河南省罗山高中高三数学复习 精选练习 函数与方程(1)理(含解析)

河南省罗山高中2016届高三数学复习精选练习（理数，含解析）：函
数与方程（1）
1、设函数f(x)＝
1
3
x －ln x(x>0)，则y ＝f(x)( ). A.在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，(1，e)内均有零点
B.在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，(1，e)内均无零点
C.在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有零点，在区间(1，e)内无零点
D.在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
内无零点，在区间(1，e)内有零点 【答案】D
【解析】法一 因为f 1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝
13·1e －ln 1e ＝13e ＋1>0，f(1)＝13－ln 1＝13>0，f(e)＝3
e －ln e ＝
3e －1<0，∴f 1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭·f(1)>0，f(1)·f(e)<0，故y ＝f(x)在区间1,1e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
内无零点(f(x)在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
内根据其导函数判断可知单调递减)，在区间(1，e)内有零点. 法二 在同一坐标系中分别画出y ＝
1
3
x 与y ＝ln x 的图象，如图所示.
由图象知零点存在区间(1，e)内.
2、函数)(x f 在定义域R 上不是常数函数，且)(x f 满足条件，对任意x ∈R ，有)4(x f + ),4(x f -=)1()1(-=+x f x f , 则)(x f 是（ ）
A ．奇函数但非偶函数
B ．偶函数但非奇函数
C ．奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数 【答案】B
3、函数f （x ）=log a （x+1）+x 2
﹣2（0＜a ＜1）的零点的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】B
【解析】试题分析：由已知：“函数f （x ）=loga （x+1）+x2﹣2=0（0＜a ＜1）”，得函数loga （x+1）=2﹣x2（0＜a ＜1）， 画图，观察零点的个数即可．
试题解析：解：∵f （x ）=loga （x+1）+x2﹣2=0（0＜a ＜1） ∴loga （x+1）=2﹣x2（0＜a ＜1），
可以转化为函数y=loga （x+1）与y=2﹣x2交点的个数， 分析可得其有两个交点，
即函数f （x ）=loga （x+1）+x2﹣2（0＜a ＜1）的零点的个数是2. 故选B ．
考点：函数的零点． 点评：本题将零点个数问题转化成图象交点个数问题，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质． 4、设函数
,则函数()f x 存在零点的区间是( )
A.[]0,1
B.[]1,2
C.[]2,1--
D.[]1,0- 【答案】D
5、已知函数x x f ln )(=，则函数)()()(x f x f x g '-=的零点所在的区间是（ ） A.（0,1） B.（1,2） C. （2,3） D. （3,4） 【答案】B
6、已知定义在R 上的函数()f x ，当[02]x ∈，时，()=811f x x --（），且对于任意的实数1[22,22]n n x +∈--（,2n N n +∈≥且），都有1()(1)22
x
f x f =
-，若函数()()log a g x f x x =-有且只有三个零点，则a 的取值范围为（ ）
A.[2,10]
B.[2,10]
C.(2,10)
D.(2,10) 【答案】C.
【解析】如图所示，易得1a >，依题意得log 44
log 102
a a <⎧⎨
>⎩，∴210a <<，故选D.
.
考点：1.函数与方程；2.数形结合的数学思想.
7、已知1a >，设函数()4x f x a x =+-的零点为m ，()log 4a g x x x =+-的零点为n ，则mn 的最大值为（ ）
A ．
B ．4
C ．2
D ． 【答案】B
8、由表格中的数据可以判定方程20x e x --=的一个零点所在的区间是(,1)()k k k Z +∈，则k x -1
0 1 2 3 x e 0.37 1 2.72 7.39 20.09 2x +
1
2
3
4
5
【答案】C
试题分析：设函数()2--=x e x f x
,如果零点在()1,+k k ,那么()()01<+k f k f ,由表格
分析，()()02,01><f f ，故1=k ,选C. 9、函数()23x
f x =-零点所在的区间是（ ） A ．（-1，0） B.（0，1） C.（1，2） D.（2，3） 【答案】C
10、设()338x f x x =+-，用二分法求方程3380x x +-=在(1,2)x ∈内近似解的过程中，
(1)0,f <(1.5)0,(1.25)0f f ><，则方程的根落在区间（ ）
A ．(1,1.25)
B ．(1.25,1.5)
C ．(1.5,2)
