贵州省六盘水市2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题含解析

高三年级联考数学试卷（答案在最后）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：数列占60%，集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数、平面向量与复数、三角函数与解三角形占40%.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{
}220
A x x x =--≤，{}ln
B x y x ==，则A B = （
）
A.
[]0,1 B.
[]0,2 C.
(]0,1 D.
(]
0,2【答案】D 【解析】
【分析】解不等式求得集合A ，求函数的定义域求得集合B ，由此求得A B ⋂.【详解】由()()2
2210x x x x --=-+≤，解得12x -≤≤，所以[]
1,2A =-.
由ln y x =得0x >，所以()0,B =+∞，所以(]0,2A B = .故选：D
2.已知复数()3
1i z =-，则z 的虚部为（
）
A.2-
B.2
C.2i
D.2i
-【答案】B 【解析】
【分析】计算22i z =--得到22i z =-+，再确定虚部得到答案.
【详解】()()()()3
2
1i 1i 1i 2i 1i 22i z =-=--=--=--，故22i z =-+，
故z 的虚部为2.故选：B.
3.已知数列{}n a 满足11
1n n
a a +=-，12a =，则2023a =（）
A.2
B.
12
C.1
- D.2023
【答案】A 【解析】
【分析】由递推式得到数列的周期，利用周期性确定2023a .【详解】由211112a a =-
=，32111a a =-=-，43
1
12a a =-=，……，所以{}n a 是周期为3的数列，故20236743112a a a ⨯+===.故选：A
4.已知x ，y 为非零实数，向量a ，b
为非零向量，
则“a b a b +=+ ”是“存在非零实数x ，y ，使得0xa yb += ”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
【分析】化简得到cos ,1a b = 得到a ，b 共线且方向相同，存在非零实数x ，y ，使得0xa yb += 得到a
，b
共线，得到答案.
【详解】a b a b +=+ ，故(
)(
)
2
2
a b
a b
+=+
，整理得到a b a b ⋅=⋅ ，即cos ,1a b =
，
故a ，b
共线且方向相同，
存在非零实数x ，y ，使得0xa yb +=
，故a ，b
共线，
即“a b a b +=+ ”是“存在非零实数x ，y ，使得0xa yb +=
”的充分不必要条件.
故选：A.
5.已知某公司第1年的销售额为a 万元，
假设该公司从第2年开始每年的销售额为上一年的1.2倍，则该公司从第1年到第11年（含第11年）的销售总额为（
）（参考数据：取11
1.27.43=）
A.35.15a 万元
B.33.15a 万元
C.34.15a 万元
D.32.15a 万元
【答案】D 【解析】
【分析】根据题意，由条件可得数列{}()1,2,,11i a i = 是首项为a ，公比为1.2的等比数列，结合等比数列的前n 项和公式，代入计算，即可得到结果.【详解】设第()1,2,,11i i = 年的销售额为i a 万元，
依题意可得数列{}()1,2,,11i a i = 是首项为a ，公比为1.2的等比数列，则该公司从第1年到第11年的销售总额为()()()11111 1.2 1.21102
.22
10.2
7.433.151.a a a a ---=
=
=-万元．
故选：D
6.已知直线1y ax =-与曲线ln y x x =+相切，则=a （）
A.1
B.2
C.e
D.2e
【答案】B 【解析】
【分析】利用导数、切点、斜率、切线方程列方程来求得a 的值.【详解】设切点为(),ln t t t +，
()1ln 1x x x '+=
+，故斜率为1
1t
+，则切线方程为()()1
ln 1y t t x t t
⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭
，
整理得111ln y x t t
⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭
，
所以1111ln a t t ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩
，解得12t a =⎧⎨
=⎩.故选：B 7.设ππ,62α⎛⎫
∈
⎪⎝⎭，ππ,62β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且πsin cos 3αβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则（
）
A.π
3
αβ+=
B.π3
αβ-=
C.π6
αβ+= D.6
παβ-=
【答案】D 【解析】
【分析】根据诱导公式求得正确答案.【详解】依题意πππππcos sin cos cos cos 32366βαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+
=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦，ππππ,,0,6263αα⎛⎫⎛⎫∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而ππ,62β⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
所以ππ,66
αβαβ-=-=.故选：D
8.已知函数()3
1f x x x =++，若()()122f x f x -+>，则x 的取值范围是（
）
A.
