2018-2019学年北京市交大附中高二(下)期末数学试卷(附答案详解)

2018-2019学年北京市交大附中高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 命题：“∀x >0，x 2+x ≥0”的否定形式是( )
A. ∀x ≤0，x 2+x >0
B. ∀x >0，x 2+x ≤0
C. ∃x 0>0，x 02+x 0<0
D. ∃x 0≤0，x 02+x 0>0
2. 设集合A ={x ∈R|x >0}，B ={x ∈R|x 2≤1}，则A ∩B =( )
A. (0,1)
B. (0,1]
C. [−1,1]
D. [−1,+∞) 3. “a >1”是“1a <1”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 在下列函数中，是偶函数，且在(0,+∞)内单调递增的是( )
A. y =2|x|
B. y =1x 2
C. y =|lgx|
D. y =cosx
5. 函数f(x)=log 3x +x −3的零点所在的区间是( )
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (2,3)
D. (3,+∞) 6. x(2−1x )4的展开式中的常数项为( )
A. −64
B. −32
C. 32
D. 64
7. 一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，
直到红球出现4次时停止，设停止时共取了X 次球，则P(X =6)等于( )
A. C 64(38)6(58)2
B. C 63(38)3(58)2
C. C 53(38)3(58)2
D. C 53(38)4(58)2 8. 设函数f(x)，g(x)满足下列条件：
(1)对任意实数x 1，x 2都有f(x 1)⋅f(x 2)+g(x 1)⋅g(x 2)=g(x 1−x 2)；
(2)f(−1)=−1，f(0)=0，f(1)=1．
下列四个命题：
①g(0)=1；
②g(2)=1；
③f 2(x)+g 2(x)=1；
④当n >2，n ∈N ∗时，[f(x)]n +[g(x)]n 的最大值为1．
其中所有正确命题的序号是( )
A. ①③
B. ②④
C. ②③④
D. ①③④
二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）
9. 复数1+i i (其中i 为虚数单位)的共轭复数为______．
10. 设(1+x)6=a 0+a 1x +a 2x 2+...+a 6x 6，其中x ，
a i ∈R ，i =0，1，2，3，...6.a 1+a 3+a 5= ______ ．
11. 已知函数f(x)={2x −1,x ≤1log 2x,x >1
，若f(x)=3，则x = ______ ． 12. 某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，(注：结余=收入−支出)
①收入最高值与收入最低值的比是3：1；
②结余最高的月份是7月份；
③1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同；
④前6个月的平均收入为40万元．
上面说法中错误说法的序号是______ ．
13. 甲、乙、丙三人进行传球练习，球首先从甲手中传出，则第3次球恰好传回给甲的
概率是 ______．
三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）
14. 将集合M ={1,2，3，…15}表示为它的5个三元子集(三元集：含三个元素的集合)的
并集，并且这些三元子集的元素之和都相等，则每个三元集的元素之和为 (1) ；请写出满足上述条件的集合M 的5个三元子集 (2) .(只写出一组)
四、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
15. 某商店为了吸引顾客，设计了一个摸球小游戏，顾客从装有1个红球，1个白球，3
个黑球的袋中一次随机地摸2个球，这些球除了颜色外完全相同，设计奖励方式如表：
结果奖励
1红1白10元
1红1黑5元
2黑2元
1白1黑不获奖
(Ⅰ)某顾客在一次摸球中获得奖励X，求X的概率分布列与数学期望；
(Ⅱ)某顾客参与两次摸球，求他至少有一次中奖的概率．
16.已知函数f(x)=x3+2x2−4x−5．
(Ⅰ)求y=f(x)在R上的单调区间；
(Ⅱ)求y=f(x)在[−3,1]上的最大值．
17.2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁
按照里程分段计价．具体如下表．(不考虑公交卡折
扣情况)
10公里(含)内2元；
乘公共电汽车方案
10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里(含)
已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．
(Ⅰ)如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；