D ．不能确定 【答案】B
11、将方程tan 0x x +=的正根从小到大地依次排列为12,,,,n a a a L L ，给出以下不等式： ①102
n n a a π
+<-<
；②
12
n n a a π
π+<-<；③122n n n a a a ++>+；④122n n n a a a ++<+；
其中，正确的判断是( )
A ．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D
12、函数23420122013()1cos 223420122013x x x x x f x x x ⎛⎫
=+-+-+-+ ⎪⎝
⎭L 在区间[-3，3]上的零点的个数为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 【答案】C
13、已知若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )
的表达式为________． 【答案】A
【解析】在函数g (x )的图象上任取一点(x ，y )，这一点关于x ＝1的对称点为(x 0，y 0)，则
14、定义在R 上的偶函数()y f x =满足：
①对任意x R ∈都有)1()()2(f x f x f +=+成立；
②1)0(-=f ； ③当)0,1(-∈x 时，都有0)(/
<x f ．
若方程()0f x =在区间]3,[a 上恰有3个不同实根，则实数a 的取值范围是 。

【答案】
]-31（， 15、定义域是一切实数的函数)(x f y =，其图像是连续不断的，且存在常数λ）（R ∈λ使得0)()(=++x f x f λλ对任意实数x 都成立，则称）（x f 是一个“λ的相关函数”。

有下列关于“λ的相关函数”的结论：（1）0)(=x f 是常值函数中唯一一个“λ的相关函数”; (2)2
)(x x f =是一个“λ的相关函数”；（3）“
2
1
的相关函数”至少有一个零点。

其中结论正确的是 . 【答案】(3)
【解析】①∵f （x ）=0是一个“λ的相关函数”，则0+λ？0=0，λ可以取遍实数集，因此f （x ）=0不是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”，故①不正确；
②用反证法，假设f （x ）=x 2是一个“λ的相关函数”，则（x+λ）2+λx 2
=0，
即（1+λ）x 2+2λx+λ2
=0对任意实数x 成立，
∴λ+1=2λ=λ2
=0，而此式无解，
∴f （x ）=x 2
不是一个“λ的相关函数”，故②不正确； ③令x=0得：()()11110002222f f f f ⎛⎫⎛⎫
+=∴=- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
若f （0）=0，显然f （x ）=0有实数根； 若()()()()()211100,00000222f f f f f f ⎛⎫
≠⋅=-⋅=-<
⎪⎝⎭
又因为f （x ）的函数图象是连续不断，∴f （x ）在10,
2⎛
⎫
⎪
⎝
⎭
上必有实数根．因此任意的12 相关函数”必有根，即任意的相关函数”至少有一个零点，故③正确．综上所述，其中正确结论的个数是1个．
故选：A ．
【思路点拨】由函数的性质可分析每一种说法的正误情况，最后做出判断.
16、函数f(x)=x 2— 2x
在x ∈R 上的零点的个数是 【答案】3 【解析】
17、方程2
)0(213x k x k －＋＋－＝ 有两个不等实根x 1，x 2，且0＜x 1＜1＜x 2＜2，求实数k 的取值范围．
【答案】解：因为方程2
)0(213x k x k －＋＋－＝有两个不等实根x 1，x 2，且0＜x 1＜1＜x 2＜2，所以设f(x)＝x 2
－(k ＋2)x ＋1－3k ，画出函数的大致图象如图．
据图象有f(0)＝1－3k ＞0，且f(1)＝－4k ＜0，且f(2)＝1－5k ＞0，所以105
k <<. 所以实数k 的取值范围为105k k ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭
.
18、用二分法求方程15
ln =033x x +
-的近似解(精确度0．1)． 【答案】解：由方程15ln =033x x +-可得15
ln 33
x x =-+，分别画出函数y ＝ln x 和
15
33
y x =-+的图象(如图)．
这两个函数图象交点处函数值相等，因此交点处的横坐标就是方程15
ln 33
x x =-+，即方程15
ln 033
x x +
-=的解． 从图象上可以看出，两图象只有一个交点，交点的横坐标介于2和3之间，设
15()ln 33f x x x =+-，f(2)＝ln 2－1＜0，2
(3)=ln 3>03
f -，用计算器计算，得
因为2.437 5－2.375＝0.062 5＜0.1，所以所求的方程ln 033
x x +-=的近似解可取为2.375.
19、函数c o s ()(0,0)
y x ωϕωϕπ
=+><<为奇 函数,该函数的部分图像如图所示,A 、
B 分别为最高点与最低点,且||AB =则该函数图象的一条对称轴为( )
A.2π
=
x B.2
π
=
x C .2x = D.1x =
【答案】D
由c o s ()
y x ωϕ=+为奇函数,得2
k π
ϕπ=+()k ∈Z ,又0ϕπ<<,∴2
π
ϕ=
.结合图象知14T =,∴2πω=,∴c o s ()s i n 222y x x πππ=+=-,当1x =时,s in 12
y π=-=-,∴1x =
是其一条对称轴.
