2022年重庆市铜梁区中考数学仿真试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3、1．随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率是（）
A．1
4
B．
1
2
C．
3
4
D．
5
6
2．如图,折叠矩形纸片ABCD的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,若AB=8,BC=10,则△CEF的周长为（）
A．12 B．16 C．18 D．24
3．不等式的最小整数解是（）
A．－3 B．－2 C．－1 D．2
4．下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
5．从一个边长为3cm的大立方体挖去一个边长为1cm的小立方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图正确的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．如图是婴儿车的平面示意图,其中AB ∥CD,∠1=120°
,∠3=40°,那么∠2的度数为（ ）
A ．80°
B ．90°
C ．100°
D ．102°
7．关于x 的方程x 2﹣3x +k ＝0的一个根是2，则常数k 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．﹣1
D ．﹣2
8．9的值是( )
A ．±3
B ．3
C ．9
D ．81
9．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为D 、E ，F 分别是CD ，AD 上的点，且CE ＝AF.如果∠AED ＝62°，那么∠DBF 的度数为( )
A ．62°
B ．38°
C ．28°
D ．26°
10．如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．如图，ABC ∆中，6AB =，4BC =，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转得到AEF ∆，使得//BC AF ，延长BC 交AE 于点D ，则线段CD 的长为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
12．﹣2的绝对值是（ ）
A ．2
B ．12
C ．12-
D ．2-
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．分解因式：2x 3﹣4x 2+2x ＝_____．
14．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值
是 ．
15．如图，在长方形ABCD 中，AF ⊥BD ，垂足为E ，AF 交BC 于点F ，连接DF ．图中有全等三角形_____对，有面积相等但不全等的三角形_____对．
16．抛物线y ＝2x 2+3x+k ﹣2经过点（﹣1，0），那么k ＝_____．
17．已知a ，b ，c ，d 是成比例的线段，其中3cm a =，2cm b =，6cm c =，则d =_______cm ．
18．分解因式x 2﹣x=_______________________
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）计算：（﹣2）﹣2﹣22
sin45°+（﹣1）201838- 2 20．（6分）如图，Rt ABP 的直角顶点P 在第四象限，顶点A 、B 分别落在反比例函数k y x
=图象的两支上，且PB x ⊥轴于点C ，PA y ⊥轴于点D ，AB 分别与x 轴，y 轴相交于点F 和.E 已知点B 的坐标为()1,3．
()1填空：k =______；
()2证明：//CD AB ；
()3当四边形ABCD 的面积和PCD 的面积相等时，求点P 的坐标．
21．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F 分别在边AC、BC上）
若△CEF与△ABC相似．
①当AC=BC=2时，AD的长为；
②当AC=3，BC=4时，AD的长为；当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．22．（8分）图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）如图1，点P在小正方形的顶点上，在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q，连接AQ、QC、CP、PA，并直接写出四边形AQCP的周长；
（2）在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上．
23．（8分）为了解朝阳社区20~60岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：
求参与问卷调查的总人数．补全
条形统计图．该社区中20~60岁的居民约8000人，估算这些人中最喜欢微信支付方式的人数．
24．（10分）如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，∠BAF的平分线交⊙O于点E，交⊙O的切线BC于点C，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D．
求证：DE是⊙O的切线；若DE＝3，CE＝2. ①求BC
AE
的值；②若点G为AE上一点，求
OG+1
2
EG最小值．
25．（10分）[阅读]我们定义：如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“中边三角形”，把这条边和其边上的中线称为“对应边”．
[理解]如图1，Rt△ABC是“中边三角形”，∠C=90°，AC和BD是“对应边”，求tanA的值；
[探究]如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=2β，点P，Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB﹣BC
和AD﹣DC向终点C运动，记点P经过的路程为s．当β=45°时，若△APQ是“中边三角形”，试求a
s
的值．
26．（12分）解方程组：
11
3
31
1 x x y
x x y
⎧
+=⎪+
⎪
⎨
⎪-=
⎪+
⎩
27．（12分）如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的
正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D（4，）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动,同时点Q由点B出发,沿BC边以1cm/s的速度向点C 运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）．
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;
②当S取时，在抛物线上是否存在点R,使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由．
（3）在抛物线的对称轴上求点M,使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、C
【解析】
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次抽取的卡片上数字之积为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上数字之积为偶数的结果数为12，
所以两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率=123 164
=，
故选C．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2、A
【解析】
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=10，AB=CD=8，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF=AD=10，EF=DE，
在Rt△ABF中，
∵BF=22
AF AB
-=6，
∴CF=BC-BF=10-6=4，
∴△CEF的周长为：CE+EF+CF=CE+DE+CF=CD+CF=8+4=1．
故选A．
3、B
【解析】
先求出不等式的解集，然后从解集中找出最小整数即可.