()
,1-∞- B.
()
,1-∞ C.
()
1,-+∞ D.
()
1,+∞【答案】C 【解析】
【分析】构造新函数，根据新函数的奇偶性和单调性解不等式.
【详解】令()()3
1g x f x x x =-=+，易知()g x 为奇函数且()g x 在R 上单调递增.
化简()()()()12211210f x f x f x f x -+>⇒--+->，即()()()()()120122g x g x g x g x g x -+>⇒->-=-，所以12x x ->-，解得1x >-，故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知函数()2πsin 2sin 2sin 23π3f x x x x ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，则（）
A.()f x 的最大值为3
B.()f x 的最小正周期为π
C.()f x 的图象关于点π,03⎛⎫
⎪⎝⎭
对称
D.()f x 在ππ,312⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递增
【答案】BCD
【解析】
【分析】化简得到()π2sin 23f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，验证周期对称点和单调性得到BCD 正确，函数最大值为2，A
错误，得到答案.
【详解】()2πsin 2sin 2sin 23π3f x x x x ⎛
⎫⎛⎫=++
++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭1313
sin 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 222222x x x x x x x
=++-+=+π2sin 23x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
对选项A ：函数的最大值为2，错误；对选项B ：函数的最小正周期为2π
π2
T ==，正确；对选项C ：π
3x =，则π2π3x +=，故()f x 的图象关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称，正确；对选项D ：ππ312x -<<，则πππ
2332
x -<+<，函数单调递增，正确；故选：BCD.
10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）
A.数列{}n S 可能是等差数列
B.数列n S n ⎧⎫
⎨
⎩⎭
一定是等差数列C.5274S a a =+ D.95
9S S =【答案】ABC 【解析】
【分析】根据等差数列的定义判断AB ，根据等差数列求和公式和通项公式计算CD.【详解】设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则()112
n n n S na d -=+
，
()()()()()()1111
1121122
2
n n n n n n S S na d n a d a
n d n -----=+
---
=+-≥，
所以当0d =时，即{}n a 为常数列时，{}n S 为等差数列，故A 正确；
()1111221222n n S S n n d a d a d n n n ----=+--=≥-，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，故B 正确；51510S a d =+，()27111446510a a a d a d a d +=+++=+，所以5S 274a a =+，故C 正确；91936S a d =+，()511995104590S a d a d =+=+，所以9S 和59S 不一定相等，故D 错.
故选：ABC.11.
已知lg 1x y +=，则（
）
A.2
2lg 2
x y +=
B.10
=C.(
)()lg 10104
x y += D.当1,1x y >>
时，log 10log x y +的最小值为
4
【答案】ACD 【解析】
【分析】由对数化简式和对数基本运算逐一验证ABC 选项即可；由换底公式和基本不等式可验证D 项【详解】由题可知0,0x y >>
，则2
2lg 2lg 2x y x y +=+=，A 正确；
由lg 1x y +=
，得()222lg lg lg lg 12
x y x y xy +=+==，
所以210xy =，B 错误；
(
)(
)lg 1010lg10lg log
log
x y x +=++
+12lg 314x y =+++=+=，C 正确；
当1,1x y >>
时，lg 0x y >>
，则11log 10log lg log x y x y
+=
+
(
)
11lg lg 2lg log
log x
x y x y y
⎛⎫
=++=+
⎪ ⎪⎝
⎭
24≥+
，当且仅当2x y ==时，等号成立，
所以log 10log x y +4，D 正确．故选：ACD
12.在一次数学活动课上，老师设计了有序实数组{}123,,,,n A a a a a =⋅⋅⋅，
{}0,1i a ∈，1,2,3,,i n =⋅⋅⋅，()f A
表示把A 中每个1都变为0，0，每个0都变为1，所得到的新的有序实数组，例如{}0,1A =，则
(){}1,0,0f A =.定义()1k k A f A +=，1,2,3,,k n =⋅⋅⋅，若{}10,1A =，则（
）
A.
