打包下载(3套)2019年高考数学复习第一轮 平面向量(含3套汇总)

λ

1 3

, 1. 3
考点突破
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考点一 向量的有关概念
典例1 给出下列命题:
(1)若|a|=|b|,则a=b;
(2)若A、B、C、D是不共线的四点,则 AB

= DC
是四边形ABCD为平行四
边形的充要条件;
(3)若a=b,b=c,则a=c;
(4)两向量a、b相等的充要条件是|a|=|b|且a∥b;
=23 B C
=23 (b

-c),则 AD

= AB

+ BD

= AB
+ 2 BC
=c+ 2 (b-c)= 2 b+1 c.故选D.
3
3
33
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2-2

在△ABC中,N是AC边上一点且 AN
= 1 NC
2

,P是BN上一点,若 AP
=mAB
+ 92 AC , 则实数m的值是

=A N
-

A M
= 34 (a+b)- a
1 2
b

=- 1 a+ 1 b.
44
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4.已知a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-3a)共线,则λ=
.
答案 - 1
3
解析 由题意知存在k∈R,使得a+λb=k[-(b-3a)],
所以 1λ3kk,,
解得k
(5)如果a∥b,b∥c,那么a∥c.
其中假命题的个数为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 B
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解析 (1)不正确.两个向量的模相等,但它们的方向不一定相同,因此由
|a|=|b|推不出a=b.
(2)正确.若 AB

= DC
,则| AB

|=| DC
|且 AB
∥ DC
.
又∵A、B、C、D是不共线的四点,
.
答案 1
3
解析
因为 AN
= 1 NC
,所以 AN
= 1 AC
,所以 AP

=m AB
+ 2 AC

=m AB
+ 2 AN
,
2
3
9
3
因为P是BN上一点,所以B,P,N三点共线,所以m+ 2 =1,则m=1 .
3
3
考点三 共线向量定理的应用
典例3 设两个非零向量a与b不共线.

1 3
b

,
∴
1
t

2 3 1 3
λ, λ,
解得λ= 3 ,t= 1 .
22
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文数
课标版
第二节 平面向量基本定理及坐标表示
教材研读
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1.平面向量的基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个① 不共线 向量,那么对于这一平面 内的任一向量a,② 有且只有 一对实数λ1、λ2,使a=③ λ1e1+λ2e2 . 其中,不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 ④ 基底 .
记作⑥ 0
单位向量 平行向量
长度等于⑦ 1个单位 的向量 方向⑧ 相同 或⑨ 相反 的非零向量
非零向量a的单位向量为± a |a|
0与任一向量 平行 或共线
共线向量 ⑩ 方向相同或相反 的非零向量又叫做共线向量
相等向量
长度 相等 且方向 相同 的向量
两向量不能比较大小
相反向量
长度 相等 且方向 相反 的向量
∴A B

, BD
共线,又它们有公共点B,
∴A,B,D三点共线.
(2)∵ka+b与a+kb共线,
∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即(k-λ)a=(λk-1)b.
又a,b是两个不共线的非零向量,∴k-λ=λk-1=0. ∴k2-1=0. ∴k=±1.
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方法技巧
1.共线向量定理的应用
0的相反向量为0
2.向量的线性运算
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3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得 b=λa .
判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. (√)
(2)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向量. (×)
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2.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=⑤ (x1+x2,y1+y2) ,a-b=⑥ (x1-x2,y1-y2) ,λa
=⑦ (λx1,λy1) ,|a|=⑧ x12 y12 .
(2)向量坐标的求法
(i)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
当a=2b时,| aa | = | 22bb | = | bb | ,故a=2b是 | aa | = | bb | 成立的充分条件.
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1-2 给出下列命题: ①两个具有公共终点的向量一定是共线向量. ②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小. ③若λa=0(λ为实数),则λ必为零. ④若λa=μb(λ,μ为实数),则a与b共线. 其中错误命题的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C ①错误,两向量是否共线要看其方向,而不是起点或终点.② 正确,因为向量既有大小,又有方向,故两个向量不能比较大小,但两个向 量的模均为实数,故可以比较大小.③错误,当a=0时,无论λ为何值,均有λa =0.④错误,当λ=μ=0时,λa=μb=0,此时,a与b可以是任意向量.故选C.


(3) BA= OA- OB . (√)
(4)若a∥b,b∥c,则a∥c. (×)


(5)向量 AB 与向量 CD 是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.,一定有b=λa(λ∈R). (√)
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1.下列说法正确的是 ( )



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1-3 如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,则图中与 OC 相等的向量有 .
答案

AB , ED , FO
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考点二 向量的线性运算


典例2 (1)(2015课标Ⅰ,7,5分)设D为△ABC所在平面内一点, BC =3 CD ,
则 ( )

A. AD
=- 1 AB

(1)若 AB

=a+b, BC

=2a+8b, CD
=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.