【详解】
∵，
∴，
∴，
∴不等式的最小整数解是x=-2.
故选B.
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键.最后一步系数化为1时，如果未知数的系数是负数，则不等号的方向要改变，如果系数是正数，则不等号的方不变.
4、B
【解析】试题分析：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选B．
【考点】中心对称图形．
5、C
【解析】
左视图就是从物体的左边往右边看．小正方形应该在右上角，故B错误，看不到的线要用虚线，故A错误，大立方体
的边长为3cm，挖去的小立方体边长为1cm，所以小正方形的边长应该是大正方形1
3
，故D错误，所以C正确．
故此题选C．
6、A
【解析】
分析：根据平行线性质求出∠A，根据三角形内角和定理得出∠2=180°-∠1−∠A，代入求出即可．
详解：∵AB∥CD.
∴∠A=∠3=40°，
∵∠1=60°，
∴∠2=180°-∠1−∠A=80°，
故选：A.
点睛：本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等.三角形内角和定理：三角形内角和为180°.
7、B
【解析】
根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入2x-3x+k=0得4-6+k=0，然后解关于k的方程即可.
【详解】
把x=2代入2x-3x+k=0得，4-6+k=0，
解得k=2.
故答案为：B.
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的定义，把已知代入方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值是解题的关键.
8、C
【解析】
3=
3
故选C.
9、C
【解析】
分析：主要考查：等腰三角形的三线合一，直角三角形的性质．注意：根据斜边和直角边对应相等可以证明△BDF ≌△ADE ．
详解：∵AB =AC ，AD ⊥BC ，∴BD =CD ．
又∵∠BAC =90°，∴BD =AD =CD ．
又∵CE =AF ，∴DF =DE ，∴Rt △BDF ≌Rt △ADE （SAS ），
∴∠DBF =∠DAE =90°﹣62°=28°．
故选C ．
点睛：熟练运用等腰直角三角形三线合一性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解答本题的关键． 10、A
【解析】
试题分析：根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此可知，A 为轴对称图形．
故选A ．
考点：轴对称图形
11、B
【解析】
先利用已知证明BAC BDA △△，从而得出BA BC BD BA
=，求出BD 的长度，最后利用CD BD BC =-求解即可． 【详解】 //AF BC
FAD ADB ∴∠=∠
BAC FAD ∠=∠
BAC ADB ∴∠=∠
B B ∠∠=
BAC BDA ∴
BA BC BD BA
∴= 646
BD ∴= 9BD ∴=
945CD BD BC ∴=-=-=
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
12、A
【解析】
分析：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，所以﹣2的绝对值是2，故选A ．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、2x （x-1）2
【解析】
2x 3﹣4x 2+2x=222(21)2(1)x x x x x -+=-
14、2
【解析】
试题分析：分析前三个正方形可知，规律为右上和左下两个数的积减左上的数等于右下的数，且左上，左下，右上三个数是相邻的偶数．因此，图中阴影部分的两个数分别是左下是12，右上是1．
解：分析可得图中阴影部分的两个数分别是左下是12，右上是1，
则m=12×
1﹣10=2． 故答案为2．
考点：规律型：数字的变化类．
15、1 1
【解析】
根据长方形的对边相等，每一个角都是直角可得AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=∠C=90°，然后利用“边角边”证明Rt △ABD
和Rt △CDB 全等；根据等底等高的三角形面积相等解答．
【详解】
有，Rt △ABD ≌Rt △CDB ，
理由：在长方形ABCD 中，AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=∠C=90°，
在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，
90AB CD BAD C AD BC ⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩
＝＝＝＝，
∴Rt △ABD ≌Rt △CDB （SAS ）；
有，△BFD 与△BFA ，△ABD 与△AFD ，△ABE 与△DFE ，△AFD 与△BCD 面积相等，但不全等．
故答案为：1；1．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，长方形的性质，以及等底等高的三角形的面积相等．
16、3.
