2020高考数学 考前“保持手感”暨热身训练03 (学生版)
2023年高考数学全真模拟热身测试卷03卷(新高考专用)原卷及解析
2023届高考数学·备战热身卷3一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，有一项符合题目要求。
）1．（2022·河北·模拟预测）已知集合A ={}{}|4|342y y B x x x A B ≥-=≤-⋂=，，则（ ）A ．4|45x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．4|45x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．{|4x x ≤-或45x ⎫≥⎬⎭D ．R2．（2022·河北·模拟预测）已知复数i z a b =+（a ，b ∈R ），若20212i i ab +=+，则z =（ ）A ．12i -+B ．12i +C ．12i --D ．12i -3．（2022·河北·模拟预测）一质点在单位圆上作匀速圆周运动，其位移满足的方程为sin2h t =，其中h 表示位移（单位：m ），t 表示时间（单位：s ），则质点在1t =时的瞬时速度为（ ）A ．sin2 m/sB ．cos2 m/sC ．2sin2 m/sD ．2cos2 m/s4．（2022·全国·高三专题练习）在等差数列{}n a 中，m a n =，n a m =，则m na+=（ ）A ．0B ．mC ．nD ．m n +5．（2022·河北·模拟预测）函数cos 1()(3lg5lg 64)2x f x x =⋅+（[],x ππ∈-）的图象大致是A ．B ．C ．D ．6．（2022·河北·模拟预测）已知向量a 与b 的夹角为120°，且2a b ⋅=-，向量c 满足()()101c a b λλλ=+-<<，且a c b c ⋅=⋅，记向量c 在向量a 与b 方向上的投影分别为x 、y ．22x y xy ++的最大值为（ ）A ．14B ．2C ．34D ．547．（重庆市西南大学附属中学校2021-2022学年高二下学期第三次月考数学试题）已知数列{}n a 满足112a =-，21220n n n a a a ++-=，则下列结论错误的是（ ）A ．{}n a 是单调递增数列B ．存在*n N ∈，使得0n a >C ．12111112222n n a a a a +++⋅⋅⋅+=--+++D ．339128a =-8．（2022·河北·模拟预测）已知0x 是方程()e 2xf x x =+-的零点（其中e 2.71828=为自然对数的底数），下列说法错误的是（ ）A ．()00,1x ∈B ．()00ln 2x x -=C ．020e xx -> D ．00e 0xx --<二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020年高考数学热身试卷 文(3)(含解析)
2019-2020年高考数学热身试卷文（3）（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x∈N|0＜x＜4}的真子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．82．设i是虚数单位，那么使得的最小正整数n的值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．已知向量=，=，则向量在方向上的投影为（）A．﹣3 B．C．D．34．要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7 B．9 C．10 D．156．图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法，若输入m=209，n=121，则输出m的值等于（）A．10 B．11 C．12 D．137．已知a＞1，f（x）=a，则使f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是（）A．﹣1＜x＜0 B．﹣2＜x＜1 C．﹣2＜x＜0 D．0＜x＜18．从集合A={1，3，5，7，9}和集合B={2，4，6，8}中各取一个数，那么这两个数之和除3余1的概率是（）A．B．C．D．9．若实数x，y满足不等式组则z=2x+y的取值范围是（）A．[﹣3，11] B．[﹣3，13] C．[﹣5，13] D．[﹣5，11]10．下列对于函数f（x）=3+cos2x，x∈（0，3π）的判断正确的是（）A．函数f（x）的周期为πB．对于∀a∈R，函数f（x+a）都不可能为偶函数C．∃x0∈（0，3π），使f（x0）=4D．函数f（x）在区间内单调递增11．函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数为（）A．9 B．10 C．11 D．1212．直角梯形ABCD，满足AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2现将其沿AC折叠成三棱锥D﹣ABC，当三棱锥D﹣ABC体积取最大值时其外接球的体积为（）A．B．C．3π D．4π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上13．一个四棱柱的三视图如图所示，则其体积为．14．在△ABC中，∠A=90°，AB=1，BC=，点M，N满足，，λ∈R，若，则λ=．15．已知直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则+的最小值为．16．函数f（x）=2x log2e﹣2lnx﹣ax+3的一个极值点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是．三．解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（xx•滑县校级模拟）已知点A（sinθ，1），B（cosθ，0），C（﹣sinθ，2），且．（Ⅰ）记函数，，讨论函数的单调性，并求其值域；（Ⅱ）若O，P，C三点共线，求的值．18．（12分）（xx•泰安二模）如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，O在AB上，且OB=OC=AB，又P0⊥平面ABC，DA∥PO，DA=AO=PO．（I）求证：PB∥平面COD；（II）求证：PD⊥平面COD．19．（12分）（xx•滑县校级模拟）“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车．”某日，L市交警支队在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过两个小时共查出酒精浓度超标者60名，如图是用酒精测试仪对这60名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图．（Ⅰ）求这60名酒后驾车者中属醉酒驾车的人数；（图中每组包括左端点，不包括右端点）（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，求这60名酒后驾车者血液的酒精浓度的平均值；（Ⅲ）本次行动中，A，B两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度在70mg/100ml（含70）以上，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准，交警大队队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度在70mg/100ml（含70）以上的人中随机抽出2人抽血检验，求A，B两位先生至少有1人被抽中的概率．20．（12分）（xx•滑县校级模拟）已知曲线C1：，曲线C2：．曲线C2的左顶点恰为曲线C1的左焦点．（Ⅰ）求λ的值；（Ⅱ）设P（x0，y0）为曲线C2上一点，过点P作直线交曲线C1于A，C两点．直线OP交曲线C1于B，D两点．若P为AC中点．①求证：直线AC的方程为x0x+2y0y=2；②求四边形ABCD的面积．21．（12分）（xx•滑县校级模拟）设函数，g（x）=x3﹣x2﹣3．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）如果对于任意的，都有x1•f（x1）≥g（x2）成立，试求实数a的取值范围．请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（xx•南昌校级二模）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．选修4-4：坐标系与参数方程23．（xx•滑县校级模拟）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为x（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求的值．选修4-5：不等式选讲24．（xx•南宁二模）已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a，m的值．（2）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．xx年河南省安阳市滑县六中高考数学热身试卷（文科）（3）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x∈N|0＜x＜4}的真子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．8考点：子集与真子集．专题：集合．分析：先求出集合的元素的个数，再代入2n﹣1求出即可．解答：解：∵集合A={x∈N|0＜x＜4}={1，2，3}，∴真子集的个数是：23﹣1=7个，故选：C．点评：本题考查了集合的子集问题，若集合的元素有n个，则子集的个数是2n个，真子集的个数是2n﹣1个，本题是一道基础题．2．设i是虚数单位，那么使得的最小正整数n的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由已知=，==1；由此得到答案．解答：解：因为已知=，==1；故=1；故选B．点评：本题考查了复数的运算；对于已知=，==1经常用到．3．已知向量=，=，则向量在方向上的投影为（）A．﹣3 B．C．D．3考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设向量与的夹角为θ，求得cosθ= 的值，只根据向量在上的投影为||•cosθ，计算求得结果．解答：解：由题意可得||=2，||=2，=0﹣6=﹣6，设向量与的夹角为θ，则cosθ===﹣，∴向量在上的投影为||•cosθ=2•（﹣）=﹣3，故选：A．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，求向量的模的方法，一个向量在另一个向量上的投影的定义，属于基础题．4．要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用诱导公式化简函数y=cos（2x﹣）为正弦函数类型，然后通过平移原则，推出选项．解答：解：因为函数y=cos（2x﹣）=sin（2x+），所以可将函数y=cos（2x﹣）的图象，沿x轴向右平移，得到y=sin[2（x﹣）+]=sin2x，得到函数y=sin2x的图象，故选：C．点评：本题考查三角函数的诱导公式的应用，函数的图象的平移，考查计算能力．5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7 B．9 C．10 D．15考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由451≤30n﹣21≤750 求得正整数n的个数．解答：解：960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21．由451≤30n﹣21≤750 解得15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得16≤n≤25，且n∈z，故做问卷B的人数为10，故选：C．点评：本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．6．图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法，若输入m=209，n=121，则输出m的值等于（）A．10 B．11 C．12 D．13考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：先求出m除以n的余数，然后利用辗转相除法，将n的值赋给m，将余数赋给n，进行迭代，一直算到余数为零时m的值即可．解答：解：当m=209，n=121，m除以n的余数是88此时m=121，n=88，m除以n的余数是33此时m=88，n=33，m除以n的余数是22此时m=33，n=22，m除以n的余数是11，此时m=22，n=11，m除以n的余数是0，此时m=11，n=0，退出程序，输出结果为11，故选：B．点评：算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．7．已知a＞1，f（x）=a，则使f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是（）A．﹣1＜x＜0 B．﹣2＜x＜1 C．﹣2＜x＜0 D．0＜x＜1考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求出不等式的解集即不等式成立的充要条件；据当集合A⊆集合B且B⊊A时，A是B的充分不必要条件．解答：解：f（x）＜1成立的充要条件是：a＜1，∵a＞1∴x2+2x＜0∴﹣2＜x＜0∴f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是﹣1＜x＜0故选：A．点评：本题考查不等式的解集是不等式的充要条件；据集合之间的关系判断条件关系．8．从集合A={1，3，5，7，9}和集合B={2，4，6，8}中各取一个数，那么这两个数之和除3余1的概率是（）A．B．C．D．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：计算题；概率与统计．分析：求出所有基本事件，两数之和除3余1的基本事件，即可求两数之和除以3余1的概率解答：解：从集合A={1，3，5，7，9}，B={2，4，6，8}各取一个数，基本事件有（1，2），（1，4），（1，6），（1，8），（3，2），（3，4），（3，6），（3，8），（5，2），（5，4），（5，6），（5，8），（7，2），（7，4），（7，6），（7，8），（9，2），（9，4），（9，6），（9，8）共20个；其中两个数的和除以3余1基本事件有（1，6），（3，4），（5，2）（5，8），（7，6），（9，4）共6个，∴两个数的和除3余1的概率为P==．故选：D．点评：本题考查概率的计算，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．9．若实数x，y满足不等式组则z=2x+y的取值范围是（）A．[﹣3，11] B．[﹣3，13] C．[﹣5，13] D．[﹣5，11]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z的取值范围．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即B（6，﹣1），代入目标函数z=2x+y得z=2×6﹣1=11．即目标函数z=2x+y的最大值为11．当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．由，解得，即A（﹣2，﹣1），代入目标函数z=2x+y得z=2×（﹣2）﹣1=﹣5．即目标函数z=2x+y的最小值为﹣5．目标函数z=2x+y的取值范围是[﹣5，11]，故选：D．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10．下列对于函数f（x）=3+cos2x，x∈（0，3π）的判断正确的是（）A．函数f（x）的周期为πB．对于∀a∈R，函数f（x+a）都不可能为偶函数C．∃x0∈（0，3π），使f（x0）=4D．函数f（x）在区间内单调递增考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接结合所给的函数和三角函数的性质进行求解，注意取值范围问题．解答：解：对于选项A，错在所给函数已经限制了范围：x∈（0，3π），它不再具备周期性了，故选项A错误；对于选项B，不放取a=π，则函数f（x+a）是偶函数，故选项B错误；对于选项D，令π+2kπ≤2x≤2π+2kπ，∴+kπ≤x≤π+kπ，∵x∈（0，3π），∴单调增区间为[，π]，[，2π]，[，3π），故选项D错误；只有选项C符合题意，正确，故选C．点评：本题重点考查了三角函数的单调性和奇偶性等知识，属于中档题．11．函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数为（）A．9 B．10 C．11 D．12考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数即y=lg（|x|+1）与y=sin2x的图象的交点的个数，作图并利用三角函数的图象特征求解．解答：解：函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数即y=lg（|x|+1）与y=sin2x的图象的交点的个数，作函数y=lg（|x|+1）与y=sin2x的图象如下，结合图象及三角函数的最值知，图象在y轴左侧有6个交点，在y轴右侧有5个交点，在y轴上有一个交点；故选D．点评：本题考查了函数的图象的应用及函数的零点的个数的判断，属于基础题．12．直角梯形ABCD，满足AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2现将其沿AC折叠成三棱锥D﹣ABC，当三棱锥D﹣ABC体积取最大值时其外接球的体积为（）A．B．C．3π D．4π考点：球的体积和表面积．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：画出图形，确定三棱锥外接球的半径，然后求解外接球的体积即可．解答：解：已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，沿AC折叠成三棱锥，如图：AB=2，AD=1，CD=1，∴AC=，BC=，∴BC⊥AC，取AC的中点E，AB的中点O，连结DE，OE，∵三棱锥体积最大时，∴平面DCA⊥平面ACB，∴OB=OA=OC=OD，∴OB=1，就是外接球的半径为1，此时三棱锥外接球的体积：=．故选：B．点评：本题考查折叠问题，三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上13．一个四棱柱的三视图如图所示，则其体积为8．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是以正视图为底面的四棱柱，求出底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是以正视图为底面的四棱柱，其底面面积S=2×2=4，高h=2，故几何体的体积V=Sh=8，故答案为：8点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．14．在△ABC中，∠A=90°，AB=1，BC=，点M，N满足，，λ∈R，若，则λ=．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意推出，根据，通过向量的转化求得λ的值．解答：解：由题意可得，∵，，λ∈R，由于==[﹣]•[﹣]==﹣4（1﹣λ）﹣λ=﹣2，解得：λ=，故答案为：．点评：本题考查平面向量的数量积运算，着重考查了向量的线性运算法则、向量数量积的定义与运算性质等知识，属于中档题．15．已知直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则+的最小值为4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB 为直角三角形，可得|AB|=．圆心O（0，0）到直线ax+by=1的距离d=，可得2a2+b2=2．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，∴|AB|=r=．∴圆心O（0，0）到直线ax+by=1的距离d==，化为2a2+b2=2．∴+==≥=4，当且仅当b2=2a2=1取等号．∴+的最小值为4．故答案为：4．点评：本题考查了直线与圆相交问题弦长问题、点到直线的距离公式、基本不等式的性质，属于中档题．16．函数f（x）=2x log2e﹣2lnx﹣ax+3的一个极值点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（0，3）．考点：利用导数研究函数的极值．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：求导f′（x）=2x﹣2•﹣a，注意到其在（1，2）上是增函数，故可得f′（1）f′（2）＜0，从而解得．解答：解：∵f′（x）=2x﹣2•﹣a在（1，2）上是增函数，∴若使函数f（x）=2x log2e﹣2lnx﹣ax+3的一个极值点在区间（1，2）内，则f′（1）f′（2）＜0，即（﹣a）（3﹣a）＜0，解得，0＜a＜3，故答案为：（0，3）．点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了极值的定义，函数的零点存在定理的运用，属于中档题．三．解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（xx•滑县校级模拟）已知点A（sinθ，1），B（cosθ，0），C（﹣sinθ，2），且．（Ⅰ）记函数，，讨论函数的单调性，并求其值域；（Ⅱ）若O，P，C三点共线，求的值．考点：平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（Ⅰ）设设P（x，y），由向量的坐标运算求出、和的坐标，由和向量相等的充要条件求出x和y，求出的坐标，由向量的数量积运算和三角公式化简，再根据三角函数的单调性求出f（x）的单调性和值域；（Ⅱ）根据条件得，代入向量共线的坐标条件，由商的关系求出tanθ，再由二倍角的正弦公式和平方、商的关系将sin2θ用tanθ表示出来并求值，再求出的值．解答：解：设P（x，y），由得，即（cosθ﹣sinθ，﹣1）=（x﹣cosθ，y），所以x=2cosθ﹣sinθ，y=﹣1，亦即P（2cosθ﹣sinθ，﹣1）；（Ⅰ）=2sin2θ﹣2sinθcosθ﹣1=﹣sin2θ﹣cos2θ=；由得，所以，当即时，f（θ）单调递减，且，当即时，f（θ）单调递增，且，故，函数f（θ）的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为．（Ⅱ）由O、P、C三点共线可知，∥，即（﹣1）•（﹣sinθ）=2•（2cosθ﹣sinθ），得，所以===．点评：本题是向量与三角函数的综合题，考查了向量的坐标运算、数量积运算、向量相等的充要条件，三角恒等变换中公式，涉及的公式多，需要熟练掌握并会灵活运用18．（12分）（xx•泰安二模）如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，O在AB上，且OB=OC=AB，又P0⊥平面ABC，DA∥PO，DA=AO=PO．（I）求证：PB∥平面COD；（II）求证：PD⊥平面COD．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题．分析：（I）根据线面垂直，得到线线平行，然后即可证明线面垂直．（II）根据题意，设出OA并表示出OP，OB，DA，然后通过线面垂直得到DA⊥平面ABC，在△PDO中，根据勾股定理判定直角三角形，然后得到PD⊥DO，最终综合即可证明线面垂直．解答：证明：∵PO⊥平面ABCD，AD∥PO，∴DA⊥AB，PO⊥AB又DA=AO=AB．∴∠AOD=又AO=PO，∴OB=OP∴∠OBP=∴OD∥PB又PB⊄平面OCD，OD⊂平面COD．∴PB∥平面COD．（II）依题意可设OA=a，则PO=OB=OC=2a，DA=a，由DA∥PO，且PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC．从而PD=DO=a，在△PDO中∵PD=DO=a，PO=2a∴△PDO为直角三角形，故PD⊥DO又∵OC=OB=2a，∠ABC=45°，∴CO⊥AB又PO⊥平面ABC，∴CO⊥平面PAB、故CO⊥PD．∵CO与DO相交于点O．∴PD⊥平面COD．点评：本题考查直线与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定，通过在几何体中建立关系得以证明结论，属于中档题．19．（12分）（xx•滑县校级模拟）“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车．”某日，L市交警支队在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过两个小时共查出酒精浓度超标者60名，如图是用酒精测试仪对这60名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图．