解析 (1)证明:∵ AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b),




∴ BD = BC + CD =2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5 AB ,
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1-1 设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使| aa | = | bb | 成立的充分条件
是 ( )
A.a=-b B.a∥b
C.a=2b D.a∥b且|a|=|b|
答案 C 因为向量 a 的方向与向量a相同,向量 b 的方向与向量b相
|a|
|b|
同,且 | aa | = | bb |,所以向量a与向量b方向相同,故可排除选项A,B,D.
不是a=b的充要条件. (5)不正确.若b=0,则a与c不一定共线.
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易错警示 (1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关. (3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它 与函数图象的移动混为一谈.
(4)非零向量a与 | aa | 的关系: | aa | 是a方向上的单位向量.
=a+mb”,则m为何值
时,A、B、D三点共线?
解析


BC + CD =(a+mb)+3(a-b)=4a+(m-3)b,

即 BD =4a+(m-3)b.

若A、B、D三点共线,则存在实数λ,使 BD

=λA B
,
即4a+(m-3)b=λ(a+b),
∴ 4m
λ, 3
λ,
解得m=7.
故当m=7时,A、B、D三点共线.
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变式3-2 若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值? 解析 因为ka+b与a+kb反向共线,
所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb)(λ<0),
所以
k λ, kλ 1,
所以k=±1.
又λ<0,k=λ,所以k=-1.
故当k=-1时,两向量反向共线.
向量长度为0,故C正确;共线向量可以是在同一条直线上的向量,也可以
是所在直线互相平行的向量,故D错.
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2.在四边形ABCD中, AB= DC ,且| AB|=| BC |,那么四边形ABCD为( )
A.平行四边形 B.菱形 C.长方形 D.正方形
答案
B

AB

= DC

,则四边形ABCD为平行四边形.又| AB
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（3套）2019年高考数学复习第一轮 平面向量（含3套汇总）
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文数
课标版
第一节 平面向量的概念及其线性运算
教材研读
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1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有① 大小 又有② 方向 的量;向量的 大小叫做向量的③ 长度 (或④ 模 )
向量由方向和长度确定,不受位 置影响
零向量
长度为⑤ 0 的向量;其方向是任意的
+ 4 AC
33

B. AD
= 1 AB
- 4 AC
33

C. AD
= 4 AB
+ 1 AC

D. AD
= 4 AB
- 1 AC
33
33

(2)如图所示,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的三等分点, AB =a,


AC =b,则 AD = ( )
A.a- 1 b B. 1 a-b C.a+ 1 b D. 1 a+b
2
2
2
2
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答案 (1)A (2)D
解析

(1) AD

= AB

+ BD

= AB

+ BC

+ CD

= AB
+
4

BC

= AB
+
4

( AC

- AB
)=-
1

AB
+
3
3
3
4 AC .故选A.
3
(2)连接CD,由点C,D是半圆弧的三等分点,得CD∥AB且C D =12 AB =12 a,

A. AB ∥ CD 就是 AB 所在的直线平行于 CD 所在的直线
B.长度相等的向量叫相等向量
C.零向量长度等于0
D.共线向量是在同一条直线上的向量




答案 C AB ∥ CD 包含 AB所在的直线与 CD 所在的直线平行和重合两
种情况,故A错;相等向量不仅要求长度相等,还要求方向相同,故B错;零
(1)可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以由向量共线求参数的
值.
(2)若a,b不共线,则λa+μb=0的充要条件是λ=μ=0,这一结论结合待定系数
法应用非常广泛.
2.证明三点共线的方法


若 AB =λ AC,则A、B、C三点共线.
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变式3-1
若将本例(1)中“B C

=2a+8b”改为“B C
∴四边形ABCD是平行四边形.
反之,若四边形ABCD是平行四边形,则AB DC且 AB 与D C 方向相同,因


此 AB = DC .
(3)正确.∵a=b,∴a、b的长度相等且方向相同.
∵b=c,∴b、c的长度相等且方向相同.
∴a、c的长度相等且方向相同,∴a=c.
(4)不正确.当a∥b,但方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故
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2-1
在△ABC中, AB =c, AC =b.若点D满足B D

=2D C
,则 AD
=
(
)
A. 1 b+ 2 c B. 5 c- 2 b
33
33
C. 2 b- 1 c
33
D. 23 b+13 c
答案
D

由题意可知 BC

= AC

- AB
=b-c,∵ BD

=2D C
,∴B D
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3-3 设两个非零向量a与b不共线,若a与b的起点相同,且a,tb, 1 (a+b)的
3
终点在同一条直线上,求实数t的值.
解析 ∵a,tb, 1 (a+b)三个向量的终点在同一条直线上,且a与b的起点相
3
同,
∴a-tb与a- 1 (a+b)共线,即a-tb与 2 a- 1 b共线,
3
33
∴存在实数λ,使a-tb=λ 23 a

|=| BC
|,则四边
形ABCD为菱形,故选B.





3.在▱ABCD中, AB =a, AD =b, AN =3 NC ,M为BC的中点,则 MN =
(用a,b表示).
答案 - 14 a+ 14 b
解析

由 AN

=3 NC
,得A N
=34 A C
=34 (a+b),又A M
=a+12 b,所以M N

所以 AD

= AC

+C D
=b+1 a.
2
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方法指导 1.平面向量的线性运算技巧 (1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解. (2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等 向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量表示 出来求解. 2.利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形,确定每一个点的位置. (2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化,转化为要求的向量形 式. (3)比较、观察可知所求.