100A 中有492个1
B.101A 中有492个0
C.123100,,,,A A A A ⋅⋅⋅中0的总个数比1的总个数多5021-
D.123100,,,,A A A A ⋅⋅⋅中1的总个数为5121-【答案】AC 【解析】
【分析】根据给定有序数列的定义得到2A ，3A ，4A ,5A ，6A ，探究得到n A 的规律，然后利用数列的知识求通项求和即可.
【详解】因为{}10,1A =，所以{}21,0,0A =，{}30,0,1,1A =，{}41,1,0,0,0,0A =，{}50,0,0,0,1,1,1,1A =，
{}61,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0A =，
显然，1A ，3A ，5A 中共有2,4,8项，其中1和0的项数相同，2A ，4A ，6A 中共有3,6,12项，其中
13
为1，2
3为0，
设n A 中总共有n a 项，其中有n b 项1，n c 项0，
则122
22,32,n n n n a n +-⎧⎪=⎨⎪⨯⎩为奇数为偶数，12222,2,n n n n b n --⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，1
222,2,n n n n c n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数
为偶数，所以100A 中有49
2个1，A 正确；
101A 中有502个0，B 错；
220,2,n n n n c b n -⎧⎪
-=⎨⎪⎩为奇数
为偶数，则1A ，2A ，3A ，L ，100A 中0的总数比1的总数多
500
1
49
50
210202022121
-++++++==-- ，C 正确；
1A ，2A ，3A ，L ，100A 中1的总数为
()()505051121121222121
⨯-⨯-+=---，D 错.
故选：AC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知0a >，0b >，是a 与b 的等比中项，则ab 的最小值为__________.
【答案】4【解析】
【分析】根据等比中项的性质得a b =⨯2，再结合基本不等式求ab 在最小值.
【详解】因为0a >，0b >，
是a 与b 的等比中项，
,a b ab a b =⨯∴=+≥
22
≥
当且仅当a b =，且a b =⨯2，即2a b ==时等号成立，所以ab 的最小值为4.故答案为：4
14.在等腰直角ABC 中，AB AC ⊥，2BC =，D 是边BC 上一点，且3CD BD =，则
AD BC ⋅=
__________.
【答案】1-【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求得AD BC ⋅
.【详解】以A 为原点，建立如图所示平面直角坐标系，
由于2BC =，所以AB AC ==3CD BD =，
所以)(,,C
B B
C =
，
,
44D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，所以144AD BC ⋅==- .故答案为：1
-
15.剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术.如图，原纸片为一圆形，直径20cm AB =，需要剪去四边形1ACDC ，可以通过对折、沿DC ，AC 裁剪、展开实现.已知点C 在圆上，且5cm AD =，45DCA ∠=︒，则四边形1ACDC 的面积为______________2cm .
【答案】30【解析】
【分析】根据角平分线得到1
3
AC BC =，结合勾股定理得到10AC =，利用余弦定理得到35CD =计算面积得到答案.
【详解】如图所示：设圆心为O ，连接BC ，OC ，
45DCA ∠=︒，90BCA ∠=︒，故CD 平分BCA ∠，
1
3
AC AD BC BD ==，又22220AC BC +=，解得210AC =，10BC =，1010
620
CD ≥
=，
ACD 中：2222cos 45AD CD AC CD AC =+-⋅︒，即245150CD CD -+=，
解得CD =或CD =.
故11sin 4515222
ACD S CD CA =
⋅︒=⨯=△，故四边形1ACDC 的面积为30.故答案为：30.
16.已知函数()e e e ln x
a f x x a x x
=-+的最小值为1，则a 的取值范围为_______________.