（Ⅰ）求这60名酒后驾车者中属醉酒驾车的人数；（图中每组包括左端点，不包括右端点）（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，求这60名酒后驾车者血液的酒精浓度的平均值；（Ⅲ）本次行动中，A，B两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度在70mg/100ml（含70）以上，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准，交警大队队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度在70mg/100ml（含70）以上的人中随机抽出2人抽血检验，求A，B两位先生至少有1人被抽中的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据图象求出即可；（Ⅱ）代入平均数的公式求出即可；（Ⅲ）列出一切可能的结果组成的基本事件，从而求出相对应的概率．解答：解：（Ⅰ）根据题意，醉酒驾车者即血液酒精浓度在80mg/100mL（含80）以上者，由图可知，共有0.005×10×60=3（人）；…（4分）（Ⅱ）酒精浓度的平均值：s=25×0.025×10+35×0.015×10+45×0.020×10+55×0.015×10+65×0.010×10+75×0.010×10+85×0.0 05×10=47（mg/100mL）；（Ⅲ）酒精浓度在70mg/100mL（含70）以上人数为：（0.10+0.05）×60=9，设除吴、李两位先生外其他7人分别为a、b、c、d、e、f、g，则从9人中抽出2人的一切可能的结果组成的基本事件有：（吴，李），（吴，a），（吴，b），（吴，c），（吴，d），（吴，e），（吴，f），（吴，g），（李，a），（李，b），（李，c），（李，d），（李，e），（李，f），（李，g），（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（a，g），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（b，g），（c，d），（c，e），（c，f），（c，g），（d，e），（d，f），（d，g），（e，f），（e，g），（f，g），共36种；用A表示“吴、李两位先生至少有1人被抽中”这一事件，则A所含的基本事件数位15，所以，P（A）=．…（12分）点评：本题考查了频率分布直方图，考查考查求平均数问题，考查概率问题，是一道中档题．20．（12分）（xx•滑县校级模拟）已知曲线C1：，曲线C2：．曲线C2的左顶点恰为曲线C1的左焦点．（Ⅰ）求λ的值；（Ⅱ）设P（x0，y0）为曲线C2上一点，过点P作直线交曲线C1于A，C两点．直线OP交曲线C1于B，D两点．若P为AC中点．①求证：直线AC的方程为x0x+2y0y=2；②求四边形ABCD的面积．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出，由此能求出．（Ⅱ）①由已知条件推导出，直线OP：y=，联立，得，由此能证明直线AC的方程为x0x+2y0y=2．②联立方程组，得，由此能求出四边形ABCD的面积为4．解答：（本题满分15分）（Ⅰ）解：∵曲线C1：，曲线C2：，曲线C2的左顶点恰为曲线C1的左焦点，∴，解得（5分）（Ⅱ）①证明：∵，∴，，∵P（x0，y0）为曲线C2上一点，过点P作直线交曲线C1于A，C两点．直线OP交曲线C1于B，D两点．∴，直线OP：y=，联立，得（7分）由，即x0x+2y0y=2，，，符合x0x+2y0y=2，∴直线AC的方程为x0x+2y0y=2．（9分）②解：联立方程组，得，即（11分）∴==，∵B，D到AC距离（13分）∴=4，（14分）当y0=0时，ABCD面积也为4．综上：四边形ABCD的面积为4．（15分）点评：本题考查实数值的求法，考查直线方程的证明，考查四边形面积的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．21．（12分）（xx•滑县校级模拟）设函数，g（x）=x3﹣x2﹣3．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）如果对于任意的，都有x1•f（x1）≥g（x2）成立，试求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，对参数a讨论得到函数的单调区间．（Ⅱ）由题对于任意的，都有x1•f（x1）≥g（x2）成立，则x1•f（x1）≥g（x）max，然后分离参数，求出a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，若，则f'（x）≥0，函数f（x）单调递增；若，则f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；所以，函数f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增．…（4分）（Ⅱ），，可见，当时，g'（x）≥0，g（x）在区间单调递增，当时，g'（x）≤0，g（x）在区间单调递减，而，所以，g（x）在区间上的最大值是1，依题意，只需当时，xf（x）≥1恒成立，即恒成立，亦即a≥x﹣x2lnx；…（8分）令，则h'（x）=1﹣x﹣2xlnx，显然h'（1）=0，当时，1﹣x＞0，xlnx＜0，h'（x）＞0，即h（x）在区间上单调递增；当x∈（1，2]时，1﹣x＜0，xlnx＞0，h'（x）＜0，（1，2]上单调递减；所以，当x=1时，函数h（x）取得最大值h（1）=1，故a≥1，即实数a的取值范围是[1，+∞）．…（12分）点评：本题主要考查含参数的函数求单调区间的方法和利用导数求最值问题，属于难题，在高考中作为压轴题出现．请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（xx•南昌校级二模）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•C D．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：（I）欲证DE∥AB，连接BD，因为D为的中点及E为BC的中点，可得DE⊥BC，因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得结论；（II）欲证AC•BC=2AD•CD，转化为AD•CD=AC•CE，再转化成比例式=．最后只须证明△DAC∽△ECD即可．解答：证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC．因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，所以AB∥DE．…（5分）（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以=，AD•CD=AC•CE，2AD•CD=AC•2CE，因此2AD•CD=AC•BC．…（10分）点评：本题考查了直径所对的圆周角为直角及与圆有关的比例线段的知识．解题时，乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得出．选修4-4：坐标系与参数方程23．（xx•滑县校级模拟）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为x（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求的值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：综合题；坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）根据直线参数方程的一般式，即可写出，化简圆的极坐标方程，运用ρcosθ=x，ρsinθ=y，即可普通方程；（Ⅱ）求出过点P（2，0）作斜率为1直线l的参数方程，代入到圆的方程中，得到关于t 的方程，运用韦达定理，以及参数t的几何意义，即可求出结果．解答：解：（Ⅰ）由x，可得ρ=4cosθ﹣4sinθ，∴ρ2=4ρcosθ﹣4ρsinθ，∴x2+y2=4x﹣4y，即（x﹣2）2+（y+2）2=8；（Ⅱ）过点P（2，0）作斜率为1直线l的参数方程为代入（x﹣2）2+（y+2）2=8得t2+24﹣4=0，A，B对应的参数为t1、t2，则t1+t2=﹣2，t1t2=﹣4，由t的意义可得=+==．点评：本题考查直线的参数方程、以及极坐标方程与普通方程的互化，同时考查直线参数方程的运用，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．（xx•南宁二模）已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a，m的值．（2）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．考点：其他不等式的解法．专题：不等式．分析：（1）根据绝对值不等式的解法建立条件关系即可求实数a，m的值．（2）根据绝对值的解法，进行分段讨论即可得到不等式的解集．解答：解：（1）∵f（x）≤m，∴|x﹣a|≤m，即a﹣m≤x≤a+m，∵f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，∴，解得a=2，m=3．（2）当a=2时，函数f（x）=|x﹣2|，则不等式f（x）+t≥f（x+2）等价为|x﹣2|+t≥|x|．当x≥2时，x﹣2+t≥x，即t≥2与条件0≤t＜2矛盾．当0≤x＜2时，2﹣x+t≥x，即0，成立．当x＜0时，2﹣x+t≥﹣x，即t≥﹣2恒成立．综上不等式的解集为（﹣∞，]．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，要求熟练掌握绝对值的化简技巧． .。
2020年高考数学押题预测卷03(山东卷)(参考答案)
P( y ) P(43.91 y 73.09) 0.6826 ， 所以 P( y„ 43.91) 1 0.6826 0.1587 ，
2
所以这 1000 名被调查者中午休睡眠时间低于 43.91 分钟(含 43.91)的人数估计有
0.1587 1000 159 (人).
（3） X 的可能值为 0，1，2，
~
2020 年高考押题预测卷 03（山东卷）
数学·参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
A
DD
D
C
B
D D ABD CD BCD AD
13． 3 5
14． 2 3
17．（本小题满分 10 分）
15． 2020 0
16． 2 6
8 6 729
【解析】（1）在VCAM 中，已知 CAM ， sin CMA 3 ， AC 2 ，由正弦定理，
所以 f (x) 有极小值 f (1) a ，无极大值； e
②当
a
0
时，令
f
(x)
0
x
1 或
x
ln
2 a
，
(ⅰ)
a
2e
时，x
,
ln
2 a
时，f
(x)
0
，f
(
x)
单调递减；x
ln
2 a
,
1
时，f
(
x)
0
，
f (x) 单调递增；
x (1, ) 时， f (x) 0 ， f (x) 单调递减；
则 Sk2 k 22 k 2 k 2 5k 6 ，
若 a1 ， ak ， Sk2 成等比数列，则 ak 2 a1 Sk2 ，
2020年高考数学考前指导答案
2020年高考数学考前指导答案第一部分（选择题）1．选C 。
只须观察α+β能否取到特殊值0和2π即可。
附图如下： 2．选B 。
3．选A 。
先分组：奇数：{1，3，5，7，9}，偶数：{2，4，6，8}，只能从中取奇数个奇数，故1440)(4414353415=+P C C C C 个。
4．选A 。
应用特殊值法，注意到2πα=不适合，排除B 、C 、D ，故A 正确。
5．选D 。
P(0，π/2)即为极点，将其坐标更改为（0，π/4）就在曲线C 上，Q （-2，π）更 改为Q （2，0）就在曲线C 上。
6．选C 。
依题意，2729819y x C y x C ≤，两边同除以067<⋅=xy x y x 得)1(44x y x -=≥则54≥x ，则01<-=x y ，∴1>x 。
7．选C 。
应用数形结合的思想：由图可知，x=1，y=1。
第7题图8．选C 。
22)]1([sin )(a a x x f +---=，故111≤-≤-a ，a 的取值范围是[0，2]。
9．选D 。
注意到)2,2(1P ，)2,2(2--P 为等轴双曲线y =x 1的焦点，222=a ， 2=c ，由定义知①正确，又应用①的结论，得2||21)22|(|21||21||112+=+=='MP MP MP O O ，②正确，同样由定义知直线 y = - x + b 为该双曲线的一条准线l 。
附图：见上方。
第1页10．选A 。
应用复数的方法。
11．选D 。
先选好空车位（当一个元素看待）。
12．选C 。
若),(y x 是另一个函数的图象上的动点，应用复数的方法求得与之对应的原)(x f 图象上点的坐标为),(x y -，则)(y f x -=，即)(1x f y --=。
13．选C 。
应用异面直线上两点之间的距离公式，作PA BD ⊥于D ，又︒=∠90APC ，故由θcos 22222⋅⋅-++=PC BD PD PC BD BC 可以求得二面角C PA B --的平面角的余弦值为43。
20届高三理科数学热身考试试卷答案
……………………(5 分)
（2）由（1）可知， a 1时， f (x) ex x 1 0 ，则 x 1 ex ，
∴ 当 x 0 时， ln(1 x) x ，
令 x 1 ，则 ln(1 1 ) 1 ，从而 k ln(k 1) k ln k 1，
k
kk
∴ (k 1) ln(k 1) k ln k 1 ln(k 1), k 1, 2,3,..., n.
X2
40
60
80
P
1
2
1
6
3
6
用
X
2
的期望为
E(X
2)
40
中16 学 6使0
2 3
80
1 6
60
,
两X方2 的案方的差奖为励D额(都X宾符2 )市合第(要4六0求,6但0方)2案 162奖(6励0的方60差)2比 方23 案(810的小60,)所2 以16应该4选030择.方 2.（12 分）
宜
19．（Ⅰ）证省明：由题设可知 AD DE ，取 AE 中点 O ，连结 OD 、 BE ，
3
3
3
用a
在 ∴
RtADC 中， cos AA中DC学使
六
cos A co宜s(宾4 市第)
10 10
.
( a )2 3
3
(2a )2 3
5 ，故 sin 2
5
，
5
5
省
10．【答案川】B 四
又仅因供为 PF1
解析:由题意可知 a 2, b PF2 0 ， 即 x02 3 y02
（II）由（I）知， 2a 3b 2 6 ab 4 3 ．
由于 4 3 6 ，从而不存在 a,b ，使得 2a 3b 6 ．
广东省深圳市普通高中2020届高考数学三轮复习冲刺模拟试题(3)
高考数学三轮复习冲刺模拟试题03（考时间120分钟 满分150分） 第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）i 为虚数单位，复数11i-的虚部是 A ．12 B ．12- C ．1i 2- D . 1i2（2）若集合{}23M x x =-<<，{}121x N x +=≥，则M N =IA. (3,)+∞B. (1,3)-C. [1,3)-D. (2,1]--（3）已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-u u u r u u u r ，()2,1OC m m =+u u u r.若//AB OC u u u r u u u r ，则实数m 的值为 A ．15 B ．3- C ．35- D ．17-（4）已知命题p ：x ∀∈R ，210x x +->；命题q ：x ∃∈R，sin cos x x +=则下列判断正确的是A ．p ⌝是假命题B ．q 是假命题C ．p q ∨⌝是真命题D ．()p q ⌝∧是真命题（5）若直线y x m =+与圆22420x y x +++=有两个不同的公共点，则实数m 的取值范围是A．(2+ B ．()4,0-C．(22--+ D . ()0,4（6）“3m ≥”是“关于,x y 的不等式组0,20,10,0x x y x y x y m ≥⎧⎪-≤⎪⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩表示的平面区域为三角形”的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件（7）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A. 4B. C.203D. 8（8）已知函数*()21,f x x x =+∈N .若*0,x n ∃∈N ，使000()(1)()63f x f x f x n +++++=L ，则称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”.函数()f x 的“生成点”共有A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.（9）以双曲线2213x y -=的右焦点为焦点，顶点在原点的抛物线的标准方程是 .（10）执行如图所示的程序框图，输出结果S= .正视图侧视图俯视图（11） 在等比数列{}n a 中，32420a a a -=，则3a = ，若{}n b 为等差数列，且33b a =，则数列{}n b 的前5项和等于 .（12）在ABC ∆中，a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对的边，且满足7sin b a B =，则sin A = ，若60B =o，则sin C = .（13） 函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=.当[0,1]x ∈时，()2f x x =.若在区间[2,2]-上方程()0ax a f x +-=恰有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 .（14）在平面直角坐标系xOy 中，点A 是半圆2240x x y -+=（2≤x ≤4）上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC ⋅=u u u r u u u r时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）已知函数21()sin 22x f x x ωω=-+（0ω>）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的取值范围.（16） （本小题满分13分）国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用 茎叶图表示如下：（Ⅰ）试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系（只需写出结果）；（Ⅱ）试根据上面的统计数据，估计甲城市某一天空气质量等级为2级良的概率；（Ⅲ）分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率．(注：])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=Λ，其中x 为数据n x x x ,,,21Λ的平均数.)空气质量指数 0-50 51-100 101-150 151-200 201-300 300以上空气质量等级 1级优 2级良 3级轻度污染 4级中度污染 5级重度污染 6级严重污染甲城市 2 4 5 7 10 9 7 3 5 6 3 1 5 8 8 乙城市（17） （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA AC ⊥，2PA AD ==．四边形ABCD 满足BC AD P ，AB AD ⊥，1AB BC ==．E 为侧棱PB的中点，F 为侧棱PC 上的任意一点.（Ⅰ）若F 为PC 的中点，求证：EF P 平面PAD ； （Ⅱ）求证：平面AFD ⊥平面PAB ；（Ⅲ）是否存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直？若存在，写出证明过程并求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由．（18） （本小题满分13分）已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++，其中a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线的斜率为1，求a的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.（19） （本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点(2,0)A ,离心率为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(1,0)B 且斜率为k （0k ≠）的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，直线AE ，AF分别交直线3x = 于M ，N 两点,线段MN 的中点为P .记直线PB 的斜率为k '，求证: k k '⋅为定值. （20）（本小题满分13分）由1,2,3,4,5,6,7,8,9,10按任意顺序组成的没有重复数字的数组，记为1210(,,,)x x x τ=L ，设1011()|23|k k k S x x τ+==-∑，其中111x x =.（Ⅰ）若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=，求()S τ的值； （Ⅱ）求证：()55S τ≥； （Ⅲ）求()S τ的最大值.(注：对任意,a b ∈R ，a b a b a b -≤±≤+都成立.)PDAB CFE答案三、解答题： （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）1cos 1()22x f x x ωω-=-+ ……………………………………………1分1cos 22x x ωω=+ sin()6x ωπ=+. ……………………………………………………4分 因为()f x 最小正周期为π，所以2ω=.………………………………………………5分 于是()sin(2)6f x x π=+.由222262k x k ππππ-≤+≤π+，k ∈Z ，得36k x k πππ-≤≤π+. 所以()f x 的单调递增区间为[,36k k πππ-π+]，k ∈Z .……………………………8分（Ⅱ）因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈， …………………………………10分则1sin(2)126x π-≤+≤. …………………………………………………12分所以()f x 在[0,]2π上的取值范围是[1,12-]. ………………………………………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差.……………3分 （Ⅱ）根据上面的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为35， 则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为35．………………6分, （Ⅲ）设事件A ：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有25个结果，分别记为： （29，43），（29，41），（29，55），（29，58）（29，78）（53，43），（53，41），（53，55），（53，58），（53，78）， （57，43），（57，41），（57，55），（57，58），（57，78）， （75，43），（75，41），（75，55），（75，58），（75，78）， （106，43），（106，41），（106，55），（106，58），（106，78）.其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29，乙41，乙43，同为2级良的为甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78. 则空气质量等级相同的为： （29，41），（29，43）， （53，55），（53，58），（53，78）, （57，55），（57，58），（57，78）， （75，55），（75，58），（75，78）.共11个结果. 则11()25P A =. 所以这两个城市空气质量等级相同的概率为1125． …………………………………………………………………13分（17）（本小题满分14分） 证明：（Ⅰ）因为,E F 分别为侧棱,PB PC 的中点， 所以 EF BC P ．因为BC AD P ，所以EF AD P ．而EF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以EF P 平面PAD ． …………4分 （Ⅱ）因为平面ABCD ⊥平面PAC ，平面ABCD I 平面PAC AC =，且PA AC ⊥，PA ⊂平面PAC . 所以PA ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥． 又因为AB AD ⊥，PA AB A =I ，所以AD ⊥平面PAB ， 而AD ⊂平面AFD ，所以平面AFD ⊥平面PAB ．