人教【数学】数学二模试题分类汇编——二次函数综合含答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．某厂家生产一种新型电子产品，制造时每件的成本为40元，通过试销发现，销售量(y 万件)与销售单价(x 元)之间符合一次函数关系，其图象如图所示．
()1求y 与x 的函数关系式；
()2物价部门规定：这种电子产品销售单价不得超过每件80元，那么，当销售单价x 定为每件多少元时，厂家每月获得的利润()w 最大？最大利润是多少？
【答案】（1）2280y x =-+；（2）当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元．
【解析】
【分析】
()1根据函数图象经过点()40,200和点()60,160，利用待定系数法即可求出y 与x 的函数关系式；
()2先根据利润=销售数量(⨯销售单价-成本)，由试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，结合电子产品的成本价即可得出x 的取值范围，根据二次函数的增减性可得最值．
【详解】
解：()1设y 与x 的函数关系式为()0y kx b k =+≠，
函数图象经过点()40,200和点()60,160，
{4020060160k b k b +=∴+=，解得：{2
280k b =-=， y ∴与x 的函数关系式为2280y x =-+．
()2由题意得：()()224022802360112002(90)5000w x x x x x =--+=-+-=--+． 试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，且电子产品的成本为每千克40元，
∴自变量x 的取值范围是4080x ≤≤．
20-<，
∴当90x <时，w 随x 的增大而增大，
80x ∴=时，w 有最大值，
当80x =时，4800w =，
答：当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元．
【点睛】
本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键，并注意最值的求法．
2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封
闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：
2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．
【答案】（1）A （，0）、B （3，0）．
（2）存在．S △PBC 最大值为
2716 （3）2m 2
=-
或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】
【分析】 （1）在2y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．
（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．
（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值．
【详解】
解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，
∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=．
∴A （，0）、B （3，0）．
（2）存在．理由如下：
∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），
把C （0，32-）代入可得，12a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213y x x 22=--． 设P （p ，213p p 22
--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23
327p 4216--+
（）． ∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -），
∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+．
∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：
当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+，
解得：12m =22m =(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+，
解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ．
综上所述，2m 2
=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形．
3．一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m.
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，其表达式是2y ax c =+的形式.请根据所给的数据求出a ，c 的值.
(2)求支柱MN 的长度.
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.
【答案】（1）y=-350
x 2+6；（2）5.5米；（3）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车． 【解析】 试题分析：（1）根据题目可知A ．B ，C 的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解． （2）设N 点的坐标为（5，y N ）可求出支柱MN 的长度．
（3）设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和．做GH 垂直AB 交抛物线于H 则可求解．
试题解析： (1) 根据题目条件，A 、B 、C 的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).
将B 、C 的坐标代入2
y ax c =+，得 6,0100.c a c =⎧⎨=+⎩
解得3,650
a c =-=. ∴抛物线的表达式是23650y x =-
+. (2) 可设N (5,N y )，
于是2356 4.550
N y =-⨯+=. 从而支柱MN 的长度是10-4.5=5.5米.
(3) 设DE 是隔离带的宽，EG 是三辆车的宽度和，
则G 点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3).
过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ，则23176335050
H y =-
⨯+=+>. 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.
