运筹学4单纯形法迭代原理

b2
. . . ... . . . . .
0 0 0 ... 1 am,m1 ... amn bm
1 c1 c2 ... cm cm1 ... cn 0
第-Z一行x1 是x2价…值系xm数行，标xm+出1 了决策…变量xj的x价n 值系数右cj端
第0二行1是0标.示..行0，标出a了1,m表1中主体.各..行的含a1义n 。
-Z0
0
0 0 .0.. 0
m1 .m ..t n
j
主行同除以al,m+t,即将主元素化为1
将将新新的的主主行行的的(-ai,mm+t)倍t倍分分别别加加到到第最i行后，一即行将，主即列将的x其m+他t的元检素验化数为化0为. 0.
cj
c l c1 c2
…
cm
cm+1
c m … t cn
CB XB b
xm amm1xm1 amnxn bm
xj 0 ( j 1,2,,n)
将目标函数改写为：-Z+c1x1+c2x2+…+cnxn=0
写成增广矩阵的形式
Z x1 x2 ... xm xm1 ... xn 右端
0 1 0 ... 0 a1,m1 ... a1n b1
0 0
1 ... 0
a2,m1 ... a2n
xk 1 mt
xlk a'
l ,m t
x ik 1 x ik a i',m tx m k 1 t,i 1 ,.m .,i. l,
xlk1 0
x 离基变量： l
X (k ) (x 1 k,x 2 k,.x .m k,0 .,,.0 ) .T ., X ( k 1 ) ( x 1 k 1 ,x . l k 1 1 , 0 .,x l k . 1 1 , 0 .0 . ,x m k . 1 t , 0 ,0 . ) T . 是 解可 ！.行,
cm
xm
-Z
bm'
-Z'0
0 0
0 0
.*... .*..
1 0
am' ,m1
m'1
....
0
.0 ..
am' n
n'
j
6. 回到1,对新解作最优性检验。
例：用单纯形法求解线性规划问题
mz a 2 x x 1 3 x 2 3 x 3
x1 x2 x3 3 s.t. x1 4x2 7x3 9
jm1
m
mn
n
cibi'
ciai'jxj cjxj
n
xi bi' ai'jxj
jm1
i1
i1jm1
jm1
m
nm
n
cibi'
ciai'jxj cjxj
i1
jm 1i1
jm 1
典式
m
n
m
cibi' (cj ciai' )jxj
zj
i 1
jm 1 i 1
n
Z 0
n
n
b1
最0后一0行1是.检..验0数行，a标2,m 出1了对应.决..策变量a2xnj的检验数b2 j
第.一列. 标.出.了..基.变量的价.值系数。 .
.
.
第第0二三列列0标是0出右.了端..当项1前，基前变ma个量mm,元m 的1素名是称当。前...基本可amm行n解的基变m bm量的
取1值 0b0B1 .b .. 0 cm1 ciai,m1 ... cn ciai,n cibi
于是，若某线性规划只有唯一的一个最 优解，这个最优解所对应的点一定是可行域 的一个顶点；若该线性规划有多个最优解， 那么肯定在可行域的顶点中可以找到至少一 个最优解。
转移条件？
转移结果？
使目标函数值得到改善
得到LP最优解，目标函数达到最优值
2．需要解决的问题：
(1)为了使目标函数逐步变优，怎么转移？ (2)目标函数何时达到最优——
是否还是基本解？是
Z(k1) Z0
n
j xj
Z0
xk
mt mt
jm1
Z0 Z(k)
从而，目标函数得到了改善。
第四节 单纯形表
（1）建立初始单纯形表，假定B=I，b≥0
设maxx1Z=c1x1+ac12mx21+x…m1+cnxna1nxn b1
s.t.