……………………………………………………8分 （Ⅲ）存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直.在棱PC 上显然存在点F ,使得AF PC ⊥.由已知，AB AD ⊥，BC AD P ，1AB BC ==，2AD =． 由平面几何知识可得 CD AC ⊥．由（Ⅱ）知，PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥， 因为PA AC A =I ，所以CD ⊥平面PAC ．P DABCFE而AF ⊂平面PAC ，所以CD AF ⊥． 又因为CD PC C =I ,所以AF ⊥平面PCD .在PAC ∆中，2,90PA AC PAC ==∠=︒，可求得，3PC PF ==．可见直线AF 与平面PCD 能够垂直，此时线段PF 的长为3．……………14分 （18）（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由2()(2)ln f x x a x a x =-++可知，函数定义域为{}0x x >，且()2(2)a f x x a x '=-++.由题意，(2)4(2)12af a '=-++=， 解得2a =.……………………………………………………………………………4分（Ⅱ）(2)(1)()2(2)a x a x f x x a x x--'=-++=(0)x >. 令()0f x '=，得11x =，22ax =.（1）当0a ≤时，02a≤，令()0f x '>，得1x >;令()0f x '<，得01x <<.则函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞.（2）当012a <<，即02a <<时，令()0f x '>，得02ax <<或1x >. 则函数()f x 的单调递增区间为(0,)2a，(1,)+∞.令()0f x '<，得12ax <<.则函数()f x 的单调递减区间为(,1)2a.（3）当12a=，即2a =时，()0f x '≥恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞.（4）当12a >，即2a >时，令()0f x '>，得01x <<或2ax >，则函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，(,)2a+∞.令()0f x '<，得12ax <<.则函数()f x 的单调递减区间为(1,)2a. ……………………………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题得222,2.a b c c a a ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解得24a =，21b =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. …………………………………………………4分 （Ⅱ）根据已知可设直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k +-+-=. 设1122(,),(,)E x y F x y ,则22121222844,4141k k x x x x k k -+==++.直线AE ，AF 的方程分别为：1212(2),(2)22y y y x y x x x =-=---， 令3x =， 则1212(3,),(3,)22y y M N x x --,所以12121(3,())222y yP x x +--. 所以122112(1)(2)(1)(2)4(2)(2)k x x k x x k k k x x --+--'⋅=⨯-- 21212121223()442()4k x x x x x x x x -++=⨯-++ 2222222228824164414416164441k k k k k k k k k --+++=⨯--+++2241444k k -=⨯=-. ……………………………………………………14分（20）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）1011()|23|7654321012857kk k S xx τ+==-=+++++++++=∑.………3分（Ⅱ）证明：由a b a b +≥+及其推广可得，12231011()232323S x x x x x x τ=-+-++-L121023112()3()x x x x x x ≥+++-+++L L =121010(110)552x x x ++++==L . ……………………………7分 （Ⅲ）10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍共20个数如下：20,18,16,14,12,10,8,6,4,2, 30,27,24,21,18,15,12,9,6,3其中最大数之和与最小数之和的差为20372131-=，所以()131S τ≤， 对于0(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)τ=，0()131S τ=，所以()S τ的最大值为131. ……………………………………………………13分 注：使得()S τ取得最大值的有序数组中，只要保证数字1，2，3，4互不相邻，数字7，8，9，10也互不相邻，而数字5和6既不在7，8，9，10之一的后面，又不在1，2，3，4之一的前面都符合要求.。
高考数学考前“保持手感”暨热身训练01学生版
高考数学 考前“保持手感”暨热身训练01（学生版）【解题小贴士】对于由解析式给出的函数，其定义域可能有如下几种情况：①若f(x)是整式，则其定义域为全体实数集．②若是分式，则其定义域是使分母不为零的全体实数组成的集合．③若是偶次根式，则其定义域是使被开方数非负(即不小于零)的实数的取值集合． ④如果函数是由一些函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是各函数定义域的交集． ⑤对数的真数大于零，指数函数和对数函数的底数大于0且不等于1等．一、选择题1.（ 湖北省黄冈中学、孝感高中高三模拟联合考试）设为虚数单位，复数z 满足i 2i z =+，则z 等于（ ）A ．2i -B ．2i --C ．12i +D ．12i -2.（ 山东省威海市高三模拟考试） 2,10x R x ax ∃∈-+≤为假命题，则a 的取值范围为A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．(,2)(2,)-∞-+∞UD ．(,2][2,)-∞-+∞U3.（ 山东省济宁市高三模拟考试）下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,+∞上单调递减的函数是 A.y x =-B.1y x -=C.2y x =D.12y x =4.（ 广西百所高中高三年级第三届联考）经过曲线2()(2)1f x x x =-+上点(1,(1))f 处的切线方程为（ ）A ．210x y +-=B ．210x y +-=C ．10x y -+=D ．10x y +-=5.（ 广东省揭阳市高三高考模拟）当4x π=时，函数()sin()(0)f x A x A ϕ=+>取得最小值，则函数3()4y f x π=- A ．是奇函数且图像关于点(,0)2π对称B ．是偶函数且图像关于点(,0)π对称C ．是奇函数且图像关于直线2x π=对称D ．是偶函数且图像关于直线x π=对称6.（ 山东省日照高三模拟考试）如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE=CD.若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+u u u r u u u r u u u r ，下列判断正确．．的是 A.满足2λμ+=的点P 必为BC 的中点B.满足1λμ+=的点P 有且只有一个C.λμ+的最大值为3D.λμ+的最小值不存在7.（ 东北三省三校高三联合模拟考试）已知数列{}n a 是等差数列，且1472a a a π++=，则35tan()a a +的值为（ ）A 3B ．3-C ．33D ．33-10.（ 山东省济宁市高三模拟考试）已知圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则p 的值为A.1B.2C.12D.4二、填空题11.（ 上海市浦东高三模拟）已知甲射手射中目标的频率为0.9，乙射手射中目标的频率为0.8，如果甲乙两射手的射击相互独立，那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击，目标被射中的频率为 .12.（武汉市部分学校高三模拟联考）阅读右面的程序框图，则输出的S=______【解题小贴士】函数的值域是由函数的对应关系和函数的定义域所唯一确定的，具有相同对应关系的函数如果定义域不同，函数的值域也就可能不相同．求函数值域的方法很多，主要有：①根据函数的定义域和解析式直接确定法．②对函数解析式是二次的函数使用配方法或者直接使用求最值的方法．③对解析式是分式的函数采用分拆法．。
2020年高考数学模拟卷(山高温情版)(学生版)(A3)
x
14
15
16
17
18
频数
45
60
75
60
60
这 300 天内（假设这 7 个饭店对这种土鸡的需求量一样），养鸡厂每天出栏土鸡 7a 14 a 18 只，送到城里的
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f x 2cos2x 3sin2x 1 0 的最小正周期为 ，则下列说法正确的有（ ）
A． 2
B．函数 f x 在[0, ] 上为增函数
6
C．直线 x 是函数 y f x 图象的一条对称轴
3
则：（1）m ____________；（2）以每组的中位数作为本组每人体重的估计值估算该地区年龄超过 40 周岁的男士
17．（不忘初心，用好基本公式，能解答数学问题，也能解惑人生.）已知 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别
为
a
，b
，
c
，已
知向量
m
(cos
B,
2 cos2
C 2
1)
，
n
(c, b
2a)
且
m
n
0．
（1）求角 C 的大小；
（2）若 ABC 的面积为 2 3 ， a b 6 ，求 c ．
体重的平均值为____________（千克）．
16．（题目略长，不要彷徨，人生那么精彩，不要被眼前的困难阻碍.）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形 状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部
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1. 【2017苏北三市三模】在公比为且各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前项和．若，且522S S =+，则的值为 ▲ ．2．【2017南京三模】若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 3－a 1＝2，则a 5的最小值为 ▲ ． 【答案】83. 各项均为正数的等差数列{}n a 中，3694=a a ，则前12项和12S 的最小值为． 【答案】78考点：等差数列求和及等差数列的性质；基本不等式的应用． 4. 设数列{}n a 的首项n 项和为Sn , 且满足123n n a S ++=( n *∈N ) ．则满足n 的和为 ． 【答案】7【解析】因为123n n a S ++=，所以2n ≥时，123n n a S -+=，两式相减得：所以不等式n 的和为347.+= 考点：等比数列求和5. 已知等比数列{}n a 的首项为21,,2nn -，n B 的所有非空子集中的最小元素的和为T ，则22014S T +≥的最小正整数n 为 ．【答案】45考点：子集的个数，数列的和．6. 给定项数为m *(,3)m N m ∈≥的数列{}n a ，其中{}0,1i a ∈(1,2,)i m =．若存在一个正整数(21)k m ≤≤-，若数列{}n a 中存在连续的k 项和该数列中另一个连续的项恰好按次序对应相等,则称数列{}n a 是“阶可重复数列” ．例如数列{}n a ：0,1,1,0,1,1,0.因为1234,,,a a a a 与4567,,,a a a a 按次序对应相等，所以数列{}n a 是“4阶可重复数列” ．假设数列{}n a 不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项m a 后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且41a =，数列{}n a 的最后一项m a = ． 【答案】1【解析】由题意数列{}n a 不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项m a 后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，所以4321,,,a a a a 与m m m m a a a a ,,,123---按次序对应相等，从而14==a a m .考点：数列的概念及新概念的应用.7. 数列{}n a 满足1=1a ，()()1=11n n na n a n n ++++，且，记n S 为数列{}n b 的前项和，则120S = . 【答案】7280考点：1.数列的递推公式；2.等差数列的性质；3.余弦函数性质；4.数列求和.8. 【2017苏北三市三模】已知两个无穷数列{}n a 和{}n b 的前项和分别为n S ，n T ，11a =，24S =，对任意的*n N ∈，都有1232n n n n S S S a ++=++．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 为等差数列，对任意的*n N ∈，都有n n S T >．证明：n n a b >； （3）若{}n b 为等比数列，11b a =，22b a =，求满足（2）证法一：设数列{}n b 的公差为d ，则 由（1）知，2n S n =． 因为n n S T >，所以，即1(2)20d n d b -+->恒成立， 所以120,20,d d b -⎧⎨->⎩≥ 即12,2.d b d ⎧⎨<⎩≤…………………………………………………6分 又由11S T >，得11b <，所以1121(1)(2)1n n a b n b n d d n d b -=----=-+--1(2)1d d b ≥-+--110b =->．所以n n a b >，得证． …………………………………………………………8分 证法二：设{}n b 的公差为d ，假设存在自然数02n ≥，使得00n n a b ≤， 则1010(1)2(1)a n b n d ≤+-⨯+-，即110(1)(2)a b n d ≤---，因为11a b >，所以2d >．……………………………………………………6分 ，所以存在*0N N ∈，当0n N >时，0n n T S ->恒成立． 这与“对任意的*n N ∈，都有n n S T >”矛盾！所以n n a b >，得证． …………………………………………………………8分 （3）由（1）知，2n S n =．因为{}n b 为等比数列，且11b =，23b =，所以{}n b 是以为首项，为公比的等比数列． 所以13n n b -=，10分因为*n N ∈，所以26220n n -+>，所以12分而21k a k =-，所以，即12310n n n --+-=（*）．当1n =，时，（*）式成立；………………………………………………14分 当2n ≥时，设12()31n f n n n -=-+-，则2121(1)()3(1)(31)2(3)0n n n f n f n n n n n n --+-=-++--+-=->， 所以0(2)(3)()f f f n =<<<<．故满足条件的的值为和．………………………………………………16分9. 【2017南京三模】已知常数p ＞0，数列{a n }满足a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ，n ∈N *．（1）若a 1＝－1，p ＝1， ①求a 4的值；②求数列{a n }的前n 项和S n ．（2）若数列{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，求a 1p的取值范围．即S n ＝3n －1－32，n ∈N *． ………………………… 8分（2）因为a n ＋1－a n ＝|p －a n |＋a n ＋p ≥p －a n ＋a n ＋p ＝2 p ＞0，所以a n ＋1＞a n ，即{a n }单调递增． ………………………… 10分 （i ）当a 1 p≥1时，有a 1≥p ，于是a n ≥a 1≥p ，所以a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ＝a n －p ＋2 a n ＋p ＝3a n ，所以a n ＝3n －1a 1．若{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，则有2 a s ＝a r ＋a t ， 即2×3s －1＝3r －1＋3t －1． （*）因为s ≤t －1，所以2×3s －1＝23×3s ＜3t －1＜3r －1＋3t －1， 即（*）不成立．故此时数列{a n }中不存在三项依次成等差数列． ……………………… 12分（iii ）当a 1p≤－1时，则有a 1≤－p ＜p ，a 1＋p ≤0， 于是a 2＝| p －a 1|＋2a 1＋p ＝p －a 1＋2 a 1＋p ＝a 1＋2p ，a 3＝|p －a 2|＋2a 2＋p ＝|p ＋a 1|＋2a 1＋5p ＝－p －a 1＋2a 1＋5p ＝a 1＋4p ，此时有a 1，a 2，a 3成等差数列．综上可知：a 1p≤－1． ……………………………… 16分10. 已知数列{}n a 满足：11a =，121n n a a +=+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1n n n b a a +=，求数列{}n b 的前项和．考点：1．数列的通项公式；2．数列求和。
高考数学 考前“保持手感”暨热身训练04 学生版
2013年高考数学 考前“保持手感”暨热身训练04 学生版一、选择题1．(2013届浙江省嘉兴市高三二模)设集合}3,2,1{=A ，}9,3,1{=B ，A x ∈，且B x ∉，则=x A ．1 B ．2 C ．3D ．92．（2013届辽宁省五校协作体高三二模）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. sin()6y x π=-B. 2xy = C. x y = D. 3x y -=3．（2013届山东省济宁市高三模拟）曲线21()2f x x =在点11,2⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为 （ ） A. 2210x y ++= B. 2210x y +-=C. 2210x y --=D. 2230x y --=4．（2013届河北保定安新县高三一模）在△ABC 中，（a ，b ， c 分别为角A 、B 、C 的对边），则△ABC 的形状为A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形5．（2013届河南省郑州市高三模拟）已知向量a r ＝（3，4），b r ＝（2，－1），如果向量a kb r r ＋与b r 垂直，则实数k 的值为A ．233 B ．323C ．2D ．－256．（2013届四川省成都市棠湖中学高三模拟）已知数列{}n a 的通项公式为n a n 213-=，则数列{}n a 的前10项的和为（ ） A.52 B.90 C.49 D.927．（2013届江西南昌10所省重点中学高三二模）已知实数,x y 满足条件08,07,012,10672,0219,,x y x y x y x y x y Z≤≤≤≤⎧⎪<+≤⎪⎪+≥⎨⎪≤+≤⎪∈⎪⎩则使得目标函数450350z x y =+取得最大值的,x y 的值分别为( )A ．0，12B ．12，0C ．8，4D ．7，58．（2013届陕西长安一中等五校高三二模）若三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积为（ ） A.80 B.40C.380D.3409．（2013届陕西省师大附中高三第四次模拟考试）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元)49263954根据上表可得回归方程a bx y +=中的b 为4.9，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A..636万元 B..655万元C..677万元D..720万元10．（2013届河北保定安新县高三模拟）直线R与圆的交点个数是( )A. 0B. 1C. 2D.无数个二、填空题11．(2013届辽宁实验、东北师大附、哈师大附中高三二模)执行如图所示的程序框图，则输出结果S 的值为__________。
高考数学临考后热身卷 试题
创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日09年高考数学临考最后热身卷这是一套在考前供考生进一步熟悉高考数学试题所需主要知识与方法的试卷，绝不是什么押题、猜题卷，本套试卷对一些相对次要的内容也没有涉及〔如函数零点、几何概型、统计初步、统计案例等〕，希望使用者注意。
实际上高考数学试题是很难被我们原封不动命中的，解答高考数学试题是靠考生对考试大纲上所规定的根本知识、根本方法的纯熟掌握以及分析问题、解决问题的才能，也可以说是对解题的迁移才能完成的，本套试卷仅仅供高考考前热身只用！一 选择题〔每一小题5分，满分是60分〕1．i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且ni i m +=+11)1(，那么2009)(nim ni m -+等于〔 〕A ．iB ．i -C ．1D ．1-【解析】A 根据复数相等的充要条件11m n ==，11m ni ii m ni i++==--，故20092009()m ni i i m ni+==-． 【考前寄语】复数的考察重在概念与代数形式的四那么运算，注意两个复数相等的充要条件、复数除法的运算规那么．2.一个容器的外形是一个棱长为2的正方体，其三视图如下图，那么容器的容积为 〔 〕 A.8 B.2π C.π D.23π【解析】C 容器的内部是一个圆锥，高为2，底面半径为1，故其体积为2121233ππ⨯⨯=． 【考前寄语】三视图的规那么是“长对正、齐、宽相等〞，注意实际几何体的可见轮廓线在三视图中是实线、不可见轮廓线是虚线．3．函数()sin()(,0,0,||)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><的图象，〔局部〕如下图，那么()f x 的解析式是 〔 〕A ．()2sin()()6f x x x ππ=+∈R B ．()2sin(2)()6f x x x ππ=+∈RC ．()2sin()()3f x x x ππ=+∈R D ．()2sin(2)()3f x x x ππ=+∈R【解析】A 根据五点法作图的方法15,326πωϕωϕπ⨯+=⨯+=，解得,6πωπϕ==． 【考前寄语】三角函数的图象反响了三角函数的性质，是高考重点考察的一个知识点．注意“五点法作图〞规那么的“逆用〞，如此题中假如是用五点法作函数图象，那么函数图象上点1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭中的13，就是令2x πωϕ+=求出来的，13x =必然合适这个方程，同理56x =合适方程x ωϕπ+=．4．阅读右侧的算法框图，输出的结果S 的值是 〔 〕 A ．0 B 3 C 3 D ．3【解析】A 该程序的功能是计算22009sinsinsin333πππ+++的值，根据周期性，这个算式中每连续6个的值等于0，故这个值等于前5个的和，即2345sinsinsin sin sin 033333πππππ++++=． 【考前寄语】带有循环构造的程序框图中，其关键作用是是计数变量和累加变量，在解题时要注意“循环变量的控制条件〞和“累加变量的变化规律〞．5．设全集R ，假设集合{||2|3},{|211}x A x x B x =-≤=->，那么()C A B R 为〔 〕A ．}51|{≤<x xB ．{|1x x ≤-或者5}x >C ．{|1x x ≤或者5}x >D ．}51|{≤≤-x x【解析】 C2332315x x x -≤⇒-≤-≤⇒-≤≤，故集合[]1,5A =-，211211x x ->⇔->或者211x -<-，即22x >或者20x <〔无解〕，即1x >，故集合()1,B =+∞，集合(]1,5A B =，故(]()(),15,C A B =-∞+∞R ．【考前寄语】带有绝对值的不等式是的一个重要考点．同学们要熟悉大纲要求的几类绝对值不等式的解法． 6．对于二项式n x x)1(3+〔*n ∈N 〕，四位同学作出了四种判断： ①存在*n ∈N ，展开式中有常数项； ②对任意*n ∈N ，展开式中没有常数项； ③对任意*n ∈N ，展开式中没有x 的一次项； ④存在*n ∈N ，展开式中有x 的一次项. 