高中数学人教A版选修2-2课件1-3-2函数的极值与导数2
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的应用
1.3.2 函数的极值与导数
学习要求、学法指导
【学习要求】 1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系． 2．会用导数求某定义域上函数的最值． 【学法指导】 弄清极值与最值的区别是学好本节的关键． 函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是在局部上对函 数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整 个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较.
当 x＝2π 时，f(x)有最大值 f(2π)＝π.
小结 (1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅 仅是求最值，可用下面简化的方法求得． ①求出导数为零的点． ②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最 大值和最小值． (2)若函数在闭区间[a，b]上连续单调，则最大、最小值在 端点处取得．
(2)∵f(x)＝3ex－exx2，
∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3) ＝－ex(x＋3)(x－1)， ∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0， 即函数 f(x)在区间[2,5]上单调递减， ∴x＝2 时，函数 f(x)取得最大值 f(2)＝－e2； x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.
填 一 填 ·知 识 要 点 、 记 下 疑 难 点
1．函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值 函数 f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线， 则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的
最值必在 极值点处或 区间端点 处取得．
2．求函数 y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：
由 f(x)max＝k＋5＝10，得 k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.
课堂小结
1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处 的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值， 这个极值就是最值．
2．含参数的函数最值，可分类讨论求解． 3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题.
∵对任意的 x∈[0,3]，有 f(x)<c2 恒成立， ∴9＋8c<c2，即 c<－1 或 c>9. ∴c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).
练 一 练 ·当 堂 检 测 、 目 标 达 成 落 实 处
1．函数 y＝f(x)在[a，b]上 A．极大值一定比极小值大 B．极大值一定是最大值 C．最大值一定是极大值 D．最大值一定大于极小值
3．函数 y＝x－sin x，x∈π2，π的最大值是
A．π－1
B.π2－1
C．π
(C) D．π＋1
解析 因为 y′＝1－cos x，当 x∈2π，π时，y′>0，则函 数 y 在区间2π，π上为增函数，所以 y 的最大值为 ymax＝π
－sin π＝π，故选 C.
4．函数 f(x)＝x3－3x2－9x＋k 在区间[－4,4]上的最大值 为 10，则其最小值为___－__7_1__． 解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)． 由 f′(x)＝0 得 x＝3 或 x＝－1. 又 f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27， f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
探究点二：含参数的函数的最值问题
例 2 已知 a 是实数，函数 f(x)＝x2(x－a)． (1)若 f′(1)＝3，求 a 的值及曲线 y＝f(x)在点(1，f(1)) 处的切线方程． (2)求 f(x)在区间[0,2]上的最大值．
解 (1)f′(x)＝3x2－2ax. 因为 f′(1)＝3－2a＝3， 所以 a＝0.又当 a＝0 时，f(1)＝1，f′(1)＝3， 所以曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 3x－y－2＝0. (2)令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝23a.
(1)求 f(x)在开区间(a，b)内所有使 f′(x)＝0 的点； (2)计算函数 f(x)在区间内 使 f′(x)＝0 的所有点 和__端__点__
的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
研 一 研 ·问 题 探 究 、 课 堂 更 高 效
探究点一：求函数的最值
问题 1 如图，观察区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象，你能 找出它的极大值、极小值吗？
跟踪训练1 求下列函数的最值： (1)f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，x∈[－3,1]； (2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]．
解 (1)∵f(x)＝x3＋2x2－4x＋5， ∴f′(x)＝3x2＋4x－4. 令 f′(x)＝0，得 x1＝－2，x2＝23. ∵ ∴函f(－数2)f＝(x)1在3，[－f323,1＝]上9257的，最f(－大3值)＝为81，3，f(1最)＝小4，值为9257.
例 3 已知函数 f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1. 若 xf′(x)≤x2＋ax＋1 恒成立，求 a 的取值范围．
解 f′(x)＝x＋x 1＋ln x－1＝ln x＋1x，xf′(x)＝xln x＋1， 而 xf′(x)≤x2＋ax＋1(x＞0)等价于 ln x－x≤a.
