初三上册+第5次课+一元二次方程认识与配方法--李燕萍教案 导学案

教学过程
（一）一元二次方程的认识
（一）一元二次方程的概念
1、一元二次方程的定义
一元二次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，该方程式的一般形式是：
ax²+bx+c=0（a≠0），其中，ax²是二次项，bx 是一次项，c 是常数项，a 、b 是常数。

注意：a≠0是一个重要条件，否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。

2、一元二次方程满足的条件
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2。

【题型一、一元二次方程的判别】
【例1】判断下列方程是不是一元二次方程．如果不是，请说出为什么． ⑴ 22310x x --=； ⑵
4
13
x =+； ⑶ 210x -=； ⑷ 250x =； ⑸ 20x y +=（x 和y 都是未知数）； ⑹ 22(3)(3)x x +=-；
⑺ 2320mx x -+=（m 是系数）； ⑻ 22(1)(21)50a x a x a ++-+-=（x 是未知数）．
变式练习： 判断下列方程是不是一元二次方程：
① 3x 2-13y=0； ②25
3
x -=1； ③2xy -7=0；
④3x=x 2+4； ⑤232x -+5＝3x ； ⑥（a -1）x 2-1
3
x=6
方法总结：
1、一元二次方程的一般形式：2
00),,,ax bx c a a b c ++=≠（
其中是常数. 2、在一般式中，当b ＝0时，则有22
0c 00ax c ax bx +=+=或当＝时，则有，这两种情况都是一元二次方程.
【例2】判断下列关于x 的方程何时为一元二次方程：
（1）320mx x += (2)22(1)40m x -+=
变式练习：1、已知方程07)1()1(2
2=-++-x k x k ，
（1）当k 为何值时，是一元二次方程。

（2）当 k 为何值时，是一元一次方程？
2、若043)2(2
2
=+---x x m m
是关于x 的一元二次方程，则m 的值是 。

3、已知关于 x 的方程02)3(21
=+---x x
a a 是一元二次方程，则a= 。

4、关于x 的方程22(1)(1)30a x a x -+++=当a 时是一元二次方程，当a 时是一元一次方程。

5、方程2
1
(1)230a
a x ax +-+-=是关于x 的一元二次方程，则a 的值为
6、当m = 时，关于x 的方程222(4)(2)40m x m m x m ----+=是一元二次方程；当m = 时，这个方程是一元一次方程。

【例3】（1）方程(1)21x x x +=-化成一元二次方程的一般式是
（2）把方程2((1)0x x x +-=化为一元二次方程的一般形式是
【例4】指出方程①2(12)(2)31x x x -+=+，②()()0(0)ax b bx a ab ++=≠的二次项系数、一次项系数及常数项。

以及二次项与一次项。

【变式练习】
1＝-3x 2+5中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。

2、把关于x 的一元二次方程（m+1）x 2-2m （1-x ）+1=0化成一般形式是 ，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
【方法技巧】归纳：
1、一元二次方程的一般形式是02
=++c bx ax ,（a ，b ，c 是常数且a ≠0）,其中2
ax 叫做二次项，bx 叫做一次项，c 叫做常数项，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。

2、一元二次方程的条件：（1）二次项系数a ≠0，（2）未知数最高次数必须为2
【题型二、一元二次方程的根】
【例4】 （1）已知x=1关于x 的一元二次方程0122
=-+kx x 的根，求k= 。

（2）已知1x =是一元二次方程22(2)(3)10a x a x a -+--+=的一个根，则a=
变式练习（1）：已知关于x 的一元二次方程2(2)340m x x m -++-=有一个根是0，求m （2）：已知关于一元二次方程015)1(2
2=-++-m x x m 有一个根为0，则m= 。

注意：一元二次方程02
=++c bx ax 的条件，二次项系数a ≠0
【方法技巧】 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根（也叫方程的解）。

若1x 是02
=++c bx ax 的根，则012
1=++c bx ax
【例5】 已知a 是方程2510x x -+=的一个根，试求221
41
a a a -++的值。