上述判断中正确的选项是A . ①与③B . ②与③C . ①与④D . ②与④【解析】C 展开式的通项公式是41r r nr n T C x -+=，故只要存在正整数n 和自然数r 使40r n -=即可，如1,4r n ==，故存在*n ∈N ，展开式中有常数项；同理存在*n ∈N ，展开式中有x 的一次项．【考前寄语】二项式定理的核心是其通项公式，同时要注意特殊值法在于二项式定理有关问题中的应用．7.假设cos 22sin()4θπθ=-+，那么cos )θθ-的值是 A ．12-B ．12C ．2-D ．2 【解析】C22cos 2sin()4θπθ=+sin )2θθ=-=-，∴1sin cos 2θθ-=．于是，1cos )22θθ-==-． 【考前寄语】三角恒等变换主要是考察两角和、二倍角的正弦、余弦和正切公式的应用，特别要注意二倍角的余弦公式及其各个变形的运用．8．假设,a b ∈R，命题:p a >:q 直线y ax b =+与圆221x y +=相交，那么p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】A 命题p 等价于22011a b a b >⎧⎪≥⎨⎪>-⎩，命题q1<即221a b >-，显然由命题p 可得命题q ，反之不真．【考前寄语】解题时注意隐含条件的挖掘，如此题中2:1p a b >-等价转化就需要把隐含的条件找出来．注意从集合的观点认识充要条件．9．设实数,x y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，那么22x y u xy +=的取值范围是 〔 〕A ．5[2,2] B ．510[,]23 C ．10[2,]3 D ．1[,4]4【解析】C 在坐标平面上点(),x y 所表示的区域如下图，令yt x=，根据几何意义，t 的值即为区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然点,A B 是其中的两个临界值，点()3,1A ，点()1,2B ，故123t ≤≤，221x y u t xy t +==+，这个关于t 的函数在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减、在[]1,2上单调递增，故其最小值为2，最大值为两个端点值中的大者，计算知最大值为103．【考前寄语】线性规划类考题已经不仅仅局限在目的函数是线性的，但解决问题的思想方法是一致的，在解决这类问题时，要注意分析目的函数，进展适当的转化． 10. 函数()ln ln a xf x x+=在[)1,+∞上为减函数，那么实数a 的取值范围是( ) A.10a e<<B.0a e <≤C.a e ≤D.a e ≥ 【解析】 ()221(ln ln )1(ln ln )'x a x a x x f x x x ⋅-+-+==，因为()f x 在[)1,+∞上为减函数，故()'0f x ≤在[)1,+∞上恒成立，即ln 1ln a x ≥-在[)1,+∞上恒成立，等价于()ln 1ln a x ≥-在[)1,+∞上的最大值．设()1ln x x ϕ=-，()max 1x ϕ=，故ln 1a ≥，a e ≥，选答案D ．【考前寄语】假如是给出一个函数求其单调递减区间，我们只要解不等式()'0fx <即可，但当一个函数在一个指定区间上单调递减时，必须是()'0f x ≤在这个区间上恒成立、但不恒为0．这类问题一般就是转化为一个不等式恒成立问题，这个不等式假如能别离参数、别离参数是一个有效的策略．11.在ABC ∆中，2AB =，3BC =，60ABC ︒∠=，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，假设AO AB BC λμ=+，那么λμ+的值是A ．23B ．34C ．56D ．1【解析】A 建立如下图的平面直角坐标系，由题意，知||1BD =，||3AD =，||2DC =，∴3(0,)2AO =-，(1,3)AB =--，(3,0)BC =， ∵AO AB BC λμ=+，∴3(0,)(1,3)(3,0)2λμ-=--+，即30332λμλ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得1216λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴23λμ+=． 应选A ．【考前寄语】此题考察的是平面向量根本定理的应用，同学们的一般心理是直接在三角形中寻找问题之答案，想不到建立坐标系、通过向量的坐标运算解决，这个题目给大家提个醒，在合适建立坐标系的情况下，向量问题用坐标解决更为方便．12. 将红、黑、白三个棋子放入如下图的小方格内，每格内只放一个，且3个棋子既不同行也不同列，那么不同的放法有〔 〕A. 576种B. 288种C. 144种D. 96种【解析】A 问题可以这样考虑，先在四行选一行、四列选一列，安放红色棋子，有方法数114416C C =，这样还剩余三行三列，同样选一行一列安放黑色棋子，有方法数11339C C =，同理白色棋子的安放方法数为4，故总的方法数为1694576⨯⨯=．【考前寄语】有限制的排列、组合问题是高考考察的重点，解决这类问题要考虑特殊位置或者特殊元素，一般是先解决这类特殊的问题． 二 填空题〔每一小题4分、一共16分〕 13.在ABC ∆,21=AB,23=BA那么AB 的长为 ． 【解析】2 依条件13cos ,cos 22b A a B ==，根据正弦定理得132sin cos ,2sin cos 22R B A R A B ==，两式相加得()2sin 2R A B +=，即2sin 2R C =，即2c =．【考前寄语】正、余弦定理是高中数学的两个重要定理，注意这两个定理的变形．在涉及到三角形边角关系的题目中，正、余弦定理是实现边角转化的工具，要结合题目的详细环境，实现这个转化，但一般来说，把边的关系转化为角的关系、通过三角恒等变换解决问题是常用的考虑方式．14．抛物线)0(22>=p px y 焦点F 恰好是双曲线22221x y a b-=的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F ，那么该双曲线的离心率为 . 【解析】 122pc =，根据对称性，两曲线交点连线垂直于x 轴，对双曲线这两个交点连线的长度是22b a、对抛物线这两个交点连线的长度是2p ，即4c ，故224b c a =，故22b ac =，即222c a ac -=，即2210e e --=，解得12e =+【考前寄语】在求椭圆、双曲线离心率的题目中，就是寻找,,a b c 所满足的一个方程，只要这个方程找出来了，就可以将其转化为只含有,a c 的方程，很多问题中这个关于,a c 的方程是一个齐次方程，就可以通过把这个方程两端同除以2a 等，把其转化为一个关于离心率e 的方程，解这个方程就可以解决问题．要注意的是椭圆和双曲线中,,abc 关系是不同的，许多同学就是把这个关系弄错，导致解题失误的． 15.曲线1,1x y y e x ==+，直线1x =所围成的区域的面积是 ． 【解析】如下图，这个面积等于定积分1101ln(1)ln 211xx e dx e x e x ⎛⎫⎡⎤-=-+=-- ⎪⎣⎦+⎝⎭⎰．【考前寄语】定积分的主要考察点就是利用微积分根本定理计算定积分和其在求曲边形面积中的应用．积分计算是导数计算的逆运算，解题时要根据导数公式检验积分运算． 16．对于任意的实数)0(≠a a 和b ，不等式|)2||1(|||||||-+-≥-++x x a b a b a 恒成立，那么实数x 的取值范围是 ．【解析】]25,21[ 问题等价于()min12a b a b a x x ⎡++-⎤≥-+-⎣⎦，而()()2a b a b a b a b a ++-≥++-=，故()212a a x x ≥-+-，又0a ≠，故122x x -+-≤，根据绝对值的几何意义x 的范围是]25,21[．【考前寄语】绝对值三角不等式是的一个重要考点，此题的目的是让同学们会使用绝对值三角不等式求最值．再举个例子，如求函数25y x x =-++的最小值，就可以根据a b a b +≥±直接解决．三 解答题〔此题满分是74分〕17. 〔本小题满分是12分〕如下图，某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，已有两面墙的夹角为060〔即60C ︒∠=〕，现有可供建造第三面围墙的材料6米〔两面墙的长均大于6米〕，为了使得小老虎能安康成长，要求所建造的三角形露天活动室尽可能大，记ABC θ∠=，问当θ为多少时，所建造的三角形露天活动室的面积最大？【解析】在ABC ∆中，sin sin sin()33AC AB BCππθθ==+， 化简得43sin AC θ=，43sin()3BC πθ=+，所以1sin 23ABC S AC BC π∆=⋅⋅13123sin sin()123(sin cos )322πθθθθθ=⋅+=⋅+21cos 2363(sin 3cos )63(2)22θθθθθ-=+⋅=+163[sin(2)]26πθ=+-即63sin(2)336ABC S πθ∆=-+所以当2,62ππθ-=即3πθ=时，max ()ABC S ∆=3答：当60θ︒=时，所建造的三角形露天活动室的面积最大．【考前寄语】三角函数解答题主要是以三角恒等变换为工具，综合考察三角函数的图象与性质，往往与平面向量的数量积、解三角形相结合，此题就是以一个简单的实际问题出发设计的一个考察三角形中的正弦定理、三角恒等变换、三角函数性质的题目，完好解答该题必须对三角恒等变换非常纯熟．18.〔此题满分是12分〕某校设计了一个实验学科的实验考察方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求HY 完成全部实验操作. 规定：至少正确完成其中2题的便可通过考察. 6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每一小题正确完成的概率都是23，且每一小题正确完成与否互不影响. 求： 〔1〕分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； 〔2〕试用统计知识分析比拟两考生的实验操作才能.【解析】〔1〕设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ、η，那么ξ取值分别为1,2,3；η取值分别为0,1,2,3．1242361(1)5C C P C ξ===，2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===． ∴考生甲正确完成题数的概率分布列为1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=．∵==)0(ηP 271)321(33=-C ， 同理：6(1)27P η==，12(2)27P η==，278)3(==ηP ． ∴考生乙正确完成题数的概率分布列为：227832712227612710=⨯+⨯+⨯+⨯=ηE ． 〔2〕∵5251)32(53)22(51)12(222=⨯-+⨯-+⨯-=ξD ，2222161282(20)(21)(22)(23)272727273D η=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=． 〔或者2123333D npq η==⨯⨯=〕．∴D D ξη<．∵8.05153)2(=+=≥ξP ，128(2)0.742727P η≥=+≈，∴(2)(2)P P ξη≥>≥．从做对题数的数学期望考察，两人程度相当；从做对题数的方差考察，甲较稳定；从至少完成2题的概率考察，甲获得通过的可能性大．因此可以判断甲的实验操作才能较强． 【考前寄语】理科的概率统计解答题，一般就是以实际问题为背景，综合考察概率计算、随机变量的期望与方差计算等问题的题目．其中的重要考察点是：通过排列、组合计算概率，通过事件的互斥〔包括对立〕、事件的互相HY 性计算概率，通过二项分布模型计算概率，计算随机变量的分布列、期望与方差，特别是二项分布的期望与方差． 19. 〔此题满分是12分〕函数()()211x f x x x +=≠-+，数列{}n a 满足11a =，()1n n a f a +=，n n b a =．〔1〕求证：()*12,2n a n n <<∈≥N ； 〔2〕求证：{}n b 是递减数列； 〔3〕设{}n b 的前n 项和为n S ，n S 与47是否有确定的大小关系，假如有给出证明，假如没有给出反例．【解析】由数列{}n a 满足1121,1n n n a a a a ++==+． 〔1〕11a =得232a =，故2312a <<，假设()2n k k =≥时，12k a <<，213k a <+<，111312k a <<+，4131312k a <+<+，那么当1n k =+时，111121k k a a +<=+<+，由数学归纳知对一切2n ≥的正整数12n a <<都成立．〔2〕1n n b b +===11112n a ==<<+，故1n n b b +<，{}n b 是递减数列． 〔3〕 由〔2〕得112n n bb +<，故)211121212n n n n n b b b ----⎛-<<<<=⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()2112212121211222n n n S b b b-⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⎢⎥=+++<-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦)(11213211172nn⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎢⎥==- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦)(()()2132123147777+-<=<=．【考前寄语】的考试说明增加了用放缩法证明不等式，此题就是根据这个新形势命制的．此题第一问是用数学归纳法证明不等式，数学归纳法是解决与正整数有关问题应该注意的一个方法；此题第二问是用作商比拟和放缩的方法证明不等式，通过数列的递推关系把问题都归结为n a 是关键；第三问重点考察放缩法证明不等式，希望同学们注意体会这个方法． 20.〔此题满分是12分〕直角梯形ABCD 中， //AB CD ，,1,AB BC AB ⊥=2,1BC CD ==+过A 作AE CD ⊥，垂足为E ，G F 、分别为,AD CE 的中点，现将ADE ∆沿AE 折叠使二面 角D AE C --的平面角的正切值为tan 2-.〔1〕求证：//FG 平面BCD ；〔2〕求异面直线GF 与BD 所成的角的余弦值； 〔3〕求二面角A BD C --的大小．【解析】〔1〕取AB 中点H ，连接GH ，FH ， 又G 为AD 中点//GH BD ∴， GH ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ， //GH BCD ∴面， 同理可证//FH BC ， //FH 平面BCD ， ∴平面//FHG 平面BCD ， GF ⊂平面FHG //GF ∴平面BCD ．〔2〕延长CE ，过D 作DO 垂直直线EC 于O ，易证DO ⊥平面ABCE ，AE EC ⊥，AE DE ⊥，二面角D AE C --的平面角的正切值为tan 2-，∴tan 2DEO ∠=∵5DE =，∴1OE =，2DO = ，过点O 做OMBC ，以O 为原点，以射线,,OM OC OD 分别为,,x y z 的正方向建立直角坐标系O xyz -〔如图〕那么()0,0,2D ，()2,1,0A ，()0,1,0E ，()0,2,0C ，()2,2,0B ，32,,02H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,12G ⎛⎫⎪⎝⎭，30,,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭． (1,1,1)GH =-，(1,1,1)GF =-- 1cos ,3|H |||GH GF GH GF G GF ⋅<>==⋅，∴异面直线GF 与BD 所成的角余弦值为13．〔3〕取DC 中点P ，易证OP ⊥平面BCD ，所以面BCD 一个法向量为(0,1,1)OP =()0,1,0AB =， ()2,2,2BD =--，设平面ABD 的法向量为(,,)n x y z =那么22200x y z y +=⎧⎨=⎩－－，获得1x =0,1y z ==得平面ABD的一个法向量为1(1,0,1)n =∴1111cos ,2||||n OP n OP n OP ⋅<>==⋅∴二面角A BD C --的大小为120．【考前寄语】理科的立体几何解答题，一般的命题方式是一个设问考察空间线、面位置关系的证明，解决的方法以传统几何的证明方法为主，主要根据就是平面的性质、空间线面位置关系的断定定理和性质定理；另一个设问是几何量的计算，一般是二面角的计算，主要的命题思想是考察用空间向量解决计算问题，主要的解题根据就是空间角的几个计算公式． 21.〔本小题满分是12分〕椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的间隔 21，离心率为22e =． 〔1〕求椭圆E 的方程；〔2〕过点()1,0作直线l 交E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，使MP MQ ⋅为定值？假设存在，求出这个定点M 的坐标；假设不存在，请说明理由．【解析】〔1〕设椭圆E 的方程为22221x y a b +=，由得12a c c a⎧-=⎪⎨=⎪⎩，1a c ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，2221b a c ∴=-=，∴椭圆E 的方程为2212x y += ．〔2〕法一：假设存在符合条件的点(,0)M m ，又设1122(,),(,)P x y Q x y ，那么：11221212(,),(,),()()MP x m y MQ x m y MP MQ x m x m y y =-=-⋅=-⋅-+2121212()x x m x x m y y =-+++①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：(1)y k x =-，那么由2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(1)20x k x +--=，即2222(21)4(22)0k x k x k +-+-=，22121222422,2121k k x x x x k k -+=⋅=++，222121212122(1)(1)[()1]21k y y k x x k x x x x k =--=-++=-+，所以2222222224212121k k k MP MQ m m k k k -⋅=-⋅+-+++2222(241)(2)21m m k m k -++-=+ ， 对于任意的k 值，MP MQ ⋅为定值，所以222412(2)m m m -+=-，得54m =， 所以57(,0),416M MP MQ ⋅=-； ②当直线l 的斜率不存在时，直线1212121:1,2,1,2l x x x x x y y =+===-，由54m =得716MP MQ ⋅=-． 综上述①②知，符合条件的点M 存在，起坐标为5(,0)4．法二：假设存在符合条件的点(,0)M m ，又设1122(,),(,),P x y Q x y 那么：1122(,),(,)MP x m y MQ x m y =-=-，1212()()MP MQ x m x m y y ⋅=-⋅-+=2121212()x x m x x m y y -+++．①当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x ty =+，由22121x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(2)210t y ty ++-=，12122221,22t y y y y t t --∴+=⋅=++， 2222121221212222222(1)(1)()122t t t t x x ty ty t y y t y y t t --++-+=+⋅+=+++==++221212222244()222t t x x t y y t t -+++=++==++ 222222241222t m MP MQ m t t t -+∴⋅=-+-+++2222(2)2412m t m m t -+-+=+．设MP MQ λ⋅=那么2222(2)2412m t m m t λ-+-+=+ 2222222(2)241(2),(2)24120m t m m t m t m m λλλ∴-+-+=+∴--+-+-=222024120m m m λλ⎧--=⎪∴⎨-+-=⎪⎩，54716m λ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩，5(,0)4M ∴．②当直线l 的斜率为0时，直线:0l y =，由5(,0)4M 得：55257(2)()2441616MP MQ ⋅=⋅=-=-．综上述①②知，符合条件的点M 存在，其坐标为5(,0)4．【考前寄语】定点、定值问题是解析几何考察的热点题型之一，这类问题的一个根本思想是等式的恒成立，即一个等式假如对其中一个变量取任意值都成立，必须关于这个变量的系数都等于0．22．〔此题满分是14分〕函数()2()42ln ,,0f x x x a x a a =-+-∈≠R (). 〔1〕当8a =时，求函数()f x 的单调区间； 〔2〕求函数()f x 在区间2[,]e e 上的最小值．【解析】〔1〕2()46ln f x x x x =--，62(1)(3)'()24x x f x x x x+-=--=， 由'()0f x >得(1)(3)0x x +->， 解得3x >或者1x <-． 注意到0x >，所以函数()f x 的单调递增区间是(3,)+∞． 由'()0f x <得(1)(3)0x x +-<，解得13x -<<， 注意到0x >，所以函数()f x 的单调递减区间是(0,3)．综上所述，函数()f x 的单调递增区间是(3,)+∞，单调递减区间是(0,3)． 〔2〕当2[,]x e e ∈时，()2()42ln f x x x a x=-+-，所以22242'()24a x x af x x x x--+-=-+=，设2()242g x x x a =-+-．①当0a ≤时，有1642(2)80a a ∆=-⨯-=≤， 此时()0g x ≥，所以'()0f x ≥，()f x 在2[,]e e 上单调递增．所以2min ()()42f x f e e e a ==-+-．②当0a >时，1642(2)80a a ∆=-⨯-=>，令'()0f x >，即22420x x a -+->，解得1x >或者1x <-(舍)；令'()0f x <，即22420x x a -+-<，解得11x <<01假设21e +≥，即222(1)a e ≥-时， ()f x 在区间2[,]e e 单调递减， 所以242min ()()442f x f e e e a ==-+-．02假设21e e <<，即()222212(1)e a e -<<-时， ()f x 在区间[,1e 上单调递减，在区间2[1]e 上单调递增，所以min ()(13(2)ln(12a f x f a ==+-．03假设1e +≤，即()2021a e <≤-时， ()f x 在区间2[,]e e 单调递增， 所以2min ()()42f x f e e e a ==-+-． 综上所述，当222(1)a e ≥-时， 42min ()442f x e e a =-+-；当()222212(1)e a e -<<-时，min ()3(2)ln(122a f x a =-+-+； 当()221a e ≤-时， 2min ()42f x e e a =-+-．【考前寄语】此题主要考察用导数研究函数与分类讨论思想．求闭区间上的函数最值，根本思想方法就是根据函数的单调性、函数的极值、区间的端点值进展分类讨论．最提供一位数学名师的文章，作为总的考前寄语：信心加审题加细节等于成功实验中学特级老师 王连笑同学们就要进考场了，参加数学高考的考生要注意什么呢？下面是我个人的几点建议。
五县2020届数学热身训练考前押题含解析
【解析】
【分析】
结合弓形面积公式及三角形的面积公式分别求出S2,S1，即可求解 ；利用导数研究单调性可求最值．
【详解】由题意可知，∠BOC＝2θ∈（0，π)，故 ，
S1＝ ＝θ﹣sinθcosθ＝ ,
S2＝ sin2θ＝ sin2θ＝2sinθ，
当 时，S1＝ ，S2＝ ，
作出正四面体 与其外接球 的位置关系如下图所示, 是球的直径，与面 交于点 ，连接 ，
则由正弦定理得 ,解得 ，又 ，所以由勾股定理得 ,
所以 ，即 ，所以 ，所以外接球 半径为 ，
所以圆柱形封闭容器的体积 ，
又因为 ， ， ，所以容器体积可以为 ， .
故选：BD
【点睛】本题考查正四面体的外接球的体积计算，圆柱的体积计算,属于中档题.
16. 某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O是半径分别为 , 的两个同心圆的圆心，等腰 的顶点A在外圆上,底边 的两个端点都在内圆上，点O,A在直线 的同侧。若线段 与劣弧 所围成的弓形面积为 ， 与 的面积之和为 ,设 .当 时， ______ ；经研究发现当 的值最大时，纪念章最美观，当纪念章最美观时， ______.
故S2﹣S1＝ (cm2），
S2﹣S1＝2sinθ+ sin2θ﹣θ， ,
令f（θ）＝2sinθ+ sin2θ﹣θ， ，
则 ，
令 ＝0可得，cosθ＝ （舍负）,
记cosθ0＝ , ，
当θ∈（0，θ0）时， ＞0，函数单调递增，当 时， ＜0，函数单调递减，故当θ＝θ0时,即cosθ＝ 时,f（θ）取得最大值，即S2﹣S1取得最大值．
故答案为: ； .
