云南省峨山彝族自治县第一中学20162017学年高二数学下学期期末模拟试题理

2017年峨山一中高二下学期期末模拟考试
高二理科数学试卷
（考试时间： l50分钟，满分l50分）
注意：1．本套试卷分试卷和答题卡两部分，所有答案均写在答题卡上，否则答题无效。

2．选择题，请用28铅笔，把答题卡上对应题目选项的信息点涂黑。

非选择题，请用0．5mm 黑色字迹签字笔在答题卡指定位置作答。

参考公式：柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高。

圆柱的侧面积公式：S cl =，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长。

球的体积公式：34
3
V R π=
，球的表面积公式：24S R π=，其中R 是球的半径。

用最小二乘法求线性回归方程系数公式：1
2
24
1
ˆˆ,n
i i
i n
i x y nx y
b
a
y bx x
nx
==-==--∑∑， 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）
第I 卷 （选择题 共60分）
一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选
项是符合题目要求的。

1．设集合M={直线}，P={圆}，则集合M ∩P 中的元素的个数为( ) A ．0
B ．1
C ．2
D ．0或1或2
2．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()23,(2)x
f x f =--则=（ ） A ．1 B ．-1
C ．
1
4
D ．114
-
3．曲线2
x
y x =
+在点()1,1--处的切线方程为( ) （A ）21y x =+ （B ）21y x =- （C ）23y x =-- （D ）22y x =-- 4．在等差数列}{n a 中，若1391197533,100a a a a a a a -=++++则的值为（ ）
A ．20
B ．30
C ．40
D ．50
5．下列叙述正确的个数是（ ）
①设l 为直线，α、β为两个不重合的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α
②若命题2
00
0,10p x x x ∃∈-+R ：≤，则命题2,10p x x x ⌝∀∈-+>R ：
③在△ABC 中，“∠A ＝60°”是“cos A ＝
1
2
”的充要条件 ④若向量,a b 满足0a b •<，则a b 与的夹角为钝角
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 6. 已知54cosx 02x =⎪⎭
⎫
⎝⎛-
∈，，π，则tan2x= （ ）
A.
247 B . 247- C. 724 D. 7
24
- 7. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) A ．15 B ．20 C ． 30 D ．60
8. 已知向量(,1)a x =，(,4)b x =-，其中x ∈R ．则“2x =”是“a b ⊥”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
9. 已知函数()f x 的定义域为(2,2),-导函数为(0)0()2cos ,f f x x ='=+且，则满足
2(1)()0f x f x x ++-＞的实数x 的取值范围为 （ ）
A. (1,1)-
B. (1,2)-
C. (12,12)-+
D. (12,2)- 10. 已知F 是抛物线y 2
=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB
的中点到y 轴的距离为（ ）
A ．
3
4
B ．1
C ．
54
D ．
74
11.函数()1log ||(01)a f x x a =+<<的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数|21|,2()3,21
x x f x x x ⎧-<⎪
=⎨≥⎪-⎩，若方程()0f x a -=有三个不同的实数根，则实数a
的取值范围为（ ） A ．（1，3）
B ．（0，3）
C ．（0，2）
D ．（0，1）
二、填空题 ：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．．．．．．．．．．．．．。

13．设若2
lg ,0,()3,0,a
x x f x x t dt x >⎧⎪
=⎨+≤⎪⎩⎰((1))27f f =，则a = 14. 在执行右边的程序框图时，如果输入4=N ，则输出=S ________。

15. 已知点P （x ，y ）在不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+<-≤-022010
2y x y x 表示的平面
区域内运动，则1
1
++=x y z 的取值范围是 _______ ．
16．观察下列等式
1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此规律，第n 个等式为 。

三. 解答题：本大题共6个小题.共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 本题满分10分）已知向量
21
(cos ,1),(3sin ,cos ),()2222
x x x m n f x m n =-==+设函数
（1）求()12
f π
-
的值；
（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，且满足a c A b 32cos 2-=， 求()f B 的值． k =1,S =1k =k +1
是开始结束
输出S k<N ?S=S+
1k (k+1)
输入N 否第14题图
18. （本题满分12分）已知数列«Skip Record If...»的前n项和为«Skip Record If...»，且满足«Skip Record If...»
（I）求证«Skip Record If...»是等比数列，并求«Skip Record If...»；
（II）设«Skip Record If...»，求数列«Skip Record If...»的前n项和为«Skip Record If...».
19. （本题满分12分）（为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
喜爱打篮球不喜爱打篮球合计
男生20 5 25
女生10 15 25
合计30 20 50
（1）用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽６人，其中男生抽多少人？
（2）在上述抽取的６人中选２人，求恰有一名女生的概率.
20. （本题满分12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=1
2 PD．
（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ；（II）求二面角Q—BP—C的余弦值．
（21）（本小题满分12分）已知点12,F F 是双曲线2
212
x y -=的两个焦点，动点P 满足12|4PF PF +=.
（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过点(1,0)作直线l 与曲线C 交于M N 、两点，若原点O 在以线段MN 为直径的圆内，求直线l 的斜率K 的取值范围；
22．（本小题满分12分）已知2
()ln ,() 3.f x x x g x x ax ==-+-
（1）求函数f(x)的最小值；
（2）对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围；
2017年峨山一中高二下学期期末模拟考试答案解析
高二理科数学
第I 卷 （选择题 共60分）
一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选
项是符合题目要求的。

