高三数学联考试题文含解析试题 2

2021高考模拟三校联考文科数学试卷
制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……
日期：2022年二月八日。

一、选择题:在每一小题给出的四个选项里面,只有一项是哪一项符合题目要求。

1.假设复数，那么z的一共轭复数〔〕
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用复数的运算，化简复数为代数形式，再根据一共轭复数的概念，即可求解.
【详解】由，由一共轭复数的概念，可得，应选B.
【点睛】此题主要考察了复数的运算，以及一共轭复数的应用，其中解答中熟记复数的运算，以及一共轭复数的概念是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.
2.设全集，集合，，那么集合〔〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
解出集合A，再求出，再利用交集概念求解。

【详解】因为集合，
所以，
所以.
应选：C
【点睛】此题主要考察了集合的根本运算，全集、补集、交集等根底知识；考察运算求解才能，属于根底题。

3.等差数列满足，，那么它的前8项的和为〔〕
A. 95
B. 80
C. 40
D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】
由等差数列的性质和条件可得，，进而可得，，根据求和公式计算即可．【详解】等差数列满足，，
，，
，，
，
数列的前8项之和，
应选：C．
【点睛】此题主要考察等差数列根本量的计算和等差数列的求和公式和性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.
4.假设变量满足约束条件，那么的最小值为〔〕
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据线性约束条件作出可行域，将线性目的函数化为直线方程，根据目的函数平移得到最优解，再将最优解代入目的函数即可得答案。

【详解】因为约束条件，作出可行域如下列图所示
目的函数可化为函数
由图可知，当直线过时，
直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1．
所以选A
【点睛】此题考察了线性规划的简单应用，线性目的函数最值的求法，属于根底题。

5.正四面体中，为的中点，那么与所成角的余弦值为〔〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设正四面体A﹣BCD的棱长为2，取BD的中点N，连结MN，CN那么MN∥AD，∠CMN或者其补角是CM与AD所成的角，由此能求出直线CM与AD所成角的余弦值．
【详解】如图，设正四面体A﹣BCD的棱长为2，取BD的中点N，
连结MN，CN，∵M是AC的中点，∴MN∥AD，
∴∠CMN或者其补角是CM与AD所成的角，
设MN的中点为E，那么CE⊥MN，在△CME中，ME，CM＝CN，
∴直线CM与AD所成角的余弦值为cos∠CME.
应选：C．
【点睛】此题考察异面直线所成角的余弦值的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系，考察运算求解才能，考察数形结合思想，是根底题．
6.假设某程序框图如下图，那么该程序运行后输出的值是〔〕
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
模拟执行循环构造的程序得到与的值，计算得到时满足判断框的条件，退出循环，输出结果，即可得到答案.
【详解】模拟执行循环构造的程序框图，可得：，
第1次循环：；
第2次循环：；
第3次循环：，
此时满足判断框的条件，输出.
【点睛】此题主要考察了循环构造的程序框图的应用，其中解答中根据给定的程序框图，根据判断框的条件推出循环，逐项准确计算输出结果是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.
7.中国古代数学著作?算法统宗?中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.〞其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地〞.那么该人最后一天走的路程为〔〕.
A. 24里
B. 12里
C. 6里.
D. 3里
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程．
【详解】解：记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，
由，得，解得：，
，
应选：C．
【点睛】此题考察等比数列的通项公式，考察了等比数列的前项和，是根底的计算题．
8.在正方形内任取一点，那么该点在此正方形的内切圆外的概率为〔〕
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
设正方形边长为，那么，应选A.
9.，，那么〔〕
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由条件可求出sin2α，再由三角函数的诱导公式化简计算即可得答案．
解析：∵,
又∵
∴
应选：D．
点睛:此题考察了三角函数的诱导公式，考察了三角函数根本关系式的应用，是根底题，三角小题中常用的还有三姐妹的应用，一般，，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知一求三.．
10.函数的图象大致为〔〕
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
根据函数的奇偶性，排除选项，通过函数的导数，判断函数的单调性，可排除选项，从而可得结果. 【详解】函数是偶函数，排除选项；
当时，函数，可得，
当时，，函数是减涵数，当时，函数是增函数，排除项选项，应选C. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象
11.设分别是双曲线在双曲线上，且，那么〔〕
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
根据题意，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．∵点P在双曲线上，且，根据直角三角形斜边中线是斜边的一半，∴=2|=|=2．
应选B．
12.定义域为的奇函数，当时，恒成立，假设，
，那么〔〕
A. B.
C. D.
【解析】
【分析】
构造函数，那么根据是奇函数且当时，恒成立得到的单调性与奇偶性，进而判断大小关系。

