广东省深圳市南山区北京师范大学南山附属学校2023届高三上学期10月月考数学试题

的终边经过点 P
1,
3
，所以 sina =
3 2
, cos a
=
1 2
，
故
cos
æ çè
2a
+
π3ö 2 ÷ø
= 1- sin
2a3=
-2 sin a
cosa
=
-2 ´
2
´2 =-
2
.
故选：A.
5．C
【分析】根据 f (x) 为偶函数，在 (0, +¥) 上 f (x) = ex 单调递增，结合 f (x) = f (| x |) 求解.
È
(1,
+¥
)
D．
(
-¥,
-1)
È
æ çè
4 3
,
+¥
ö ÷ø
7．已知函数
f
(x)
=
4×
sin x - 4x x2 +1
+ 1 ，且
f
(a)
=
5 ，则
f
(-a)
=
（
）
A．2
B．3
C．－2
D．－3
8．设函数
f
(x) =
ìln x ïï x
,
x
>
0
í ïsin ïî
æçèw
x
+
π 4
ö ÷ø
,π-0
£
x
地区的购车情况.设购置新能源汽车的概率为 p ，若将样本中的频率视为概率，从被调
查的所有车主中随机抽取 5 人，记恰有 3 人购置新能源汽车的概率为 f ( p) ，求当 p 为
何值时， f ( p) 最大．
试卷第51 页，共33 页
å y = bˆx + aˆ
附：
为回归方程， bˆˆ=
n
xi yi
(2)已知点
P
在棱
A¢C
上，且
A¢P PC
=
1 2
，求平面
CEP
与平面
DEP
夹角的余弦值.
20．汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素我国近几年着重强调可持 续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展，某汽车 制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：
x)} ，则如图中阴影部分表示的集合为
（）
A． [ -1, 3]
B．(3, +¥)
C． ( -¥, 3]
D． [ -1, 3)
2．已知复数 z 满足 iz = 3i + 4 ，其中 i 为虚数单位，则 z 在复平面内对应的点的坐标为 （）
A． (3, -4)
B．(-3, -4)
C． (-3, 4)
D．(3, 4)
【详解】Q x > 0 时， f ( x) = ex ，
\ f (x) 在 (0, +¥) 上单调递增，
Q f ( x) 为 R 上的偶函数，
\ f (x) = f (| x |) ，
a=
f
(ln
1) 3
=
f (- ln 3) =
f (ln 3) ， b
=
f (log3
1) e
=
f (log3 e) ， c
( ) 即3
x2 +1
-
(
x
+
3)
-
4
<
0
解得
x
Î æçè
-1,
4 3
ö ÷ø
故答案选 B 【点睛】本题考查了解不等式，抓住不等式与对应方程的关系得到系数关系是解题的关键. 7．D
【分析】根据定义判断函数 g(x) = f (x) -1的奇偶性，根据奇函数的性质可得 g(-a) = -g(a) ，
结合已知条件可求 f (-a) .
年份 t
2017 2018 2019 2020 2021
年份代码 1
2
3
4
5
x ( x = t - 2016)
10 12 17 20 26 销量 y /
万辆 (1)统计表明销量 y 与年份代码 x 有较强的线性相关关系，求 y 关于 x 的线性回归方程， 并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破 50 万辆； (2)为了解当地的购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车），该企业随机调查了该
由图可知阴影部分表示的集合是 (ðU A) I B ,而 ðU A = {x | -1 £ x £ 3} ，
故 (ðU A) I B = {x | -1 £ x < 3} ， 故选：D 2．A
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数 z ，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】解：因为 iz
=
3i
=
f (log1
e
19) =
f (ln 9)
∵ 0 < log3 e < 1 < ln 3 < ln 9 ，
∴c >a >b， 故选：C 6．B 【分析】将不等式的解代入不等式对应方程，得到 a, b, c 的关系，判断 a 为负数，将 a, b, c 的关系代入后一个不等式，解得答案.
答案第21 页，共22 页
C．函数 f (x) 是奇函数
D．函数
f
(x)
满足
f
(
π 3
-
x) +
f
(-x)
=
0.