【练习1】 已知关于x 的方程20ax bx c ++=有一个根为1，另一个根为1-，则a b c ++= ，
a b c -+= ，a c +=
一、填空题
1、关于x 的方程（m 2-4）x 2-（m -2）x -1=0，当m 时是一元二次方程；当m 时是一元一次方程．
2、把关于x 的一元二次方程1)2
1(2
=+
x 化成一般形式是 ，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
3、关于x 的方程ax 2-2m-3=x （2-x ）是一元二次方程，则a 的取值范围是 ．
4、方程（x+4）2=2x-3化为一般式，二次项是 ，一次项是 ，常数项是 ．
5、若方程02
=++a ax x 的一个根为x=3，则实数k 的值为 。

6、关于x 的一元二次方程02
=++c bx ax 的两根为1和-1，则=++c b a 。

=+-c b a 。

7、若方程03)4(2
=+-+x x a 为一元二次方程，则a= 。

8、已知x=1是一元二次方程02=++n mx x 的一个根，则n mn m ++22
的值为 。

二、解答题：
1、已知012=--x x ，求0201222
3=++-x x 的值。

2、已知m 是关于x 的一元二次方程022
=+-m x mx 的一个根，求m 的值。

3、已知关于x 的方程0532)2(2
2
=++---m mx x m m
（1）、当m 为何值时，该方程是一元二次方程？（2）、当m 为何值时，该方程是一元一次方程？
4、已知x=1是一元二次方程0402
=-+bx ax 的一个解，且 a ≠b ，求b
a b a 222
2--的值。

（二）直接开平方法与配方法解一元二次方程
1、开平方法
形如x 2=p 或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。

①如果方程化成的形式，那么可得。

②如果方程能化成(p ≥0)的形式，那么
，进而得出方程的根。

注意：
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数。

②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。

③方法是根据平方根的意义开平方。

例题精讲
【题型一、直接开方法解一元二次方程】
【例1】 若362
=x ，由平方根定义可知x= 。

即=1x 6 ;=2x -6
变式练习：若7)2(2
=-x ，那么x-2=± ，即x-1= ，x-1= ；从而可以得到方程的两根为=1x =2x
【方法技巧】归纳：（1）从上面的解法可知，解一元二次方程实际上就是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程后再求出两个根。

上面是运用了直接开平方法 进行降次，是化解一元二次方程的一种方法。

（2）如果一元二次方程能化成 )0(2
2
≥=+=p p n mx p x ）或（的形式，那么可以得到
p n mx p x ±=+±=或的形式，从而通过解一元二次方程得到一元二次方程的两根。

2、配方法
将一元二次方程配成(x+m)2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。

用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为一般形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，即可进一步通过直接开平方法求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解。

注意：
配方法的理论依据是完全平方公式a²+b²±2ab=（a±b ）²
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

【题型二、用配方法解一元二次方程】
【例2】1、在横线上填一个数，使左边变成一个完全平方式
++x x 42 =2) (+x +-x x 62 =2) (-x ++bx x 2 =2) (+x
2、解方程：(1)0542
=-+x x （2）x （x+8）=16 （3）3x 2－4x-2=0
【方法技巧】这种解一元二次方程的方法叫配方法，用配方法解一元二次方程的一般步骤为： （1） 整理：整理成二次系数为1的一般形式 （2） 移项：把常数项移到方程的右边
（3） 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方
（4） 两边同时开平方：把原方程转化为n m x =+2
)(的形式后，两边同时开平方 （5） 答案：写出答案
备注：实际在解方程的过程中，一般也只是针对1±=a 且b 为偶数时，才使用配方法，否则可以 考虑使用公式法来更加简单。

