2023届高三第七次百校大联考数学试题(新高考)

一、单选题
二、多选题
1.
记
为等比数列的前n 项和.若
，，则
（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
2.
从一批产品中取出三件，设
“三件产品全不是次品”，
“三件产品全是次品”，
“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是
（ ）.
A ．A 与C 互斥
B ．B 与
C 互斥C ．任两个均互斥
D ．任两个均不互斥
3. 设
，
为双曲线：
的左、右焦点，点
为双曲线的左顶点，以
为直径的圆交双曲线的渐近线于
，
两点，且点
，分别在第一、三象限，若
，则双曲线的离心率为（ ）
A
．B
．C
．D
．
4.
的内角的对边分别为，若，则内角
（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
5. 如图，四边形ABCD
为正方形，
平面ABCD ，
，
，则三棱锥
的体积为（
）
A
．B
．
C ．2
D
．
6. 设双曲线
的左、右焦点分别为，右顶点为A ，M
为双曲线上一点，且
，则双曲线
的离心率为（ ）
A ．2
B
．C
．
D ．3
7. 已知直线a ，b 和平面，
，
，则“”是“”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8. 已知复数
是纯虚数，则实数
（ ）
A ．1
B
．C
．D ．0
9. 已知函数，关于x
的方程，下列结论正确的是（ ）
A
．存在使方程恰有2个不相等的实根B ．存在使方程恰有4个不相等的实根C
．存在使方程恰有5个不相等的实根D
．存在
使方程恰有6个不相等的实根
10.
已知函数
的定义域为，且满当
时，
，λ为非零常数，则下列
说法正确的是（ ）
2023届高三第七次百校大联考数学试题(新高考)
三、填空题
A ．当
时，
B
．当时，在单调递增
C ．当时，在
的值域为
D ．当
时，且时，若将函数
与
的图象在
的m 个交点记为
（
，2，3，
…m
），则
11.
如图所示，四边形
为等腰梯形，，，，
分别为，的中点，若，则
（
）
A
．B
．C
．
D
．
12. 疫苗是为预防、控制传染病的发生、流行，用于人体预防接种的预防性生物制品，其前期研发过程中，一般都会进行动物保护测试，为
了考察某种疫苗预防效果，在进行动物试验时，得到如下统计数据：
未发病
发病总计
未注射疫苗30注射疫苗40总计
70
30
100
附表及公式：
0.050.010.005
0.0013.841
6.635
7.879
10.828
，．
现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为0.5，则下列判断正确的是（ ）
A ．注射疫苗发病的动物数为10
B
．某个发病的小动物为未注射疫苗动物的概率为C ．能在犯错概率不超过0.005的前提下，认为疫苗有效D ．该疫苗的有效率约为80%
13.
如图，在直三棱柱
中，，
，则当四棱锥
的体积最大时，三棱柱外接球的
体积为
___________.
14.
记等差数列的前n
项和为
，若 ，则____________．
四、解答题
15.
_________.
16.
已知正项数列
满足
，且对任意的正整数n ，
是和的等差中项．
（1）证明：
是等差数列，并求的通项公式；
（2）设
，
为
前n 项和，证明：
．
17.
已知数列的前n 项和为
，满足
(1)证明：数列为等比数列；(2)
若
，求数列
的前
项和
18. 已知函数．
(1)当时，求
在点
处的切线方程．
(2)若
的图象恒在轴上方，求实数的取值范围．
19.
如图，正三棱柱中，D
是
的中点，
．
(1)
求证：直线；(2)求点D 到平面的距离；
(3)
判断
与平面
的位置关系，并证明你的结论．
20. 设函数
.
（1
）若
的两个极值点为
，且，求实数的值；
（2）是否存在实数，使得
是
上的单调函数？若存在,求出的值；若不存在，说明理由.
21. 某景区平面图如图1所示，
为边界上的点．已知边界是一段抛物线，其余边界均为线段，且，抛物线顶点到
的距离
．以
所在直线为
轴，
所在直线为轴，建立平面直角
坐标系．
（1）求边界
所在抛物线的解析式；
（2）如图2，该景区管理处欲在区域内围成一个矩形
场地，使得点
在边界
上，点
在边界
上，试确定点
的位置，使得矩形
的周长最大，并求出最大周长．。