【点睛】本题主要考查了利用导数求解与三角有关的函数的最值问题,体现了转化思想的应用，属于中档题。
北京市密云区高三考前保温练习(三模)数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ）． {}1,0,1A =-{}03,B x x x =≤<∈N A B ⋃=A ． B ．C ．D ．{}0,1{}1,0,1-{}1,0,1,2-{}2【答案】C【分析】先求出B 集合的元素，再根据并集的定义求解. 【详解】由题意， ； {}{}0,1,2,1,0,1,2B A B =∴=- 故选：C.2．在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ） 2i1i -A ． B ．C ．D ．(1,1)-(1,1)-(1,i)-(i,1)-【答案】A【分析】根据复数的乘除法运算可得，结合复数的几何意义即可得出结果. 2i1i 1i=-+-【详解】由，则复数对应的点的坐标是， ()()()22i 1+i 2i 2i 2i 1i 1i 1i 1+i 2+===-+--2i 1i -()11-，故选：A3．已知，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） 3log 4a =0.7log 2b =0.15c -=A ． B ． C ． D ．a b c >>a c b >>c b a >>c a b >>【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性跟比较即可判断.0,1【详解】因为，，， 33log 43log 1a ==>0.70.7log 2log 10b =<=0.105510c -<<==所以. a c b >>故选：B4．已知函数，则（ ） 22()cossin 22x xf x =-A ．在上单调递减B ．在上单调递增()f x ππ,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭()f x ππ,412⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．在上单调递减D ．在上单调递增()f x π0,3⎛⎫⎪⎝⎭()f x 2π7,π41⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【分析】利用余弦函数的二倍角公式化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可()cos f x x =得出合适的选项.【详解】因为. 22()cossin cos 22x xf x x =-=对于A 选项，当时， ππ26x -<<-在上单调递增，A 错；()f x ππ,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭对于B 选项，当时，ππ412x -<<则在上单调递增，在上单调递减，()f x π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭π0,12⎛⎫⎪⎝⎭故B 错；对于C 选项，当时， π03x <<则在上单调递减，C 对；()f x π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭对于D 选项，当时， 2π1π74x <<则在上单调递减，故D 错.()f x 2π7,π41⎛⎫⎪⎝⎭故选：C.5．平行四边形中，点在边上，，记，则（ ）ABCD M AB 3AM MB =,CA a CM b == AD =A ．B ．4733a b - 2433b a -C ．D ．7433b a - 1433a b - 【答案】D【分析】根据给定的几何图形，结合向量的线性运算求解作答. 【详解】在中，，，ABCD Y 3AM MB = ,CA a CM b ==所以.1114()3333AD BC BM MC MA CM CA CM CM a b ==+=-=--=- 故选：D6．设数列的前n 项和为，则“对任意，”是“数列为递增数列”的（ ） {}n a n S *N n ∈0n a >{}n S A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不是充分也不是必要条件 【答案】A【分析】根据题意，分别判断充分性和必要性是否成立即可. 【详解】数列中，对任意，， {}n a *n ∈N 0n a >则，11,2n n n n S S a S n --=+>≥所以数列为递增数列，充分性成立； {}n S 当数列为递增数列时，， {}n S 1,2n n S S n ->≥即，所以，，11n n n S a S --+>0n a >2n ≥如数列不满足题意，必要性不成立；1,2,2,2,,- 所以“对任意，”是“数列为递增数列”的充分不必要条件. *n ∈N 0n a >{}n S 故选：A 7．函数的部分图象是（ ） ()22sin 1x f x x -=A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】首先判断出为偶函数，然后结合时，为负数，确定正确选项.()f x 06x π<<()f x 【详解】因为，所以是偶函数，则的图象关于()()()222sin 12sin 1x x f x f x x x ----===-()f x ()f x y轴对称，排除C ，D ；当时，，排除B.06x π<<()0f x <故选：A【点睛】本题考查函数图象，考查推理论证能力.8．某科技研发公司2021年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比上一年增加10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是（ ）（参考数据：，，，） lg 20.301=lg 30.477=lg 50.699=lg11 1.041=A ．2027年 B ．2028年 C ．2029年 D ．2030年【答案】C【分析】根据已知条件，可推得，再结合对数运算的公式求解即可. 1.12x >【详解】设从年后，第年该公司全年投入的研发资金为万元， 2021x y 则，()00300110xy =⨯+由题意得，，即， ()00300110600x⨯+> 1.12x >故 1.1lg2lg22lg1.1lg11lg10log x >==-，lg20.3017.3lg111 1.0411==≈--则，8x ≥故公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是年. 2029故选：C9．血药浓度（Plasma Concentration ）是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中： ①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用；②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒； ③每向隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用；④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒. 其中正确说法的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据图象，结合题意，逐个判断即可．【详解】①根据图象可知，首次服用该药物1单位约10分钟后，血液浓度达到最低有效浓度，药物发挥治疗作用，故正确；②根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后血液浓度达到最大值，由图象可知两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒，故正确；③根据图象可知，每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使血药浓度大于最低有效浓度，药物持续发挥治疗作用，故正确；④根据图象可知，首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，会发生药物中毒，故错误． 故选：C ．10．已知是圆上一个动点，且直线与直线M 22:1C x y +=1:30l mx ny m n --+=相交于点P ，则的取值范围是（ ） 222:30(,R,0)l nx my m n m n m n +--=∈+≠PMA ．B ．C ．D ．1,1]1]+1]1]【答案】B【分析】根据给定条件确定出点P 的轨迹，再借助圆与圆的位置关系及圆的几何性质计算作答. 【详解】依题意，直线恒过定点，直线恒过定1:(3)(1)0l m x n y ---=(3,1)A 2:(1)(3)0l n x m y -+-=点，()1,3B 显然直线，因此，直线与交点P 的轨迹是以线段AB 为直径的圆，12l l ⊥1l 2l其方程为：，圆心，半径C 的圆心，半径，22(2)(2)2x y -+-=(2,2)N 2r =(0,0)C 11r =如图：，两圆外离，由圆的几何性质得：，12||NC r r =>+min 12||||1PM NC r r =--=，max 12||||1PM NC r r =++=所以的取值范围是：.PM 1]故选：B【点睛】思路点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法.二、填空题 11．函数__________．()f x =【答案】(0,1)(1,]e ⋃【分析】利用对数、分式、根式的性质列不等式，求的范围，即得定义域.x 【详解】由函数解析式，知：，解得且.01ln 0220x x x ⎧>⎪-≥⎨⎪-≠⎩0x e <≤1x ≠故答案为：.(0,1)(1,]e ⋃12．已知的展开式中，各项系数之和为，则二项式系数之和为___________. ()21nx +81【答案】16【分析】令，结合二项式各项系数和可求得的值，进而可求得该二项式系数之和. 1x =()21nx +n 【详解】因为的展开式中，各项系数之和为，令，可得，解得， ()21nx +811x =381n =4n =因此，二项式系数之和为. 4216=故答案为：.16三、双空题13．已知双曲线___________；渐近线方程为221y x m -=___________. 【答案】0,⎛ ⎝12y x =±【分析】根据已知条件求得，由此求得双曲线焦点坐标和渐近线方程.m【详解】因为双曲线221y x m -=，=14m =所以双曲线方程为，22114y x -=则， 254c =所以双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为. 0,⎛ ⎝12y x =±故答案为：；. 0,⎛ ⎝12y x =±14．设函数.()2,2,x x a f x x x x a≥⎧=⎨-+<⎩①当时，的单调递增区间为___________；2a =()f x ②若且，使得成立，则实数a 的一个取值范围________. R x ∃∈0x ≠()()11f x f x +=-【答案】(,1],[2,)-∞+∞(1,)+∞【分析】当时，作出的图象，结合图象，即可求得函数的递增区间，由2a =()f x ，得到的图象关于对称，结合题意，即可求得的取值范围.()()11f x f x +=-()f x 1x =a 【详解】①当时，可得，函数的图象，如图所示，2a =()2,22,2x x f x x x x ≥⎧=⎨-+<⎩()f x 可得函数的单调递增区间为.()f x (,1],[2,)-∞+∞②由，可函数的图象关于对称， ()()11f x f x +=-()f x 1x =若且，使得成立， R x ∃∈0x ≠()()11f x f x +=-如图所示，则满足，即实数的取值范围为.1a >a (1,)+∞故答案为：；.(,1],[2,)-∞+∞(1,)+∞四、填空题15．如图，在正方体，P 为线段上的动点（且不与，重合），则以下几1111ABCD A B C D -11A C 1A 1C 种说法：①BD CP ⊥②三棱锥C -BPD 的体积为定值③过P ，C ，三点作截面，截面图形为三角形或梯形 1D ④DP 与平面所成角的正弦值最大为1111D C B A 13上述说法正确的序号是___________. 【答案】①②③【分析】①根据为正方体得到，，然后根据线面垂直的判定1111ABCD A B C D -1CC BD ⊥BD AC ⊥定理和性质即可得到；②根据点到平面的距离为定值，三角形的面积为定BD CP ⊥P ABCD BCD 值即可得到三棱锥的体积为定值；③根据正方体的性质判断截面的形状即可；④根据线C BPD -面角的定义得到为与平面所成角，然后求线面角即可.1DPD ∠DP 1111D C B A 【详解】连接，因为为正方体，所以平面，四边形为正方AC 1111ABCD A B C D -1CC ⊥ABCD ABCD 形，因为平面，所以， BD ⊂ABCD 1CC BD ⊥因为四边形为正方形，所以，ABCD BD AC ⊥因为，平面，所以平面， 1CC AC C =I 1,⊂CC AC 11ACC A BD ⊥11ACC A 因为平面，所以，故①正确；CP ⊂11ACC A BD CP ⊥因为点到平面的距离为定值，三角形的面积为定值，，所以三棱锥P ABCD BCD P BCD C BPD V V --=的体积为定值，故②正确；C BPD -根据正方体性质可知，当延长线与棱相交时，截面为三角形，当延长线与相交1D P 11B C 1D P 11B A 时，截面为梯形，故③正确；连接，由题意得为与平面所成角，因为为定值，所以当最小时，1D P 1DPD ∠DP 1111D C B A 1DD 1D P 最大，最大，1tan DPD ∠1sin DPD ∠设正方体边长为，则，此时④错.a 1min D P 1sin DPD ∠=故答案为：①②③.五、解答题16．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，P ABCD -ABCD PAD ⊥ABCD AD MN ⊥，，，分别是，的中点.2AB =4AD AP ==M N BC PD(1)求证：平面；MN ∥PAB(2)求二面角的余弦值. N AM B --【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过求出和面的一个法向量，即可证明结论；MNPAB （2）分别求出面和面的法向量，即可求出二面角的余弦值. AMN AMB N AM B --【详解】（1）由题意，在矩形中，，，, ABCD 2AB =4AD AP ==AB AD ⊥，分别是，的中点，M N BC PD ∴，， 11222BM CM BC AD ====2AB CD ==在四棱锥中，面平面， P ABCD -PAD ⊥ABCD 面面，， ∴面， PAD ⋂ABCD AD =AB AD ⊥AB ⊥PAD 面，∴，PA ⊂PAD PA AB ⊥取中点，连接，由几何知识得， AP E BE BE MN ∥∵，∴，AD MN ⊥AD BE ⊥AD AB ⊥∵面，面， BE ⊂PAB AB ⊂PAB AB BE B = ∴面， AD ⊥PAB ∴PA AD ⊥以、、为、、轴建立空间直角坐标系如下图所示，AB AD AP x y z∴，()()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,4,0,0,4,0,0,0,4,2,2,0,0,2,2A B C D P M N ∴，面的一个法向量为， ()2,0,2MN =-PAB ()0,4,0AD = ∵，2004200MN AD ⋅=-⨯+⨯+⨯=∴平面.MN ∥PAB（2）由题意，（1）及图得，在面中，，AMN ()()()0,0,0,2,2,0,0,2,2A M N ，()()2,2,0,0,2,2AM AN ==设其法向量为，()111,,m x y z = 则，即，解得：，0m AM m AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 1111220220x y y z +=⎧⎨+=⎩1111x y z y =-⎧⎨=-⎩当时，，11y =-()1,1,1m =-在面中，其一个法向量为， AMB ()0,0,4AP =设二面角为N AM B --θ∴ cos由图象可知二面角为钝角， N AM B --∴二面角的余弦值为N AMB --17．已知的内角的对边分别为ABC ,,A B C ,,a b c sin 0.63B B ππ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求的值； B∠(2)给出以下三个条件：条件①：；条件②；条件③.这三个条件中仅有两个正确，请22230a b c c -+-=3a =ABC S =△选出正确的条件并回答下面的问题： （i ）求的值；sin A（ii ）求的角平分线的长. ABC ∠BD 【答案】(1)； 2π3(2)条件正确，；(ii).23 158【分析】(1)根据两角和与差的正弦公式、辅助角公式化简计算可得，即可求得B ；2sin()03B π+=(2)利用余弦定理即可推出条件①不正确；根据三角形面积公式和余弦定理求出，结合正弦定理b即可求出，再次利用正弦定理可得，解方程组即可.sin sin A C 、sin sin sin sin BD CD C CBDBD AD A ABD ⎧=⎪⎪∠⎨⎪=⎪∠⎩【详解】（1，sin()sin()063B B ππ++-=，31sin sin 022B B B B ++-=，sin 0B B =，得Z ，2sin()03B π+=3B k k ππ+=∈，由，得； 0B π<<23B π=（2）若条件①正确，由，得， 22230a b c c -+-=2223a c b c +-=由余弦定理，得，即，222cos 2a c b B ac+-=133222c ac a -==解得不符合题意，故条件①不正确，则条件②③正确； 3a =-(i)由， 1sin 2ABC ABC S ac BS ==，3a =，解得， 132=⨯5c =由余弦定理，得，22212cos 92530(492b a c ac B =+-=+-⨯-=因为，所以，由正弦定理，0b >7b =得，即 sin sin b a B A =sin sin a B A b ==(ii)由正弦定理，得，即 sin sin b c B C =sin sin c B C b ==因为平方，，所以，BD ABC ∠23ABC π∠=3ABD CBD π∠=∠=在中，由正弦定理，得， ABD △sin sin BD ADA ABD=∠在中，由正弦定理，得， CBD △sin sin BD CDC CBD=∠又，上述两式相除，得， 7CD AD =-sin sin 7C ADA AD=-解得，所以. 358AD =sin 35315sin 878AD A BD ABD ==⨯=∠18．为了解某地区居民每户月均用电情况，采用随机抽样的方式，从该地区随机调查了100户居民，获得了他们每户月均用电量的数据，发现每户月均用电量都在之间，进行适当50~350kW h ⋅分组后（每组为左闭右开区间），得到如下频率分布直方图：(1)记频率分布直方图中从左到右的分组依次为第1组，第2组，…，第6组.从第5组，第6组中任取2户居民，求他们月均用电量都不低于的概率；300kW h ⋅(2)从该地区居民中随机抽取3户，设月均用电量在之间的用户数为，以频率估计50~150kW h ⋅X 概率，求的分布列和数学期望；X ()E X (3)该地区为提倡节约用电，拟以每户月均用电量为依据，给该地区月均用电量不少于的居kW h w ⋅民用户每户发出一份节约用电倡议书，且发放倡议书的数量为该地区居民用户数的2%.请根据此次调查的数据，估计应定为多少合适？（只需写出结论）. w 【答案】(1)120(2)分布列答案见解析， ()0.9E X =(3) 325【分析】（1）分析可知户居民中，第组的居民数为，第组的居民数为，利用组合计数10051264原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公()~3,0.3X B X式可求得的值；()E X （3）计算出月均用电量的样本数据的第百分位数，即可得解.98【详解】（1）由频率分布直方图可知，户居民中，第组的居民户数为， 1005100500.002412⨯⨯=第组的居民户数为，6100500.00084⨯⨯=从第组、第组中任取户居民，他们月均用电量都不低于的概率为. 562300kW h ⋅24216C 61C 12020P ===（2）该地区月均用电量在之间的用户所占的频率为， 50~150kW h ⋅()0.00240.0036500.3+⨯=由题意可知，，()~3,0.3X B 所以，，，()300.70.343P X ===()1231C ×0.30.70.441P X ==⨯=，，()2232C ×0.30.70.189P X ==⨯=()330.30.027P X ===所以，随机变量的分布列如下表所示： XX0 1 23P 0.343 0.441 0.1890.027.（3）前个矩形的面积之和为， ()30.30.9E X =⨯=510.0008500.960.98-⨯=<设月均用电量的样本数据的第百分位数为，则， 98b ()300,350b ∈则，解得， ()0.963000.00080.98b +-⨯=325b =故应定为较为合适. w 32519．已知函数.()()ln 1f x x x =+(1)求曲线在点处的切线方程； ()y f x =()()1,1f (2)证明：. ()3212f x x x +≥【答案】(1)11ln 222y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）计算出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； ()1f ()1f '（2），其中，利用导数分析函数的单调性，证明出，()()3212g x f x x x =+-1x >-()g x ()0g x ≥即可证得结论成立.【详解】（1）解：因为，则， ()()ln 1f x x x =+()()ln 11xf x x x '=+++所以，，， ()1ln 2f =()11ln 22f '=+所以，曲线在点处的切线方程为，()y f x =()()1,1f ()1ln 2ln 212y x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭即.11ln 222y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（2）解：令，其中， ()()()323211ln 122g x f x x x x x x x =+-=-++1x >-， ()()232ln 121xg x x x x x '=-++++令，其中， ()()232ln 121x h x x x x x =-++++1x >-则， ()()()()222341132111x x h x x x x x +'=-++=+++当时，且不恒为零，所以，函数在上单调递增， 1x >-()0h x '≥()h x '()g x '()1,-+∞所以，当时，，此时函数单调递减， 10x -<<()()00g x g ''<=()g x 当时，，此时函数单调递增， 0x >()()00g x g ''>=()g x 所以，，即. ()()00g x g ≥=()3212f x x x +≥20．椭圆C ：，且过点.()222210x y a b a b +=>>()2,1A (1)求椭圆C 的方程和长轴长；(2)点M ，N 在C 上，且.证明：直线MN 过定点.AM AN ⊥【答案】(1)椭圆的方程为：，长轴长为C 22163x y +=(2)证明见解析【分析】（1）利用离心率、椭圆上的点和椭圆关系可构造方程组求得，从而得到椭圆方,,a b c ,a b 程及长轴长；（2）由可得到；假设直线方程，与椭圆方程AM AN ⊥()()12121212124y y y y x x x x -++=-++-MN 联立后得到韦达定理的形式，代入垂直关系得到等式中，可整理得到关系，代入直线方程,m k MN 后可确定所过定点.【详解】（1）由题意得：，解得：，22222411a b c c e a a b ⎧=+⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+=⎪⎩2263a b ⎧=⎨=⎩椭圆的方程为：，长轴长为；∴C 22163x y+=（2）设点，，()11,M x y ()22,N x y ，， AM AN ⊥ ()()()()121222110AM AN x x y y ∴⋅=--+--=整理可得：①， ()()12121212124y y y y x x x x -++=-++-当直线斜率存在时，设，MN k :MN y kx m =+联立得：， 2226y kx m x y =+⎧⎨+=⎩()222124260k x kmx m +++-=由得：，()()222216412260k m k m ∆=-+->22630k m -+>则，，122412km x x k +=-+21222612m x x k -=+，，()121222212m y y k x x m k ∴+=++=+()()22221212122612m k y y k x x km x x m k -=+++=+代入①式化简可得：，()()2481310k km m m ++-+=即，或， ()()212310k m k m +-++=12m k ∴=-213k m +=-则直线方程为或， ()1221y kx k x k =+-=-+2121333k y kx x k +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭直线过定点或，又和点重合，故舍去，∴()2,121,33⎛⎫- ⎪⎝⎭()2,1A 当直线斜率不存在时，则，MN k 1221,x x y y ==-此时，即，22111144y x x -+=-+-2211145y x x =-+又，解得或（舍去），2211163x y +=123x =2此时直线的方程为，过点， MN 23x =21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述，直线过定点.MN 21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； x y ②利用求得变量之间的关系，同时得到韦达定理的形式； 0∆>③利用韦达定理表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定点.21．设p 为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列： {}n a {}n a p ℜ①，且； 10a p +≥20a p +=②；414,1,2,n n a a n -<=⋅⋅⋅()③，．{},1m n m n m n a a a p a a p +∈+++++(),1,2,m n =⋅⋅⋅（1）如果数列的前4项为2，-2，-2，-1，那么是否可能为数列？说明理由； {}n a {}n a 2ℜ（2）若数列是数列，求；{}n a 0ℜ5a （3）设数列的前项和为.是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所{}n a n n S p ℜ{}n a 10n S S ≥有的p ；如果不存在，说明理由．【答案】（1）不可以是数列；理由见解析；（2）；（3）存在；． 2R 51a =2p =【分析】(1)由题意考查的值即可说明数列不是数列； 3a 2ℜ(2)由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可确定的值；5a (3)构造数列，易知数列是的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的n n b a p =+{}n b 0ℜ实数的值.p 【详解】(1)因 为 所以， 122,2,2,p a a ===-12122,13a a p a a p ++=+++=因 为所 以 32,a =-{}312122,21a a a a a ∈+++++所以数列，不可能是数列. {}n a 2ℜ(2)性质①，120,0a a ≥=由性质③，因此或，或， {}2,1m m m a a a +∈+31a a =311a a =+40a =41a =若，由性质②可知，即或，矛盾； 40a =34a a <10a <110a +<若，由有，矛盾. 4311,1a a a ==+34a a <111a +<因此只能是.4311,a a a ==又因为或，所以或. 413a a a =+4131a a a =++112a =10a =若，则， 112a ={}{}{}2111111110,012,211,2a a a a a a a a +=∈+++++=+=不满足，舍去.20a =当，则前四项为:0，0，0，1，10a ={}n a 下面用数学归纳法证明： ()444(1,2,3),1n i n a n i a n n N ++===+∈当时，经验证命题成立，假设当时命题成立， 0n =(0)n k k ≤≥当时：1n k =+若，则，利用性质③：1i =()()4541145k k j k j a a a +++++-==，此时可得：； {}*45,144{,1}jk j aa j N j k k k +-+∈≤≤+=+∣451k a k +=+否则，若，取可得：，45k a k +=0k =50a =而由性质②可得：，与矛盾. {}5141,2a a a =+∈50a =同理可得：，有； {}*46,145{,1}jk j a a j N j k k k +-+∈≤≤+=+∣461k a k +=+，有；{}*48,246{1,2}jk j aa j N j k k k +-+∈≤≤+=++∣482k a k +=+，又因为，有 {}*47,146{1}jk j aa j N j k k +-+∈≤≤+=+∣4748k k a a ++<47 1.k a k +=+即当时命题成立，证毕. 1n k =+综上可得：，. 10a =54111a a ⨯+==(3)令，由性质③可知：n n b a p =+，*,,m n m n m n N b a p ++∀∈=+∈{},1m n m n a p a p a p a p +++++++{},1m n m n b b b b =+++由于，11224141440,0,n n n n b a p b a p b a p a p b --=+≥=+==+<+=因此数列为数列. {}n b 0ℜ由（2）可知:若；444,(1,2,3),1n i n n N a n p i a n p ++∀∈=-==+-，，11111402320a S S a p ⨯+-==-≥=91010422(2)0S S a a p ⨯+-=-=-=--≥因此，此时，，满足题意.2p =1210,,,0a a a ⋯≤()011j a j ≥≥【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。