【解析】
试题解析：把（-1，0）代入2
232y x x k =++-得：
2-3+k-2=0,
解得：k=3.
故答案为3.
17、4
【解析】
如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad ＝cb ，将a ，b 及c 的值代入即可求得d ．
【详解】
已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，
根据比例线段的定义得：ad ＝cb ，
代入a ＝3，b ＝2，c ＝6，
解得：d ＝4，
则d ＝4cm ．
故答案为：4
【点睛】
本题主要考查比例线段的定义．要注意考虑问题要全面．
18、x(x-1)
【解析】
x 2﹣x
= x(x-1).
故答案是：x(x-1).
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、74
【解析】
按照实数的运算顺序进行运算即可.
【详解】
解：原式()1122,4=
+--÷ 1111,42
=-++ 7.4
= 【点睛】
本题考查实数的运算，主要考查零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值以及立方根，熟练掌握各个知识点是解题的关键.
20、（1）1；（2）证明见解析；（1）P 点坐标为()
1
3-，． 【解析】 ()1由点B 的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k 值；
()2设A 点坐标为3a,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则D 点坐标为30,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，P 点坐标为31,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，C 点坐标为()1,0，进而可得出PB ，PC ，PA ，PD 的长度，由四条线段的长度可得出PC PD PB PA
=，结合P P ∠∠=可得出PDC ∽PAB ，由相似三角形的性质可得出CDP A ∠∠=，再利用“同位角相等，两直线平行”可证出CD//AB ；
()3由四边形ABCD 的面积和PCD 的面积相等可得出PAB PCD S 2S =，利用三角形的面积公式可得出关于a 的方程，解之取其负值，再将其代入P 点的坐标中即可求出结论．
【详解】 ()1解：B 点()1,3在反比例函数k y x
=的图象， k 133∴=⨯=．
故答案为：1．
()2证明：反比例函数解析式为3y x =， ∴设A 点坐标为3a,.a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ PB x ⊥轴于点C ，PA y ⊥轴于点D ，
D ∴点坐标为30,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，P 点坐标为31,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，C 点坐标为()1,0， 3PB 3a ∴=-，3PC a
=-，PA 1a =-，PD 1=， 3PC 1a 3PB 1a 3a
-∴==--，PD 1PA 1a
=-， PC PD PB PA
∴=． 又P P ∠∠=，
PDC ∴∽PAB ，
CDP A ∠∠∴=，
CD//AB ∴．
()3解：
四边形ABCD 的面积和PCD 的面积相等， PAB PCD S 2S ∴=，
()131331a 212a 2a ⎛⎫⎛⎫∴⨯-⨯-=⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 整理得：2
(a 1)2-=，
解得：1a 12=，2a 12(=舍去)， P ∴点坐标为()
1,323-．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、平行线的判定以及三角形的面积，解题关键是：()1根据点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值；()2利用相似三角形的判定定理找出PDC∽PAB；()3由三角形的面积公式，找出关于a的方程．
21、解：（1）①2．②9
5
或
5
2
．（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．理由见解析.
