2019上海高考压轴卷数学附答案解析

2019上海高考压轴卷
数学
一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）
1.已知A，B是椭圆E：的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直
线AM，BM的斜率之积为，则E的离心率为
A. B. C. D.
2.已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
3.已知三棱锥S-ABC，△ABC是直角三角形，其斜边AB=8，SC⊥平面ABC，SC=6，则三棱锥的外接球的
表面积为（）
A. B. C. D.
4.定义：若整数满足：，称为离实数最近的整数，记作．给出函数
的四个命题：
①函数的定义域为，值域为；
②函数是周期函数，最小正周期为；
③函数在上是增函数；
④函数的图象关于直线∈对称.
其中所有的正确命题的序号为（）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）
5.若=0，则x=______．
6.已知双曲线=1的离心率为，则m=______．
7.（-）6的展开式中常数项为______ ．
8.函数f（x）=4x-2x+2（-1≤x≤2）的最小值为______ ．
9.已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是______．
10.若数列{a n}满足a11=，-=5（n∈N*），则a1= ______ ．
11.已知
，＜
，
是R上的增函数，则a的取值范围是______ ．
12.已知圆的方程为（x-1）2+（y-1）2=9，P（2，2）是该圆内一点，过点P的最长弦和最短弦分别为AC
和BD，则四边形ABCD的面积是______ ．
13.口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，
则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为______．
14.已知各项为正的等比数列{a n}中，a2a3=16，则数列{log2a n}的前四项和等于______．
15.已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的
取值范围是
16.函数f（x）=lg（x≠0，x∈R），有下列命题：
①f（x）的图象关于y轴对称；
②f（x）的最小值是2；
③f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；
④f（x）没有最大值．
其中正确命题的序号是______ ．（请填上所有正确命题的序号）
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
17.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=k（x+1）与C相切于点A，|AF|=2．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线l交C于M，N两点，T是MN的中点，若|MN|=8，求点T到y轴距离的最小值及此时直线l的方程．
18.函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的一个零点为，其图象距离该零点最近的一条对称轴为x=．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+log2k=0在x∈[，]上恒有实数解，求实数k的取值范围．
19.某网店经营的一种商品进行进价是每件10元，根据一周的销售数据得出周销售量件与单价元之
间的关系如下图所示，该网店与这种商品有关的周开支均为25元．
根据周销售量图写出件与单价元之间的函数关系式；
写出利润元与单价元之间的函数关系式；当该商品的销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润．
20.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率
为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点
F2作直线PF2的垂线l2．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
21.各项均为正数的数列中，前n项和．
求数列的通项公式；
若恒成立，求k的取值范围；
是否存在正整数m，k，使得，，成等比数列？若存在，求出m和k的值，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】由题意方程可知，A（-a，0），B（a，0），
设M（x0，y0），∴，
则，整理得：，
又，得，即，
联立，得，即，解得e=．
故选D．
2.【答案】A
【解析】a∈R，则“a＞1”⇒“”，
“”⇒“a＞1或a＜0”，
∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．
故选：A．
3.【答案】D
【解析】如图所示，直角三角形ABC的外接圆的圆心为AB中点D，
过D作面ABC的垂线，球心O在该垂线上，
过O作球的弦SC的垂线，垂足为E，则E为SC中点，
球半径R=OS=
∵，SE=3，∴R=5
棱锥的外接球的表面积为4πR2=100π，
故选：D．
4.【答案】B
【解析】∵ 中，由题意知，{x}-{x}+，则得到f（x）=x-{x}∈（-]，故错误；
中，由题意知函数f（x）=x-{x}∈（-]的最小正周期为1，，故正确；
中，由于{x}-{x}+则得f（x）=x-{x}为分段函数，且在上是增函数，，故命
题正确；
中，由题意得，
所以函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）不对称，故命题错误；
由此可选择，
故选B.
