【新结构】2023-2024学年河北省沧州市高一下学期7月期末质量监测数学试题+答案解析

【新结构】2023-2024学年河北省沧州市高一下学期7月期末质量监测
数学试题❖
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数为纯虚数，则实数()
A. B.4 C.0 D.4或
2.样本数据11，12，13，14，15，16，17，18，19，20的第80百分位数是()
A.18
B.19
C.
D.18或19
3.某班级有60名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这60名学生中抽取5人进行家访，则同学a被抽到的可能性为()
A. B. C. D.
4.已知四棱柱的高为3，其底面ABCD水平放置的直观图斜二测画法如图所示，其中，，则这个四棱柱的体积为()
A. B. C. D.
5.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则这个三角形是()
A.等腰三角形或直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
6.在中，，，P是BN上一点，且，则()
A. B. C.0 D.1
7.河北定州开元寺塔是世界上现存最高的砖木结构古塔如图，著名古建专家罗哲文誉其为“中华第一塔”.为了测量开元寺塔的高度，一研究小组选取了与该楼底部O在同一水平面内三个共线的测量基点A，
B ，
C ，分别测得塔顶P 点的仰角为，，，且，示意图如图2，则该塔高()
A.
B.98m
C.49m
D.
8.如图，在正三棱台中，，M ，N 分别是AB ，
的中点，则异面
直线MN ，
所成角的余弦值为(
)
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知事件A ，B 满足
，
，则下列说法正确的是()
A.若事件A 与事件B 相互独立，则它们的对立事件也相互独立
B.事件A 与事件B 可能为对立事件
C.若事件A 与事件B 相互独立，则
D.若事件A 与事件B 互斥，则
10.已知向量
，
，则下列说法正确的是()
A.若，则
B.的最小值为3
C.若，则
D.若，则向量在向量上的投影向量的坐标是
11.如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点，点P是线段
上的动点，则下列结论正确的是()
A.点P到平面BEF的距离不变
B.平面BEF截该正方体所得的截面面积为5
C.当点P在线段上运动时，始终有平面
D.的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知i是虚数单位，则复数的共轭复数为__________.
13.为了丰富员工的业余生活，某企业举办了有奖答题活动，参加活动的员工依次回答三个问题，不管答对或者答错，三题答完活动结束.规定每位员工只能参加一次活动，且至少答对两道题才能获奖.已知员工甲第
一题答对的概率为，第二题答对的概率为，第三题答对的概率为，假设员工甲是否答对每一题相互独立，则员工甲获奖的概率为__________.
14.在中，，，，M，N分别为AC，AB上的动点不包括端点，将
沿
MN折起，使点A到达点的位置，且平面平面若点，B，C，M，N均在球O的球面上，则球O表面积的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.本小题13分
已知复数，，，在复平面内表示的点分别为，，O为坐标原点.
若复数在复平面内对应的点在直线上，求的值;
若与的夹角为锐角，求实数m的取值范围.
16.本小题15分
已知，是平面内两个不共线的向量，若，，
证明：A，B，C三点共线;
若，，点，B，C，D，P恰好构成平行四边形BCDP，求点P的坐标.
17.本小题15分
某学校高一年级举办了数学竞赛活动，共有1000名学生参加.从中随机抽取了100名学生的成绩成绩均为正整数，满分为100分作为样本进行统计，按的分组作出频率分布直方图，如图所示.
求实数x的值，并估计该校高一年级本次数学竞赛成绩的众数、中位数、平均数同一组中的数据用该
组区间的中点值表示
现从两组中用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取7人组成数学学习小组，再从这7人中抽取2人作为组长，求至少一名组长来自的概率.
18.本小题17分
在如图所示的几何体中，，平面ABCD，四边形ABCD为菱形，，，
，点M为AB的中点.
证明：平面
证明：平面平面
求直线EM与平面ADE所成角的正弦值.
19.本小题17分
在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，
求角
若D为BC边上一点，且满足，，ⅰ求的值;
ⅱ求的取值范围.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查复数的概念，在解题时要紧扣的形式．
由纯虚数的概念知实部为零，虚数不为零求解．
【解答】
解：复数为纯虚数，
所以，解得，
故选
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查百分位数，属于基础题.
根据百分位数的概念计算即可.
