实二次型的分类、正定矩阵

AX 0
0
则称二次型 f ( X ) X T AX 为半正定(半负定)二次型
矩阵A称为半正定(半负定)矩阵.
正定、负定、半正定、半负定统称为二次型及其矩 阵的有定性。其它二次型及其矩阵称为不定的。
Page 5
三、正(负)定二次型的判别
定理2 实二次型f xT Ax为正定的充分必要条 件是 : 它的标准形的n个系数全为正. 推论 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正． 定理3 设A为正定矩阵,若A与B合同,则B也是正定 矩阵. 类似可以证明: 与负定矩阵合同的矩阵是负定矩阵. 与半正定(半负定)矩阵合同的矩阵是半正定(半负 定)矩阵.
D半负定 di 0, (i 1, 2,...,n)且有某dk 0
Page 7
定理６ 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是：A
的各阶顺序主子式为正，即 a11 a1n
, a11 0,
a11 a21
a12 0, a22
0;
an1 ann
对称矩阵 A为负定的充分必要条件是：奇数阶主
子式为负，而偶数阶主子式为正，即 a11 a1r
下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质．
Page 2
定理1(惯性定理) 设有实二次型f xT Ax,它的秩 为r , 有两个实的可逆变换
x Cy 及 x Pz
使
f
k1 y12
k2 y22
kr
y
2 r
ki 0,
及
f
1z12
2 z22
r
z
2 r
i 0,
则k1,,kr中正数的个数与1,, r中正数的个数
相等.
进一步，标准形的正平方项数（称为正惯性指 标），负的平方项数（负惯性指标）唯一.
Page 3
二、正(负)定二次型的概念
定义1 设有实二次型 f ( x) xT Ax,如果对任何
x 0,都有f x 0显然 f 0 0,则称f为正定二
次型,并称对称矩阵A是正定的;如果对任何x 0 都有f ( x) 0,则称 f为负定二次型,并称对称矩阵 A是负定的.
1r
0, r 1,2,, n.
ar1 arr
这个定理称为霍尔维茨定理．
Page 8
正定矩阵具有以下一些简单性质 1. 设A为正定实对称阵,则AT , A1, A均为正
定矩阵; 2. 若A, B均为n阶正定矩阵,则A B也是正定
矩阵.
Page 9
例1 判别二次型
f x1, x2, x3 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
是否正定.
解 用特征值判别法.
二次型的矩阵为
2 A 0
0 2 4 0 ,
2 0 5
令 E A 0 1 1, 2 4, 3 6.
即知 A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
Page 11
四、小结
1. 正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系．
2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (1)定义法； (2)顺次主子式判别法； (3)特征值判别法.
例如 f x2 4 y2 16z2 为正定二次型
f x12 3x22
为负定二次型
Page 4
定义2 具有对称阵A的二次型 f ( X ) X T AX
若对任何X x1，x2 ，xn T ,都有 X T AX 0(或 0)
且有X0 x10，x20
，xn0
T
0,
使得X
T 0
3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导．
Page 12
是否正定.
5 2 4
解
f
x1
,
x2
,
x3
的矩阵为
2
1 2,
4 2 5
它的顺序主子式
5 0,5 22 1 Nhomakorabea, 15 2 4
2 1 2
4 2 1 0, 5
故上述二次型是正定的.
Page 10
例2 判别二次型
f x1, x2 , x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3
§6.３ 实二次型的分类、 正定矩阵
一、惯性定理 0011 0010 1010 1101 000二1 0、10正0 1(0负11)定二次型的概念
1 三、正(负)定二次型的判别
42 四、小结 1
一、惯性定理
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．
Page 6
任一对称阵合同于对角阵,而对角阵的有定性 较易判别.
d1
定理4 对角阵D
d2
dn
为正定矩阵的充分必要条件是di 0, (i 1, 2, ..., n)
类似地 : D负定 di 0 (i 1, 2,...,n)
D半正定 di 0, (i 1, 2,...,n)且有某dk 0