令 g(x)＝ln x－x，则 g′(x)＝1x－1. 当 0＜x＜1 时，g′(x)＞0；当 x>1 时，g′(x)<0，x＝1 是
答 f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数 y＝f(x)的极小值； f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数 y＝f(x)的极大值．
问题 2 观察问题 1 的函数 y＝f(x)，你能找出函数 f(x)在区 间[a，b]上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x) 在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？
从而 f(x)max＝80－4a
0<a≤2 ， 2<a<3
综上所述，f(x)max＝80－4a
a≤2 a>2 .
小结 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性 的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类 讨论，并结合不等式的知识进行求解．
跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2] 的最大值为 3，最小值为－29，求 a，b 的值． 解 f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)， 令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝4(舍去)． (1)当 a>0 时，列表如下：
( D)
解析 由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b] 上的最大值一定大于极小值．
2．函数 f(x)＝x3－3x(|x|<1) A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值
( D)
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当 x∈(－1,1)时， f′(x)<0，所以 f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最 大值和最小值，故选 D.
跟踪训练 3 设函数 f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，若对任意 的 x∈[0,3]，都有 f(x)<c2 成立，求 c 的取值范围． 解 ∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)． ∴当 x∈(0,1)时，f′(x)>0；当 x∈(1,2)时，f′(x)<0； 当 x∈(2,3)时，f′(x)>0. ∴当 x＝1 时，f(x)取极大值 f(1)＝5＋8c. 又 f(3)＝9＋8c>f(1)， ∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为 f(3)＝9＋8c.
问题 4 怎样求一个函数在闭区间上的最值？
答 只要求出函数的各个极值和端点处的函数值，进行比 较即可．
例 1 求下列函数的最值： (1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1,3]； (2)f(x)＝12x＋sin x，x∈[0,2π]． 解 (1)f(x)＝2x3－12x，
∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋ 2)(x－ 2)， 令 f′(x)＝0，解得 x＝－ 2或 x＝ 2. 因为 f(－1)＝10，f(3)＝18，f( 2)＝－8 2，
答 函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是 f(a)，最小值是 f(x3)．若区间改为(a，b)，则 f(x)有最小值 f(x3)，无最大值． 结论：一般地，如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一 条连续不间断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且最值 必在区间端点处或极值点处取得．
由表可知，当 x＝0 时，f(x)取极大值，也就是函数 在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝3，即 b＝3.
又 f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，
∴f(2)＝－16a＋3＝－29，∴a＝2.
(2)当 a<0 时，同理可得，当 x＝0 时，f(x)取极 小值，也就是函数在[－1,2]上的最小值，
g(x)的最大值点，∴g(x)≤g(1)＝－1. 综上可知，a 的取值范围是－1，＋∞.
小结 “恒成立”问题向最值问题转化是一 种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问 题，直接求含参函数的最值即可． 一般地，可采用分离参数法．λ≥f(x)恒成立⇔ λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立⇔λ≤[f(x)]min.
∴f(0)＝－29，即 b＝－29.
又 f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)， ∴f(2)＝－16a－29＝3，∴a＝－2. 综上可得，a＝2，b＝3 或 a＝－2，b＝－29.
探究点三：函数最值的应用
问题 函数最值和“恒成立”问题有什么联系？
答 解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最 值问题．如 f(x)>0 恒成立，只要 f(x)的最小值大于 0 即可．对含参不等式恒成立问题，求参数范围时，可 先分离参数．
问题 3 函数的极值和最值有什么区别和联系？
答 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的 函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函 数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能 有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端 点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有 极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处 取得必定是极值．
当23a≤0，即 a≤0 时，f(x)在[0,2]上单调递增，
从而 f(x)max＝f(2)＝8－4a.
当23a≥2，即 a≥3 时，f(x)在[0,2]上单调递减，
从而 f(x)max＝f(0)＝0.
当 0<23a<2，即 0<a<3 时，
f(x)在0，23a上单调递减，在23a，2上单调递增，
f(－ 2)＝8 2；
所以当 x＝ 2时，f(x)取得最小值－8 2； 当 x＝3 时，f(x)取得最大值 18.