【解析】
（1）①当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形；
②若△CEF与△ABC相似，分两种情况：①若CE：CF=3：4，如图1所示，此时EF∥AB，CD为AB边上的高；②若CF：CE=3：4，如图2所示．由相似三角形角之间的关系，可以推出∠A=∠ECD与∠B=∠FCD，从而得到CD=AD=BD，即D点为AB的中点；
（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．可以推出∠CFE=∠A，∠C=∠C，从而可以证明两个三角形相似．
【详解】
（1）若△CEF与△ABC相似．
①当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形，如答图1所示，
此时D为AB边中点，AD=
2
2
AC=2．
②当AC=3，BC=4时，有两种情况：（I）若CE：CF=3：4，如答图2所示，
∵CE：CF=AC：BC，∴EF∥BC．
由折叠性质可知，CD⊥EF，
∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴BC=1．
∴cosA=3
5
．∴AD=AC•cosA=3×
3
5
=
9
5
．
（II）若CF：CE=3：4，如答图3所示．
∵△CEF∽△CAB，∴∠CEF=∠B．
由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD=90°．
又∵∠A+∠B=90°，∴∠A=∠ECD，∴AD=CD．同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD．∴AD=BD．
∴此时AD=AB=1
2
×1=
5
2
．
综上所述，当AC=3，BC=4时，AD的长为9
5
或
5
2
．
（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△CBA相似．理由如下：如图所示，连接CD，与EF交于点Q．
∵CD是Rt△ABC的中线
∴CD=DB=1
2 AB，
∴∠DCB=∠B．
由折叠性质可知，∠CQF=∠DQF=90°，
∴∠DCB+∠CFE=90°，
∵∠B+∠A=90°，
∴∠CFE=∠A，
又∵∠ACB=∠ACB，
∴△CEF∽△CBA．
22、（1）作图见解析；；（2）作图见解析.
【解析】
试题分析：（1）通过数格子可得到点P关于AC的对称点，再直接利用勾股定理可得到周长；（2）利用网格结合矩形的性质以及勾股定理可画出矩形.
试题解析：（1）如图1所示：四边形AQCP即为所求，它的周长为：；（2）如图2所示：四边形ABCD即为所求．
考点：1轴对称；2勾股定理.
23、（1）参与问卷调查的总人数为500人；（2）补全条形统计图见解析；（3）这些人中最喜欢微信支付方式的人数约为2800人．
【解析】
（1）根据喜欢支付宝支付的人数÷其所占各种支付方式的比例=参与问卷调查的总人数，即可求出结论；
（2）根据喜欢现金支付的人数（41～60岁）=参与问卷调查的总人数×现金支付所占各种支付方式的比例-15，即可求出喜欢现金支付的人数（41～60岁），再将条形统计图补充完整即可得出结论；
（3）根据喜欢微信支付方式的人数=社区居民人数×微信支付所占各种支付方式的比例，即可求出结论．
【详解】
（1）()1208040%500+÷=（人)．
答：参与问卷调查的总人数为500人．
（2）50015%1560⨯-=（人)．
补全条形统计图，如图所示．
（3）()8000140%10%15%2800⨯---=（人)．
答：这些人中最喜欢微信支付方式的人数约为2800人．
【点睛】
本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体，解题的关键是：（1）观察统计图找出数据，再列式计算；（2）通过计算求出喜欢现金支付的人数（41～60岁）；（3）根据样本的比例×总人数，估算出喜欢微信支付方式的人数．
24、（1）证明见解析（2）①2
3
②3
【解析】
（1）作辅助线，连接OE．根据切线的判定定理，只需证DE⊥OE即可；
（2）①连接BE．根据BC、DE两切线的性质证明△ADE∽△BEC；又由角平分线的性质、等腰三角形的两个底角相
等求得△ABE∽△AFD，所以
2
3 BC CE
AE DE
==；
②连接OF，交AD于H，由①得∠FOE=∠FOA=60°,连接EF，则△AOF、△EOF都是等边三角形，故四边形AOEF
是菱形，由对称性可知GO=GF,过点G作GM⊥OE于M，则GM=1
2
EG，OG+
1
2
EG=GF+GM,根据两点之间线段最
短，当F、G、M三点共线，OG+1
2
EG=GF+GM=FM最小，此时FM =3.故OG+
1
2
EG最小值是3.