x2
a2m1xm1 a2nxn b2
？
x1
a1m1xm1 a1nxn b1
x2
a2m1xm1 a2nxn b2
xm am x m1 m1 amnxn bm xj 0 ( j 1,2,,n)
➢观察法 ——观察系数矩阵中是否含有现成的单位阵？ ➢LP限制条件中全部是“≤”类型的约束 ——将新增的松弛变量(+)作为初始基变量，对应的 系数列向量构成单位阵； ➢LP限制条件有“≥”类型的约束 ——左端新增剩余变量(-)后，再加上一个非负的新 变量—人工变量。 ➢LP限制条件有“=”类型的约束 ——直接在左端加上人工变量。
三 单纯形法 迭代原理
三. 单纯形法的基本思想
1、顶点的逐步转移
即从可行域的一个顶点（基本可行解） 开始，转移到另一个顶点（另一个基本可 行解）的迭代过程，转移的条件是使目标 函数值得到改善（逐步变优），当目标函 数达到最优值时，问题也就得到了最优解。
顶点转移的依据？
根据线性规划问题的可行域是凸多边形 或凸多面体，一个线性规划问题有最优解， 就一定可以在可行域的顶点上找到。
判断标准是什么？
解LP问题单纯形法的基本思路： 初始可行基：设法在约
束矩阵 ARmn中
构造出一个m阶单位阵
初始基本可行解
检验数
进基变量：检验数 离基变量：最小比值准则
1.确定初始基本可行解
LP:
n
maxz cjxj j1 n
s.t.j1 Pjxj b xj 0( j 1,2,3,n)
希望在化LP的标准形 式时，A中都含有一 个m阶单位阵。
若 mt 0且pm ' t 0
3.选择进基变量
则该LP无最优解。
ma j|x j { 0 }m t
从而xm+t是进基变量， pm+t为进基向量，并称表中pm+t所在的列为主列。 4.选择离基变量
im ianib ,m it ai,mt 0 alb ,m lt
最小比值准则
从而xl是离基变量， 并称表中离基变量所在的行为主行。
作 业P44
1.4 分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题。
max z 10 x1 5 x 2 3 x1 4 x2 9
s.t.5 x1 2 x 2 8 x1 , x 2 0
c2
x2
b2
0 1 .0.. 0
.
a2,m1 a 2 ., m.. t
a2n
bi ai,m t
c:l x:l b:l 0. .0 .1... 0. . . . [ a ] al,m+1 l., m . t aln
cm xm bm 0 0 .... 1 am,m1 a m .,.m . t amn
-Z
3、进行基变换
ZZ0 jxj
jm1
（1）进基变量的确定——原则：正检验数（或最大正检验
数）所对应的变量进基，目的是使目标函数得到改善。
xmt
（2）离基变量的确定——在保持解的可行性的前提下， 使目标函数较快增大。
X (k ) (x 1 k,x 2 k,.x .m k,0 .,,.0 ) .T .,
X (0 ) (b 1 ,b 2 ,.b .m ,0 .,,.0 ) .T .,
2.建立判别准则
判断：初始基本可行解或经过若干次迭代后得到的新基 本可行解—当前解—是否为最优解？
一般（经过若干次迭代），对于基B，用 非基变量表出基变量的表达式 为：
Axb BBxNN xb
xBB1bB1NN x 典式
xmt
xik ai',mtxmt
若mt 0且pm ' t 0
则该LP无最优解。
>
当
a' i,mt
0时，为使
xikai',mtxmt 0，需要
最小比 值原则
xmt
xik a'
i,mt
x k 1 mt
x 从而， m t
最大可取到mi inaix',mikt
a' i,mt
0
x
k l
a' l ,m t
xik1xikai',m txm t
解： 标准化： xj 0 ( j 1,2,3)
m z 2 a x 1 3 x x 2 3 x 3 0 x 4 0 x 5
s.t.
xx11
x2 x3 x4 3 4x2 7x3 x5 9
xj 0 (j 1,2,35)
以 x4 , x5 对应的系数列向量P4 , P5 构成一单位矩阵，取初始基
B (P 4 ,P 5 ). x 4 ,x 5 为基变量，x1, x2, x3 为非基变量。
建立初始单纯行表
3 /1
[]
9 /7
确定 x 3 为进基变量，以 x 5 为离基变量，而 a237为主元素。
基变换
[]
2
9
确定 x 1 为进基变量，以 x 4 为离基变量，而a116/7为主元素。
[]
基变换
-Z -Z0 0 0 ... 0 m1 ... n j
cj
CB XB b
c1 c2
…
cm
x1 x2
…
xm
cm+1 xm+1
… …
cn xn
c 1 x 1 b 1 1 0 ... 0 a1,m1 ... a1n
c 2 x 2 b 2 0 1 ... 0 a2,m1 ... a2n
: : : . . ... . . . .