【解答】
解：共10个数，已经从小到大排列好，，
则第80百分位数是第8个和第9个数的平均数，即，
故选
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了简单随机抽样，是基础题.
根据简单随机抽样可得结果.
【解答】
解：总体有60个个体，每个个体被抽到的概率相同，均为，故选
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了斜二测画法，是基础题.
根据斜二测画法得出四边形ABCD的面积，再由棱柱的体积公式计算即可.
【解答】
解：由于直观图的面积为，
所以四边形ABCD的面积为，
所以四棱柱的体积是，
故选
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦定理，二倍角公式，属于基础题.
利用正弦定理化简已知的等式，得到，利用二倍角公式化简得到或，即可判断.
【解答】
解：由正弦定理可得，化简可得，即，
由正弦定理可得，即，
所以或，即或，
所以这个三角形是等腰三角形或直角三角形，
故选
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的线性运算，平面向量的基本定理，属于中档题.
根据题意设，因为P，B，N三点共线，所以，可得出m的值，再由
即可求得结果.
【解答】
解：，，且，
，B，N三点共线，，即，
，所以，
故选
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查解三角形的实际应用，考查余弦定理的应用，属于中档题.
设，由在点A，B，C处分别测得塔顶P点的仰角为，，，则，，，由余弦定理求解即可.
【解答】
解：设，由在点
A，B，C处分别测得塔顶P点的仰角为，，，
则，，，
在，中，由余弦定理知，
，
因为A，B，C三点共线，所以，
则，解得，
故选
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了异面直线所成角，是中档题.
连接MC，，取MC的中点P，连接，PB，易得即为异面直线MN，所成角或其补角，计算即可.
【解答】
解：如图所示，连接MC，，取MC的中点P，连接，PB，
在正三棱台中，设，
由M，N分别是AB，的中点，
易知，，且，
所以四边形是平行四边形，
所以，即为异面直线MN，所成角或其补角，
在梯形中，MN为梯形的高，
易知，，，
即，，在中，易知，
所以，
即异面直线MN，所成角的余弦值为，
故选
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
【分析】本题考查了相互独立事件的定义，对立事件，互斥事件，属于基础题.
根据相互独立事件的定义，对立事件，互斥事件逐项判断即可.
【解答】
【解答】解：对于A，根据相互独立事件的定义易知正确；对于B，对立事件的概率和为1，但
，故B错误；对于C，根据相互独立事件的定义，，故
C正确；对于D，事件A与事件B互斥，则
，故
D正确，故选：
10.【答案】BD
【解析】【分析】
【分析】本题考查了向量的数量积与向量的垂直关系，向量的模，向量平行关系的坐标表示，投影向量，属于中档题.
根据向量的数量积与向量的垂直关系，向量的模，向量平行关系的坐标表示，投影向量逐项判断即可.
【解答】
【解答】解：对于A，由，，得，由，得
，解得，故A错误；对于B，2，因此
，故B正确；对于C，因为
，所以，即，故C错误；对于D，向量在向量上的投影向量为
=
，故D正确，故选：
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了点面距离，空间几何体的截面面积，线面平行的判定，余弦定理，属于中档题.
根据点面距离，空间几何体的截面面积，线面平行的判定，余弦定理逐项判断即可.
【解答】
解：对于A，易知，平面BEF，平面BEF，所以平面BEF，点P在线段
上，所以点P到平面BEF的距离不变，故A正确；
对于B，如图1，连接，，易知，，平面BEF截该正方体所得的截面为平
面，，，
所以易知四边形的面积为，故B错误；
对于C，如图2，连接，，易知平面平面，又因为平面，所以始终有平面，故C正确；
对于D，如图3，连接，把平面沿展开到平面所在平面，如图4，连接交
于点P，此时取得最小值，
即最小值为，在中，，，由余弦定理得，，故D正确.