【详解】
（1）连接OE
∵OA=OE，∴∠AEO=∠EAO
∵∠FAE=∠EAO，∴∠FAE=∠AEO ∴OE∥AF
∵DE⊥AF，∴OE⊥DE
∴DE是⊙O的切线
（2）①解：连接BE
∵直径AB ∴∠AEB=90°
∵圆O与BC相切
∴∠ABC=90°
∵∠EAB+∠EBA=∠EBA+∠CBE=90°∴∠EAB=∠CBE
∴∠DAE=∠CBE
∵∠ADE=∠BEC=90°
∴△ADE∽△BEC
∴
2
3 BC CE
AE DE
==
②连接OF，交AE于G，由①，设BC=2x，则AE=3x
∵△BEC∽△ABC ∴BC CE AC BC
=
∴
22 322
x
x x
=
+
解得：x1=2，
21 2
x=-（不合题意，舍去）
∴AE=3x=6，BC=2x=4，AC=AE+CE=8
∴AB=43，∠BAC=30°
∴∠AEO=∠EAO=∠EAF=30°，∴∠FOE=2∠FAE=60°
∴∠FOE=∠FOA=60°,连接EF，则△AOF、△EOF都是等边三角形，∴四边形AOEF是菱形
由对称性可知GO=GF,过点G作GM⊥OE于M，则GM=1
2
EG，OG+
1
2
EG=GF+GM,根据两点之间线段最短，当F、
G、M三点共线，OG+1
2
EG=GF+GM=FM最小，此时FM=FOsin60o=3.
故OG+1
2
EG最小值是3.
【点睛】
本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质．比较复杂，解答此题的关键是作出辅助线，利用数形结合解答．
25、tanA=
3
2
；综上所述，当β=45°时，若△APQ是“中边三角形”，
a
s
的值为
3
4
或
151
102
+．
【解析】
(1)由AC和BD是“对应边”，可得AC=BD，设AC=2x，则CD=x，BD=2x，可得∴BC=x，可得tanA===
(2) 当点P在BC上时，连接AC，交PQ于点E，延长AB交QP的延长线于点F，可得AC是QP的垂直平分线.
可求得△AEF∽△CEP，=，分两种情况：
当底边PQ与它的中线AE相等，即AE=PQ时，
==，
∴=；
当腰AP与它的中线QM相等时，即AP=QM时，QM=AQ，
（3）作QN⊥AP于N，可得tan∠APQ===，
∴=，
【详解】
解：[理解]∵AC和BD是“对应边”，
∴AC=BD，
设AC=2x，则CD=x，BD=2x，
∵∠C=90°，
∴BC===x，
∴tanA===；
[探究]若β=45°，当点P在AB上时，△APQ是等腰直角三角形，不可能是“中边三角形”，如图2，当点P在BC上时，连接AC，交PQ于点E，延长AB交QP的延长线于点F，∵PC=QC，∠ACB=∠ACD，
∴AC是QP的垂直平分线，
∴AP=AQ，
∵∠CAB=∠ACP，∠AEF=∠CEP，
∴△AEF∽△CEP，
∴===，
∵PE=CE，
∴=，
分两种情况：
当底边PQ与它的中线AE相等，即AE=PQ时，
==，
∴=；
当腰AP与它的中线QM相等时，即AP=QM时，QM=AQ，
如图3，作QN⊥AP于N，
∴MN=AN=PM=QM，
∴QN=MN，
∴ntan∠APQ===，
∴=，
综上所述，当β=45°时，若△APQ是“中边三角形”，的值为或．
【点睛】本题是一道相似形综合运用的试题, 考查了相似三角形的判定及性质的运用, 勾股定理
的运用, 等腰直角三角形的性质的运用, 等腰三角形的性质的运用, 锐角三角形函数值的运用, 解答时灵活运用三角函数值建立方程求解是解答的关键.