20、已知函数32()()ln f x x x g x a x =-+=，，a ∈R ．
（1）若对任意[]1
e x ∈，，都有2()(2)g x x a x -++≥恒成立，求a 的取值范围； （2）设()()()11
f x x F x
g x x ⎧<⎪=⎨⎪⎩
，，
，≥．若P 是曲线y =F (x )上异于原点O 的任意一点，在曲线y =F (x )
上总存在另一点Q ，使得△POQ 中的∠POQ 为钝角，且PQ 的中点在y 轴上，求a 的取值范围． 【答案】解：（1）由2()(2)g x x a x -++≥，得()2ln 2x x a x x --≤．
由于[]1e x ∈，，ln 1x x ≤≤，且等号不能同时取得，所以ln ln 0x x x x <->，． 从而22ln x x
a x x --≤恒成立，2min
2ln x x a x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≤．
设()[]221e ln x x
t x x x x -=∈-，，．求导，得()()()()
2
12ln ln x x x t x x x -+-'=-． []1e x ∈，，10ln 12ln 0x x x x -+->≥，≤，，
从而()0t x '≥，()t x 在[]1e ，上为增函数． 所以()()min 11t x t ==-，所以1a -≤．
（2）()321ln 1x x x F x a x x ⎧-+<=⎨⎩
，，
，≥．设()()P t F t ，为曲线()y F x =上的任意一点．
假设曲线()y F x =上存在一点()()Q t F t --，，使∠POQ 为钝角，
则0OP OQ ⋅<u u u r u u u r
． 若t ≤-1，(
)
32
P t t t
+，-，()()ln Q t a t --，，OP OQ ⋅u u u r u u u r
=232ln()()t a t t t -+-⋅-+．
由于0OP OQ ⋅<u u u r u u u r
恒成立，()()1ln 1a t t --<． 当t =－1时，()()1ln 1a t t --<恒成立． 当t <－1时，1(1)ln()a t t <
--恒成立．由于
1
0(1)ln()
t t >--，所以a ≤0. 若11t -<<，0t ≠，()
32P t t t +，-，()
32Q t t t -+，，
则OP OQ ⋅u u u r u u u r
=23232()()0t t t t t -+-++<， 4210t t -+>对11t -<<，0t ≠恒成立． ③ 当t ≥1时，同①可得a ≤0．
综上所述，a 的取值范围是(]0-∞，
． 21、已知函数()log (1)log (1)a a f x x x =+--,其中)10(≠>a a 且． (1)求函数()f x 的定义域;
(2)判断()f x 的奇偶性,并说明理由;
(3)若3
()25
f =,求使()0f x >成立的x 的集合.
【答案】(1)由10
10
x x +>⎧⎨
->⎩,得11x -<<
∴函数()f x 的定义域为)1,1(-．
（2）函数()f x 的定义域为)1,1(-关于原点对称, ∵()log (1)log (1)()a a f x x x f x -=--+=- ∴()f x 是奇函数． (3)由382
()log log log 42555
a
a a f =-==,得2=a . ∴22()log (1)log (1)f x x x =+--,
由()0f x >得0)1(log )1(log 22>--+x x , ∴22log (1)log (1)x x +>- 得011>->+x x ,解得10<<x .
∴使()0f x >成立的x 的集合是}10|{<<x x ．
22、已知0a >,函数()||1()f x x x a x R =-+∈.
(1)当1a =时，求函数()y f x =在闭区间[0,2]上的最大值和最小值；
(2) 试讨论函数()y f x =的图像与直线y a =的交点个数.
【答案】(1)22
2
213(),11, 124
()151,1(),1
24
x x x x x f x x x x x x ⎧-+≥⎪⎧-+≥⎪⎪==⎨⎨-++<⎪⎩⎪--+<⎪⎩ 结合图像可知函数的最大值为(2)3f =，最小值为(0)(1)1f f == (2)因为0,a >所以2
a
a >
， 所以211y x ax =-+在[,)a +∞上递增；
221y x ax =-++在(,)2a -∞递增，在[,)2
a
a 上递减
因为()1f a =，所以当1a =时，函数()y f x =的图像与直线y a =有2个交点；
又2()124a a f =
+，而22211
()1(44)(2)02444
a a f a a a a a -=+-=-+=-≥， 当且仅当2a =时，上式等号成立
所以，当01a <<时，函数()y f x =的图像与直线y a =有1个交点； 当1a =时，函数()y f x =的图像与直线y a =有2个交点； 当12a <<时，函数()y f x =的图像与直线y a =有3个交点； 当2a =时，函数()y f x =的图像与直线y a =有2个交点； 当2a >时，函数()y f x =的图像与直线y a =有3个交点。