2020届全国金太阳联考新高考押题仿真模拟(十三)理科数学
2020届全国金太阳联考新高考押题仿真模拟（十三）数学（理科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题相应答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题相应答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持答题卡卡面清洁，无污渍，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合{}110A x x =-≤<，集合{}lg 1B x x =≤，则A B =I （ ） A. {}110x x -≤< B. {}110x x -≤≤ C. {}010x x << D. {}010x x <≤【答案】C 【解析】 【分析】对集合B 进行整理，然后根据集合的交集运算，得到答案. 【详解】集合{}{}lg 1010B x x x x =≤=<≤， 集合{}110A x x =-≤<， 所以{}010A B x x ⋂=<<，故选：C.【点睛】本题考查解对数不等式，集合的交集运算，属于简单题.2.若非零向量a r ，b r 满足||||a b =r r ，向量2a b +r r与b r 垂直，则a r 与b r 的夹角为（ ）A. 150︒B. 120︒C. 60︒D. 30°【答案】B 【解析】∵||||a b =r r ，且2a b +r r 与b r 垂直，∴(2)0a b b +⋅=v v v ，即220a b b ⋅+=v v v ，∴2||2b a b ⋅=-v v v ，∴2||12cos ,2b a b a b a b b b-⋅===-⋅⋅v v v v v v v v v ，∴a r 与b r 的夹角为120︒． 故选B ．3.已知 1.22a =，0.212b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，52log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）． A. c a b << B. c b a <<C. b a c <<D. b c a <<【答案】A 【解析】由函数2xy =在R 上是增函数可得021a b >>=，再由5552log 2log 4log 51c ==<=，故c b a <<．故选A.4.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31．5尺，前九个节气日影长之和为85．5尺，则芒种日影长为（ ） A. 1．5尺 B. 2．5尺C. 3．5尺D. 4．5尺【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得959S a =，14743a a a a ++=，可得5a ，4a ，计算出公差d ，再利用通项公式即可得出所求．【详解】设这十二个节气日影长依次成等差数列{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===，所以59.5a =，由题知1474331.5a a a a ++==，所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-，所以1257 2.5a a d =+=，故选B .【点睛】本题考查了等差数列的性质、通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.设{}n a 是首项为正数的等比数列,公比为,q 则“0q <”是“对任意的正整数212,n n n a a -+<0”的 A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a qq q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C. 【考点】充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：①定义法：直接判断“若p 则q”、“若q 则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q”为真，则p 是q 的充分条件．②等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．③集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 6.若1sin 42a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 22a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A. 34-B. 23-C. 12-D. 13-【答案】C【解析】 【分析】利用诱导公式以及二倍角公式，化简求得cos 22a π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【详解】解：∵1sin 42a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 则cos 2cos 222a a πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos 22a π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭cos 22a π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭212sin 4πα⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭111242=-+⨯=-,故选：C.【点睛】本小题主要考查利用诱导公式和二倍角公式进行恒等变换，求表达式的值，属于基础题. 7.己知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是（）A. 1()sin 1x x e f x x e -=⋅+B. 1()sin 1xx e f x x e -=⋅+C. 1()cos 1x x e f x x e -=⋅+D. 1()cos 1xxe f x x e-=⋅+ 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数的图像关于y 轴对称可得()f x 为偶函数，故排除CD ，再根据在()0,π内恒为正可得正确选项. 【详解】因为()f x 的图像关于y 轴对称，故()f x 为偶函数，对于C ，()()11()cos cos 11x x x x e e f x x x f x e e -----=⋅-=-=-++，故该函数为奇函数，不符合，故C 错；同理D 错.对于A ，令()()()()111sin sin sin 111x x x x x x e e e x x x f x e e f x e -----⋅-=--=⋅=⎡⎤⎣⎦+++-=， 故()f x 为偶函数，当0x >时，令()0f x >，则()2,2,x k k k N πππ∈+∈， 取0k =，则()f x 在()0,π为正，这与图像符合. 对于D ，同理可判断()f x 为偶函数，当0x >时，令()0f x >，则()*2,2,x k k k N πππ∈-∈，这与图像不符合.综上，选A.【点睛】本题为图像识别题，考查我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从函数的图像中得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值的正负等性质，从而选出正确的函数． 8.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，512BC AC -=.根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）125- B. 35+ C. 51+ D. 45+【答案】C 【解析】 【分析】要求sin 234︒的值，需将角234︒用已知角表示出来，从而考虑用三角恒等变换公式解题．已知角有36︒，正五边形内角108︒，72ACB ∠=︒，已知三角函数值有1512cos724BCAC -︒==，所以234=272+90=144+90︒⨯︒︒︒︒，从而sin 234=cos144︒︒． 【详解】由题可知72ACB ∠=︒，且1512cos724BCAC -︒==，251cos1442cos 7214+︒=︒-=-， 则()51sin 234sin 14490cos144+︒=︒+︒=︒=-. 【点睛】本题考查三角恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力.9.若x ，y 满足约束条件220330240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，目标函数z ax y =+仅在点（2，0）处取得最小值，则实数a 的取值范围是 （） A. 1(2,)2- B. 1100,32U （-，）（）C. 1(0,)2D. 11(,)32-【答案】A 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，由z ax y =+变形得y ax z =-+再利用z 的几何意义求最值，只需利用直线之间的斜率间的关系即可.【详解】如图，可行域为△ABC.当0a =时，符合题意；当0a >时，由z ax y =+变形得y ax z =-+，可知12a >--，得102a <<；当0a <时，由z ax y =+变形得y ax z =-+，可知2a <-，得一2<a<0；综上得122a <<-.故选A.【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和分类讨论的数学思想方法，是中档题．10.已知平面向量PA u u u r ，PB u u u r 满足1PA PB u u u v u u u v ==，12PA PB ⋅=-u u u r u u u r ，若||1BC =u u u r ，则||AC u u u r 的最大值为（ ）A. 21-B. 31-C. 21+D. 31+【答案】D 【解析】因为11,2PA PB PA PB ==⋅=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，所以1cos 2APB ∠=-，即23APB π∠=，由余弦定理可得1+113AB =+=33(A B ，由题设点(,)C x y 在以3,0)2B 为圆心，半径为1的圆上运动，结合图形可知：点(,)C x y 运动到点D 时，max ||131AC AD AB ==+=，应选答案D 。
2020新高考数学二轮复习：指导六 手热心稳·实战演练
Ⅰ：高考客观题(12＋4)·提速练(一)限时40分钟 满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合M ＝{x |x ＋3＜2x 2}，N ＝{x |－2≤x ＜1}，则M ∩N ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－32，1 B.⎣⎡⎭⎫－2，－32 C ．[－2，－1)D ．[－2,3)解析：C [解法一 由x ＋3＜2x 2，得2x 2－x －3＞0，即(x ＋1)(2x －3)＞0，得x ＜－1或x ＞32.所以M ＝(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞.又N ＝[－2,1)，所以M ∩N ＝[－2，－1)．故选C. 解法二 因为1∉N ，所以排除D 项；因为0＋3＜2×02不成立，所以0∉M ，所以排除A 项；因为－32＋3＜2×⎝⎛⎭⎫－322成立，所以－32∈M ，又－32∈N ，所以－32∈M ∩N ，故排除B.综上，选C.]2．已知复数z ＝(a 2－3a ＋2)＋(a 2－a )i(a ∈R )为纯虚数，则z1＋3i ＝( )A.35＋15iB.35－15i C ．3－iD ．3＋i解析：A [由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a 2－a ≠0，解得a ＝2，所以z ＝2i ，故z 1＋3i ＝2i1＋3i ＝2i (1－3i )(1＋3i )(1－3i )＝6＋2i 10＝35＋15i.故选A.]3.2019年全国两会(即中华人民共和国第十三届全国人民代表大会第二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国委员会第二次会议)于3月份在北京召开．代表们提交的议案都是经过多次修改．为了解代表们的议案修改次数，某调查机构采用随机抽样的方法抽取了120份议案进行调查，并进行了统计，将议案的修改次数分为6组：[0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30]，得到如图所示的频率分布直方图．则这120份议案中修改次数不低于15次的份数为( )A ．40B ．60C ．80D ．100解析：B [由频率分布直方图可知，议案修改次数不低于15次的频率为(0.06＋0.03＋0.01)×5＝0.5，所以这120份议案中修改次数不低于15次的份数为120×0.5＝60.故选B.]4．已知角α的顶点在坐标原点O ，始边与x 轴的正半轴重合，将终边按逆时针方向旋转π4后经过点P (2，1)，则cos 2α＝( ) A.23B ．－223C ．－23D.223解析：D [由题意，将角α的终边按逆时针方向旋转π4后所得角为α＋π4.因为|OP |＝(2)2＋12＝3，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13＝33，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝23＝63.故cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2×33×63＝223.故选D.] 5．(多选题)已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，则( ) A ．πe <3e B ．3e －2π<3πe －2 C ．log πe<log 3eD ．πlog 3e>3log πe解析：CD [本题考查利用函数的单调性比较大小．已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，∴π>3>e>2，∴⎝⎛⎭⎫π3e >1，πe >3e ，故A 错误；∵0<3π<1,1>e －2>0，∴⎝⎛⎭⎫3πe －2>3π，∴3e －2π>3πe －2，故B 错误；∵π>3，∴log πe<log 3e ，故C 正确；由π>3，可得log 3e>log πe ，则πlog 3e>3log πe ，故D 正确．故选CD.]6.如图是以AB 为直径的半圆，且AB ＝8，半径OB 的垂直平分线与圆弧交于点P ，PQ →＋DQ →＝0，则AQ →·BQ →＝( )A ．9B ．15C ．－9D ．－15解析：C [通解 连接OP ，由已知，得OD ＝DB ＝14AB ＝2，所以DP ＝OP 2－OD 2＝42－22＝2 3.由PQ →＋DQ →＝0可得Q 为线段PD 的中点，故DQ ＝12DP ＝ 3.因为AQ →＝AD →＋DQ →，BQ →＝BD →＋DQ →，所以AQ →·BQ →＝(AD →＋DQ →)·(BD →＋DQ →)＝AD →·BD →＋AD →·DQ →＋DQ →·BD →＋DQ →·DQ →＝6×2cos π＋0＋0＋(3)2＝－9.优解 以O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (－4,0)，B (4,0)，由PQ →＋DQ →＝0，设Q (2，m )，则有P (2,2m )，22＋(2m )2＝42，m 2＝3，又AQ →＝(6，m )，BQ →＝(－2，m )，所以AQ →·BQ →＝(6，m )·(－2，m )＝－12＋m 2＝－9.]7．函数f (x )＝cos (πx )e x －e－x 的大致图象有( )解析：C [由e x －e －x ≠0，解得x ≠0，所以函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除B 项．因为f (－x )＝cos[π(－x )]e －x －e －(－x )＝cos (πx )－(e x －e －x )＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，又f (1)＝cos πe 1－e －1＝－1e 1－e－1＜0，故排除A 项．设g (x )＝e x －e －x ，显然该函数单调递增，故当x ＞0时，g (x )＞g (0)＝0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，y ＝cos(πx )＞0，故f (x )＞0，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，32时，y ＝cos(πx )＜0，故f (x )＜0，所以排除D 项．综上，选C.]8．已知函数f (x )＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的图象经过点⎝⎛⎭⎫0，－12，将该函数的图象向右平移π3个单位长度后所得函数g (x )的图象关于原点对称，则ω的最小值是( )A.52 B ．2 C ．3D.83解析：A [由已知得f (x )＝sin(ωx ＋φ)，f (0)＝－12，得sin φ＝－12，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6.将该函数图象向右平移π3个单位长度后得函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π3－π6＝sin ⎣⎡⎦⎤ωx －⎝⎛⎭⎫ωπ3＋π6的图象．由已知得函数g (x )为奇函数，所以ωπ3＋π6＝k π(k ∈Z )，解得ω＝3k －12(k ∈Z )．因为ω＞0，所以ω的最小值为52.]9．(2020·重庆市模拟)已知四棱锥S －ABCD 的所有顶点在同一球面上，底面ABCD 是正方形且球心O 在此平面内，当四棱锥体积取得最大值时，其面积等于16＋163，则球O 的体积等于( )A.42π3B.162π3C.322π3D.642π3解析：D [由题意，当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥， ∵该四棱锥的表面积等于16＋163，设球O 的半径为R ，则AC ＝2R ，SO ＝R ，如图， ∴该四棱锥的底面边长为AB ＝2R ， 则有(2R )2＋4×12×2R ×⎝⎛⎭⎫22R 2＋R 2＝16＋163， 解得R ＝22，∴球O 的体积是43πR 3＝6423π.故选D.]10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b ＜4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则△ABC 的面积为( )A ．10 3B ．6 3C ．5 3D ．2 3解析：B [∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin(B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝60°.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b ＜4，∴b ＝3，∴△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×8×3×32＝6 3.]11．已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线交双曲线的左支于点M ，交双曲线的右支于点N ，且MF 2⊥NF 2，|MF 2|＝|NF 2|，则该双曲线的离心率是( )A. 3B. 2C. 5D.2＋1解析：A [由题意可设|MF 2|＝|NF 2|＝m ，由点M 在双曲线的左支上，得|MF 2|－|MF 1|＝2a ，所以|MF 1|＝m －2a .由点N 在双曲线的右支上，得|NF 1|－|NF 2|＝2a ，所以|NF 1|＝m ＋2a .因为MF 2⊥NF 2，所以|MN |＝2m ，由|NF 1|＝|MF 1|＋|MN |，得m ＋2a ＝m －2a ＋2m ，所以m ＝22a .解法一 如图，在△MF 1F 2中，|MF 1|＝m －2a ＝(22－2)a ，|MF 2|＝m ＝22a .易知|F 1F 2|＝2c ，∠F 1MF 2＝135°，所以由余弦定理得4c 2＝8a 2＋(22－2)2a 2－2×22a ×(22－2)a ×cos 135°，得c 2＝3a 2，所以e ＝c a＝ 3.故选A.解法二 在△NF 1F 2中，|NF 1|＝m ＋2a ＝(22＋2)a ，|NF 2|＝22a ，|F 1F 2|＝2c ，∠F 1NF 2＝45°，所以由余弦定理得4c 2＝8a 2＋(22＋2)2a 2－2×22a ×(22＋2)a ×cos 45°，得c 2＝3a 2，所以e ＝ca＝ 3.故选A.]12．已知函数f (x )＝1＋ln xe x，若方程[f (x )]2＋(1－a )f (x )－a ＝0有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫1eB ．(－∞，－1)∪(]－1，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫1eC ．(－∞，0]D ．(－∞，－1)∪(－1,0]解析：B [设t ＝f (x )，则方程为t 2＋(1－a )t －a ＝0，即(t －a )(t ＋1)＝0，解得t ＝a 或t ＝－1.函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ·e x －e x (1＋ln x )(e x )2＝1x －1－ln x e x .设g (x )＝1x －1－ln x ，显然该函数在(0，＋∞)上单调递减，且g (1)＝0，故当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，且当x →0时，f (x )→－∞，当x →＋∞时，f (x )→0.如图，作出函数f (x )的大致图象．作出直线y ＝t ，由图可知当t ＞1e 时，直线y ＝t 与函数f (x )的图象没有交点；当t ＝1e 或t ≤0时，直线y ＝t 与函数f (x )的图象只有一个交点；当0＜t ＜1e 时，直线y ＝t 与函数f (x )的图象有两个交点．