4．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，已知A （﹣1，0），C （0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，当△CDP 为
等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x 轴一个动点，若∠MNC＝90°，请求出m的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（1，2）或（2，1）或（3﹣
2,23）
5
5 4
m
-≤≤
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（2）由待定系数法即可求得直线BC的解析式，再设P（t，3﹣t），即可得D（t，﹣t2+2t+3），即可求得PD的长，然后分三种情况讨论，求点P的坐标；
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式m＝（n﹣3
2
）2﹣
5
4
，然后根
据n的取值得到最小值．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，A（﹣1，0），C（0，3），
∴
10
3
b c
c
--+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得b＝2，c＝3．
故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）令﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
即B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b′，
则
3
30
b
k b
'
'
=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：k=-1,b’=3
故直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
∴设P（t，3﹣t），
∴D（t，﹣t2+2t+3），
∴PD＝（﹣t2+2t+3）﹣（3﹣t）＝﹣t2+3t，∵OB＝OC＝3，
∴△BOC 是等腰直角三角形，
∴∠OCB ＝45°，
当CD ＝PC 时，则∠CPD ＝∠CDP ，
∵PD ∥y 轴，
∴∠CPD ＝∠OCB ＝45°，
∴∠CDP ＝45°，
∴∠PCD ＝90°，
∴直线CD 的解析式为y ＝x +3，
解2323y x y x x =+⎧⎨=-++⎩得03x y =⎧⎨=⎩或14x y =⎧⎨=⎩
∴D （1，4），
此时P （1，2）；
当CD ＝PD 时，则∠DCP ＝∠CPD ＝45°，
∴∠CDP ＝90°，
∴CD ∥x 轴，
∴D 点的纵坐标为3，
代入y ＝﹣x 2+2x +3得，3＝﹣x 2+2x +3，
解得x ＝0或x ＝2，
此时P （2，1）；
当PC ＝PD 时，∵PC t ， ∴
＝﹣t 2+3t ，
解得t ＝0或t ＝3，
此时P （3）；
综上，当△CDP 为等腰三角形时，点P 的坐标为（1，2）或（2，1）或（3） （3）如图2，由（1）y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，
∴E （1，4），
设N （1，n ），则0≤n ≤4，
取CM 的中点Q （
2m ，32
）， ∵∠MNC ＝90°， ∴NQ ＝
12
CM ， ∴4NQ 2＝CM 2， ∵NQ 2＝（1﹣
2m ）2+（n ﹣32）2， ∴4[（1﹣2m ）2+（n ﹣32
）2]＝m 2+9，
整理得，m＝（n﹣3
2
）2﹣
5
4
，
∵0≤n≤4，
当n＝3
2
时，m最小值＝﹣
5
4
，n＝4时，m＝5，
综上，m的取值范围为：﹣5
4
≤m≤5．
【点睛】
此题考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，D为抛物线对称轴上一动点，求D运动到什么位置时△DAC的周长最小；（3）如图2，点E在第一象限抛物线上，AE与BC交于点F，若AF：FE＝2：1，求E点坐标；
（4）点M、N同时从B点出发，分别沿BA、BC方向运动，它们的运动速度都是1个单位/秒，当点M运动到点A时，点N停止运动，则当点N停止运动后，在x轴上是否存在点P，使得△PBN是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）248433y x x =-
++（2）81,3D ⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）点P 的坐标P 1（﹣1，0）或P 2（7，0）或P 3（﹣
95，0）或P 4（13
，0）． 【解析】
【分析】 （1）直接待定系数法代入求解即可 （2）找到D 点在对称轴时是△DAC 周长最小的点，先求出直线BC ，然后D 点横坐标是1，直接代入直线BC 求出纵坐标即可 （3）作EH ∥AB 交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，易证△ABF ∽△EHF ，得
AB AF 2EH EF ==,得EH=2，设E （x ，248x x 433-++），则H （x ﹣2，420x 33
-+），y E ＝y H ，解出方程x ＝1或x ＝2，得到E 点坐标 （4）△PBN 是等腰三角形，分成三种情况，①BP ＝BC 时，利用等腰三角性质直接得到P 1（﹣1，0）或P 2（7，0），②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴，易得△NHB ∽△COB ，利用比例式得到NH 、 BH 从而得到 PH ＝BH ，BP ，进而得到OP ，即得到P 点坐标，③当PN ＝PB 时，取NB 中点K ，作KP ⊥BN ，交x 轴于点P ，易得△NOB ∽△PKB ，利用比例式求出PB ，进而得到OP ，即求出P 点坐标
【详解】
解：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）代入y ＝ax 2+bx+4，
得 40930a b a b c -+=⎧⎨++=⎩
