17学年高中数学第1章相似三角形定理与圆幂定理1.1.3平行截割定理学业分层测评新人教B版选修4_11703110211

1.1.3 平行截割定理
(建议用时：40分钟)
[学业达标]
一、选择题(每小题5分，共20分)
1.如图1­1­49，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是DC 延长线上一点，AE 分别交BD 于G ，交
BC 于F .下列结论：①EC CD ＝EF AF ；②FG AG ＝BG GD ；③AE AG ＝BD DG ；④AF CD ＝AE
DE
，其中正确的个数是( )
图1­1­49
A.1
B.2
C.3
D.4 【解析】 ∵BC ∥AD ， ∴EC CD ＝EF AF ，
AF AE ＝CD
DE
.故①④正确.
∵BF ∥AD ，∴FG AG ＝BG
GD
，故②正确.
【答案】 C
2.已知如图1­1­50，AD ∥BE ∥CF ，EG ∥FH ，则下列等式成立的是( )
图1­1­50
A.AD BE ＝EG HF
B.BE CF ＝EG HF
C.
AB AC ＝EG HF
D.
EF DE ＝AB AC
【解析】 ∵BE ∥CF ，∴AB AC ＝DE
DF
， ∵EG ∥FH ，∴DE DF ＝
EG
FH
，
∴AB AC ＝EG HF
.故选C. 【答案】 C
3.如图1­1­51，平行四边形ABCD 中，N 是AB 延长线上一点，则BC BM －
AB
BN
为( )
图1­1­51
A.12
B.1
C.32
D.23
【解析】 ∵AD ∥BM ，∴AB BN ＝DM
MN
. 又∵DC ∥AN ，∴DM MN ＝MC BM
， ∴
DM ＋MN MN ＝MC ＋BM
BM . ∴DN MN ＝BC BM
， ∴BC BM －AB BN ＝
DN MN －DM MN ＝MN
MN
＝1.
【答案】 B
4.如图1­1­52，已知△ABC 中，AE ∶EB ＝1∶3，BD ∶DC ＝2∶1，AD 与CE 相交于F ，则EF
FC
＋AF FD
的值为( )
图1­1­52
A.12
B.1
C.32
D.2
【解析】 过点D 作DG ∥AB 交EC 于点G ，则DG BE ＝CD BC ＝CG EC ＝13.而AE BE ＝13，即AE BE ＝DG
BE
，所
以AE ＝DG ，从而有AF ＝FD ，EF ＝FG ＝CG ，故EF FC ＋
AF FD ＝EF 2EF ＋AF AF ＝12＋1＝32
.
【答案】 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.如图1­1­53，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点.AE 交BC 于点F ，则
BF
FC
＝________.
图1­1­53
【解析】 过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M . ∵点E 是BD 的中点. ∴在△BDM 中，BF ＝FM . ∵点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF . ∴BF FC ＝
BF FM ＋MC ＝1
2
.
【答案】 1
2
6.如图1­1­54，已知B 在AC 上，D 在BE 上，且AB ∶BC ＝2∶1，ED ∶DB ＝2∶1，则AD ∶DF ＝________.
图1­1­54
【解析】 如图，过D 作DG ∥AC 交FC 于G .
则DG BC ＝ED EB ＝23
. ∴DG ＝23BC .
又BC ＝1
3AC ，
∴DG ＝29AC .
∵DG ∥AC ，∴DF AF ＝DG AC ＝2
9
.
∴DF ＝29
AF .
从而AD ＝7
9AF ，∴AD ∶DF ＝7∶2.
【答案】 7∶2
三、解答题(每小题10分，共30分)
7.如图1­1­55，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，EF ∥BC ，AB ＝15cm ，AF ＝4cm ，求BE 和DE 的长.
图1­1­55
【解】 ∵DE ∥AC ， ∴∠3＝∠2.
又AD 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2. ∴∠1＝∠3，即AE ＝ED . ∵DE ∥AC ，EF ∥BC ， ∴四边形EDCF 是平行四边形. ∴ED ＝FC ，即AE ＝ED ＝FC . 设AE ＝DE ＝FC ＝x . 由EF ∥BC 得AE BE ＝
AF FC .即x 15－x ＝4
x
，
解之得x 1＝6，x 2＝－10(舍去). 所以DE ＝6cm ，BE ＝15－6＝9(cm).
8.如图1­1­56所示，已知直线FD 和△ABC 的BC 边交于D ，与AC 边交于E ，与BA 的延长线交于F ，且BD ＝DC ，求证：AE ·FB ＝EC ·FA .
图1­1­56
【证明】 过A 作AG ∥BC ，交DF 于G 点，如图所示.
∵AG ∥BD ，∴FA FB ＝AG
BD
.
又∵BD ＝DC ，
∴FA FB ＝AG DC
. ∵AG ∥BD ， ∴AG DC ＝AE EC . ∴AE EC ＝FA FB
， 即AE ·FB ＝EC ·FA .
[能力提升]
9.如图1­1­57，AB ⊥BD 于B ，CD ⊥BD 于D ，连接AD ，BC 交于点E ，EF ⊥BD 于F ，求证：1
AB ＋
1
CD ＝1EF
.
【导学号：61650007】
图1­1­57
【证明】 ∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，EF ⊥BD ， ∴AB ∥EF ∥CD ， ∴EF AB ＝DF BD ，EF CD ＝BF
BD
，
∴EF AB ＋EF CD ＝
DF BD ＋BF BD ＝DF ＋BF BD ＝BD
BD ＝1，
∴1AB ＋1CD ＝1EF
.。