(2)f′(x)＝12＋cos x，令 f′(x)＝0，又 x∈[0,2π]， 解得 x＝23π 或 x＝43π.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：
∴当 x＝0 时，f(x)有最小值 f(0)＝0；
1.3.2 函数的极值与导数
学习要求、学法指导
【学习要求】 1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系． 2．会用导数求某定义域上函数的最值． 【学法指导】 弄清极值与最值的区别是学好本节的关键． 函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是在局部上对函 数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整 个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较.
当 x＝2π 时，f(x)有最大值 f(2π)＝π.
小结 (1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅 仅是求最值，可用下面简化的方法求得． ①求出导数为零的点． ②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最 大值和最小值． (2)若函数在闭区间[a，b]上连续单调，则最大、最小值在 端点处取得．
(2)∵f(x)＝3ex－exx2，
∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3) ＝－ex(x＋3)(x－1)， ∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0， 即函数 f(x)在区间[2,5]上单调递减， ∴x＝2 时，函数 f(x)取得最大值 f(2)＝－e2； x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.
填 一 填 ·知 识 要 点 、 记 下 疑 难 点
1．函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值 函数 f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线， 则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的
最值必在 极值点处或 区间端点 处取得．
2．求函数 y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：
由 f(x)max＝k＋5＝10，得 k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.
课堂小结
1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处 的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值， 这个极值就是最值．
2．含参数的函数最值，可分类讨论求解． 3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题.
∵对任意的 x∈[0,3]，有 f(x)<c2 恒成立， ∴9＋8c<c2，即 c<－1 或 c>9. ∴c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).
练 一 练 ·当 堂 检 测 、 目 标 达 成 落 实 处
1．函数 y＝f(x)在[a，b]上 A．极大值一定比极小值大 B．极大值一定是最大值 C．最大值一定是极大值 D．最大值一定大于极小值
3．函数 y＝x－sin x，x∈π2，π的最大值是
A．π－1
B.π2－1
C．π
(C) D．π＋1
解析 因为 y′＝1－cos x，当 x∈2π，π时，y′>0，则函 数 y 在区间2π，π上为增函数，所以 y 的最大值为 ymax＝π
－sin π＝π，故选 C.
4．函数 f(x)＝x3－3x2－9x＋k 在区间[－4,4]上的最大值 为 10，则其最小值为___－__7_1__． 解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)． 由 f′(x)＝0 得 x＝3 或 x＝－1. 又 f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27， f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
探究点二：含参数的函数的最值问题
例 2 已知 a 是实数，函数 f(x)＝x2(x－a)． (1)若 f′(1)＝3，求 a 的值及曲线 y＝f(x)在点(1，f(1)) 处的切线方程． (2)求 f(x)在区间[0,2]上的最大值．
解 (1)f′(x)＝3x2－2ax. 因为 f′(1)＝3－2a＝3， 所以 a＝0.又当 a＝0 时，f(1)＝1，f′(1)＝3， 所以曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 3x－y－2＝0. (2)令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝23a.
(1)求 f(x)在开区间(a，b)内所有使 f′(x)＝0 的点； (2)计算函数 f(x)在区间内 使 f′(x)＝0 的所有点 和__端__点__
的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
研 一 研 ·问 题 探 究 、 课 堂 更 高 效
探究点一：求函数的最值
问题 1 如图，观察区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象，你能 找出它的极大值、极小值吗？
跟踪训练1 求下列函数的最值： (1)f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，x∈[－3,1]； (2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]．
解 (1)∵f(x)＝x3＋2x2－4x＋5， ∴f′(x)＝3x2＋4x－4. 令 f′(x)＝0，得 x1＝－2，x2＝23. ∵ ∴函f(－数2)f＝(x)1在3，[－f323,1＝]上9257的，最f(－大3值)＝为81，3，f(1最)＝小4，值为9257.
例 3 已知函数 f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1. 若 xf′(x)≤x2＋ax＋1 恒成立，求 a 的取值范围．
解 f′(x)＝x＋x 1＋ln x－1＝ln x＋1x，xf′(x)＝xln x＋1， 而 xf′(x)≤x2＋ax＋1(x＞0)等价于 ln x－x≤a.