所以方程f (x )＝－1只有一个解，若a ＝－1，则原方程有两个相同的实数根，不符合题意，则a ≠－1，故由题意可得方程f (x )＝a 只有一个解，所以a ＝1e或a ≤0，且a ≠－1，故实数a 的取值范围为(－∞，－1)∪(－1,0]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e .]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知二项式⎝⎛⎭⎫x 2－12x n 的展开式中所有项的系数之和为132，则展开式中x 的系数为____．解析：根据题意，令x ＝1，得⎝⎛⎭⎫1－12n ＝132，即⎝⎛⎭⎫12n ＝132，解得n ＝5，故展开式的通项公式为C r 5(x 2)5－r ⎝⎛⎭⎫－12x r ＝C r 5⎝⎛⎭⎫－12r x 10－3r .令10－3r ＝1，得r ＝3，则展开式中x 的系数为C 35×⎝⎛⎭⎫－123＝－54. 答案：－5414．已知P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －25y ＋8＝0上一动点，P 关于y 轴的对称点为M ，关于直线y ＝x 的对称点为N ，则|MN |的取值范围是________．解析：由题可得，圆C ：(x ＋2)2＋(y －5)2＝1，圆心为C (－2，5)，半径r ＝1.设P (x ，y )，则M (－x ，y )，N (y ，x )．|MN |＝(x ＋y )2＋(x －y )2＝2·x 2＋y 2＝2|OP |，易知|OC |－r ≤|OP |≤|OC |＋r ，|OC |＝3，所以2≤|OP |≤4,22≤|MN |≤42，所以|MN |的取值范围是[22，42]．答案：[22，42] 15.如图，四棱台A 1B 1C 1D 1－ABCD 的底面是正方形，DD 1⊥底面ABCD ，DD 1＝AB ＝2A 1B 1，则异面直线AD 1与BC 1所成角的余弦值为________．解析：设AB 的中点为E ，连接ED 1，则易知BE ∥C 1D 1，BE ＝C 1D 1，∴四边形EBC 1D 1是平行四边形，∴BC 1∥ED 1，∴∠AD 1E 为异面直线AD 1与BC 1所成的角．∵四边形ABCD 是正方形，∴BA ⊥AD ，∵DD 1⊥底面ABCD ，∴BA ⊥DD 1，∴BA ⊥平面AA 1D 1D ，∴BA ⊥AD 1，△AED 1是直角三角形．设DD 1＝AB ＝2A 1B 1＝2a ，则AD 1＝AD 2＋DD 21＝(2a )2＋(2a )2＝22a ，ED 1＝AD 21＋AE 2＝(22a )2＋a 2＝3a ，∴cos ∠AD 1E ＝AD 1ED 1＝223.答案：22316．(2019·北京市顺义区第二次统考)已知拋物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点和双曲线x 2－y 23＝1右焦点F 2重合，则拋物线的方程为____________；P 为拋物线和双曲线的一个公共点，则点P 与双曲线左焦点F 1之间的距离为________．解析：易知双曲线x 2－y 23＝1的右焦点F 2的坐标为(2,0)，左焦点F 1的坐标为(－2,0)，则拋物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为(2,0)，则p2＝2，解得p ＝4，所以拋物线的方程为y 2＝8x .设点P 的坐标为(x 0，y 0)，易知x 0＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x 2－y 23＝1得3x 2－8x －3＝0，解得x 0＝3，则P (3,26)或P (3，－26)，则点P 与双曲线左焦点F 1(－2,0)之间的距离为[3－(－2)]2＋(±26)2＝7. 答案：y 2＝8x ；7高考客观题(12＋4)·提速练(二) 限时40分钟 满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合A ＝{－1,2}，B ＝{0,2}，则A ∪B 的子集个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析：D [由题意知A ∪B ＝{－1,0,2}，所以A ∪B 的子集个数为23＝8.故选D.] 2．已知复数z ＝21－i＋2i 3，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：A [z ＝21－i ＋2i 3＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )－2i ＝1＋i －2i ＝1－i ，∴z ＝1＋i ，∴复数z 在复平面内对应点的坐标为(1,1)，位于第一象限．故选A.]4．(2019·湖南永州一模)已知数列{a n }是等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，给出下列结论：①a 10＝0；②S 10最小；③S 7＝S 12；④S 20＝0.其中一定正确的结论是( ) A ．①② B ．①③④ C ．①③D ．①②④解析：C [设数列{a n }的公差为d ，因为a 1＋5a 3＝S 8，所以a 1＋5a 1＋10d ＝8a 1＋28d ，a 1＝－9d ，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －10)d ，所以a 10＝0，故①一定正确．S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝－9nd ＋n (n －1)d 2＝d 2(n 2－19n )，所以S 7＝S 12，故③一定正确．显然②与④不一定正确．故选C.]5．已知△ABC 中，E 为中线BD 的中点，AE →＝xBC →＋yBA →，则3x ＋y ＝( ) A ．0B ．1C ．2D ．－1解析：A [依题意可得，AE →＝BE →－BA →＝12BD →－BA →＝14(BC →＋BA →)－BA →＝14BC →－34BA →，所以x ＝14，y ＝－34，所以3x ＋y ＝0.故选A.] 6．(2019·厦门市一模)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )A.25B.35C.18125D.54125解析：D [袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率p 1＝35，∴3次恰有2次抽到黄球的概率是：P ＝C 23⎝⎛⎭⎫352×⎝⎛⎭⎫1－35＝54125.故选D.] 7．已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω＞0)在平面直角坐标系中的部分图象如图所示，若平行四边形ABCD 的面积为323，则函数f (x )的图象在y 轴右侧且离y 轴最近的一条对称轴的方程为( )A ．x ＝23B ．x ＝43C ．x ＝2D ．x ＝83解析：A [设函数f (x )的最小正周期为T .因为平行四边形ABCD 的面积为323，结合三角函数图象可知2×23×T ＝323，得T ＝8，所以ω＝2πT ＝π4，所以f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π3，令π4x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝23＋4k ，k ∈Z .故选A.] 8.如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为( )A ．24－3πB ．24－πC ．24＋πD ．24＋5π解析：B [由题意知该几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体某个顶点为球心，2为半径的18球后的剩余部分，则其表面积S ＝6×22－3×14×π×22＋18×4×π×22＝24－π.故选B.]9．(多选题)已知函数f (x )及其导函数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －x C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x解析：AC [本题考查导数的运算法则．若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，方程显然有解，故A 符合要求；若f (x )＝e －x ，则f ′(x )＝－e －x ，令e －x ＝－e －x ，此方程无解，故B 不符合要求；若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，令ln x ＝1x ，在同一直角坐标系内作出函数y ＝ln x 与y ＝1x 的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f (x )＝f ′(x )存在实数解，故C 符合要求；若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝1cos 2x ，令tan x ＝1cos 2x ，化简得sin x cos x ＝1，变形可得sin 2x ＝2，无解，故D 不符合要求，故选AC.]10．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，且c ＝2，sin C ＝35，则△ABC 的面积为( )A ．3 B.23 C ．3或13D ．6或23解析：C [由a cos A ＝b cos B 得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B .∵A ，B ∈(0，π)，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，又sin C ＝35，∴△ABC 只能是等腰三角形．当C 为锐角时，∵sin C ＝35，∴cos C ＝45，∴sin C 2＝1010＝c 2a ＝c2b ，由c ＝2得b ＝a ＝10，∴△ABC 中AB 边上的高为3，∴△ABC 的面积为12×2×3＝3.当C 为钝角时，∵sin C ＝35，∴cos C ＝－45，∴sin C 2＝31010＝c 2a ＝c2b ，由c ＝2得b ＝a ＝103，∴△ABC 中AB 边上的高为13，∴△ABC 的面积为12×2×13＝13.综上，△ABC 的面积为3或13.故选C.]11．已知P 为双曲线y 23－x 2＝1上一点，若以OP (O 为坐标原点)为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A.52 B ．2 C.32D ．1解析：C [由题意知，双曲线y 23－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，O ，P ，A ，B 四点共圆，设该圆的半径为R ，易知∠AOB ＝π3，可得|AB |sin π3＝2R ，故|AB |＝3R ，故要求|AB |的最小值，只需求R 的最小值即可，显然当点P 位于双曲线的顶点时，|OP |最小，即R 最小，且R min ＝|OP |2＝32，故|AB |min ＝3R min ＝32.故选C.] 12．已知函数f (x )＝e x ＋e －x ＋2cos x ，其中e 为自然对数的底数，则对任意a ∈R ，下列不等式一定成立的是( )A ．f (a 2＋1)≥f (2a )B ．f (a 2＋1)≤f (2a )C ．f (a 2＋1)≥f (a ＋1)D ．f (a 2＋1)≤f (a )解析：A [本题主要考查函数的奇偶性、单调性以及导数与函数的关系，考查考生转化问题的能力和计算能力，考查的核心素养是数学运算和逻辑推理．依题意可知，f (x )＝e x ＋e－x＋2cos x ＝f (－x )，所以f (x )是偶函数，f ′(x )＝e x －e －x －2sin x ，且f ′(0)＝0，令h (x )＝f ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋e －x －2cos x ，当x ∈[0，＋∞)时，h ′(x )＝e x ＋e －x －2cos x ≥0恒成立，所以f ′(x )＝e x －e －x －2sin x 在[0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )≥0在x ∈[0，＋∞)上恒成立，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又函数f (x )是偶函数，(a 2＋1)2－4a 2＝(a 2－1)2≥0，所以f (a 2＋1)≥f (2a )，故选A.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________.解析：通解：令x ＞0，则－x ＜0. ∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.又∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝2x 3－x 2(x ＞0)． ∴f (2)＝2×23－22＝12.优解：f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12. 答案：1214．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝________.解析：∵a 3·a 9＝a 26，∴a 26＝2a 25，设等比数列{a n }的公比为q ，因此q 2＝2，由于q ＞0，解得q ＝2，∴a 1＝a 2q ＝12＝22.答案：2215．已知三棱锥S ABC ，△ABC 是直角三角形，其斜边AB ＝8，SC ⊥平面ABC ，SC ＝6，则三棱锥S ABC 的外接球的表面积为________．解析：将三棱锥S ABC 放在长方体中(图略)，易知三棱锥S ABC 所在长方体的外接球，即为三棱锥S ABC 的外接球，所以三棱锥S ABC 的外接球的直径2R ＝AB 2＋SC 2＝10，即三棱锥S ABC 的外接球的半径R ＝5，所以三棱锥S ABC 的外接球的表面积S ＝4πR 2＝100π.答案：100π16．已知拋物线C ：y 2＝2px 的焦点是F ，过F 且斜率为1的直线l 1与拋物线交于A ，B 两点，分别从A ，B 两点向直线l 2：x ＝－4作垂线，垂足分别是D ，C ，若四边形ABCD 的周长为36＋82，则拋物线的标准方程为________．解析：易知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，则直线l 1的方程为y ＝x －p 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2，得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p .∵|AD |＝x 1＋4，|BC |＝x 2＋4，∴|AD |＋|BC |＝x 1＋x 2＋8＝3p ＋8.又|CD |＝|AB |sin 45°＝4p ·22＝22p ，且四边形ABCD 的周长为36＋82，∴4p ＋3p ＋8＋22p ＝36＋82，∴p ＝4，故拋物线的方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x高考客观题(12＋4)·提速练(三) 限时40分钟 满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x ＋1)}，B ＝{x ||x |＜2}，则A ∩B 等于( ) A ．(－2,0) B ．(0,2) C ．(－1,2)D ．(－2，－1)解析：C [由x ＋1＞0，得x ＞－1，∴A ＝(－1，＋∞)， B ＝{x ||x |＜2}＝(－2,2)，∴A ∩B ＝(－1,2)．故选C.]2．已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2等于( ) A ．－2i B ．2i C ．－2D ．2解析：A [解法一 z ＝1＋i i ＝(1＋i )(－i )i (－i )＝1－i ，z 2＝(1－i)2＝－2i.解法二 (z i)2＝(1＋i)2，－z 2＝2i ，z 2＝－2i.故选A.]4．(2019·呼和浩特市一模)下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递减的函数是( )A ．y ＝－x 3B ．y ＝2|x |C ．y ＝x －2D ．y ＝log 3(－x )解析：B [选项A ，函数是奇函数，不满足条件；选项B ，函数是偶函数，当x ＜0时，y ＝2|x |＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，满足条件；选项C ，函数是偶函数，当x ＜0时，y ＝x －2＝1x 2是增函数，不满足条件；选项D ，函数的定义域为(－∞，0)，不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足条件．故选B.]5．(2019·龙岩市模拟)党的十八大以来，脱贫攻坚取得显著成绩.2013年至2016年4年间，累计脱贫5 564万人，2017年各地根据实际进行创新，精准、高效地完成了脱贫任务．某地区对当地3 000户家庭的2017年的年收入情况调查统计，年收入的频率分布直方图如图所示，数据(单位：千元)的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，则年收入不超过6万的家庭大约为( )A ．900户B ．600户C ．300户D ．150户解析：A [由频率分布直方图得：年收入不超过6万的家庭所占频率为：(0.005＋0.010)×20＝0.3，∴年收入不超过6万的家庭大约为0.3×3 000＝900.故选A.]6．(2019·贵州贵阳适应性考试)设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下面四个命题：①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n ；③若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n ；④若α∥β，γ∩α＝m ，γ∩β＝n ，则m ∥n .其中是真命题的序号是( ) A ．①④ B ．①② C ．②③④D ．④解析：D [对于①，垂直于同一个平面的两个平面可能相交，故命题①是假命题；对于②，分别在两个互相垂直的平面内的两条直线可能互相平行，可能相交，也可能异面，故命题②是假命题；对于③，直线m 与n 可能异面，故命题③是假命题；对于④，由面面平行的性质定理知命题④是真命题．故选D.也可在判断出命题①②是假命题之后直接排除A ，B ，C ，从而选D.]7．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 的图象是( )解析：B [因为f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x ，所以x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x ＞0，解得－1＜x ＜0或x ＞1，所以函数的定义域为(－1,0)∪(1，＋∞)，可排除A ，D.因为函数u ＝x －1x在(－1,0)和(1，＋∞)上单调递增，函数y ＝ln u 在(0，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数f (x )在(－1,0)和(1，＋∞)上单调递增．]8．《周髀算经》是中国古代的天文学和数学著作．其中一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同)．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(注：一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的节气(小暑)晷长为( )A ．五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．一丈二尺五寸解析：A [设晷长为等差数列{a n }，公差为d ，a 1＝135，a 13＝15，则135＋12d ＝15，解得d ＝－10.∴a 14＝135－10×13＝5，∴夏至之后的节气(小暑)的晷长是5寸．故选A.] 9．已知函数f (x )＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－cos 2x ＋12(x ∈R )，则下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π2B ．函数f (x )的图象关于y 轴对称C ．点⎝⎛⎭⎫π6，0为函数f (x )图象的一个对称中心D ．函数f (x )的最大值为12解析：D [函数f (x )＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－cos 2x ＋12＝32⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3－1＋cos 2x 2＋12 ＝34sin 2x ＋14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6(x ∈R )，由ω＝2知，f (x )的最小正周期为π，A 错误； ∵f (0)＝12sin π6＝14不是最值，∴f (x )的图象不关于y 轴对称，B 错误； ∵f ⎝⎛⎭⎫π6＝12sin π2＝12≠0，∴点⎝⎛⎭⎫π6，0不是函数f (x )图象的一个对称中心，C 错误； ∵sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－1,1]， ∴f (x )的最大值是12，D 正确．故选D.]10．如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述正确的是( )①2017年第一季度GDP 总量和增速均居同一位的省只有1个； ②与去年同期相比，2017年第一季度五个省的GDP 总量均实现了增长； ③去年同期的GDP 总量前三位是江苏、山东、浙江； ④2016年同期浙江的GDP 总量也是第三位． A ．①② B ．②③④ C ．②④D ．①③④解析：B [总量排序为：江苏，山东，浙江，河南，辽宁；增速排序为：江苏，辽宁，山东，河南，浙江；则总量和增速均居同一位的省有河南，江苏两省，说法①错误；与去年同期相比，2017年第一季度五个省的GDP 总量均实现了增长，说法②正确；去年同期的GDP 总量前三位是江苏，山东，浙江，说法③正确；2016年的GDP 总量计算为： 浙江：4 632.11＋3.3%，江苏： 6 653.21＋10.2%，河南：4 067.41＋6.6%，山东：6 469.31＋7%，辽宁：2 642.21＋9.6%，据此可知，2016年同期浙江的GDP 总量也是第三位，说法④正确．]11．过双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1作曲线C 2：x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为M ，延长F 1M 交曲线C 3：y 2＝2px (p ＞0)于点N ，其中C 1，C 3有一个共同的焦点，若|MF 1|＝|MN |，则曲线C 1的离心率为( )A. 5B.5－1C.5＋1D.5＋12解析：D [设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点为F 2(c,0)，因为曲线C 1，C 3有一个共同的焦点，所以y 2＝4cx .因为O 为F 1F 2的中点，M 为F 1N 的中点，所以OM 为△F 1F 2N 的中位线，即OM ∥NF 2，且|OM |＝12|NF 2|，因为|OM |＝a ，所以|NF 2|＝2a ，因为OM ⊥NF 1，所以NF 2⊥NF 1，又|F 1F 2|＝2c ，所以|NF 1|＝2b .设N (x ，y )，过点F 1作x 轴的垂线，则由拋物线的定义得x ＋c ＝2a ，即x ＝2a －c ， 过点N 作NP ⊥x 轴于点P ，则在Rt △NPF 1中，由勾股定理，得y 2＋4a 2＝4b 2，即4c (2a －c )＋4a 2＝4(c 2－a 2)，即e 2－e －1＝0，且e ＞1，解得e ＝1＋52.故选D.]12．以区间(0，m )内的整数(m ＞1，且m ∈N )为分子，以m 为分母的分数组成集合A 1，其所有元素之和为a 1；以区间(0，m 2)内的整数(m ＞1，且m ∈N )为分子，以m 2为分母组成不属于A 1的分数集合A 2，其所有元素之和为a 2……以此类推，以区间(0，m n )内的整数(m ＞1，且m ∈N )为分子，以m n 为分母组成不属于集合A 1，A 2，…，A n －1的分数集合A n ，其所有元素之和为a n ，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝( )A.m n ＋12B.m n －12C.m n 2D.n 2解析：B [由题意得a 1＝1m ＋2m ＋…＋m －1m ，a 2＝1m 2＋2m 2＋…＋m 2－1m 2－a 1，a 3＝1m 3＋2m 3＋…＋m 3－1m3－a 2－a 1，所以a n ＝1m n ＋2m n ＋…＋m n －1mn －a n －1－a n －2－…－a 2－a 1，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1m n ＋2m n ＋…＋m n －1m n ＝1m n [1＋2＋…＋(m n－1)]＝1m n ·(m n －1)(1＋m n －1)2＝m n －12.故选B.] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·信阳市质检)直线ax ＋by ＋c ＝0与圆C ：x 2－2x ＋y 2＋4y ＝0相交于A ，B 两点，且|AB →|＝15，则CA →·CB →＝________.解析：圆C ：x 2－2x ＋y 2＋4y ＝0⇔(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，如图，过C 作CD ⊥AB 于D ，|AB |＝2|AD |＝2|AC |·sin ∠CAD ， ∴15＝2×5×sin ∠CAD ，∴∠CAD ＝30°， ∴∠ACB ＝120°，则CA →·CB →＝5×5×cos 120°＝－52.答案：－5214．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖(每人一次)，则恰好有3人获奖的概率是________．(用数字作答)解析：由题意得任取两球有C 26种情况，取出两球号码之积是4的倍数的情况为(1,4)，(2,4)，(3,4)，(2,6)，(4,6)，(4,5)共6种情况，故每人摸球一次中奖的概率为6C 26＝25，故4人中有3人中奖的概率为C 34⎝⎛⎭⎫253×35＝96625. 