c m x m b m 0 0 ... 1 am,m1 ... amn
-Z -Z0 0 0 ... 0 m1 ... n j
将初始数据填入上表，可得到初始单纯形表。 1.检验当前基本可行解是否为最优解？
最优性判别定 理
观察检验数行，若所有的 则进行下一步。
j
0
，则停止计算。否
2.检验是否为无界解？
5. 基变换
主行和主列的交叉元素称为主元素al,m+t
p 1..p l...p m . p 1 .. p l 1 , . p m t , p l.. p m .
cj
CB XB b
c l c1 c2
…
cm
x1 x2
…x l
xm
cm+1
c m… t cn
xm+1
x…
xn
m t
c1 x1 b1 1 0 .0.. 0 a1,m1 a 1 ., m.. t a1n
n
xi bi' ai'jxj, jm1
n
BI, 若
xi bi aijxj
jm1
i1,2 ,m
用非基变量表示目标函数的表达式：
n
m
n
m
n
Z cjx j cjxj cjxj cixi cjxj
j1
m
j1
n
jm1
i1
n
jm1
ci(bi' ai'jxj) cjxj
i1
jm1
Z0 (cj zj)xjZ0 jxj
Z
Z0 jxj
jm1
jm1
jm1
j 检验数
n
ZZ0 jxj
m
其中 Z0 cibi',
i1
jm1 m
j cj zj, z j ciai'j
i1
（1）最优性判别定理
பைடு நூலகம்
j0,jm1,.n ..,
（2）有无穷多个“最优解”的判别定
理
j 0 且mt 0
n
4
[]
2
确定 x 2 为进基变量，以 x 3 为离基变量，而 a221/2为主元素。
4
[]
2
基变换
上表中检验数满足最优性条件，得到最优解：X*(1,2,0,0,0)
及最大值：Zmax8
说明
用单纯形法从当前解迭代到下一个基本可 行解时，两者之间只有一个基变量不同 （从而也有一个非基变量不同），称两者 为相邻的基本可行解（即相邻的顶点）。
i1
i1
i1
cj
CB XB b
c1 c2
…
cm
x1 x2
…
xm
cm+1 xm+1
… …
cn xn
c1
x1
b1
1检验数0行 ... 0 a1,m1
... a1n
最 小
c2
x2
b2
0 1 ... 0 a2,m1
... a2n
比 值
: : : . . ... . . . . 准 则
c m x m b m 0 0 ... 1 am,m1 ... amn
n
xi bi' ai'jxj
jm1
xj 0; j m1,...,n
xik bi'
xm t0 xj0 ;jm 1 ,.m . .t, 1 ,m t 1 ,.n ..,
xik1bi' ai',mtxmt xikai',mtxmt
xik1xikai',m txm t 0
n
ZZ0 jxj
jm1
a' i,m t < =
在引入人工变量后，与原先的约束方程不完全等价，为此， 需要在目标函数上做些“修正”——大M法或两阶段法
x1
x2
a1m1xm1 a1nxn b1 a2m1xm1 a2nxn b2
xm am x m1 m1 amnxn bm xj 0 ( j 1,2,,n)
非基变量取0，算出基变量，搭配在一起构成 初始基本可行解：
x1 x2
…x l
xm
xm+1
x m … t xn
c1 x1 b1' 1 0 .*.. 0 a1',m1 .0.. a1'n
c2 x2 b2' 0 1 ..*.. 0 a2',m1 .0... a2'n
: : : . cm+t xm+t b'm+t 0 .0 .*.... 0. . a'l,m+1 ..1. .a'ln