1．设集合M={直线}，P={圆}，则集合M ∩P 中的元素的个数为( A ) A ．0
B ．1
C ．2
D ．0或1或2
2．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()23,(2)x
f x f =--则=（ B ） A ．1 B ．-1
C ．
1
4
D ．114
-
3．曲线2
x
y x =
+在点()1,1--处的切线方程为（A ） （A ）21y x =+ （B ）21y x =- （C ）23y x =-- （D ）22y x =-- 4．在等差数列}{n a 中，若1391197533,100a a a a a a a -=++++则的值为（ C ）
A ．20
B ．30
C ．40
D ．50
5．下列叙述正确的个数是（ B ）
①设l 为直线，α、β为两个不重合的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α
②若命题2
00
0,10p x x x ∃∈-+R ：≤，则命题2,10p x x x ⌝∀∈-+>R ： ③在△ABC 中，“∠A ＝60°”是“cos A ＝
1
2
”的充要条件 ④若向量,a b 满足0a b •<，则a b 与的夹角为钝角 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 6. 已知54cosx 02x =⎪⎭
⎫
⎝⎛-
∈，，π，则tan2x= （ D ）
A.
247 B . 247
- C. 724 D. 7
24
-
7. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( C )
A ．15
B ．20
C ． 30
D ．60
8. 已知向量(
,1)a x =，(,4)b x =-，其中x ∈R 。

则“2x =”是“a b ⊥”的（ A ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
9. 已知函数()f x 的定义域为(2,2),-导函数为(0)0()2cos ,f f x x ='=+且。

则满足
2(1)()0f x f x x ++-＞的实数x 的取值范围为 （ D ）
A. (1,1)-
B. (1,2)-
C. (12,12)-+
D. (12,2)- 10. 已知F 是抛物线y 2
=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB
的中点到y 轴的距离为（ C ）
A ．
3
4
B ．1
C ．
54
D ．
74
11.函数()1log ||(01)a f x x a =+<<的图象大致为（ A ）
A. B. C. D.
12.已知函数|21|,2()3,21
x x f x x x ⎧-<⎪
=⎨≥⎪-⎩，若方程()0f x a -=有三个不同的实数根，则实数a
的取值范围为 （ D ）
A ．（1，3）
B ．（0，3）
C ．（0，2）
D ．（0，1）
二、填空题 ：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．．．．．．．．．．．．．。

13．设若2
lg ,0,()3,0,a
x x f x x t dt x >⎧⎪
=⎨+≤⎪⎩⎰((1))27f f =，则a = 3
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
14. 在执行右边的程序框图时，如果输入4=N ，则输出=
S 95。

15. 已知点P （x ，y ）在不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+<-≤-0220102y x y x 表示的平面区域内
运动，则11++=x y z 的取值范围是[1
,23
）．
16．观察下列等式
1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此规律，第n 个等式为2(1)(2)(32)(21)n n n n n +++++
+-=-。

三. 解答题：本大题共6个小题.共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 本题满分10分） 已知向量21
(cos ,1),(3sin ,cos ),()2222
x x x m n f x m n =-==+设函数 （1）求()12
f π
-
的值；
（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，且满足a c A b 32cos 2-=， 求()f B 的值．
解：（1）依题意得()sin()6
f x x π
=-
， ………………………………3分
2()sin()sin 12
12642
f π
π
ππ-
=-
-=-=- ………………………………5分 （2）由a c A b 32cos 2-=得：2
2
2
3a c b ac +-=………………………..8分
23cos =
B ，从而6
π
=B ，试 ……………………….9分 k =1,S =1
k =k +1
是
开始结束
输出S k<N ?S=S+
1k (k+1)
输入N
否第14题图
故0)(=B f ………………………………10分 18. （本题满分12分）
已知数列«Skip Record If...»的前n 项和为«Skip Record If...»，且满足«Skip Record If...»
（I ）求证«Skip Reco rd If...»是等比数列，并求«Skip Record If...»；
（II ）设«Skip Record If...»，求数列«Skip Record
If...»的前n 项和为«Skip Record If...».
231234123111
122122232...(1)222122232...(1)22222...2222(12)212
(1)22
n n
n n n n n n n n n n n n n n n n b n n n n T n n T n n T n T n T n -+-+++=•-+=•=•+•+•++-•+•=•+•+•++-•+•-=+++++-•--=-•-=-•+
19. （本题满分12分）（为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计
30
20
50
（1）用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽６人，其中男生抽多少人？ （2）在上述抽取的６人中选２人，求恰有一名女生的概率. 19解、解：（1）在喜欢打蓝球的学生中抽６人，则抽取比例为61
305
= ∴男生应该抽取1
2045
⨯
=人 …………………………４分 （2）在上述抽取的6名学生中, 女生的有2人，男生4人。