解得a ＝43-，b ＝83
， ∴抛物线的解析式248433y x x =-
++； （2）22484164(1)3333
=-++=--+y x x x ∴抛物线对称轴为直线x ＝1，
∴D 的横坐标为1，
由（1）可得C （0，4），
∵B （3，0），
∴直线BC ：4 y 43
x =-+ ∵DA ＝DB ， △DAC 的周长＝AC+CD+AD ＝AC+CD+BD ，
连接BC ，与对称轴交于点D ，
此时CD+BD 最小，
∵AC 为定值，
∴此时△DAC 的周长，
当x ＝1时，y ＝﹣
43×1+4＝83， ∴D （1，83
）； （3）作EH ∥AB 交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，
∴△ABF ∽△EHF ，
∵AF ：FE ＝2：1，
∴
AB AF 2EH EF
==， ∵AB ＝4，
∴EH ＝2，
设E （x ，248x x 433-++），则H （x ﹣2，420x 33-+） ∵EH ∥AB ，
∴y E ＝y H ， ∴248x x 433-
++=420x 33
-+ 解得x ＝1或x ＝2， y ＝163
或4， ∴E （1，163）或（2，4）； （4）∵A （﹣1，0）、B （3，0），C （0，4） ∴AB ＝4，OC ＝4，
点M 运动到点A 时，BM ＝AB ＝4， ∴BN ＝4，
∵△PBN 是等腰三角形，
①BP ＝BC 时，
若P 在点B 左侧，OP ＝PB ﹣OB ＝4﹣3＝1， ∴P 1（﹣1，0），
若P 在点B 右侧，OP ＝OB+BP ＝4+3＝7， ∴P 2（7，0）；
②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴， △NHB ∽△COB ，
∴
45
NH BH BN OC OB BC === ∴NH ＝45OC ＝445⨯＝165， BH ＝45BC ＝125，
∴PH＝BH＝12
5
，
BP＝24
5
，
∴OP＝BP﹣OB＝249
3
55
-=，
∴P3（﹣9
5
，0）；
③当PN＝PB时，
取NB中点K，作KP⊥BN，交x轴于点P，∴△NOB∽△PKB，
∴PB BK
BN OB
=
∴PB＝8
3
，
∴OP＝OB﹣PB＝3﹣8
3＝
1
3
P4（1
3
，0）
综上，当△PBN是等腰三角形时，点P的坐标P1（﹣1，0）或P2（7，0）或P3（﹣9
5
，
0）或P4（1
3
，0）．
【点睛】
本题考查二次函数、平行线性质、相似三角形、等腰三角形性质及最短距离等知识点，综合程度比较高，对综合能力要求比较高. 第一问比较简单，考查待定系数法；第二问最短距离，找到D点是解题关键；第三问证明出相似是关键；第四问能够分情况讨论是解题关键
6．温州茶山杨梅名扬中国，某公司经营茶山杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅，包装后直接销售，包装成本为1万元/吨，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（2≤x≤10，单位：吨）之间的函数关系如图所示．
（1）若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨多少万元？
（2）当销售数量为多少时，该经营这批杨梅所获得的毛利润（w）最大？最大毛利润为多少万元？（毛利润＝销售总收入﹣进价总成本﹣包装总费用）
（3）经过市场调查发现，杨梅深加工后不包装直接销售，平均销售价格为12万元/吨．深
加工费用y（单位：万元）与加工数量x（单位：吨）之间的函数关系是y＝1
2
x+3
（2≤x≤10）．
①当该公司买入杨梅多少吨时，采用深加工方式与直接包装销售获得毛利润一样？
②该公司买入杨梅吨数在范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大
些？
【答案】（1）杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元；（2）当x ＝8时，此时W 最大值＝40万元；（3）①该公司买入杨梅3吨；②3＜x ≤8． 【解析】 【分析】
（1）设其解析式为y ＝kx +b ，由图象经过点（2，12），（8，9）两点，得方程组，即可得到结论；
（2）根据题意得，w ＝（y ﹣4）x ＝（﹣12x +13﹣4）x ＝﹣1
2
x 2+9x ，根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）①根据题意列方程，即可得到结论；②根据题意即可得到结论． 【详解】
（1）由图象可知，y 是关于x 的一次函数． ∴设其解析式为y ＝kx +b ，
∵图象经过点（2，12），（8，9）两点， ∴212
89
k b k b +=⎧⎨
+=⎩，
解得k ＝﹣
1
2
，b ＝13， ∴一次函数的解析式为y ＝﹣1
2
x +13， 当x ＝6时，y ＝10，
答：若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元； （2）根据题意得，w ＝（y ﹣4）x ＝（﹣12x +13﹣4）x ＝﹣1
2
x 2+9x ， 当x ＝﹣
2b
a
＝9时，x ＝9不在取值范围内， ∴当x ＝8时，此时W 最大值＝﹣12
x 2
+9x ＝40万元； （3）①由题意得：﹣
12x 2+9x ＝9x ﹣（1
2
x +3）
解得x＝﹣2（舍去），x＝3，
答该公司买入杨梅3吨；
②当该公司买入杨梅吨数在 3＜x≤8范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些．
故答案为：3＜x≤8．
【点睛】
本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．
7．若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．
(1)实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；
(2)若M(t，y1)，N(t+1，y2)，R(t+3，y3)三点均在函数y＝k
x
(k为常数，k≠0)的图象上，且这
三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数t的值；
