关于圆周率的计算

关于圆周率的计算祖冲之在数学方面的突出贡献是关于圆周率的计算，确定了相当精确的圆周率值。

中国古代最初采用的圆周率是“周三径一”，也就是说，π＝3。

这个数值与当时文化发达的其他国家所用的圆周率相同。

但这个数值非常粗疏，用它计算会造成很大的误差。

随着生产和科学的发展，π＝3 就越来越不能满足精确计算的要求。

因此，中外数学家都开始探索圆周率的算法和推求比较精确的圆周率值。

在中国，据公元一世纪初制造的新莽嘉量斛（亦称律嘉量斛，王莽铜斛，是一种圆柱形标准量器，现存）推算，它所取的圆周率是3.1547 。

二世纪初，东汉天文学家张衡在《灵宪》中取用π＝≈3.1466，又在球体积计算中取用π≈3.1622。

三国时东吴天文学家王蕃在浑仪论说中取用π≈3.1556。

以上这些圆周率近似值，比起古率“周三径一”，精确度有所提高，其中π＝ 10还是世界上最早的记录。

但这些数值大多是经验结果，并没有可靠的理论依据。

在这方面最先取得突破性进展的是魏晋之际的数学家刘徽，他在《九章算术注》中创立了“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法。

他所得到的圆周率值π＝3.14 与π＝＝3.1416，都很精确，在当时世界上是很先进的，至今仍在经常使用。

继刘徽之后，祖冲之则将圆周率推算到更加精确的程度。

据《隋书·律历志》记载，祖冲之确定了π的不足近似值 3.1415926 和过剩近似值 3.1415927，π的真值在这两个近似值之间，即 3.1415926＜π＜3.1415927 精确到小数 7 位。

这是当时世界上最先进的数学成果，直到约一千年后，才为 15 世纪中亚数学家阿尔·卡西（Al—? kash1）和16世纪法国数学家韦达（F.Vièta，1540—1603）所超过。

关于他得到这两个数值的方法，史无明载，一般认为是基于刘徽割圆术。

通过现代计算验证，如果按照割圆术计算，要得到小数 7 位准确的圆周率值，必须求出圆内接正12288 边形的边长和 24576边形的面积，这样，就要对9位数进行上百次加减乘除和开方运算，还要选择适当的有效数字，保证准确的误差范围。

对于用算筹计算的古代数学家来说，这绝不是一件轻而易举的事情，只有掌握纯熟的理论和技巧，并具备踏踏实实和一丝不苟的研究精神，才能取得这样的杰出成就。

祖冲之的这项记录在中国也保持了一千多年。

中国古代数学家和天文学家还往往用分数表示常量的近似值。

为此，祖冲之确定了π的两个分数形式的近似值：约率π＝22/7≈3.14 ，密率π＝355/113 ≈3.1415929。

这两个数值都是π的渐近分数。

刘宋天文学家何承天及古希腊阿基米德等都已用到过。

密率355/113 是π的分母小于10000的最佳近似分数，则为祖冲之首创。

关于密率355/113是如何得到的，今人有“调日法”术，连分数法，解同余式或不定方程，割圆术等种种推测，迄今尚无定论。

在欧洲，π＝ 355/113 是16世纪由德国数学家奥托（V.Otto，1550（？）—1605）和荷兰工程师安托尼兹（A.Anthonisz，1527—1607）分别得到，后通称“安托尼兹率”，但这已是祖冲之以后一千多年的事情了。

自从我国古代灿烂的科学文化逐渐得到世界公认以来，一些学者就建议把π＝ 355 称为“祖率”，以纪念祖冲之的杰出贡献。

关于球的体积公式及其证明：祖冲之的另一项重要数学成就是关于球的体积公式及其证明。

各种几何体的体积计算是古代几何学中的基本内容。

《九章算术》商功章已经正确地解决了棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台等各种几何体的体积计算问题。