令 g(x)＝ln x－x，则 g′(x)＝1x－1. 当 0＜x＜1 时，g′(x)＞0；当 x>1 时，g′(x)<0，x＝1 是
答 f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数 y＝f(x)的极小值； f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数 y＝f(x)的极大值．
问题 2 观察问题 1 的函数 y＝f(x)，你能找出函数 f(x)在区 间[a，b]上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x) 在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？
从而 f(x)max＝80－4a
0<a≤2 ， 2<a<3
综上所述，f(x)max＝80－4a
a≤2 a>2 .
小结 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性 的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类 讨论，并结合不等式的知识进行求解．
跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2] 的最大值为 3，最小值为－29，求 a，b 的值． 解 f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)， 令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝4(舍去)． (1)当 a>0 时，列表如下：
( D)
解析 由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b] 上的最大值一定大于极小值．
2．函数 f(x)＝x3－3x(|x|<1) A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值
( D)
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当 x∈(－1,1)时， f′(x)<0，所以 f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最 大值和最小值，故选 D.
跟踪训练 3 设函数 f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，若对任意 的 x∈[0,3]，都有 f(x)<c2 成立，求 c 的取值范围． 解 ∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)． ∴当 x∈(0,1)时，f′(x)>0；当 x∈(1,2)时，f′(x)<0； 当 x∈(2,3)时，f′(x)>0. ∴当 x＝1 时，f(x)取极大值 f(1)＝5＋8c. 又 f(3)＝9＋8c>f(1)， ∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为 f(3)＝9＋8c.
问题 4 怎样求一个函数在闭区间上的最值？
答 只要求出函数的各个极值和端点处的函数值，进行比 较即可．
例 1 求下列函数的最值： (1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1,3]； (2)f(x)＝12x＋sin x，x∈[0,2π]． 解 (1)f(x)＝2x3－12x，
∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋ 2)(x－ 2)， 令 f′(x)＝0，解得 x＝－ 2或 x＝ 2. 因为 f(－1)＝10，f(3)＝18，f( 2)＝－8 2，
答 函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是 f(a)，最小值是 f(x3)．若区间改为(a，b)，则 f(x)有最小值 f(x3)，无最大值． 结论：一般地，如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一 条连续不间断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且最值 必在区间端点处或极值点处取得．
由表可知，当 x＝0 时，f(x)取极大值，也就是函数 在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝3，即 b＝3.
又 f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，
∴f(2)＝－16a＋3＝－29，∴a＝2.
(2)当 a<0 时，同理可得，当 x＝0 时，f(x)取极 小值，也就是函数在[－1,2]上的最小值，
g(x)的最大值点，∴g(x)≤g(1)＝－1. 综上可知，a 的取值范围是－1，＋∞.
小结 “恒成立”问题向最值问题转化是一 种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问 题，直接求含参函数的最值即可． 一般地，可采用分离参数法．λ≥f(x)恒成立⇔ λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立⇔λ≤[f(x)]min.
∴f(0)＝－29，即 b＝－29.
又 f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)， ∴f(2)＝－16a－29＝3，∴a＝－2. 综上可得，a＝2，b＝3 或 a＝－2，b＝－29.
探究点三：函数最值的应用
问题 函数最值和“恒成立”问题有什么联系？
答 解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最 值问题．如 f(x)>0 恒成立，只要 f(x)的最小值大于 0 即可．对含参不等式恒成立问题，求参数范围时，可 先分离参数．
问题 3 函数的极值和最值有什么区别和联系？
答 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的 函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函 数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能 有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端 点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有 极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处 取得必定是极值．
当23a≤0，即 a≤0 时，f(x)在[0,2]上单调递增，
从而 f(x)max＝f(2)＝8－4a.
当23a≥2，即 a≥3 时，f(x)在[0,2]上单调递减，
从而 f(x)max＝f(0)＝0.
当 0<23a<2，即 0<a<3 时，
f(x)在0，23a上单调递减，在23a，2上单调递增，
f(－ 2)＝8 2；
所以当 x＝ 2时，f(x)取得最小值－8 2； 当 x＝3 时，f(x)取得最大值 18.
(2)f′(x)＝12＋cos x，令 f′(x)＝0，又 x∈[0,2π]， 解得 x＝23π 或 x＝43π.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：
∴当 x＝0 时，f(x)有最小值 f(0)＝0；