(3)若直线y＝2bx+2c(bc≠0)与x轴交于点A(x1，0)，与抛物线y＝ax2+3bx+3c(a≠0)交于B(x2，y2)，C(x3，y3)两点．
①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；
②若a＞2b＞3c，x2＝1，求点P(c
a
，
b
a
)与原点O的距离OP的取值范围．
【答案】(1)不能，理由见解析；(2)t的值为﹣4、﹣2或2；(3)①证明见解析；②
2
≤OP
OP≠1．
【解析】
【分析】
（1）由和谐三组数的定义进行验证即可；
（2）把M、N、R三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用t和k分别表示出y1、
y2、y3，再由和谐三组数的定义可得到关于t的方程，可求得t的值；
（3）①由直线解析式可求得x1＝﹣c
b
，联立直线和抛物线解析式消去y，利用一元二次
方程根与系数的关系可求得x2+x3＝﹣b
a
，x2x3＝
c
a
，再利用和谐三数组的定义证明即可；
②由条件可得到a+b+c＝0，可得c＝﹣(a+b)，由a＞2b＞3c可求得b
a
的取值范围，令m＝
b
a
，利用两点间距离公式可得到OP2关于m的二次函数，利用二次函数的性质可求得OP2的取值范围，从而可求得OP的取值范围．
【详解】
（1）不能，理由如下： ∵1、2、3的倒数分别为1、12、13
， ∴
12+13≠1，1+12≠13，1+13≠12
， ∴实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”；
（2）∵M(t ，y 1)，N(t+1，y 2)，R(t+3，y 3)三点均在函数k
x
(k 为常数，k≠0)的图象上， ∴y 1、y 2、y 3均不为0，且y 1＝k t ，y 2＝1k t +，y 3＝3
k t +， ∴
11y ＝t k ，21y ＝1t k +，3
1y ＝3
t k +， ∵y 1，y 2，y 3构成“和谐三组数”， ∴有以下三种情况：
当11y ＝21y +31y 时，则t k ＝1t k ++3
t k +，即t ＝t+1+t+3，解得t ＝﹣4；
当21y ＝11y +31y 时，则1t k +＝t k +3t k
+，即t+1＝t+t+3，解得t ＝﹣2；
当
31y ＝11y +21y 时，则3t k +＝t k +1t k
+，即t+3＝t+t+1，解得t ＝2； ∴t 的值为﹣4、﹣2或2； （3）①∵a 、b 、c 均不为0， ∴x 1，x 2，x 3都不为0，
∵直线y ＝2bx+2c(bc≠0)与x 轴交于点A(x 1，0)， ∴0＝2bx 1+2c ，解得x 1＝﹣
c
b
， 联立直线与抛物线解析式，消去y 可得2bx+2c ＝ax 2+3bx+3c ，即ax 2+bx+c ＝0， ∵直线与抛物线交与B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)两点， ∴x 2、x 3是方程ax 2+bx+c ＝0的两根， ∴x 2+x 3＝﹣
b a ，x 2x 3＝
c a
， ∴21x +31x ＝2323x x x x +＝b a c a
-
＝﹣b c ＝11x ，
∴x 1，x 2，x 3构成“和谐三组数”； ②∵x 2＝1， ∴a+b+c ＝0， ∴c ＝﹣a ﹣b ，
∵a＞2b＞3c，
∴a＞2b＞3(﹣a﹣b)，且a＞0，整理可得
2
53
a b
b a
>
⎧
⎨
>-
⎩
，解得﹣
3
5
＜
b
a
＜
1
2
，
∵P(c
a ，
b
a
)，
∴OP2＝(c
a )2+(
b
a
)2＝(
a b
a
--
)2+(
b
a
)2＝2(
b
a
)2+2
b
a
+1＝2(
b
a
+
1
2
)2+
1
2
，
令m＝b
a
，则﹣
3
5
＜m＜
1
2
且m≠0，且OP2＝2(m+
1
2
)2+
1
2
，
∵2＞0，
∴当﹣3
5＜m＜﹣
1
2
时，OP2随m的增大而减小，当m＝﹣
3
5
时，OP2有最大临界值
13
25
，
当m＝﹣1
2
时，OP2有最小临界值
1
2
，
当﹣1
2
＜m＜
1
2
时，OP2随m的增大而增大，当m＝﹣
1
2
时，OP2有最小临界值
1
2
，当m
＝1
2
时，OP2有最大临界值
5
2
，
∴1
2≤OP2<
5
2
且OP2≠1，
∵P到原点的距离为非负数，
∴2≤OP＜10且OP≠1．
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及新定义、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数的性质、分类讨论思想及转化思想等知识．在(1)中注意利用和谐三数组的定义，在(2)中由和谐三数组得到关于t的方程是解题的关键，在(3)①中用a、b、c分别表示出x1，x2，x3是解题的关键，在(3)②中把OP2表示成二次函数的形式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．
8．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．
【答案】（1）；（2）E的坐标为（，）、（0，﹣4）、
（，）；（3），（，）．
【解析】
试题分析：（1）采用待定系数法求得二次函数的解析式；
（2）先求得直线BC的解析式为，则可设E（m，），然后分三种情况讨论即可求得；
（3）利用△PBD的面积即可求得．
试题解析：（1）∵二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C （8，0）两点，
∴，解得：，∴该二次函数的解析式为；
（2）由二次函数可知对称轴x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函数可知B（0，﹣4），设直线BC的解析式为，
∴，解得：，∴直线BC的解析式为，设E（m，），
当DC=CE时，，即，解得，（舍去），∴E（，）；
当DC=DE时，，即，解得，（舍去），∴E（0，﹣4）；
当EC=DE时，，解得=，∴E（，
）．
综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为（，
）、（0，﹣4）、（，）；
（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，∵P点的横坐标为m，∴P点的纵坐标为：，