26、
1
0.5 x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
【解析】
设1
x
=a，
1
x y
+
=b，则原方程组化为
3
31
a b
a b
+=
⎧
⎨
-=
⎩
①
②
，求出方程组的解，再求出原方程组的解即可．
【详解】
设1
x
=a，
1
x y
+
=b，
则原方程组化为：
3
31
a b
a b
+=
⎧
⎨
-=
⎩
①
②
，
①+②得：4a=4，
解得：a=1，
把a=1代入①得：1+b=3，解得：b=2，
即
1
1
1
2 x
x y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
+
⎪⎩
，
解得：
1
0.5 x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
经检验
1
0.5
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
是原方程组的解，
所以原方程组的解是
1
0.5 x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
．
【点睛】
此题考查利用换元法解方程组，注意要根据方程组的特点灵活选用合适的方法. 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它,从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理.
27、（1）抛物线的解析式为：;
（2）①S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2﹣8t+4,t的取值范围是0≤t≤1;
②存在.R点的坐标是（3,﹣）;
（3）M的坐标为（1,﹣）．
【解析】
试题分析：（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,求出A、B、D的坐标代入即可;
（2）①由勾股定理即可求出;②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形,求出P、Q的坐标,再分为两种种情况：A、B、C即可根据平行四边形的性质求出R的坐标;
（3）A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,求出直线BD的解析式,把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标．
试题解析：（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,
∵正方形的边长2,
∴B的坐标（2,﹣2）A点的坐标是（0,﹣2）,
把A（0,﹣2）,B（2,﹣2）,D（4,﹣）代入得：,
解得a=,b=﹣,c=﹣2,
∴抛物线的解析式为：,
答：抛物线的解析式为：;
（2）①由图象知：PB=2﹣2t,BQ=t,
∴S=PQ2=PB2+BQ2,
=（2﹣2t）2+t2,
即S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1）．
答：S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2﹣8t+4,t的取值范围是0≤t≤1;
②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形．
∵S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1）,
∴当S=时,5t2﹣8t+4=,得20t2﹣32t+11=0,
解得t=,t=（不合题意,舍去）,
此时点P的坐标为（1,﹣2）,Q点的坐标为（2,﹣）,
若R点存在,分情况讨论：
（i）假设R在BQ的右边,如图所示,这时QR=PB,RQ∥PB,
则R的横坐标为3,R的纵坐标为﹣,
即R（3,﹣）,
代入,左右两边相等,
∴这时存在R（3,﹣）满足题意;
（ii）假设R在QB的左边时,这时PR=QB,PR∥QB,
则R（1,﹣）代入,,
左右不相等,∴R不在抛物线上．（1分）
综上所述,存点一点R（3,﹣）满足题意．
答：存在,R点的坐标是（3,﹣）;
（3）如图,M′B=M′A,
∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M, 理由是：∵MA=MB,若M不为L与DB的交点,则三点B、M、D构成三角形,
∴|MB|﹣|MD|＜|DB|,
即M到D、A的距离之差为|DB|时,差值最大,
设直线BD的解析式是y=kx+b,把B、D的坐标代入得：,
解得：k=,b=﹣,
∴y=x﹣,
抛物线的对称轴是x=1, 把x=1代入得：y=﹣
∴M的坐标为（1,﹣）;
答：M的坐标为（1,﹣）．
考点：二次函数综合题．。