但球体积的计算比较复杂，《九章算术》中的球体积公式相当于V ＝3169D （D 为球的直径），是一个误差很大的近似公式。

东汉科学家张衡曾经研究了这个问题，他试图通过先求出球与外切正方体的体积之比然后再来计算球的体积，但没有得到正确的结果。

魏晋时的刘徽则将球体积问题的研究推进了一大步。

他指出，《九章算术》少广章所说球与其外切圆柱的体积之比为π∶4，这一结论是错误的，并且说明球与外切于球的“牟合方盖”的体积之比才 是π∶4（两个底半径相同的圆柱垂直相交，其公共部分称为“牟合方盖”， 好像两把扣在一起且上下对称的正方形的伞）。

因此，只要求出牟合方盖体 积，就可推算出球体积。

然而，刘徽始终未能求出牟合方盖体积，所以也未能解决球体积问题。

他在《九章算术》少广章开立圆术的注释中说，“欲陋形措意，惧失正理，敢不阙疑，以俟能言者”，实事求是的提出问题，留待后人去解决，表现了一位杰出科学家的虚心和慎重的科学态度。

以后又经过近200年，祖冲之及其子祖暅才对于这一问题取得了突破。

祖冲之父子通过对牟合方盖水平截面面积的分析，判定它的体积等于正方体与两个正方锥的体积之差，从而推算出牟合方盖的体积等于 332D （D 为球的直径长度），并进一步得到正确的球体积公式V ＝36D ，完全解决了球体积的计算问题。

由于当时用圆周率 22/7 ，所以他们的球体积公式为V ＝32111D 。

祖氏父子在推导球体积公式过程中，还明确地提出了一个重要原理：“幂势不同，则积不容异”①，即二立体如果在等高处截面的面积相等，则它们的体积也必定相等。

这个原理现常被称为“祖氏公理”。

在西方，这个原理也是一千年后才由 17 世纪意大利数学家卡瓦列里（F.B.Cavalieri ，1598—1647）提出来的，并被称为“卡瓦列里公理”。

这个原理很重要，它是后来创立微积分学的不可缺少的一步。

《隋书·律历志》在叙述祖冲之圆周率之后说他，“又设开差幂，开差立，兼以正负参之，指要精密，算氏之最者也”①。

据考证，这可能是指开带从平方和开带从立方法，即解一般形式的二次方程和三次方程，其中各项系数可正可负，在当时中国乃至世界上，要解决这类问题都是比较困难的。

但因祖冲之的解法早已失传，现已无法了解其具体内容。

祖冲之及其子祖暅的数学成就总结在《缀术》一书中。

唐显庆元年（656）国子监添设算学馆，规定《缀术》为必读的“十部算经”之一，学习期限为四年，是数学书中学习时间最长的一种。

《缀术》还曾传入朝鲜和日本，被选作数学教育的教材。

可惜的是祖冲之的这部数学专著早已失传，其具体内容已无法详知了。

对天文历法的研究祖冲之对天文历法的研究早在青少年时代就已经开始了。

经过多年的实际观测和反复推算，他发现当时行用的何承天《元嘉历》已经与实际天象不合。

例如按《元嘉历》算出的冬至时太阳所在位置与实测结果已差 3 度，冬至和夏至时刻已差 1 天，五星出没时间差40天，等等。

这种情况显然是必须加以改变的。

因此，他着手编制了一部新的历法，即后世所称的《大明历》。

祖冲之在天文历法方面的成就，大都包含在《大明历》和为《大明历》所写 的“驳议”之中。

按祖冲之的自述，《大明历》“改易之意有二，设法之情 有三”。

所谓“改易”是指在历法计算中引进岁差和对闰周的改革，这是中国历法史上的重大进步，对后世产生了深远的影响。

所谓“设法”是指推算上元积年时增加了一些条件，如甲子年，十一月初一为甲子日，日月合璧，五星联珠等，这在数学上对于同余式解法的研究有所推动，但对于历法的发展并没有太大的意义。