(Ⅱ)从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2人，记X为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X的分布列和数学期望；
(Ⅲ)小李乘坐地铁从A地到陶然亭的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s的取值范围．(只需写出结论)
18.已知抛物线G：y2=2px(p>0)过点M(1,−2)，A，B是抛物线G上异于点M的不
同两点，且以线段AB为直径的圆恒过点M．
(Ⅰ)当点A与坐标原点O重合时，求直线MB的方程；
(Ⅱ)求证：直线AB恒过定点，并求出这个定点的坐标．
19.已知函数f(x)=e x−ax．
(I)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=ax+2平行．求实数a的值；
(Ⅱ)讨论f(x)的单调性；
(Ⅲ)当0<a<l时，证明：曲线y=f(x)在直线y=(e−1)x的上方．
20.已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如[1.2]=1，[−1.2]=−2，[1]=1，
对于函数f(x)，若存在m∈R且m∉Z，使得f(m)=f([m])，则称函数f(x)是Ω函数．
x，g(x)=sinπx是否是Ω函数；(只需写出结论) (Ⅰ)判断函数f(x)=x2−1
3
(Ⅱ)设函数f(x)是定义R在上的周期函数，其最小正周期为T，若f(x)不是Ω函数，求T的最小值．
(Ⅲ)若函数f(x)=x+a
是Ω函数，求a的取值范围．
x
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：全称命题的否定是特称命题，
则命题的否定是：∃x0∈R，x02+x0<0，
故选：C．
根据全称命题的否定是特称命题进行求解．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
2.【答案】B
【解析】解：∵B={x|x2≤1}={x|−1≤x≤1}，
集合A={x∈R|x>0}，
∴集合A∩B={x|0<x≤1}=(0,1]，
故选：B．
先化简集合B={x|x2≤1}={x|−1≤x≤1}，再求集合A∩B．
此题属于以一元二次不等式的解法为平台，考查了交集的运算，是高考中常考的基本题型．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．
先分析充分性成立，然后举反例证明必要性不成立即可．
【解答】
<1成立，即充分性成立，
解：当a>1时，1
a
<1，但a>1不成立，即必要性不成立，
当a=−1时，满足1
a
<1“的充分不必要条件，
则“a>1“是“1
a
故选A．
4.【答案】A
【解析】解：A.y=2|x|，显然该函数为偶函数；x∈(0,+∞)时，y=2x为增函数，∴该选项正确；
B.y=1
x2，x∈(0,+∞)时，y=x2为增函数；∴x增大时，1
x2
减小，即y减小；
∴该函数在(0,+∞)上为减函数，∴该选项错误；
C.y=|lgx|的定义域为(0,+∞)，不关于原点对称，不是偶函数，∴该选项错误；
D.y=cosx在(0,+∞)上没有单调性，∴该选项错误．
故选A．
根据偶函数的定义，偶函数定义域的特点，二次函数的单调性，指数函数的单调性，以及减函数的定义，余弦函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，二次函数、指数函数及余弦函数的单调性，以及减函数的定义．
5.【答案】C
【解析】解：∵函数f(x)=log3x+x−3，定义域为：x>0；函数是连续函数，
∴f(2)=log32+2−3<0，f(3)=log33+3−3=1>0，
∴f(2)⋅f(3)<0，根据函数的零点的判定定理，
故选：C．
求出函数的定义域，判断连续性，求得f(2)⋅f(3)<0，根据函数的零点的判定定理，可得函数零点所在的大致区间．
本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，求函数的值，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：x(2−1
x
)4的展开式的通项公式为T r+1=C4r⋅24−r⋅(−1)r⋅x1−r，
令1−r=0，求得r=1，可得x(2−1
x
)4的展开式中的常数项为−32，
故选：B．
先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：由题意可知，每次取球，取到白球的概率为58，取到红球的概率为38， 在第4次取到红球时，若共取了6次球，
则最后一次取到红球且在前5次中有3次取到红球，
故P(X =6)=C 53(38)4(58)2． 故选：D ．
由题意，求出每次取球取到白球和红球的概率，分析X =6即最后一次取到红球且在前5次中有3次取到红球，求出概率即可．
本题考查了二次分布的理解和应用，解题的关键是正确理解X =6的含义，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解；对于①结论是正确的．
∵对任意实数x 1，x 2都有f(x 1)⋅f(x 2)+g(x 1)⋅g(x 2)=g(x 1−x 2)
且f(−1)=−1，f(0)=0，f(1)=1，
