最值问题(2)

最值问题（二)
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例1：如图2-1，直线AB、CD是一条宽度为5米的河的平行两岸，M、N是位于河两侧的两个亭子，到最近河岸的距离分别为ME=12米和NG=8米，F是直线ME与CD的交点，且FG=15米，若要在河上建一座垂直于河岸的桥，问桥建在什么地方能使得从M到N的路程和最短？
分析：这道题的背景是在两条平行线，由于平行线间的距离处处相等只要MP+NQ最小，因此我们可以先做MH等于桥宽再连接NH，根据平行四边形的相关知识，NH与CD的交点就是我们要找的点Q，过Q点做AB的垂线就能找到点P．
例2：如图3-1，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，对角线AC=5，则BC+CD的最小值为．
例3：如图5-1，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和BP为边做等边△APC和
等边△BPD.
(1)线段CD长度的最小值是多少？
(2)若Q是CD的中点，则PQ的最小值是多少？
例4：如图6-1，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是多少？
分析：利用矩形的性质，将求EF的最小值转化为求CP的最小值。

当PC⊥BA时CP的最小值为2.4,即EF的最小值为2.4．
例5：如图7-1，已知点A是⊙O上一点，直线MN过点A，点B是MN上的另一点，点C是OB的中点，1 2
AC OB
=，若点P是⊙O上的一个动点,且∠OBA=30°, 23
AB=时，求△APC的面积的最大值．
练习
1、 如图，是一个棱长为2的正方体，一只蜘蛛在顶点A 处，一只小昆虫在顶点B 处，则蜘蛛接近小昆虫时所爬行的最短路线的长（ ） A ．6 B ．2+22 C ．23 D ．25
2、 如图，弧AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为弧AD 上任意一点，若AC=5，四边形ACBP 周长最大值是（ ） A ． 15 B ． 20 C ．15+52 D ．15+55
3、 如图，点A 的坐标为(－1，0)，点B 在直线y=x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为（ ） A .（0，0） B.（
22，22-） C.（－21，－2
1） D.（－22，－22） 4、 如图，在△ABC 中， AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则
线段PQ 长度的最小值是（ ）A ．4.75
B ．4.8
C ．5
D ．42
5、 已知：2PA =，4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧.当∠APB 变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB
的大小.
思考题 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 三个顶点的坐标 分别为()6,0A -，()6,0B ，()
0,43C ，延长AC 到点D, 使CD=
1
2
AC ,过点D 作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E. (1) 求D 点的坐标；
(2) 作C 点关于直线DE 的对称点F,分别连结DF 、EF ，若过B 点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
(3) 设G 为y 轴上一点，点P 从直线y kx b =+与y 轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到达A 点，若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短。