其和为 k S .
注 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
n 1
( u n vn )

性质2 设两个级数 un 与 vn 均收敛，则级数 也收敛, 且 ( un vn ) un vn .
n 1 n 1 n 1
第11章 无穷级数
无穷级数是研究函数的工具 研究性质
无穷级数


表示函数
数值计算
数项级数 幂级数
傅里叶级数
第11章
11.1 常数项级数的概念和性质
11.1 常数项级数的概念 11.2 收敛级数的基本性质
11.1 常数项级数的概念
引例


这是一个无穷个数和的形式， 即级数.
定义11.1.1 给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项
从而 lim S n , 级数发散
n
(2) 若
则 因此级数发散 ;
级数成为 因此
从而 ∴ q 1 时,
q ≥ 1 时,
a, Sn 0,
n 为奇数
n 为偶数
不存在 , 因此级数发散. 级数 级数 收敛 ; 且 发散 ;
例11.1.2 判定级数
的收敛性:
1 1 1 1 解 Sn 1 2 2 3 3 4 n (n 1)

q ≥ 1 时发散.
思考与练习
判断下列级数的收敛性, 若收敛求其和:
1 2 (2) n n ; 3 n 1 2

解 (1) (2)

n2 1 lim 2 0, 故该级数发散. n 2n n 1 2
2 是收敛的等比级数 n n 1 3 2 1 1 2 n n 收敛. 其和为 2 3 2 1 1 3 n 1 2 1 1 2 3
ln(n 1)
n 1 ln n
(n )
发散.
11.1.2 收敛级数的性质
性质1 若级数 也收敛 , 其和为 k S . 证明 令 S n 收敛于 S , 则级数 (k为常数)
k 1
uk ,
n
n
n
则 n k uk kSn ,
k 1
n
lim n
n 1
un 的前 k 项去掉,
n l 1
所得新级数
的部分和为 n u k l S k n S k 极限状况相同, 故新旧两级 数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为 S S k .
性质4 收敛级数任意加括号后所成的级数仍收敛， 且其和不变. 证明略. 例4 判定级数的收敛性:
n
.
注
(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或相减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( u n vn )
必发散 . (用反证法可证)
n 1

但若二级数都发散 ,
不一定发散.
1 例如, 取 un , n
1 vn , n
性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变 级数的敛散性. (但收敛级数的和可能会发生改变.) 证明 仅证在级数前面去掉有限项的情形 将级数
解 考虑加括号后的级数
发散 , 从而原级数发散 .
性质5
如果级数
级数收敛的必要非充分条件 则 收敛，
证明 un S n S n 1
lim u n lim S n lim S n 1 S S 0
n ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ n n
注 (1)
例如 虽然
n
lim u n 0 并非级数收敛的充分条件.
n 1
如果数列 Sn 没有极限 ， 则称无穷级数 u n , 发散 .
n 1
注 显然级数
与它的部分和数列 有相同的收敛性.
例11.1.1 讨论等比级数
( q 称为公比 ) 的收敛性. 解 (1) 若 部分和
因此级数收敛 , 其和为
a 1 q
;
aaqn 1q a 从而 lim Sn n 1 q
1 n 和 n 1 2