令x 1=x 2=1，得[f(1)]2+[g(1)]2=g(0)，∴1+[g(1)]2=g(0)，∴g(0)−1=[g(1)]2 令x 1=1，x 2=0，得f(1)f(0)+g(1)g(0)=g(1)，∴g(1)g(0)=g(1)，g(1)[g(0)−1]=0
解方程组{g(0)−1=[g(1)]2g(1)[g(0)−1]=0
得{g(1)=0g(0)=1 对于②结论是不正确的，令x 1=0，x 2=−1，得f(0)f(−1)+g(0)g(−1)=g(1)，∴g(−1)=0
令x 1=1，x 2=−1，得f(1)f(−1)+g(1)g(−1)=g(2)，∴−1=g(2)，∴g(2)≠1 对于③结论是正确的，令x 1=x 2=1，得f 2(x)+g 2(x)=g(0)=1，
对于④结论是正确的，由③可知f 2(x)≤1，∴−1≤f(x)≤1，−1≤g(x)≤1 ∴|f n (x)|≤f 2(x)，|g n (x)|≤g 2(x)对n >2，n ∈N ∗时恒成立，
[f(x)]n +[g(x)]n ≤f 2(x)+g 2(x)=1
综上，①③④是正确的．
故选：D
既然对任意实数x 1，x 2都有f(x 1)⋅f(x 2)+g(x 1)⋅g(x 2)=g(x 1−x 2)，那么分别令x 1，x 2取1，0，−1
求出g(0)，g(1)，g(−1)，g(2)，然后令x 1=x 2=x 可得③，再根据不等式即可得④ 本题考查赋值法求抽象函数的性质属于中档题．
9.【答案】1+i
【解析】解：∵
1+i i =(1+i)(−i)−i 2=1−i ， ∴1+i i 的共轭复数为1+i ，
故答案为：1+i ．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
本题复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
10.【答案】32
【解析】解：由题意，(1+x)6=a 0+a 1x +a 2x 2+...+a 6x 6，
令x =1，则有26=a 0+a 1+a 2+...+a 6，
令x =−1，则有0=a 0−a 1+a 2−...+a 6，
两式相减，可得2(a 1+a 3+a 5)=64，
所以a 1+a 3+a 5=32．
故答案为：32．
利用已知的等式，分别取x =1和x =−1，然后两式相减，即可得到答案．
本题考查了二项式定理的应用，其中合理运用赋值法时求解二项展开式系数和的关键，考查了化简运算能力，属于基础题．
11.【答案】8
【解析】解：函数f(x)={2x −1,x ≤1log 2x,x >1
，f(x)=3， 当x ≤1时，f(x)=2x −1=3，解得x =2，不成立；
当x>1时，f(x)=log2x=3，解得x=23=8．
综上，x=8．
故答案为：8．
当x≤1时，f(x)=2x−1=3，解得x=2，当x>1时，f(x)=log2x=3，由此能求出x．
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查数学运算等核心素养，是基础题．
12.【答案】③④
【解析】解：由某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图知：
对于①，收入最高值与收入最低值的比是：90：30=3：1，故①正确；
对于②，结余最高的月份是7月份，结余额为：80−20=60万元，故②正确；
×100%=50%，
对于③，1至2月份的收入的变化率为：60−40
40
×100%≈66.67%，故③错误；
4至5月份的收入的变化率为：50−30
30
(40+60+30+30+50+50)≈43.33万元，故④对于④，前6个月的平均收入为：1
6
错误．
故答案为：③④．
利用折线图的性质直接求解．
本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查数学运算、数据分析等核心素养，是基础题．
13.【答案】1
4
【解析】解：用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法
所有传球方法共有：
甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；
甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙；
则共有8种传球方法．
记求第3次球恰好传回给甲的事件为A，由共有两种情况，
故P(A)=28=1
4， 故答案为：1
4
球首先从甲手中传出，则第二个拿到球的是乙或丙，从乙的手中接到球的是甲或丙，从丙的手中拿到球的是甲或乙，这样完成了第二轮传球，第三轮和前两轮类似．第3次球恰好传回给甲的事件为A ，可知满足条件的共有两种情况，而总的事件数是8，根据古典概型公式代入数据，得到结果
高中必修中学习了几何概型和古典概型两种概率问题，解题时，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．
14.【答案】24
{1,8，15}，{3,7，14}，{5,6，13}，{2,10，12}，{4,9，11}
【解析】解：每个三元集的元素之和为24；满足已知条件的集合M 的5个三元子集：{1,8，15}，{3,7，14}，{5,6，13}，{2,10，12}，{4,9，11}．
