线路测量中任意测点的投影归算

ｌ３／６Ｃ－ ｌ７／３３６Ｃ３－ ｙＡ＝－ （ ２Ｃ／ｌ２－ ｌ２／６Ｃ－ ｌ６／３６０Ｃ３） × （ ｌ－ ｌ５／４０Ｃ２＋ｌ９／３４５６Ｃ４－ ｘＡ） （ ５）
将（ ５） 式展开整理并舍去超高次项得：
６１×ｌ９－ １６８ ｘＡ ｌ８＋３０２４Ｃ２×ｌ５＋６０４８０ ｙＡ Ｃ３×ｌ２－
１２０９６０Ｃ４×ｌ＋１２０９６０ｘＡ＝０ （６）
首 先 来 看 在 第 一 缓 和 曲 线 段 （ ＺＨ— ——ＨＹ） 中曲线右转时的情况。由 Ａ 点的（ ｘＡ， ｙＡ） 化算为 （ ＸＡ， ＹＡ） 的计算式为：
五 、结 论 本文所推导的归化算法具有计算效率高， 数据处理严密 等优点， 使用便于携带的 ＣＡＳＩＯ ＦＸ－ ４８００Ｐ 等具有编程功能的普通计算器 ， 不仅 简化了很多繁琐复杂和多次重复计算的工作， 也提高了野外线路勘测和工程施工外业检查的 效率。使用时须注意初值取值问题。
科技动态

线路测量中任意测点的投影归算
张明林 （西北有色金属测绘院）
摘 要： 线路测量中经常需要计算中线外 某点至中线的距离及对应的里程。本文根据线 路的三种基本形式即直线，圆曲线和缓和曲线， 对其逐一进行了推导。该方法数据处理严密，简 单实用，可广泛用于各种编程计算器。
关键词： 曲线长度，牛顿法，ＣＡＳＩＯ ＦＸ－ ４８００Ｐ 计算器
线路测量中， 经常需要确定某一特定地物 所对应的线路里程。而线路又分为三种基本形 式， 即直线， 圆曲线和缓和曲线， 下面逐一对其 进行推导。利用 ＣＡＳＩＯ ＦＸ－ ４８００Ｐ 等具有解算 高次方程的编程计算器， 可以快速方便的计算 出所需要的数据。
一 、直 线 在已知直线段两端点坐标桩号的情况下， 利用坐 标转换可以很方便的求出所求点的桩 号。 如图 １ 所示，
对于缓和曲线而言， 任意测点的归算主要 在于计算所对应的缓和曲线长， 即测点在缓和 曲线上的投影至起点的里程差， 然后再计算所 需要的各项数据。如图 ３ 所示。
缓和曲线的参数方程为； ｘ＝ｌ－ ｌ５／４０ｃ２＋ｌ９／３４５６ｃ４
在实际工作中， 测点一般不会离路线中线 太 远 ， 上 述 ２ 种 Ｌ０ 的 取 值 一 般 可 保 证 迭 代 收 敛。实践证明， 式（ ９） 的迭代过程收敛很快， 一般 迭代 ２￣３ 次即可获得误差小于 ０．１ｍｍ 的结果。 在通常情况下， 我们测的坐标是属于高斯坐标 系的， 为此需将 Ａ 点的高斯坐标（ ＸＡ， ＹＡ） 转换为 缓和曲线切线坐标系中的坐 标（ ｘＡ， ｙＡ） 。设在高 斯坐标系中， 起始切 线（ ＺＨ－ ＪＤ） 的方位角 为 α１， 终 点 切 线 （ ＪＤ－ ＨＺ） 的 方 位 角 为 α２， 交 点 坐 标 为 （ ＸＪＤ， ＹＪＤ） ， 直缓 点 坐 标 为 （ ＸＺＨ， ＹＺＨ） ， 缓 直 点 坐 标 为（ ＸＨＺ， ＹＨＺ） 。
