【测控设计】高二数学人教B版必修5同步训练：2.3.2 等比数列的前n项和 Word版含解析[ 高考]

2.3.2等比数列的前n项和
一、非标准
1.等比数列{a n}各项为正,a3,a5,-a4成等差数列,S n为{a n}的前n项和,则=()
A.2
B.
C.
D.
解析:设等比数列{a n}的公比为q,则有q>0,又a3,a5,-a4成等差数列,∴a3-a4=2a5,∴a1q2-a1q3=2a1q4,即1-q=2q2,解得q=-1(舍去)或q=,∴q=,
∴=1+q3=1+.
答案:C
2.设等比数列{a n}的前n项和为S n,若=3,则等于()
A.2
B.
C.
D.3
解析:设其公比为q,由已知可得=1+q3=3,
∴q3=2..
另解可知S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,则可设S6=3,S3=1,则(S6-S3)2=S3×(S9-S6),解得S9=7, ∴.
答案:B
3.等比数列{a n}中,公比q≠1,它的前n项和为M,数列的前n项和为N,则的值为()
A.2q n
B.a1q n-1
C.q n-1
D.2q n-1
解析:{a n}是公比为q的等比数列,数列是首项为,公比为的等比数列,代入等比数列的前n项和公式得q n-1.
答案:C
4.各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,若S n=2,S3n=14,则S4n等于()
A.80
B.30
C.26
D.16
解析:若q=1,由S n=na1=2,知S3n=3na1=6≠14,故q≠1.
则
解得q n=2,=-2.
所以S4n=(1-q4n)=(-2)×(1-24)=30.
答案:B
5.数列{a n}中,a n>0,a1=1,且3+2a n+1a n-=0,则a1+a3+a5+…+a2n-1的值为()
A.B.
C.D.
解析:由3+2a n+1a n-=0,得3+2-1=0,
解得=-1,
因为a n>0,所以=q=.
数列{a n}为等比数列,且首项为1,公比为,
故a1+a3+a5+…+a2n-1是其中的奇数项前n项之和,
a1+a3+a5+…+a2n-1=
=.
答案:D
6.(2014广东珠海质量监测)等比数列{a n}共有奇数项,所有奇数项和S奇=255,所有偶数项和S 偶=-126,末项是192,则首项a1=()
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:设等比数列{a n}共有2k+1(k∈N+)项,则a2k+1=192,则S奇
=a1+a3+…+a2k-1+a2k+1=(a2+a4+…+a2k)+a2k+1=S偶+a2k+1=-+192=255,解得q=-2,而S奇==255,解得a1=3,故选C.
答案:C
7.等比数列{a n}中,若前n项和S n=2n-1,则+…+=.
解析:当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,当n=1时,a1=S1=21-1=1适合上式,∴{a n}的通项公
式a n=2n-1.∴=4n-1,即数列{}构成以1为首项,4为公比的等比数列.∴前n项和T n=+…+(4n-1).
答案:(4n-1)
8.某人从2008年1月1日起,且以后每年1月1日到银行存入a元(一年定期),若年利率r保持不变,且每年到期后存款均自动转存为新一年定期,到2014年1月1日将所有存款及利息全部取回,他可取回的钱数为.
解析:2013年1月1日,2012年1月1日,…,2008年1月1日存入钱的本息分别为:a(1+r),a(1+r)2,…,a(1+r)6,相加即可.
答案:[(1+r)7-(1+r)]
9.设等差数列{a n}的前n项和为S n,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{b n}的前n项积为T n,则T4,,,成等比数列.
解析:∵b1b2b3b4=T4,=b5b6b7b8=b1·q4·b2·q4·b3·q4·b4q4=T4·q16,=T4·q32,=T4·q48,故T4,成等比数列.
答案:
10.已知数列{a n}是首项为1的等差数列,且公差不为零.等比数列{b n}的前三项分别是a1,a2,a6.
(1)求数列{a n}的通项公式a n;
(2)若b1+b2+…+b k=85,求正整数k的值.
解:(1)设数列{a n}的公差为d,
∵a1,a2,a6成等比数列,
∴=a 1·a6.
∴(1+d)2=1×(1+5d).
∴d2=3d.
∵d≠0,∴d=3.
∴a n=1+(n-1)×3=3n-2.
(2)数列{b n}的首项为1,公比为q==4.
∵b1+b2+…+b k=,
∴=85.
∴4k=256.
∴k=4.
∴正整数k的值为4.
11.一个球从100m高处自由落下,每次着地后又跳回到原高度的一半再落下.
(1)当它第10次着地时,经过的路程共是多少?
(2)当它第几次着地时,经过的路程共是293.75m?
解:(1)球第1次着地时经过了100m,从这时到球第2次着地时共经过了2×m,从这时到球
第3次着地时共过了2×m……到球第10次着地时总共经过的距离为100+2×+2×+…+2×=100+100=100+≈300(m).
(2)设第n+1次着地时,经过的路程是293.75m;由题意得100+=293.75.利用计算器计算得n=5.则第6次着地时经过的路程是293.75m.
12.(2014重庆高考)已知{a n}是首项为1,公差为2的等差数列,S n表示{a n}的前n项和.
(1)求a n及S n;
(2)设{b n}是首项为2的等比数列,公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0.求{b n}的通项公式及其前n项和T n.
解:(1)因为{a n}是首项a1=1,公差d=2的等差数列,
所以a n=a1+(n-1)d=2n-1.
故S n=1+3+…+(2n-1)==n2.
(2)由(1)得a4=7,S4=16.
因为q2-(a4+1)q+S4=0,
即q2-8q+16=0,
所以(q-4)2=0,从而q=4.
又因为b1=2,{b n}是公比q=4的等比数列,
所以b n=b1q n-1=2·4n-1=22n-1.
从而{b n}的前n项和T n=(4n-1).。