5.【答案】1
【解析】=4x-2×2x=0，
设2x=t，t＞0，则t2-2t=0，解得：t=2，或t=0（舍去）
则2x=t=2，则x=1，
故答案为：1．
6.【答案】2或-5
【解析】双曲线-=1，
当焦点在x轴时，a2=m+2，b2=m+1，
可得c2=a2+b2=3+2m，
∵双曲线-=1的离心率为，
∴，即，解得m=2，
当焦点在y轴时，a2=-m-1，b2=-m-2，
可得c2=a2+b2=-3-2m，
∵双曲线-=1的离心率为，
∴，
可得，即12+8m=7m+7，可得m=-5．
故答案为2或-5．
7.【答案】60
【解析】（-）6的展开式中的通项公式：T r+1==（-1）r26-r，
令-6=0，解得r=4．
∴（-）6的展开式中常数项==60．
故答案为60．
8.【答案】-4
【解析】f(x)=(2x)2-4•2x，
令t=2x，
∵-1≤x≤2，∴t∈[，4]，
则y=t2-4t=(t-2)2-4，
y在t∈[，2]上递减，
在t∈[2，4]上递增，
所以当t=2时函数取得最小值-4．
故答案为-4．
9.【答案】
【解析】复数z=（1+i）（1+2i）=1-2+3i=-1+3i，
∴|z|==．
故答案为：．
10.【答案】
【解析】-=5，
∴{}是以5为公差的等差数列，
∴=+5（n-1），
∵a11=，
∴=+5（11-1）=52，即=2，
∴a1=.
故答案为．
11.【答案】[2，+∞）
【解析】首先，y=log a x在区间[1，+∞）上是增函数
且函数y=（a+2）x-2a区间（-∞，1）上也是增函数
∴a＞1 (1)
其次在x=1处函数对应的第一个表达式的值要小于或等于第二个表达式的值，即（a+2）-2a≤log a1⇒a≥2 (2)
联解（1）、（2）得a≥2．
故答案为[2，+∞）．
12.【答案】6
【解析】∵圆的方程为（x-1）2+（y-1）2=9，
∴圆心坐标为M（1，1），半径r=3．
∵P（2，2）是该圆内一点，
∴经过P点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．
结合题意，得AC是经过P点的直径，BD是与AC垂直的弦．
∵|PM|==，
∴由垂径定理，得|BD|=2．
因此，四边形ABCD的面积是S=|AC|•|BD|=×6×2=6．
故答案为6
13.【答案】
【解析】口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，从袋中一次随机摸出2个球，基本事件总数n==6，
摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有：
（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个，
∴摸出的2个球的编号之和大于4的概率为p=．
故答案为：．
从袋中一次随机摸出2个球，基本事件总数n==6，利用列举法求出摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件个数，由此能求出摸出的2个球的编号之和大于4的概率．
14.【答案】8
【解析】各项为正的等比数列{a n}中，a2a3=16，
可得a1a4=a2a3=16，
即有log2a1+log2a2+log2a3+log2a4
=log2（a1a2a3a4）=log2256=8．
故答案为：8．
15.【答案】（4，8）
【解析】当x≤0时，由f（x）=ax得x2+2ax+a=ax，
得x2+ax+a=0，
得a（x+1）=-x2，
得a=-，
设g（x）=-，
则g′（x）=-=-，
由g′（x）＞0得-2＜x＜-1或-1＜x＜0，此时递增，
由g′（x）＜0得x＜-2，此时递减，即当x=-2时，g（x）取得极小值为g（-2）=4，
当x＞0时，由f（x）=ax得-x2+2ax-2a=ax，
得x2-ax+2a=0，
得a（x-2）=x2，当x=2时，方程不成立，
当x≠2时，a=
设h（x）=，则h′（x）==，
由h′（x）＞0得x＞4，此时递增，
由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x=4时，h（x）取得极小值为h（4）=8，
要使f（x）=ax恰有2个互异的实数解，
则由图象知4＜a＜8，
故答案为（4，8）
16.【答案】①④
【解析】f（-x）=lg=f（x），
∴函数f（x）是偶函数，f（x）的图象关于y轴对称，故正确；
2，∴f（x）=lg≥lg2，
∴f（x）的最小值是lg2，故不正确；
函数g（x）=在（-∞，-1），（0，1）上是减函数，在（-1，0），（1，+∞）上是增函数，
故函数f（x）=lg在（-∞，-1），（0，1）上是减函数，在（-1，0），（1，+∞）上是增函数，故
不正确；
由知，f（x）没有最大值，故正确
故答案为：．
17.【答案】（Ⅰ）设A（x0，y0），直线y=k（x+1）代入y2=2px，
可得k2x2+（2k2-2p）x+k2=0，
由△=（2k2-2p）2-4k4=0，解得p=2k2，解得x0=1，
由|AF|=1+=2，即p=2，
可得抛物线方程为y2=4x；
（Ⅱ）由题意可得直线l的斜率不为0，设l：x=my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立抛物线方程可得y2-4my-4n=0，
△=16m2+16n＞0，y1+y2=4m，y1y2=-4n，
|AB|=•=8，
可得n=-m2，
=2m，==2m2+n=+m2
=+m2+1-1≥2-1=3，
当且仅当=m2+1，即m2=1，即m=±1，
T到y轴的距离的最小值为3，
此时n=1，直线的方程为x±y-1=0..