∵△PBD的面积
==
=，
∴当m=时，△PBD的最大面积为，∴点P的坐标为（，）．
考点：二次函数综合题．
9．某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示．
（1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式．
（2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．
（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？
【答案】（1）y＝
180(4060)
3300(6090)
x x
x x
-+≤≤
⎧
⎨
-+<≤
⎩
；（2）W＝
22
2105400(4060)
33909000(6090)x x x x x x ⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩;（3）这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675． 【解析】 【分析】
（1）当40≤x≤60时，设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，当60＜x≤90时，设y 与x 之间的函数关系式为y=mx+n ，解方程组即可得到结论；
（2）当40≤x≤60时，当60＜x≤90时，根据题意即可得到函数解析式；
（3）当40≤x≤60时，W=-x 2+210x-5400，得到当x=60时，W 最大=-602+210×60-5400=3600，当60＜x≤90时，W=-3x 2+390x-9000，得到当x=65时，W 最大=-3×652+390×65-9000=3675，于是得到结论． 【详解】
解：（1）当40≤x ≤60时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx +b ，
将（40，140），（60，120）代入得40140
60120k b k b +=⎧⎨+=⎩，
解得：1
180k b =-⎧⎨=⎩
，
∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣x +180；
当60＜x ≤90时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝mx +n ，
将（90，30），（60，120）代入得9030
60120m n m n +=⎧⎨+=⎩，
解得：3
300m n =-⎧⎨=⎩
，
∴y ＝﹣3x +300；
综上所述，y ＝180(4060)
3300(6090)x x x x -+≤≤⎧⎨-+<≤⎩
；
（2）当40≤x ≤60时，W ＝（x ﹣30）y ＝（x ﹣30）（﹣x +180）＝﹣x 2+210x ﹣5400， 当60＜x ≤90时，W ＝（x ﹣30）（﹣3x +300）＝﹣3x 2+390x ﹣9000，
综上所述，W ＝22
2105400(4060)
33909000(6090)
x x x x x x ⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩； （3）当40≤x ≤60时，W ＝﹣x 2+210x ﹣5400，
∵﹣1＜0，对称轴x ＝210
2
--＝105，
∴当40≤x ≤60时，W 随x 的增大而增大，
∴当x ＝60时，W 最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600， 当60＜x ≤90时，W ＝﹣3x 2+390x ﹣9000，
∵﹣3＜0，对称轴x ＝390
6
--＝65， ∵60＜x ≤90，
∴当x ＝65时，W 最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675， ∵3675＞3600，
∴当x ＝65时，W 最大＝3675，
答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675． 【点睛】
本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键．
10．如图，某足球运动员站在点O 处练习射门，将足球从离地面0.5m 的A 处正对球门踢出(点A 在y 轴上)，足球的飞行高度y(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间满足函数关系y ＝at 2＋5t ＋c ，已知足球飞行0.8s 时，离地面的高度为3.5m . (1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间具有函数关系x ＝10t ，已知球门的高度为2.44m ，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m ，他能否将球直接射入球门？
【答案】（1）足球飞行的时间是85
s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5m ；（2）能. 【解析】
试题分析：（1）由题意得：函数y=at 2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣
t 2+5t+，当t=时，y 最大
=4.5；
（2）把x=28代入x=10t 得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得
到他能将球直接射入球门．
解：（1）由题意得：函数y=at 2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5）， ∴
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣t 2+5t+，
∴当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，
∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．
考点：二次函数的应用．。