【详解】构造函数
因为是奇函数，所以为偶函数
当时，恒成立，即，所以
在时为单调递减函数
在时为单调递增函数
根据偶函数的对称性可知
，
所以
所以选D
【点睛】此题考察了导数在函数单调性中的综合应用，比拟函数的大小关系，属于中档题。

二、填空题．
13.是单位向量，且与夹角为，那么等于_____．
【答案】3
【解析】
14.F是抛物线C：y＝2x2的焦点，点P〔x，y〕在抛物线C上，且x＝1，那么|PF|＝_____．
【解析】
【分析】
利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可．
【详解】由，得，那么；由得，由抛物线的性质可得，故答案为：．
【点睛】此题考察抛物线的定义的应用，属于根底题．
15.，分别是双曲线：的左、右顶点，为上一点，那么的外接圆的HY方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由点为上，求m,由外心设外心坐标M(0,t),M在PB的中垂线上求t即可
【详解】为上一点,,解得m=1,那么B(1,0),∴PB中垂线方程为+2,令x=0,那么y=3,设外接圆心M(0,t),那么M(0,3),,∴ 外接圆的HY方程为
故答案为
【点睛】此题考察圆的HY方程，双曲型方程，熟记外心的根本性质，准确计算是关键，是根底题
16.将函数的图象向右平移〔〕个单位长度后，其函数图象关于轴对称，那么的最小值为__．
【答案】
【解析】
【分析】
利用三角恒等变换化简，可得函数，再由三角函数的图象变换，求得，根据函数的对称性，即可求解.
【详解】由题意，函数，
那么的图象向右平移个单位，可得，
又由的图象关于y轴对称，所以，即，
解得，即，
当时，求得最小值为.
【点睛】此题主要考察了三角恒等变换、及三角函数的图象变换和三角函数的性质的应用，其中根据三角恒等变换的公式，化简得到函数的解析式，数列应用三角函数的图象变换和三角函数的性质是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.
三、解答题:解容许写出文字说明．证明过程或者演算步骤
17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．〔1〕求角A的大小；
〔2〕求△ABC的面积的最大值.
【答案】〔1〕〔2〕最大值.
【解析】
【分析】
〔1〕利用正弦定理得，再由余弦定理求得，即可求解；
〔2〕利用余弦定理和根本不等式，求得的最大值，再利用三角形的面积公式，即可求解面积的最大
值，得到答案.
【详解】在的内角A，B，C的对边分别为且，
且．
整理得，
利用正弦定理得，
又由余弦定理，得，
由于，解得：．
由于，所以，
整理得：，
所以．
当且仅当时，的面积有最大值.
【点睛】此题主要考察了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适宜，要抓住可以利用某个定理的信息，一般地，假如式子中含有角的余弦或者边的二次式时，要考虑用余弦定理；假如式子中含有角的正弦或者边的一次式时，那么考虑用正弦定理，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.
18.某大学餐饮中心为了理解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进展了抽样调查，调查结果如下表所示：
喜欢甜品不喜欢甜品合计
南方学生60 20 80
北方学生10 10 20
合计70 30 100
根据表中数据，问是否有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异〞；
在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，如今从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．
附：
【答案】〔1〕有%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异〞；〔2〕. 【解析】
分析：〔1〕将列联表中的数据，代入公式，求得的值，即可做出判断；
〔2〕从名数学老师中任选人，列举出所有的根本领件的总数，即可利用古典概型及概率的计算公式求解．
详解：解(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
χ2＝＝≈4.762.
由于，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异〞．.
(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的根本领件空间Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b2，b3)，(a1，b1，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，(b1，b2，b3)}．
其中a i表示喜欢甜品的学生，i＝1,2.b j表示不喜欢甜品的学生，j＝1,2,3.Ω由10个根本领件组成，且这些根本领件的出现是等可能的．.
用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品〞这一事件，那么