故答案为：24；{1,8，15}，{3,7，14}，{5,6，13}，{2,10，12}，{4,9，11}． 根据已知可得满足已知条件的集合M 的5个三元子集及其元素之和．
本题考查了集合与元素及其元素性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知，X 的可能取值为10，5，2，0，
则P(X =10)=1C 5
2=1
10，
P(X =5)=C 3
1C 5
2=3
10，
P(X =2)=
C 32C 5
2=
3
10，
P(X =0)=C 31
C 5
2=3
10，
所以X 的分布列为：
则E(X)=10×+5×+2×+0×=3.1元；
(Ⅱ)记该顾客一次摸球中奖为事件A ，由(1)可知，P(A)=7
10， 所以他至少有一次中奖的概率为P =1−[1−P(A)]2=91
100．
【解析】(Ⅰ)先求出随机变量X 的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可；
(Ⅱ)先求出顾客一次摸球中奖的概率，然后利用对立事件的概率公式求解即可． 本题考查了对立事件的概率公式的运用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：(Ⅰ)由f(x)=x 3+2x 2−4x −5，得f′(x)=3x 2+4x −4=(3x −2)(x +2)，
由f′(x)=0，得x =−2或x =2
3，
则当x ∈(−∞,−2)∪(2
3,+∞)时，f′(x)>0， 当x ∈(−2,2
3)时，f′(x)<0，
∴f(x)的减区间为(−2,2
3)，增区间为(−∞,−2)，(2
3,+∞)；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)[−3,−2)上单调递增，在[−2,2
3]上单调递减，在(2
3,1]上单调递增， 又f(−2)=(−2)3+2×(−2)2−4×(−2)−5=3，f(1)=1+2−4−5=−6， ∴y =f(x)在[−3,1]上的最大值为3．
【解析】(Ⅰ)求出原函数的导函数，得到导函数的零点，利用导函数的零点对函数的定义域分段，根据导函数在本题区间段内的符号可得原函数的单调性；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得y =f(x)在[−3,1]上的单调性，求出f(−2)与f(1)的值，比较大小得结论． 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)设事件A ：“此人乘坐地铁的票价小于5元”，
由统计图可知，得120人中票价为3元，4元，5元的人数分别为60，40，20人， 所以票价小于5的有60+40=100人，
故此人乘坐地铁的票价小于5 元的频率为100
120=5
6， 则乘坐地铁的票价小于5 元的概率P(A)=56； (Ⅱ)X 的可能值为6，7，8，9，10．
统计图可知，得120人中票价为3元，4元，5元的频率分别为60
120=1
2，40
120=1
3，20
120
=1
6，
以频率当概率，
则P(X =6)=1
2×1
2=1
4，P(X =7)=1
2×1
3+1
3×1
2=1
3， P(X =8)=1
2×1
6+1
6×1
2+1
3
×1
3
=
518
，
P(X =9)=1
3×1
6+1
6×1
3=1
9， P(X =10)=1
6×1
6=1
36， 则X 的分布列为：
则E(X)=6×14+7×1
3+8×5
18+9×1
9+10×1
36=223
；
(Ⅲ)s ∈(20，22]．
【解析】本题主要考查概率和统计的综合应用，以及离散型随机变量的分布列和期望，考查学生的运算能力．
(Ⅰ)根据统计图求出对应的人数和频率即可得到结论； (Ⅱ)求出随机变量以及对应的概率，即可得到结论； (Ⅲ)根据条件直接写出结论．
18.【答案】解：(I)因为M(1,−2)在抛物线G ：y 2=2px(p >0)上，
所以(−2)2=2p ×1，
所以p =2，抛物线G ：y 2=4x ． 当点A 与点O 重合时，易知k AM =−2，
因为以线段AB 为直径的圆恒过点M ，所以AM ⊥MB.所以k BM =1
2． 所以MB ：y +2=1
2(x −1)，即直线MB 的方程为x −2y −5=0 (Ⅱ)显然直线AB 与x 轴不平行，设直线AB 方程为x =my +n ． 联立{x =my +n,
y 2=4x ，消去x 得y 2−4my −4n =0．
设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，
因为直线AB 与抛物线交于两点，
所以△=16m 2+16n >0，y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4n①
k MA =y 1+2x 1
−1=y 1
+2
y 12
4
−1=4
y
1−2
，
同理得k MB =y 2+2x 2−1=y 2
+2
y 224
−1
=4
y 2−2． 因为以线段AB 为直径的圆恒过点M ，所以AM ⊥MB ． 因为A ，B 是抛物线上异于M 的不同两点， 所以x 1，x 2≠1，k MA ⋅k MB =−1． 所以4
y
1
−2⋅4
y
2−2