变式练习：
1、用配方法解方程
（1）2x 6x 50+-=； （2）24x 7x 20-+=；
2、试证：不论x 为何实数，多项式42
4224124x x x x ----的值总大于的值.
一、选择题
1、下列方程可以用直接开平方法求解的是（ ）
A （x -1）2
B 、03442=--x x
C 、032=-x x
D 、0122
=--x x
2、方程2x 2=1的解为 （ ）
A ．x=±
12 B ．x= C ．x=12 D ．3、一元二次方程)0(02
≠=-a bx ax 有解，则必须满足（ ）
A 、a 、b 同号
B 、b 是a 的整倍数
C 、b=0
D 、a 、b 同号或b=0
4、对于形如（x+m ）2=n 的方程，它的解的正确表达式为 （ ）
A ．都可以用直接开平方法求解，且x=
B ．当n ≥0时，x=m
C ．当n ≥0时，x=
D ．当n ≥0时，x=5、用配方法解方程0142
=+-x x ，经过配方，得（ ）
A 、5)2(2
=+x B 、5)2(2
=-x C 、3)2(2
=+x D 、3)2(2
=-x 6、方程012=-+x x 的一个根是（ ）
A 、51-
B 、2
5
1- C 、51+- D 、251+-
二、填空题
1、一元二次方程0622
=-x 的解为 。

2、若036)(222=-+y x ，则2
2y x += 。

3、关于x 的方程a b x =+2
)(有实数解的条件是 。

4、092
=++mx x 为完全平方式，则m= 。

5、已知三角形的两边长分别为2和4，第三边是方程0562
=+-x x 的根，则这个三角形的周长是 6、已知0146422
22=+-+-++c b a c b a ，则=++c b a 。

三、解答题
一、用直接开平方法解下列一元二次方程。

1、0142
=-x 2、2)3(2=-x 3、()512
=-x 4、()162812
=-x
二、
用配方法解下列一元二次方程。

1、.0662=--y y
2、x x 4232=-
3、9642=-x x
4、0542=--x x
5、01322=-+x x
6、07232=-+x x
7、01842=+--x x 8、0222=-+n mx x 9、()00222>=--m m mx x
2、已知直角三角形的一条直角边的长是另外一条直角边长的2倍，斜边长为510，求较短直角边的长。

3、利用配方法求代数式5242
+-x x 的最小值
4、．如图，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始，沿AB 边向点B 以1cm/s•的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果AB=6cm ，BC=12cm ，•P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2？
5、证明：无论x 取任何值，代数式942+-x x 的值总大于0.
B
C A Q
P
【课后练习】
1．选择题
1、下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A .
2(1)(3)30a x a x -++-= B .()()()(2)x a x a x b x b +-=+-
C .42610x -+=
D .
22(1)230a x x +-+= 2、方程3x 2－4＝－2x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A ．3，－4，－2
B ．3，2，－4
C ．3，－2，－4
D ．2，－2，0
3、若方程(m 2－1)x 2＋x ＋m ＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是( )
A ．m ≠0
B ．m ≠1
C ．m ≠1且m ≠－1
D ．m ≠1或m ≠－1
4、方程x (x ＋1)＝0的根为( )
A ．0
B ．－1
C ．0，－1
D ．0，1
5．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m 的值是（ ）
A ．3
B ．-3
C ．±3
D ．以上都不对
6．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（ ）
A ．（a-2）2+1
B ．（a+2）2-1
C ．（a+2）2+1
D ．（a-2）2-1
7．把方程x+3=4x 配方，得（ ）
A ．（x-2）2=7
B ．（x+2）2=21
C ．（x-2）2=1
D ．（x+2）2=2
8．用配方法解方程x2+4x=10的根为（ ）
A ．2．-2．．
9．不论x 、y 为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（ ）
A ．总不小于2
B ．总不小于7
C ．可为任何实数
D ．可能为负数
10．用配方法解下列方程：
（1）3x 2-5x=2． （2）x 2+8x=9
（3）x 2+12x-15=0 （4）41 x 2-x-4=0
11.用配方法求解下列问题
（1）求2x 2-7x+2的最小值 ；
（2）求-3x 2+5x+1的最大值。