即： Ｆ（ Ｔ） ＝０
（ ７）
上式为高次代数方程， 采用牛顿公式进行
迭代解算：
ｌＫ＋１＝ｌＫ－ Ｆ（ ｌＫ） ／Ｆ’（ ｌＫ） （ ８）
即：
四 、程 序 设 计 由求出的曲线长 ｌＡ 代入缓和曲 线方程即可 获得投影点的切线坐标， 再做坐标转换可求得 投影点的高斯坐标， 然后由坐标反算可得 Ａ 点 至路线中线的距离和方向。计算框图如下：
牛顿法的收敛速度很快， 其成功的关键在
于 选 取 初 值 Ｌ０， 如 果 Ｌ０ 离 所 求 的 根 ＬＡ 较 远 ， 则
迭代过程可能发散。初值 Ｌ０ 一般可取
（投
影点离切点较远时） 或 ｘＡ （ 投影点 离切点较近
时） ， 即：
θ＝（ ＫＢ－ ＫＡ） ×１８０／２ Ｒ Ｔ＝ＦＡＢ＋９０－ θ 则圆心坐标为： ＸＯ＝ＸＡ＋Ｒ×ｃｏｓ Ｔ ＹＯ＝ＹＡ＋Ｒ×ｓｉｎ Ｔ 由 Ａ， Ｏ， Ｃ 点坐标可计算出夹角 β 则 Ｃ 点桩号为： ＫＣ＝ＫＡ＋ Ｒ×β÷１８０ Ｃ 点对应的偏距为： Ｅ＝ＤＯＣ－ Ｒ 三 、缓 和 曲 线
ｙ＝ｌ３／６ｃ － ｌ７／３３６ｃ３ （ １） 设 Ａ（ ｘＡ， ｙＡ） 为缓和曲线外的任意测点， 过 Ａ 点的缓和曲线法线为： ｙ－ ｙＡ＝－ １／ｔａｎβ×（ ｘ－ ｘＡ） （ ２） 则该法线与曲线的交点所对应的曲线长计
算式为： ｌ３／６Ｃ － ｌ７／３３６Ｃ３ – ｙＡ ＝－ ｃｏｔβ×（ ｌ － ｌ５／４０Ｃ２ ＋ｌ９／
参考文献： ［１］李青岳，陈永奇《 工程测量学》北京：测 绘出版社，１９９５ ［２］许曦，黎莉《 缓和曲线段任意测点的投 影归算》《 公路》２００３ 年第 ３ 期
８
所求点桩号 Ｋ＝ＫＡ＋Ｌ×ｃｏｓθ 中线偏距 Ｄ＝Ｌ×ｓｉｎθ 二 、圆 曲 线 在已知圆曲线上任意两点坐标桩号的情 况下， 首先根据已知数据求出圆心坐标， 再求 出所求点和圆心连线与圆心和圆曲线起点连线 的夹角， 然后计算出所求的桩号， 如图 ２ 所示。
顾及 β＝ｌ２／２Ｃ 并将（ ４） 式带入式（ ３） 得：
利用casiofx4800p等具有解算高次方程的编程计算器可以快速方便的计所求点桩号kkalcos中线偏距dlsi在已知圆曲线上任意两点坐标桩号的情况下首先根据已知数据求出圆心坐标再求出所求点和圆心连线与圆心和圆曲线起点连线的夹角然后计算出所求的桩号如图2所示
中国期刊网全文收录期刊 中 国 核 心（ 遴 选）期 刊
３４５６Ｃ４－ ｘＡ） （ ３） 图 ３
反 之 ， 由 （ ＸＡ， ＹＡ） 化 算 为 （ ｘＡ， ｙＡ） 的 计 算 式 为：
同理可推出其他情况下坐标转换式． （ １） 第一缓和曲线段（ ＺＨ— ——ＨＹ）为右转时：
将 ｃｏｔβ按级数展开：
（ ３） 第二缓和曲线段（ ＨＹ— ——ＨＺ） 为右转时：