【答案】())
2
,0e ,⎡-∞+∞
⎣ 【解析】
【分析】变换得到()e e e ln e x a a x x f x x =+，换元构造新函数，确定单调区间，计算最值得到e 1e
a
x x =有解，变
换得到
1ln e x
a x
=，构造新函数，求导得到单调区间，画出图像，根据图像得到答案.【详解】()e e e e e e ln ln e x x a
a a x x f x x a x x x =-+=+，()0,x ∈+∞，
设e e
a
x x t =，()0,t ∈+∞，()1ln g t t t =+，()22111t g t t t t -'=-+=，
当()0,1t ∈时，()0g t '<，函数单调递减；当()1,t ∈+∞时，()0g t '>，函数单调递增；
故()()min 11g t g ==，故e 1e
a
x x t ==有解，即e e a x x =，ln e a x x =，0a ≠，
即
1ln e x a x
=，()0,x ∈+∞，设()ln e x h x x =，()2
1ln e x
h x x -'=，
当()0,e x ∈时，()0h x '>，函数单调递增；当()e,x ∈+∞时，()0h x '<，函数单调递增；
()()2
max 1
e e h x h ==
，画出函数图像，如图所示：
根据图像知211e a ≤，解得a<0或2e a ≥，即())
2,0e ,a ⎡∈-∞+∞⎣ .故答案为：())
2,0e ,⎡-∞+∞⎣ .【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求参数的取值范围，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将取值范围问题转化为函数的最值问题，再利用函数图像求解是解题的关键.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知幂函数()()2262m f x m x -=-在()0,∞+上单调递增
（1）求m 的值；
（2）若函数()()2
g x f x x ax =--在[]0,2上单调递减，求a 的取值范围.【答案】（1）3
m =（2）[)
8,+∞【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义及幂函数的单调性即可求出符合条件的参数m 的值；
（2）首先对函数求导，根据函数单调性将问题转化为导函数的恒成立问题，最后根据函数恒成立求得参数a 的取值范围.
【小问1详解】
已知函数()()2262m
f x m x -=-⋅为幂函数，得()221m -=，解得：1m =或3m =；
当1m =时，()5
f x x -=在()0,∞+单调递减，不符合题意；当3m =时，()3
f x x =在()0,∞+单调递增；综上可得：3m =.
【小问2详解】
由（1）可知，()()232
g x f x x ax x x ax =--=--，2()32g x x x a '=--，
由于()g x 在[]0,2x ∈上单调递减，
所以()2
320g x x x a =--≤'在[]0,2x ∈上恒成立；故得()280g a ='-≤，解得：8a ≥.
因此得a 得取值范围为[)
8,+∞18.正项数列{}n a 满足42a =，且2211n n a a +=+.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求数列11n n a a +⎧
⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n S .【答案】（1
）n a =
（2
1
-【解析】【分析】（1）确定数列{}2
n a 是首项为1，公差为1的等差数列，计算得到答案.（2
）1
1n n a a +=-+，根据裂项求和法计算得到答案.【小问1详解】
正项数列{}n a 满足42a =，且2211n n a a +=+，故22431a a =+，233a =，
同理得到222a =，211a =，
则数列{}2n a 是首项为1，公差为1的等差数列，即211n a n n =+-=
，n a =.
【小问2
详解】
11n n a a +==+数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n
项和1n S =+=- .19.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且向量(),m c a b =- ，
()sin sin ,sin sin n B C A B =-+ ，
m n ⊥ .
（1）求角A 的大小；
（2）若D 为AC 上一点，且AD BD =，3BC =，求BCD △面积的最大值.
【答案】（1）π
3
A =
（2）4
【解析】
【分析】（1）根据向量垂直得到0m n ⋅= ，计算化简得到222a b c bc =+-，根据余弦定理得到答案.
（2）根据余弦定理得到229CD BD CD BD =++⋅，再利用均值不等式得到3CD BD ⋅≤，计算面积得到最值.
【小问1详解】
m n ⊥ ，故()(),sin sin ,sin sin 0m n c a b B C A B ⋅=-⋅-+= ，
即()()()sin sin sin sin 0c B C a b A B -+-+=，故()()()0c b c a b a b -+-+=，
整理得到222a b c bc =+-，即1cos 2
A =
，()0,πA ∈，故π3A =.【小问2详解】AD BD =，π
3
A =，故ABD △为等边三角形，即2π3BDC ∠=，
BCD △中：2222π2cos 3
BC CD BD CD BD =+-⋅⋅，即22923CD BD CD BD CD BD CD BD CD BD =++⋅≥⋅+⋅=⋅，
即3CD BD ⋅≤，当且仅当BD CD ==.
