广东省普宁高一下学期期中考试数学文试题

普宁第二学期高一期中考试卷数 学(文科)
第一部分 选择题(共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求).
1.有20位同学，编号从1至20，现从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样方法确定的编号有可能是
A. 5,10,15,20
B. 2,6,10,14
C. 2,4,6,8
D. 5,8,11,14 2.圆2286160x y x y +-++=与圆2264x y +=的位置关系是 A. 相交 B. 内切 C. 相离 D.外切
3.样本中共有五个个体，其值分别为,0,1,2,3a ，若该样本的平均值为1，则样本的标准差为 A. 65
2
4.某校1000名学生的高中数学学业水平考试成绩的频率分布 直方图如图所示，规定不低于90分为优秀等级，则该校学生优秀等级的人数是
A. 300
B. 30
C. 150
D. 15
5.若一口袋中装有4个白球和3个红球，现从中任取两球，则取出的两球中至少有一个白球的概率为 A. 13
B. 16
C. 17
D.221
6.过点
()
4,2P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，O 为原点，则ABO 的外
接圆方程是 A.
()()
22
215
x y -+-= B. ()()
22
2120
x y -+-=
C.
()()
2
2
215
x y +++= D.
()()
2
2
2120
x y +++=
7.分别写上数字1，2，3，…，9的9张卡片中，任取2张，观察上面的数字，则两数之积为完全平方数的概率是
A. 19
B. 29
C. 13
D. 59
8.阅读下边的程序框图，若输出S 的值为-7，则判断框内可填写 A. 3?i < B. 4?i < C. 5?i < D. 6?i < 9.已知蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形内爬行，某时刻此蚂蚁距离三角形三个顶点距离均超过1的概率为 A.
16π-
B. 112π-
C. 6π
D.12
π
10.已知直线l 过点
()0,4-，P 是上的一动点，,PA PB 是圆
22:20C x y y +-=的两条切线，A ，B 为切点，若四边形PACB 的最
小面积为2，则直线的斜率为
A.
2
±
C. ±
D. 2± 11．一条光线从点(﹣2，﹣3)射出，经y 轴反射后与圆(x+3)2
+(y ﹣2)2
=1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A
．﹣
或﹣
B
．﹣
或﹣
C
．﹣
或﹣
D
．﹣
或﹣
12．设函数f ′(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，f(﹣1)=0，当x ＞0时，xf ′(x)﹣f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x 的取值范围是( )
A ．(﹣∞，﹣1)∪(0，1)
B ．(﹣1，0)∪(1，+∞)
C ．(﹣∞，﹣1)∪(﹣1，0)
D ．(0，1)∪(1，+∞)
第二部分 非选择题(共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
13.已知2＋23＝22×23，3＋38＝32×38，4＋415＝42×415，…，若9＋b a ＝92
×b
a (a ，
b 为正整数)，则a ＋b ＝________.
14.已知函数f (x )＝ax 2
＋b ln x 在x ＝1处有极值1
2.则a b += .
15.已知函数f (x )＝2ln x －x (1)f '，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程是 .
16.若 ，则f (2 014)＝________.
60(4),0()2cos3,0x
f x x f x xdx x π->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩
⎰
三、解答题：(本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．)
17．在平面直角坐标系xOy中，已知向量=(，﹣)，=(sinx，cosx)，x∈(0，)．
(1)若⊥，求tanx的值；
(2)若与的夹角为，求x的值．
18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点．
(Ⅰ)求证：CE∥平面PAD
(Ⅱ)求证：平面EFG⊥平面EMN．
19．已知函数f(x)=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．
(Ⅰ)讨论f(1)和f(﹣1)是函数f(x)的极大值还是极小值；
(Ⅱ)过点A(0，16)作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程．
20．已知椭圆的焦点在x轴上，短轴长为4，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线l过该椭圆的左焦点，交椭圆于M、N两点，且，求直线l的方程．
21．用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．
22．设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．
(Ⅰ)求{a n}的通项公式；
(Ⅱ)若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．
普宁高一期中考数学试卷(文科)参考答案
一．选择题： ABDCC AADBD BC 二．填空题： 13. 89 14.
12
a b +=-
15. x －y －2＝0 16. 7
12
三、解答题
17. 解 (1)由a cos B ＋3b sin A ＝c ，得 sin A cos B ＋3sin B sin A ＝sin (A ＋B )， 即 3sin B sin A ＝cos A sin B ， 所以tan A ＝33，故A ＝π
6. (5分) (2)由AB →·AC →＝3，得bc cos π
6＝3，即bc ＝23，① 又a ＝1，
∴1＝b 2
＋c 2
－2bc cos π
6，②
由①②可得(b ＋c )2＝7＋43，所以b ＋c ＝2＋ 3. (10分)
18. 解 (1)由题设可得，对任意n ∈N *，f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x .
f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0，
即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列． 由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，解得数列{a n }的公差d ＝1，
所以a n ＝2＋1·(n －1)＝n ＋1. (6分) (2)由b n ＝
＝2⎝ ⎛
⎭⎪⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2，
知S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·
n
n ＋12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12
＝n 2
＋3n ＋1－1
2n . (12分)
19. 解 (1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －x 2， ∴f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x (e x －2)． 令f ′(x )>0，即x (e x －2)>0， ∴x >ln 2或x <0.