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查共轭复数的概念，属于基础题
根据题意直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合共轭复数的概念求解即可
【解答】
解：由题意可得，，所以复数的共轭复数为
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题
根据已知再结合相互独立事件的概率乘法公式分别求出员工甲答对两题以及三题的概率，再求和即可
【解答】
解：员工甲答对两题的概率为，员工甲答对三题的概率为
，
所以员工甲获奖的概率为
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查球的半径以及表面积，属于中档题
根据已知得B，C，M，N四点共圆，M不与A重合，进而确定，找到，四边形BCMN
外接圆圆心，再确定球心位置，设且，求外接球半径的最小值，即可求解
【解答】
解：显然M不与A重合，由点，B，C，M，N均在球O的球面上，得B，C，M，N四点共圆，则，
又为直角三角形，AB为斜边，则有，
如图，将翻折后，，，又平面平面BCMN，平面平面，平面，平面BCMN，
于是平面BCMN，平面，显然，BM的中点D，E分别为，四边形BCMN 外接圆圆心，
则平面，平面BCMN，因此，，取NM的中点F，
连接DF，EF，则有，，所以四边形EFDO为平行四边形，
设且，，，
设球O的半径R，则，
当时，，
所以球O表面积的最小值为
15.【答案】解：，
因为复数在复平面内对应的点在直线上，
所以，解得，
所以，
所以
，，
因为与的夹角为锐角，则且两向量不同向，
所以，
即，
即，解得或，
当两向量共线且同向时，设且，
即，，
所以解得，，所以，
综上，实数m的取值范围为
【解析】本题考查复数的模及复数的运算，考查向量的数量积，属于中档题.
根据复数的运算计算，进一步求模即可；
，，根据向量的数量积运算可得关于m的不等式，进一步求解即可.
16.【答案】解：因为，所以，所以A，B，C三点共线.
设点P的坐标为，则，，
因为B，C，D，P恰好构成平行四边形BCDP，所以，即解得
所以点P的坐标为
【解析】本题考查平面向量共线定理与三点共线问题、向量的加法运算、向量的坐标表示，属于一般题.
求出，，即可求出结果；
设点P的坐标为，则，根据，即可求解。

17.【答案】解：在频率分布直方图中，，解得，结合频率分布直方图，估计该校高一年级本次数学竞赛成绩的众数为75分，
落在的频率为，的频率为，的频率为，
则中位数落在内，设中位数为y，
则，解得，即中位数为71分，
平均数为分
按比例分配的分层随机抽样方法，
中抽取的人数为，
中抽取的人数为，
记来自的5人和来自的2人分别为，，，，，，，
则所有基本事件为，，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，共21个，
满足题意的有11个，由古典概型知，至少一名组长来自的概率为
【解析】本题考查了频率分布直方图、平均数、中位数、众数和古典概型及其计算，属于中档题.
由频率和为1得出x，再由众数、中位数、平均数的公式计算即可；
先由分层抽样得出两组抽取的人数，由列举法和古典概型公式可得结果.
18.【答案】【解答】
证明：因为，平面
ABCD，所以平面ABCD，因为平面ABCD，所以，
因为是等边三角形，点M为AB的中点，所以，又，BF，平面ABF，所以平面ABF；
证明：如图，取AF的中点N，连接EN，MN，因为M，N分别为AB，AF的中点，所以，，
又因为，，所以，，所以四边形EDMN为平行四边形，所以，由知平面
ABF，所以平面ABF，因为平面AEF，所以平面平
面ABF；
因为平面ABCD，平面ADE，所以平面平面ADE，又平面平面
，过点
M作AD的垂线，垂足为Q，即，所以平面ADE，连接EQ，所以
是直线EM与平面ADE所成的角，易知点Q为AD上靠近点A的四等分点，在中，，则，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又，所以在中，，因为平面
ADE，平面ADE，所以，在中，
，所以直线EM与平面ADE所成角的正弦值为
【解析】【分析】本题考查了线面垂直的判定，面面垂直的判定，直线与平面所成的角，属于中档题.
根据线面垂直的判定定理即可证明；
根据面面垂直的判定定理即可证明；
根据题意找出直线EM与平面ADE所成的角，然后求解即可.
19.【答案】解：由余弦定理，等式左边，
因为，所以，
所以等式左边，
所以，
化简得，
由正弦定理得，
因为，所以，
代入上式化简得，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以
，
所以AD是的平分线，
由知，，所以，
在中，，
即，
化简得，则
在中，由正弦定理得，
即，
在中，由正弦定理得，
所以，
因为，所以，
所以
因为，所以，
所以
所以的取值范围为
【解析】本题考查了利用正余弦定理解三角形、三角恒等变换和正弦函数的性质，是中档题.
利用余弦定理、正弦定理化简得，可得B的大小；
由，化简可得的值;
在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，再由三角恒等
变换和三角函数性质可得的取值范围.。