A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b2，b3)，(a1，b1，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，(b1，b2，b3)}．事件A是由7个根本领件组成，因此P(A)＝...
点睛：此题主要考察了古典概型及其概率的计算，HY性检验的应用，其中解答中准确计算是解答的关键，着重考察了推理与计算才能．
19.己知三棱在底面上的射影恰为的中点，,又知
〔1〕求证：；
〔2〕求点到平面的间隔 .
【答案】〔1〕见证明；〔2〕
【解析】
【分析】
〔1〕在三棱柱中，利用线面垂直的断定定理，证得面，得到，又由，再利用线面垂直的断定定理，即可证得平面.
〔2〕作与点E，连接,作，利用线面垂直的断定定理，得平面，在
中，求得,进而得到到平面的间隔 .
【详解】〔1〕在三棱柱中，由得，
因为底，所以，且，所以面，
又由平面，所以，
因为，，
由线面垂直的断定定理，可得平面.
〔2〕作与点E，连接,作，
因为平面，所以,
所以平面，
又平面，在中，,
因为为的中点，所以到平面的间隔为.
【点睛】此题主要考察了直线与平面垂直的断定，以及点到平面的间隔的计算，其中解答中熟记线面位置关系的断定定理和性质定理，以及点到平面的间隔的定义，合理、准确计算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于中档试题.
20.椭圆的离心率为，且过点
求椭圆方程；
设不过原点的直线与该椭圆交于两点，直线的斜率依次，满足，试问：当变化时，是否为定值？假设是，求出此定值，并证明你的结论；假设不是，请说明理由.
【答案】〔1〕；〔2〕，证明过程详见解析．
【解析】
试题分析：〔1〕求椭圆的HY方程，就是要确定的值，只要找到两个关于的等式即可，此题中一个离心率，一个是椭圆过点，由此可得；〔2〕设交点，，把直线方程与椭圆方程联立方程组，消去后，可得，计算，化简后并把代入可得结论．
试题解析：〔1〕依题意可得解得.
所以椭圆的方程是.
〔2〕当变化时，为定值，证明如下：
由得，.
设，，那么，〔*〕
∵直线的斜率依次为，且，
∴，得，
将〔*〕代入得：，
经检验满足
考点：椭圆的HY方程，直线与椭圆的位置关系．
【名师点睛】此题考察解析几何中的定值问题，采用“设而不求〞方法求解，即设交点为
，把直线方程与椭圆方程联立方程组后消元得的一元二次方程，从而得，然后计算，把代入，由等式求得，假如能求出，说明定值存在，假如不
能求出，说明定值不存在．
21.函数，且曲线在点M处的切线与直线平行.
〔1〕求函数的单调区间；
〔2〕假设关于的不等式恒成立，务实数的取值范围.
【答案】〔1〕单调递减区间是，单调递增区间是；〔2〕.
【解析】
【分析】
〔1〕根据切线的斜率可求出,得，求导后解不等式即可求出单调区间.
〔2〕原不等式可化为恒成立，令，求导后可得函数的最小值，即可求解. 【详解】〔1〕函数的定义域为，，
又曲线在点处的切线与直线平行
所以，即
，
由且，得，即的单调递减区间是
由得，即的单调递增区间是.
〔2〕由〔1〕知不等式恒成立可化为恒成立
即恒成立
令
当时，，在上单调递减.
当时，，在上单调递增.
所以时，函数有最小值
由恒成立
得，即实数的取值范围是.
【点睛】此题主要考察了导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间，最值，恒成立问题，属于中档题.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：，过点
的直线的参数方程为：〔为参数〕，直线与曲线分别交于、两点.
〔1〕写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
〔2〕求线段的长和的积.
【答案】〔1〕曲线的直角坐标方程为：.直线的普通方程为.〔2〕8； 14
【解析】
【分析】
〔1〕由，也即，即得曲线的直角坐标方程为.
由消去参数得直线的普通方程为.〔2〕将直线的参数方程代入中得，再利用直线参数方程t的几何意义求线段的长和的积.
【详解】〔1〕由，也即，
∴曲线的直角坐标方程为：.
由消去参数得直线的普通方程为.
〔2〕将直线的参数方程代入中，
得：，那么有，.
不妨设，两点对应的参数分别为、，
那么，，
∴.
.
【点睛】此题主要考察参数方程、普通方程和极坐标方程的互化，考察直线参数方程t的几何意义，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.
23.选修4-5：不等式选讲
.
〔1〕求不等式的解集；
〔2〕假设存在，使得成立，务实数的取值范围
【答案】〔1〕.
〔2〕.
【解析】
试题分析：〔Ⅰ〕通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可；
〔Ⅱ〕求出f〔x〕的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．
试题解析：
〔1〕不等式等价于或者
或者，解得或者，
所以不等式的解集是；
〔2〕，，
，解得实数的取值范围是．
点睛：含绝对值不等式的解法有两个根本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、浸透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵敏应用，这是命题的新动向．
制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……
日期：2022年二月八日。