答案：9662515．甲、乙两人玩报数游戏，其规则是：两人从1开始轮流连续报数，每人每次最少报2个，最多可以报5个(如第一个人先报“1,2”，则另一个人可以有“3,4”“3,4,5”“3,4,5,6”“3,4,5,6,7”“3,4,5,6,7,8”五种报数方法)．抢先报到“110”的人获胜．如果从甲开始，那么甲要想必胜，第一次报的数应该是________．解析：因为110＝7×15＋5，所以只要甲先报“1,2,3,4,5”，之后不管乙报几个数，甲报的数的个数与乙报的数的个数的和为7即可保证甲必胜．所以甲要想必胜，第一次报的数应该是1,2,3,4,5. 答案：1,2,3,4,516．(双空填空题)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，－2x ，x <0.若f (x )≤1，则实数x 的取值范围是________；若方程f (x )－kx ＝3有三个相异的实根，则实数k 的取值范围是________．解析：本题考查利用数形结合思想研究函数的零点．当x ≥0时，f (x )≤1即－x 2＋2x ≤1，即(x －1)2≥0，则x ≥0成立；当x <0时，f (x )≤1即－2x ≤1，解得－12≤x <0.综上，实数x 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞.由题意，方程f (x )－kx ＝3即f (x )＝kx ＋3有三个相异的实根，则函数y ＝f (x )和y ＝kx ＋3的图象有三个不同的交点．作出函数y ＝f (x )的图象如图所示．由题意知直线y ＝kx ＋3和y ＝－2x (x <0)的图象必有一个交点，所以－2<k <0，则y ＝kx ＋3与y ＝－x 2＋2x (x ≥0)的图象必有两个交点．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，y ＝－x 2＋2x (x ≥0)，整理得x 2＋(k －2)x ＋3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(k －2)2－12>0，2－k >0，解得k <2－2 3.所以实数k 的取值范围是(－2,2－23)．答案：⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ (－2,2－23) 高考客观题(12＋4)·提速练(四) 限时40分钟 满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设集合A ＝{－2，－1,1,2}，B ＝{－3，－1,0,2}，则A ∩B 的元素的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．1解析：A [A ＝{－2，－1,1,2}，B ＝{－3，－1,0,2}， 则A ∩B ＝{－1,2}，含有2个元素，故选A.]2．i 是虚数单位，若2＋i1＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则lg(a ＋b )的值是( )A ．2B ．1C ．0D.12解析：C [因为2＋i 1＋i ＝(2＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－i 2＝a ＋b i ，所以a ＝32，b ＝－12.所以lg(a ＋b )＝lg 1＝0.故选C.]3．已知a ＞b ，则“c ≥0”是“ac ＞bc ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：B [当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2＞b ＝1，c ＝0时，ac ＞bc 不成立，所以充分性不成立，当⎩⎪⎨⎪⎧ac ＞bc ，a ＞b 时，c ＞0成立，c ≥0也成立，所以必要性成立，所以“c ≥0”是“ac ＞bc ”的必要不充分条件．]4．要得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，只需将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象( )A ．向右平移π6个单位B ．向左平移π6个单位C ．向右平移π3个单位D ．向左平移π3个单位解析：B [y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，将其图象向左平移π6个单位，可得y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，故选B.] 5．(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60解析：C [(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5的展开式中只有C 25(x 2＋x )3y 2中含x 5y 2，易知x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C.]6.(2019·辽宁丹东测试)图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数S ＝S (a )(a ≥0)是图中阴影部分介于平行线y ＝0及y ＝a 之间的那一部分的面积，则函数S (a )的图像大致为( )解析：C [根据图形可知在[0,1]上面积增长的速度变慢，在图像上反映出切线的斜率在变小，可排除A ，B ；在[1,2]上面积增长速度恒定，在[2,3]上面积增长速度恒定，而在[1,2]上面积增长速度大于在[2,3]上面积增长速度，可排除D ，故选C.]7．设A (0,1)，B (1,3)，C (－1,5)，D (0，－1)，则AB →＋AC →等于( ) A ．－2AD →B ．2AD →C ．－3AD →D ．3AD →解析：C [因为A (0,1)，B (1,3)，C (－1,5)，D (0，－1)， 所以AB →＝(1,2)，AC →＝(－1,4)，AD →＝(0，－2)， 所以AB →＋AC →＝(0,6)＝－3(0，－2)＝－3AD →，故选C.]8．已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，a 5＋a 7－a 26＝0，则S 11的值为( ) A ．11 B ．12 C ．20D ．22解析：D [设等差数列的公差为d (d ＞0)，则由(a 1＋4d )＋(a 1＋6d )－(a 1＋5d )2＝0，得(a 1＋5d )(a 1＋5d －2)＝0，所以a 1＋5d ＝0或a 1＋5d ＝2，又a 1＞0，所以a 1＋5d ＞0，则a 1＋5d ＝2，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d )＝11×2＝22，故选D.]9．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线分别交双曲线左、右两支于点M ，N ，连接MF 2，NF 2，若MF 2→·NF 2→＝0，|MF 2→|＝|NF 2→|，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3C. 5D. 6解析：B [由MF 2→·NF 2→＝0，知MF 2→⊥NF 2→.又|MF 2→|＝|NF 2→|，则|MF 2→|＝|NF 2→|＝22|MN →|，且∠F 1NF 2＝45°.由双曲线的定义得⎩⎪⎨⎪⎧|MF 2→|－|MF 1→|＝2a |NF 1→|－|NF 2→|＝2a ，两式相加，得|MF 2→|－|NF 2→|＋|MN →|＝4a ，即|MN →|＝4a ，则|NF 2→|＝22a ，所以|NF 1→|＝2a ＋|NF 2→|＝(2＋22)a .在△NF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2→|2＝|NF 1→|2＋|NF 2|2－2|NF 1→|·|NF 2→|cos ∠F 1NF 2，即4c 2＝(22a )2＋(2＋22)2a 2－2×22a ×(2＋22)a ×22，整理，得c 2＝3a 2，所以e 2＝3，即e ＝3，故选B.] 10．(2019·福州市质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：C [设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为⎝⎛⎭⎫12n，由⎝⎛⎭⎫12n ＜11 000得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.]11．已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，沿AD 将△ABC 折成直二面角B －AD －C ，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π解析：C [如图，连接BC ，设四面体ACBD 外接球的球心为O ，AB 的中点为M ，连接MD ，OM ，OD ，∵AD ⊥BD ，∴△ABD 外接圆的圆心为AB 的中点M .∵二面角B －AD －C 为直二面角，且平面ABD ∩平面ACD ＝AD ，CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面ABD ，易知OM ⊥平面ABD ，∴OM ∥CD ，OM ⊥MD .连接OC ，在直角梯形OMDC 中，易得CD ＝2OM .设该外接球的半径为R ，则R 2＝MD 2＋OM 2＝MD 2＋⎝⎛⎭⎫12CD 2＝54，∴该外接球的表面积为4πR 2＝5π，故选C.]12．已知x ∈(0,2)，关于x 的不等式x e x ＜1k ＋2x －x 2恒成立，则实数k 的取值范围为( )A ．[0，e ＋1)B ．[0,2e －1)C ．[0，e)D ．[0，e －1)解析：D [依题意，k ＋2x －x 2＞0，即k ＞x 2－2x 对任意x ∈(0,2)都成立， 所以k ≥0，因为x e x ＜1k ＋2x －x 2，所以k ＜e x x＋x 2－2x ，令f (x )＝e x x ＋x 2－2x ，f ′(x )＝e x (x －1)x 2＋2(x －1)＝(x －1)⎝⎛⎭⎫e x x 2＋2， 令f ′(x )＝0，解得x ＝1，当x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0，函数递增， 当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，函数递减， 所以f (x )的最小值为f (1)＝e －1， 所以0≤k ＜e －1，故选D.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．某企业的4名职工参加职业技能考核，每名职工均可从4个备选考核项目中任意抽取一个参加考核，则恰有一个项目未被抽中的概率为________．解析：由题意得，所有的基本事件总数为44＝256，若恰有一个项目未被抽中，则说明4名职工总共抽取了3个项目，符合题意的基本事件数为C 34·C 13·C 24·A 22＝144，故所求概率p ＝144256＝916. 答案：91614．已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R )，若f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________.解析：f (x )＝ax ln x ＋b 的导数为f ′(x )＝a (1＋ln x )， 由f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程为2x －y ＝0， 易知f (1)＝2，即b ＝2， f ′(1)＝2，即a ＝2，则a ＋b ＝4. 答案：415．在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶上有一个观察站P .上午11时，测得一轮船在岛的北偏东30°，俯角30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛的北偏西60°，俯角60°的C 处，则轮船的航行速度是________千米/时．解析：P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，∠APB ＝60°，∠APC ＝30°，P A ＝1(千米)，AC ＝33千米，AB ＝3千米 从而BC ＝303(千米)， 于是速度v ＝BC ÷16＝230(千米/时)．答案：23016．已知函数f (x )＝|lg x |，a ＞b ＞0，f (a )＝f (b )，则a 2＋b 2a －b 的最小值等于________．解析：作出函数f (x )的草图，如图所示，若f (a )＝f (b )，a ＞b ＞0， 则0＜b ＜1，a ＞1，则f (a )＝|lg a |＝lg a ，f (b )＝|lg b |＝－lg b ，因为f (a )＝f (b )， 所以lg a ＝－lg b ， 即lg a ＋lg b ＝lg(ab )＝0， 解得ab ＝1. 因为a ＞b ＞0， 所以a －b ＞0，所以a 2＋b 2a －b ＝(a －b )2＋2ab a －b ＝a －b ＋2a －b≥2(a －b )·2a －b＝22，当且仅当a －b ＝2a －b ，即a －b ＝2时取等号．故a 2＋b 2a －b 的最小值等于2 2. 答案：2 2Ⅱ：高考中档大题·满分练(一) 限时45分钟 满分46分解答题(本大题共4小题，共46分)1．(12分)已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，且首项a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值．解：(1)根据已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2， 即a n ＋1－a n ＝2＝d ，所以数列{a n }是一个等差数列，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. (2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2.等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3， 所以q ＝3，b n ＝3n －1，数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －12.T n ≤S n 即3n －12≤n 2，又n ∈N *，所以n ＝1或2.2．(12分)(2019·谓南市一模)已知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－cos x . (1)写出f (x )的最小正周期，并求f (x )的最小值；(2)已知a 、b 、c 分别为△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，b ＝53，cos A ＝35且f (B )＝1，求边a 的长．解：f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－cos x ＝3sin x cos π3＋3cos x sin π3－cos x ＝32sin x ＋12cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6； (1)f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π，当x ＋π6＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝－2π3＋2k π，k ∈Z 时，f (x )取得最小值－1；(2)△ABC 中，b ＝53，cos A ＝35，∴sin A ＝1－cos 2A ＝45；又f (B )＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝1，∴B ＋π6＝π2，解得B ＝π3，∴a sin A ＝b sin B ，a 45＝53sin π3，解得a ＝8. 3．(12分)如图1，在等腰梯形PDCB 中，PB ∥DC ，PB ＝3，DC ＝1，∠DPB ＝45°，DA ⊥PB 于点A ，将△P AD 沿AD 折起，构成如图2所示的四棱锥P －ABCD ，点M 在棱PB 上，且PM ＝12MB .(1)求证：PD ∥平面MAC ；(2)若平面P AD ⊥平面ABCD ，求二面角M －AC －B 的余弦值． 解：(1)证明，连接BD 交AC 于点N ，连接MN ，依题意知AB ∥CD ，所以△ABN ∽△CDN ，所以BN ND ＝BACD ＝2，因为PM ＝12MB ，所以BN ND ＝BMMP＝2，所以在△BPD 中，MN ∥PD ， 又PD ⊄平面MAC ，MN ⊂平面MAC . 所以PD ∥平面MAC .(2)因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，P A ⊥AD ，P A ⊂平面P AD ， 所以P A ⊥平面ABCD ， 所以P A ⊥AB ，又AD ⊥AB ，所以P A ，AD ，AB 两两垂直，以A 为坐标原点，分别以AD →，AB →，AP →的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：因为AP ＝AD ＝1，AB ＝2，且PM ＝12MB ，所以A (0,0,0)，B (0,2,0)，P (0,0,1)，M ⎝⎛⎭⎫0，23，23，C (1，1,0)， 所以AP →＝(0,0,1)，AM →＝⎝⎛⎭⎫0，23，23，AC →＝(1,1,0)，因为P A ⊥平面ABCD ， 所以n 1＝AP →＝(0,0,1)为平面ABC 的一个法向量． 设平面MAC 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AM →＝0，n 2·AC →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧23y ＋23z ＝0，x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，z ＝1，所以n 2＝(1，－1,1)为平面MAC 的一个法向量． 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝11×3＝33，所以二面角M －AC －B 的余弦值为33. 4．(12分)随着大数据统计的广泛应用，给人们的出行带来了越来越多的方便．郭叔一家计划在8月11日至8月20日暑假期间游览上海Disney 主题公园．通过上网搜索旅游局的统计数据，该Disney 主题公园在此期间“浏览舒适度”(即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40%以下为舒适，40%～60%为一般，60%以上为拥挤)情况如图所示．郭叔预计随机在8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天．(1)求郭叔连续两天都遇上拥挤的概率．(2)设X 是郭叔游览期间遇上舒适的天数，求X 的分布列和数学期望．(3)由图判断从哪天开始连续三天浏览舒适度的方差最大？(直接写出结论不要求证明，计算)．解：设A i 表示事件“郭叔8月11日起第i 日连续两天游览主题公园”(i ＝1,2，…，9)．根据题意，P (A i )＝19.(1)设B 为事件“郭叔连续两天都遇上拥挤”， 则B ＝A 4∪A 7.所以P (B )＝P (A 4∪A 7)＝P (A 4)＋P (A 7)＝29.(2)由题意，可知X 的所有可能取值为0,1,2， P (X ＝0)＝P (A 4∪A 7∪A 8)＝P (A 4)＋P (A 7)＋P (A 8)＝13，P (X ＝1)＝P (A 3∪A 5∪A 6∪A 9)＝P (A 3)＋P (A 5)＋P (A 6)＋P (A 9)＝49，P (X ＝2)＝P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝29.所以X 的分布列为故X 的期望E (X )＝0×13＋1×49＋2×29＝89.(3)由图可知，8月12,8月13,8月14连续三天游览舒适度的方差最大．高考中档大题·满分练(二) 限时45分钟 满分46分解答题(本大题共4小题，共46分)1．(12分)在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且4sin A cos 2A －3cos(B ＋C )＝sin 3A ＋ 3.(1)求A 的大小；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的取值范围．解：(1)∵A ＋B ＋C ＝π，∴cos(B ＋C )＝－cos A ①， ∵3A ＝2A ＋A ，∴sin 3A ＝sin(2A ＋A )＝sin 2A cos A ＋cos 2A sin A ②， 又sin 2A ＝2sin A cos A ③，cos 2A ＝2cos 2A －1 ④，将①②③④代入已知，得2sin 2A cos A ＋3cos A ＝sin 2A cos A ＋cos 2A sin A ＋3， 整理得sin A ＋3cos A ＝3，即sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝32，又A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，。
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2013年高考数学 考前“保持手感”暨热身训练03 （学生版）
【解题小贴士】
对于 “证明数列”的问题时的思考方向
1、等差数列证明的方向：
（1）定义法：1n n a a d +-=或者1(2)n n a a d n --=≥，一般强调使用前者，使用后者切
忌
必须跟上“2n ≥”这个条件；
（2）中项法：证明数列中任意连续三项满足“122n n n a a a ++=+”，一般证明三个数成等 差数列时使用；
（3）观察法：数列{}n a 的通项公式符合n a dn q =+的形式，或是数列{}n a 的前n 项和公
式符合2n S An Bn =+的形式，我们可以说数列{}n a 是等差数列，此方法适用于选填中
的使用，不能作为大题中的证明根据.
一、选择题
1.(2013年高考考前热身)已知集合},1|{2R x x y y M ∈-==，
}2|{2x y x N -==，则=N M I （ ）
A.),1[+∞-
B.]2,1[-
C. ),2[+∞
D. ϕ
2.(2013年广东高考考前热身)曲线
21x y xe x =++在点（0,1）处的切线方程为( ) A.13+-=x y
B.31y x =+
C.22+=x y
D.22+-=x y
3.（2013届河北省重点中学高三模拟）下列函数中，在(1,1)-内有零点且单调递增的是（ ）
A ．2log (2)y x =+
B ．21x y =-
C ．212y x =-
D ．3y x =-
4.（2013届上海市闸北高三模拟）已知向量a ，b 满足：1||||==b a ，且||3||b k a b a k -=+(0>k )．则向量a 与向量b 的夹角的最大值为 ( )
A ．6π
B.3π
C.65
π
D.32
π
5.（2013届山东省济宁市高三模拟考试）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，12341,4a a a a +=+=，则5678a a a a +++=
A.80
B.20
C.32
D.2553
7.（2013届山东省济宁市高三模拟考试）已知圆22
670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则p 的值为
A.1
B.2
C.12
D.4
8.（2013届北京市顺义区高三模拟考试）在复平面内,复数
i
i +-221对应的点的坐标为 A.()1,0-
B.()1,0
C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54
D.⎪⎭
⎫ ⎝⎛53,54 9.(2013年高考新课标考前训练)执行如图所示的程序框图,如果输入的N 是6,那么输出的p 是( )
A ．120
B.720
C.1440
D.5040
10.(2013年浙江桐乡高三模拟)命题“若|x|+y=0,则y=x 或y=-x ”的否定形式为( )
A ．“若|x|+y=0,则y ≠x 或y ≠-x ”
B ．“若|x|+y=0,则y ≠x 且y ≠-x ”
C ．“若|x|+y ≠0,则y ≠x 或y ≠-x ”
D ．“若|x|+y ≠0,则y ≠x 且y ≠-x ”
二、填空题
11.（2013届上海市杨浦高三一模）设ABC ∆的内角C B A 、、的对边长分别为c b a 、、，
且 c A b B a 5
3cos cos =- ，则B A cot tan 的值是 . 12.（2013届江苏省南通市高三第二次调研测试）设实数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5均不小于1，且x 1·x 2·x 3·x 4·x 5=729，则max{x 1x 2，x 2x 3，x 3x 4，x 4x 5}的最小值是 ．
13.（2013届“华安、连城、永安、漳平一中，龙海二中，泉港一中”高三六校联考）口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中有45个红球，从中摸出1个球，若摸出白球的概率为23.0，则摸出黑球的概率为____________．
【解题小贴士】
（一）裂项法相消法
1、认清裂项法适用的数列结构：
（1） 分式结构：1(1)n a n n =+、1(21)(21)n a n n =-+、11(31)(31)n n n a +=++等； （2） 根式结构：1n a n n =
+-等； 2、搞清是邻项相消还是隔项相消：
1(1)n a n n =⇒+邻项相消；1(2)
n a n n =⇒+隔项相消（消完以后剩下四项）； （二）错位相减法的固定模式与步骤（以2n n a n =g 的前n 项和n T 为例）
1、 列出123122232...2n n T n =++++g g g g ；
2、 将n T 乘以等比数列的公比q （或公比的倒数1q
，但一般是乘公比）； 3、 错开位置来写：123412223242...2n n T n =++++g g g g g
23412122232...(1)22n n n T n n +=++++-+g g g g g
错开位置以后，上下两式各项对应，相对比较好看，并且方便后面计算！
4、 两式对减，化简可得答案；
5、 注意相减后得到部分等比数列的和，此时一定要弄清楚项数.。