12πsin 2344
S BD CD BD CD =⋅⋅=⋅≤.20.已知数列{}n a 满足143
a =，()121n n n n a a a n ++=++.（1）证明22n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭
为等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2
）若不等式123n a a a a ⋅⋅≥⋅对于任意*n ∈N 都成立，求正数m 的最大值.
【答案】（1）证明见解析；2221n n a n +=
+（2
）15
【解析】
【分析】（1）根据题意，由等差数列的定义，即可证明，结合等差数列的通项公式代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，将不等式变形，可
得123n a a a a m ⋅⋅⋅，令
(
)4682235721f n n n +⨯⨯⨯⨯=+ ，由其单调性可得()min f n ，即可得到结果.【小问1详解】
因为()121
n n n n a a a n ++=++，两边同时取倒数可得，()1112n n n a n a n a +++=+，即1211n n n n a a +++=+，所以()1
212222n n n n a a ++++-=，且1223a +=，所以22n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以3为首项，2为公差的等差数列，且()22312n n n a +=+-⨯，所以2221
n n a n +=+.【小问2详解】
由（1）可知2221n n a n +=+
，则1234682235721
n a n a a a n +⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯≥+ ，令(
)4682235721f n n n +⨯⨯⨯⨯=+ ，所以
()(
)
113521f n f n n +=⨯⨯⨯⨯+ ，由()()11f n f n +>可知，()f n 随n 增大而增大，只需()min m f n ≤即可，
且()
(
)min 41315f n f ==
=，所以m 的最大值为15.21.已知数列{}n a 满足12312121223n n a a a a a a a a a n n +++++++
+++=⋅ ．（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S ．【答案】（1）()232
n n a n n -=+⋅（2）()122
1
n n S n -=+⋅-【解析】【分析】（1）根据递推关系作差即可求解，
（2）根据错位相减法即可求和.
【小问1详解】
当1n =时，12a =．
当2n ≥时，()()111221212n n n n a a a n n n n
--+++=⋅--⋅=+⋅ ，即()11212
n n a a a n n -+++=+⋅ ，当1n =时，上式也成立，
所以()()()()1221212322n n n n a n n n n n n n ---=+⋅--⋅=+⋅≥．
当1n =时，也符合()232
n n a n n -=+⋅，所以()232n n a n n -=+⋅．【小问2详解】
由（1）知()232n n a n n
-=+⋅．
()102425232n n S n --=⨯+⨯+++⋅ ，
()0112425232n n S n -=⨯+⨯+++⋅ ，
则()()()()()012111122223222132221n n n n n n S n n n ------=++++-+⋅=+--+⋅=-+⋅+ ，所以()1221n n S n -=+⋅-．
22.已知函数()()ln f x x x a =-.
（1）若()f x 在()1,+∞上单调递增，求a 的取值范围；
（2）若1a =，证明：()215e 2
x x f x ->-.【答案】（1）(]
,1a ∈-∞（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导根据单调性得到ln 1a x ≤+，根据函数()ln 1g x x =+的单调性计算最值得到答案.
（2）确定函数定义域，构造()215e 2
x x h x -=-，分别求导得到函数得到单调区间，计算最大最小值得到证明.【小问1详解】
()()ln f x x x a =-，()ln 1f x x a '=+-，
()f x 在()1,+∞上单调递增，故()ln 10f x x a '=+-≥在()1,+∞上恒成立，
即ln 1a x ≤+，
设()ln 1g x x =+，函数在()1,+∞上单调递增，故()ln111g x >+=，即1a ≤，
故(],1a ∈-∞.
【小问2详解】
()()ln 1f x x x =-，()0,x ∈+∞，()ln f x x '=，
当()0,1x ∈时，()0f x '<，函数单调递减；
当()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，函数单调递增；
故()()min 11f x f ==-.
设()215e 2x x h x -=-，()0,x ∈+∞，则()()12e
x x x h x --'=，当()0,2x ∈时，()0h x '>，函数单调递增；
当()2,x ∈+∞时，()0h x '<，函数单调递减；
()()max 453521e 222h x h ==
-<-=-，故()()min max f x h x >，即()()f x h x >，即()215e 2
x x f x ->-恒成立，得证.【点睛】关键点睛：本题考查了根据函数的单调区间求参数，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将不等式的证明转化为求两个函数的最值是解题的关键.。