=−1，
即(y 1−2)(y 2−2)+16=0，y 1y 2−2(y 1+y 2)+20=0． 将 ①代入得，−4n −8m +20=0，即n =−2m +5． 代入直线方程得x =my −2m +5=m(y −2)+5． 所以直线AB 恒过定点(5,2)．
【解析】本题考查直线与抛物线方程的应用，抛物线方程的求法．
(I)通过M(1,−2)在抛物线G ：y 2=2px(p >0)上，求出p =2，得到抛物线G ：y 2=4x.求出k AM =−2，由题推出k BM =1
2.然后求解即可．
(Ⅱ)显然直线AB 与x 轴不平行，设直线AB 方程为x =my +n ．{x =my +n,
y 2=4x ，消去x
得y 2−4my −4n =0.设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用韦达定理转化通过k MA ⋅k MB =−1.推出直线方程：x =my −2m +5=m(y −2)+5.然后得到直线AB 恒过定点(5,2)．
19.【答案】(Ⅰ)解：f(x)=e x −ax 的导数为f′(x)=e x −a ，
曲线y =f(x)在x =1处的切线斜率为k =e −a ， 由切线与直线y =ax +2平行， 得e −a =a ，解得a =e
2． (Ⅱ)解：f′(x)=e x −a ，
若a ≤0，则f′(x)>0，则f(x)在(−∞,+∞)上为增函数； 若a >0，则当x >lna 时，f′(x)>0，f(x)在(lna,+∞)上递增； 当x <lna 时，f′(x)<0，f(x)在(−∞,lna)上递减． (Ⅲ)证明：令g(x)=f(x)−(e −1)x =e x −ax −ex +x ， 则g′(x)=e x −a −e +1，
由g′(x)=e x −a −e +1=0，得x =ln(a +e −1)．
∴当x >ln(a +e −1)时，f′(x)>0，f(x)在(ln(a +e −1),+∞)上递增；
当x<ln(a+e−1)时，f′(x)<0，f(x)在(−∞,ln(a+e−1))上递减．
∴g(x)在(−∞,+∞)上有极小值也就是最小值为g(ln(a+e−1))=e ln(a+e−1)−(a+
e−1)ln(a+e−1)
=(a+e−1)(1−ln(a+e−1))．
∵0<a<1，∴0<a+e−1<e，
则ln(a+e−1)<1，
∴g(ln(a+e−1))=(a+e−1)(1−ln(a+e−1))>0．
∴曲线y=f(x)在直线y=(e−1)x的上方．
【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件可得a值；(Ⅱ)求出函数的导函数，然后对a分类分析得答案；
(Ⅲ)构造函数g(x)=f(x)−(e−1)x=e x−ax−ex+x，利用导数求其最小值，由最小值恒大于0得答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，是中档题．
x是Ω函数，g(x)=sinπx不是Ω函数；------------------(4 20.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=x2−1
3
分)
(Ⅱ)T的最小值为1.--------------------------(11分)
因为f(x)是以T为最小正周期的周期函数，所以f(T)=f(0)．
假设T<1，则[T]=0，所以f([T])=f(0)，矛盾．--------------------------(6)
所以必有T≥1，
而函数l(x)=x−[x]的周期为1，且显然不是Ω函数，
综上，T的最小值为1.--------------------------(9分)
(Ⅲ)当函数f(x)=x+a
是Ω函数时，
x
若a=0，则f(x)=x显然不是Ω函数，矛盾．------(10分)
>0，
若a<0，则f′(x)=1−a
x2
所以f(x)在(−∞,0)，(0,+∞)上单调递增，
此时不存在m<0，使得f(m)=f([m])，
同理不存在m>0，使得f(m)=f([m])，
又注意到m[m]≥0，即不会出现[m]<0<m的情形，
所以此时f(x)=x+a
x
不是Ω函数．---------(11分)
当a>0时，设f(m)=f([m])，所以m+a
m =[m]+[a
m
]，所以有a=m[m]，其中[m]≠0，
当m>0时，
因为[m]<m<[m]+1，所以[m]2<m[m]<([m]+1)[m]，
所以[m]2<a<([m]+1)[m]，--------(12分)
当m<0时，[m]<0，
因为[m]<m<[m]+1，所以[m]2>m[m]>([m]+1)[m]，
所以[m]2>a>([m]+1)[m]，--------(13分)
记k=[m]，综上，我们可以得到
“a>0且∀x∈N⋅，a≠k2且a≠k(k+1).------(14分)
【解析】(Ⅰ)根据Ω函数的定义直接判断函数f(x)=x2−1
3
x，g(x)=sinπx是否是Ω函数；
(Ⅱ)根据周期函数的定义，结合Ω函数的条件，进行判断和证明即可．
(Ⅲ)根据Ω函数的定义，分别讨论a=0，a<0和a>0时，满足的条件即可．
本题主要考查与周期函数有关的新定义试题，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，有一定的难度．。