12．已知定义域为
R
的奇函数
f
(
x)
，当
x
>
0
时，
f
(x)
=
ìï í
x
2 -1
,
x
³
2,
，则下
ïîx2 - 2x + 2, 0 < x < 2
列结论正确的是（ ）
A．对任意 x1, x2 Î (-1,1) 且 x1
【详解】由题意知： -4,1是方程 ax2 + bx + c = 0 的两个解，代入方程得到
ìïï-4 +1 = í ïïî-4´1 =
-
c a
b a
Þ
b
=
3a,
c
=
-4a
，
a<0
( ) ( ) 不等式 b x2 +1 - a ( x + 3) + c > 0 可化为：3a x2 +1 - a ( x + 3) - 4a > 0
D．
1 2
5． f ( x) 为 R 上的偶函数， x > 0 时， f ( x) = ex ，
a=
f
æ çè
ln
1 3
ö ÷ø
,
b
=
f
æ çè
log
3
1 e
ö ÷ø
,
c
=
f
æ ç
log
1
èe
1 9
ö ÷ ø
，则下述关系式正确的是（
）
试卷第11 页，共33 页
A． b > a > c
B． b > c > a
i=1
n
- nx × y , aˆ =
y - bx
．
å xi2 - nx 2
i =1
21．已知抛物线 C
:
x2
=
2 py (
p
>
0) 的焦点为
F
，抛物线上一点
Aæçè m,
1 2
ö ÷ø
(
m
<
0)
到
F
点
的距离为 3 ． 2
(1)求抛物线的方程及点 A 的坐标；
(2)设斜率为
k
的直线 l
过点
B (2,0)
+
4
，所以
z
=
3i
+ i
4
=
(3i
+ 4)i
i2
=
3-
4i
，
所以 z 在复平面内对应的点的坐标为 (3, -4) ；
故选：A 3．A 【分析】首先求出当 x -1 > y -1 时， x > y ³ 1，再由充分条件、必要条件的定义即可得 出选项. 【详解】若 x -1 > y -1 ，则 x > y ³ 1，
£
4
w
有 个不同零点，则正实数 的范围为
（）
A．
é êë
9 4
,
13 4
ö ÷ø
B．
æ çè
9 4
,
13 4
ö ÷ø
C．
æ çè
9 4
,
13 ù 4 úû
D．
é êë
9 4
,
13 4
ù úû
二、多选题 9．设 a 、 b 、 c 为实数且 a > b ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
1 a
>
1 b
3．已知实数 x ， y ，则“ x > y ”是“ x -1 > y -1 ”的（ ）
A．必要不充分条件 C．充要条件
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
( ) a
4．平面直角坐标系中，角
的终边经过点
P
1,
3
，则
cos
æ çè
2a
+
π 2
ö ÷ø
=
（
）．
A． -
3 2
B． 3 2
C．
-
1 2
19．如图（一）所示，四边形 ABCD 是等腰梯形， DC / / AB ， DC = 2 ， AB = 4 ，
ÐABC = 60° ，过 D 点作 DE ^ AB ，垂足为 E 点，将△AED 沿 DE 折到VA¢ED 位置如
图（二）所示，且 A¢C = 2 2 .
试卷第41 页，共33 页
(1)证明：平面 A¢ED ^ 平面 EBCD；
18．已知数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，且满足 a1 = 1， 2Sn = nan+1 ， n Î N* . (1)求数列{an} 的通项公式； (2)设数列{bn} 满足 b1 = 1，b2 = 2 ， bn+2 = 2bn ， n Î N* ，按照如下规律构造新数列{cn} ：
a1,b2, a3, b4 , a5, b6 , a7 , b8,L ，求数列{cn} 的前 2n 项和.
1．D
参考答案：
【分析】解不等式求得集合 A,B,根据已知图可知阴影部分表示的集合是 (ðU A) I B ，根据集 合的补集以及交集运算，可求得答案.
【详解】解
x x
-3 +1
>
0
得
x
<
-1或
x
>
3
，故
A
=
ì í
x
î
x x
+
3 1
>
0üý þ
=
{x
|
x
<
-1
或
x
>
3}，
B = {x y = ln (3 - x)} = {x | x < 3} ，
¹
x2 ，恒有
f
( x1 ) - f ( x2 )
x1 - x2
<0
B．对任意 x1, x2 Î[2, +¥) ，恒有
f
æ çè
x1
+ 2
x2
ö ÷ø
£
f
( x1 ) +
2
f
( x2 )
C．函数 y = x 与 f ( x) 的图象共有 5 个交点
D．若 x Î[a, 0), f ( x) 的最大值为 -1 ，则 a Î[-3, -1]
【详解】设
g
(
x)
=
4×
sin x - 4x x2 +1
，定义域为
R，
因为
g
(-x)
=
4
×
sin
(-x) - 4(-x) (-x)2 +1
=
-4
×
sin x - 4x x2 +1
=
-
g
(
x)
，所以
g
(
x)
为奇函数，
因为 f (a) = g (a) +1 = 5 ，所以 g (a) = 4 ，所以 f (-a) = g (-a) +1 = -g (a) +1 = -3 ，
即 f (-a) = -3 .
故选：D. 8．A
【分析】由已知可得 f ( x) 在[π-,0] 上有 3 个不同零点即可，利用正弦函数的性质列出不等
式，解出正实数w 的范围．
广东省深圳市南山区北京师范大学南山附属学校 2023 届
高三上学期 10 月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 A =
ìí x î
x-3 x +1
> 0üý ， B þ
= {x
y
=
ln (3 -
三、填空题
13．若曲线 f ( x) = ln x + x 在点(1, f (1)) 处的切线与直线 2x + ay - 4 = 0 平行，则 a =
． 试卷第31 页，共33 页
14．若
f
(1-
2x)
=
1- x2 x2
(x
¹
0)
，那么
f
æ1ö çè 3 ÷ø
等于
.
15．若函数 f (x) = (x2 - a)ex 在区间[1，2]上无极值点，则实数 a 的取值范围是
C． c > a > b
D． a > b > c
( ) 6．不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为 (-4,1) ，则不等式 b x2 +1 - a ( x + 3) + c > 0 的解集为
A．
æ çè
-
4 3
,1ö÷ø
B．
æ çè
-1,
4 3ö ÷øC．来自æ çè-¥,-
4 3
ö ÷ø
且与抛物线交于不同的两点
M
、
N
，若
uuuur BM
=
uuur l BN
且
l
Î
æ çè
1 4
,
4
ö ÷ø
，求斜率
k
的取值范围．
22．已知函数
f
(x)
=
mex
-
x2 2
有且仅有两个极值点 x1 ， x2 且 x2
>
x1
．
(1)求实数 m 的取值范围； (2)证明： x1 + x2 > 2 ．
试卷第61 页，共33 页
ar
=
(cos
x,
sin
x),
r b
=
(cos
x,
3
cos
x)
，函数
f
(x)
=
ar
×
r b
，则下列选项正确的是