女生2人记,A B ；男生4人为,,,c d e f ， 则从6名学生任取2名的所有情况为:(,)A B 、(,)A c 、(,)A d 、
(,)A e 、(,)A f 、(,)B c 、(,)B d 、(,)B e 、(,)B f 、(,)c d 、(,)c e 、(,)c f 、(,)d e 、(,)d f 、(,)e f 共
15种情况，……………………8分
其中恰有1名女生情况有：(,)A c 、(,)A d 、(,)A e 、(,)A f 、(,)B c 、(,)B d 、(,)B e 、
(,)B f ，共8种情况， …………………………10分
故上述抽取的６人中选２人，恰有一名女生的概率概率为8
P 15
=
. …………………12分 20. （本题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，
QA =AB =
1
2
PD ． （I ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； （II ）求二面角Q —BP —C 的余弦值． 证明：
如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D —xyz.
（I ）依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1），P （0，2，0）.
则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0).DQ DC PQ ===- 所以0,0.PQ DQ PQ DC ⋅=⋅= 即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC. 故PQ ⊥平面DCQ.
又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ. …………6分
（II ）依题意有B （1，0，1），(1,0,0),(1,2,1).CB BP ==--
设(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量，则0,0,20.0,n CB x x y z n BP ⎧⋅==⎧⎪⎨⎨-+-=⋅=⎩
⎪⎩即 因此可取(0,1,2).n =--
设m 是平面PBQ 的法向量，则0,0.
m BP m PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
可取15(1,1,1).cos ,5
m m n =<>=-所以 故二面角Q —BP —C 的余弦值为155
- ………………12分 （21）（本小题满分12分）已知点12,F F 是双曲线2
212x y -=的两个焦点，动点P 满足12|4PF PF +=.
（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过点(1,0)作直线l 与曲线C 交于M N 、两点，若原点O 在以线段MN 为直径的圆内，求直线l 的斜率K 的取值范围； 解：Ⅰ）12,F F 是双曲线2
212
x y -=的两个焦点 ∴12(3,0),(3,0)
F F -，………………………………1分
又12|4PF PF +=.
∴动点P 的轨迹C 是以12,F F 为焦点的椭圆，………………………………3分
2
12221,(3,0),(3,0)24,32,1
y F F a b
a c a
b +=∴==∴==2x 设方程为:焦点为 ………………………………5分 方程为 2
214
x y +=； ………………………………6分
（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，33(1,
(1,)22M N -,14OM ON ⋅=，不合题意；…7分
当直线l 的斜率存在时,设过(1,0)的直线l ：(1)y k x =-，代入曲线C 的方程得2222(14)84(1)0k x k x k +-+-= ………………………………8分
设12((M x N x 12,y )、,y )，则2212122284(1),1414k k x x x x k k
-+==++ ……………………10分
212121212(1)(1)OM ON x x y y x x k x x ⋅=+=+--
=2221212(1)()k x x k x x k +-++
22414k k
-=+， 2O MN cos 0,0
40
22K MON OM ON k k ∴∠<∴•<∴-<∴-<<∴原点在以线段为直径的圆内
直线的斜率的取值范围是(-2,2)
………………12分
（不不讨论直线l 的斜率不存扣1分）
22．（本小题满分12分）已知2
()ln ,() 3.f x x x g x x ax ==-+-
（1）求函数f(x)的最小值；
（2）对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围；
解：（满分12分） 解：（1）()ln 1f x x '=+，由0)(='x f 得1x e
=
…………2分 当1(0,),()0,()x f x f x e '∈<单调递减，当1(,),()0,()x f x f x e '∈+∞>单调递增 ……3分
min 11()()f x f e
e
==-
； …………………………………………………………5分 （2）22ln 3x x x ax ≥-+-，则32ln a x x x ≤++，………………………………7分 设3()2ln (0)h x x x x x =++>，则2(3)(1)()x x h x x +-'=， ① (0,1),()0,()x h x h x '∈<单调递减， ② (1,),()0,()x h x h x '∈+∞>单调递增， 所以min ()(1)4h x h ==，对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，
所以min ()4a h x ≤=；………………………………………………………12分。