祖冲之《大明历》的重要贡献是在历法计算中首先考虑了岁差的影响。

冬至时刻太阳在黄道上的位置叫做冬至点。

中国古代的天文学家最初认为，太阳在黄道上运行，从冬至点开始经过一个回归年又回到原来的冬至点，也就是说，冬至点是固定不变的。

实际上，冬至点在恒星间的位置并不是固定不变的，它在星空中有极缓慢的移动，每年的移动值就叫做岁差。

早在战国时期，中国天文学家把冬至点确定在牵牛初度，如当时行用的一种历法《颛顼历》，其冬至点距牛宿距星的赤道宿度不到 1 度。

西汉末年刘歆发现当时的冬至点已经不在牵牛初度，而是在牛宿以西靠近斗宿的建六星附近。

东汉天文学家贾逵、编、李梵、刘洪等，通过实际观测和推算，进一步肯定了冬至点位置的变化，并指出当时的冬至点既不在牵牛初度，也不在建星附近，而是在斗21度。

但他们并没有深究其中的规律，也没有认识到这一变化对于历法计算的影响。

魏晋以后，天文观测日趋精密，对岁差现象的探讨也有所前进，其中最突出的就是东晋天文学家虞喜。

虞喜认识到经过一个回归年之后，太阳并未在天上走一周天而回到原处，而是“每岁渐差”，明确指出了岁差现象，并提出“天自为天，岁自为岁”的新观点。

他还给出了50年差 1度的岁差值。

其后何承天又给出了100年差 1度的岁差值。

但虞喜和何承天还都没有在历法中考虑到岁差。

祖冲之不仅肯定了岁差现象的存在，指出“冬至所在，岁岁微差”，而且最早把岁差作为一个重要因素应用到历法计算中去，这对于提高所编制的历法的精度，是有重要作用的，并为后世历家所遵循。

据《隋书·律历志》记载，祖冲之经实测确定当时冬至点已移到斗 15 度，经与后秦姜岌的观测值比较，发现不到百年冬至点已移动了 2 度，因而定岁差为 45年11月差1度，并用于历法计算。

根据现代观测，冬至点大约每年沿黄道西移 50.2 秒，换算成赤经则为大约 78 年西移1°，由此可知，虞喜、何承天与祖冲之的岁差值与实际值相比，还有较大的误差。

尽管如此，岁差现象的发现，将太阳在黄道上运行一周的恒星年与反映四季变化周期的回归年这两个概念区别开来，并将岁差应用到编制历法中去，仍是中国历法史上具有划时代意义的重大进步。

祖冲之《大明历》中另一项重要贡献是关于闰周的改革。

中国古代天文学家长期采用 19 年 7 闰的闰法，用以调整回归年与朔望月的关系。

北凉天文学家赵■首先提出 600 年间置入 221 个闰月的新闰周。

但直到南朝何承天编制《元嘉历》时，仍未能接受改革闺周的新思想。

祖冲之认为 19 年 7 闰确实不够精密，因而在他所编制的《大明历》中大胆地采用了改革闰周的思想，提出 391 年置入 144 个闰月的新闺周，突破了已经沿袭千年的闰法。

祖冲之的这一数据，在相当长的时间内都是诸家历法中最好的结果。

除引进岁差和采用新闰周外，祖冲之在《大明历》中还提出了交点月的概念并给出了交点月的数值。

交点月的发现对于推算日食和月食发生的时间和位置等都有很重要的作用。

根据《大明历》的数据推算，其交点月长度为 27.21223 日，与今测值 27.21222 日仅差十万分之一日。

祖冲之还改进了前代关于木星公转周期的数值，得出木星（当时叫岁星）每84年超辰一次的结论，这相当于求出木星公转周期为 11.858 年，与今测值相同。

他所采用的其他天文数据也都是相当精确的，如近点月为 27.554688 日，与今测值相差不到十万分之十四日；回归年长度为365.2428 日，与今测值只差万分之六日；五大行星会合周期的数值也很精确，其中误差最大的火星也没有超过百分之一日，误差最小的水星已经接近与今测值相合。