令f ′(x )<0，即x (e x
－2)<0，∴0<x <ln 2. 因此函数f (x )的递减区间是(0，ln 2)；
递增区间是(－∞，0)和(ln 2，＋∞)． ( 6分) (2)易知f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x (e x －2k )． ∵f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数， ∴当x ≥0时，f ′(x )＝x (e x －2k )≥0恒成立． ∴e x
－2k ≥0，即2k ≤e x
恒成立． 由于e x ≥1，∴2k ≤1，则k ≤1
2.
又当k ＝1
2时，f ′(x )＝x (e x
－1)≥0当且仅当x ＝0时取等号． 因此，实数k 的取值范围是⎝ ⎛
⎦⎥⎤－∞，12. (12)
20.(1)证明 ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥BD .
同理由PC ⊥平面BDE ，可证得PC ⊥BD . 又PA ∩PC ＝P ，∴BD ⊥平面PAC . (4分) (2)解
如图，分别以射线AB ，AD ，AP 为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系． 由(1)知BD ⊥平面PAC ，
又AC ⊂平面PAC ，∴BD ⊥AC .
故矩形ABCD 为正方形， ∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2.
∴A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，1)． ∴PB →＝(2，0，－1)，BC →＝(0，2，0)，BD →
＝(－2，2，0)． 设平面PBC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则
⎩⎨⎧
n ·PB ，→＝0，n ·BC ，→
＝0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
2·x ＋0·y －z ＝0，0·x ＋2·y ＋0·z ＝0，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
z ＝2x ，y ＝0，取x ＝1得n ＝(1，0，2)．
∵BD ⊥平面PAC ，
∴BD →
＝(－2，2，0)为平面PAC 的一个法向量． cos<n ，BD →>＝n ·BD ，→
|n |·|BD ，→|
＝－10
10.
设二面角B －PC －A 的平面角为α，由图知0<α<π
2， ∴cos α＝1010，sin α＝1－cos 2
α＝310
10. ∴tan α＝sin α
cos α＝3，即二面角B －PC －A 的正切值为3.
21.解 由f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝2x ＋sin x ＋x (sin x )′－sin x ＝x (2＋c os x )．
(1)因为曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，所以f ′(a )＝a (2＋cos a )＝0，b ＝f (a )．
解得a ＝0，b ＝f (0)＝1. (5分) (2)设g (x )＝f (x )－b ＝x 2
＋x sin x ＋cos x －b . 令g ′(x )＝f ′(x )－0＝x (2＋cos x )＝0，得x ＝0. 当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：
∙
所以函数g (x )g (x )的最小值为g (0)＝1－b .
①当1－b ≥0时，即b ≤1时，g (x )＝0至多有一个实根，曲线y ＝f (x )与y ＝b 最多有一个交点，不合题意．
②当1－b <0时，即b >1时，有g (0)＝1－b <0，
g (2b )＝4b 2＋2b sin 2b ＋cos 2b －b >4b －2b －1－b >0.
∴y ＝g (x )在(0，2b )内存在零点，
又y ＝g (x )在R 上是偶函数，且g (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴y ＝g (x )在(0，＋∞)上有唯一零点，在(－∞，0)也有唯一零点． 故当b >1时，y ＝g (x )在R 上有两个零点， 则曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点．
综上可知，如果曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1，＋∞)．(12分)
22. 解：(1)由点P 到)3,0(1-F 、)3,0(2F 两点的距离之和等于4结合椭园定义知：
点P 的轨迹为C 是以
)3,0(2F 、)3,0(2F 为焦点的椭圆，设椭圆C 的标准方程为:
)0(12
2
22>>=+b a b y a x 由⎪
⎩⎪⎨⎧===⎪⎩
⎪⎨⎧-===312342222c b a b a C C a 得轨迹C 的方程为11
42
2
=+x y (4分)
(2)设),(11y x A ，),(22y x B ，
由
⎩⎨⎧=++=4
41
2
2y x kx y 得032)4(22=-++kx x k ，
0)3(16)3()4(4)2(222>+=-⨯+-=∆k k k
43,422
21221+-=+-=+k x x k k x x (6分)
1)()1)(1(212122121+++=++=x x k x x k kx kx y y
由
→
→→=+AB
OB OA 得
→
→⊥OB
OA 所以
2121=+=∙→
→
y y x x OB OA 即 (8分)
41
4142434322222222121=++-=++-+-+-=+k k k k k k k y y x x (9分) 解得
21±=k 17
12,1742121-
=±=+x x x x (10)
17
65
44)(1212212
=
-++=→
x x x x k AB (12分)。