【解析】
（Ⅰ）设A（x0，y0），联立直线方程和抛物线方程，运用判别式为0，结合抛物线的定义，可得抛物线方程；
（Ⅱ）由题意可得直线l的斜率不为0，设l：x=my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，结合中点坐标公式和基本不等式可得所求直线方程．
本题考查抛物线的方程的求法，注意运用直线和抛物线相切的条件：判别式为0，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．
18.【答案】（Ⅰ）由题意，
f（）=2sin（•ω+φ）=0，即•ω+φ=kπ，∈①
，
即T=，得ω=2，
代入①得φ=，∈，取k=1，得φ=，
∴f（x）=2sin（2x）；
（Ⅱ）∵x∈[，]，
∴∈[，]，，得f（x）∈[-2，1]，
由f（x）+log2k=0，
得log2k=-f（x）∈[-1，2]，
∴k∈[，4]．
【解析】
本题考查函数与方程的应用，三角函数的最值，周期及解析式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
（Ⅰ）由函数的零点列式得到•ω+φ=kπ，，再由已知求得周期，进一步求得ω，则φ可求，函数解
析式可求；
（Ⅱ）由x的范围求得相位的范围，进一步求出函数值域，再由方程f（x）+log2k=0在x∈[，]上恒有
实数解即可求得k的范围．
19.【答案】（1）由题设知，当12≤x≤20时，设p=ax+b，
则,
解得a=-2，b=50.
∴p=-2x+50，
同理得，当20＜x≤28时，p=-x+30，
所以;
（2）当12≤x≤20时，
销售利润,
因此当时,;
当20＜x≤28时，
销售利润,
∵函数在（20,28]上单调递减，∴y<75，
∴该消费品销售价格为时，周利润最大，最大周利润为.
【解析】本题考查了函数的表示方法,分段函数,待定系数法和一次函数、二次函数模型.
（1）利用函数图象,结合分段函数的概念,运用待定系数法计算得结论;
（2）利用二次函数模型，分段求最值得结论.
20.【答案】（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=2c，①
椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②
由①②解得：a=2，c=1，
则b2=a2-c2=3，
∴椭圆的标准方程：；
（2）方法一：设P（x0，y0），则直线PF2的斜率=，
则直线l2的斜率k2=-，直线l2的方程y=-（x-1），
直线PF1的斜率=，
则直线l2的斜率k1=-，直线l1的方程y=-（x+1），
联立，解得：，则Q（-x0，），
由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y0=，
∴y02=x02-1，
则，解得：，则，
又P在第一象限，所以P的坐标为：
P（，）．
方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，
当m=1时，不存在，解得：Q与F1重合，不满足题意，
当m≠1时，=，=，
由l1⊥PF1，l2⊥PF2，则=-，=-，
直线l1的方程y=-（x+1），①直线l2的方程y=-（x-1），②
联立解得：x=-m，则Q（-m，），
由Q在椭圆方程，由对称性可得：=±n2，
即m2-n2=1，或m2+n2=1，
由P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无解，
又P在第一象限，所以P的坐标为：
P（，）．
【解析】
（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=±，则2×=8，即可求得a和c的值，则
b2=a2-c2=3，即可求得椭圆方程；
（2）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l1的斜率及方程，联立求
得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y02=x02-1，联立即可求得P点坐标；
方法二：设P（m，n），当m≠1时，=，=，求得直线l1及l1的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得=±n2，联立椭圆方程，即可求得P点坐标．
本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．
21.【答案】（1）∵，∴，，
两式相减得，，
整理得（a n+a n-1）（a n-a n-1-2）=0，
∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n-a n-1=2，n≥2，
∴{a n}是公差为2的等差数列，
又得a1=1，∴a n=2n-1；
（2）由题意得＞，
∵，
∴=＜，
∴；
（3）∵a n=2n-1．
假设存在正整数m，k，使得a m，a m+5，a k成等比数列，即
即（2m+9）2=（2m-1）•（2k-1），
∵（2m-1）≠0，∴，
∵2k-1∈Z，∴2m-1为100的约数，
∴当2m-1=1，m=1，k=61,
当2m-1=5 , m=3 , k=23,
当2m-1=25, m=13, k=25.
故存在.
【解析】
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、“裂项求和”方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
（1）利用递推关系得（a n+a n-1）（a n-a n-1-2）=0，数列{a n}的各项均为正数，可得a n-a n-1=2，n≥2，利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）由题意得，利用，
“裂项求和”方法即可得出；
（3）a n=2n-1．假设存在正整数m，k，使得a m，a m+5，a k成等比数列，即．可得
，进而得出．。