梁溪区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

梁溪区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题
1．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l
2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）
A
．B
． C
． D
．
3．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）
A
．B
． C
．D
．
4．某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用框图表示，这种框图通常称为（）A．程序流程图B．工序流程图C．知识结构图D．组织结构图
5．点A
是椭圆上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，I是△AF1F2
的内心．若
，则该椭圆的离心率为（）
A
．B
．C
．D
．
6．
设集合（）
A
．B
． C
．
D
．
7．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的
距离为3，则|OM|=（）
A
． B
． C．4 D
．
8．若命题“p∧q”为假，且“¬q”为假，则（）
A．“p∨q”为假B．p假
C．p真D．不能判断q的真假
9．设F1，F2
是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（）
A
． B
． C．24 D．48
10．执行如图所示的一个程序框图，若f（x）在[﹣1，a]上的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是（）班
级
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座
号
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姓
名
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分
数
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A．（0，1] B．[1，] C．[1，2] D．[，2]
11．某校为了了解1500名学生对学校食堂的意见，从中抽取1个容量为50的样本，采用系统抽样法，则分段间隔为（）1111]
A．10B．51C．20D．30
12．不等式≤0的解集是（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）B．[﹣1，2] C．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞） D．（﹣1，2]
二、填空题
13．已知（x2﹣）n）的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是．
14．已知（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中没有常数项，且2≤n≤8，则n=．
15．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．
16．椭圆的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于P、Q，则△PQF2的周长为．
17．利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是．
18．用描述法表示图中阴影部分的点（含边界）的坐标的集合为．
三、解答题
19．设函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在上的最大值与最小值．
20．从某中学高三某个班级第一组的7名女生，8名男生中，随机一次挑选出4名去参加体育达标测试．（Ⅰ）若选出的4名同学是同一性别，求全为女生的概率；
（Ⅱ）若设选出男生的人数为X，求X的分布列和EX．
21．已知椭圆：+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），且焦距为2，直线l交椭圆于E、F两点（E、
F与A点不重合），且满足AE⊥AF．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）O为坐标原点，若点P满足2=+，求直线AP的斜率的取值范围．
226
（2）求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；
（3）若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．
23．已知定义在[]3,2-的一次函数()f x 为单调增函数，且值域为[]2,7． （1）求()f x 的解析式；
（2）求函数[()]f f x 的解析式并确定其定义域．
24．如图，已知AC ，BD 为圆O 的任意两条直径，直线AE ，CF 是圆O 所在平面的两条垂线，且线段AE=CF=，
AC=2．
（Ⅰ）证明AD ⊥BE ；
（Ⅱ）求多面体EF ﹣ABCD 体积的最大值．
梁溪区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，
又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．
由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，
与m，n异面矛盾．
故α与β相交，且交线平行于l．
故选D．
【点评】本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．
2．【答案】A
【解析】解：因为四个面是全等的正三角形，
则．
故选A
3．【答案】C
【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，
∵S3=a2+10a1，a5=9，
∴，解得．
∴．
故选C．
【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键．
4．【答案】D
【解析】解：用来描述系统结构的图示是结构图，
某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用组织结构图表示．
故选D．
【点评】本题考查结构图和流程图的概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
5．【答案】B
【解析】解：设△AF1F2的内切圆半径为r，则
S△IAF1=|AF1|r，S△IAF2=|AF2|r，S△IF1F2=|F1F2|r，
∵，
∴|AF1|r=2×|F1F2|r﹣|AF2|r，
整理，得|AF
|+|AF2|=2|F1F2|．∴a=2，
1
∴椭圆的离心率e===．
故选：B．
6．【答案】B
【解析】解：集合A中的不等式，当x＞0时，解得：x＞；当x＜0时，解得：x＜，
集合B中的解集为x＞，
则A∩B=（，+∞）．
故选B
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
7．【答案】B
【解析】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0）
∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，
∴2+=3
∴p=2
∴抛物线方程为y2=4x
∵M（2，y0）
∴
∴|OM|=
故选B．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程．8．【答案】B
【解析】解：∵命题“p∧q”为假，且“¬q”为假，
∴q为真，p为假；
则p∨q为真，
故选B．
【点评】本题考查了复合命题的真假性的判断，属于基础题．
9．【答案】C
【解析】解：F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|=10，
∵3|PF 1|=4|PF 2|，∴设|PF 2|=x ，则，
由双曲线的性质知，解得x=6．
∴|PF 1|=8，|PF 2|=6， ∴∠F 1PF 2=90°，
∴△PF 1F 2的面积=． 故选C ．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．
10．【答案】B
【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求f （x ）=
的值，
当a ＜0时，y=log 2（1﹣x ）+1在[﹣1，a]上为减函数，f （﹣1）=2，f （a ）=0⇒1﹣a=，a=，不符合题意；
当a ≥0时，f ′（x ）=3x 2
﹣3＞⇒x ＞1或x ＜﹣1，
∴函数在[0，1]上单调递减，又f （1）=0，∴a ≥1；
又函数在[1，a]上单调递增，∴f （a ）=a 3
﹣3a+2≤2⇒a ≤
．
故实数a 的取值范围是[1，]．
故选：B ．
【点评】本题考查了选择结构的程序框图，考查了导数的应用及分段函数值域的求法，综合性强，体现了分类讨论思想，解题的关键是利用导数法求函数在不定区间上的最值．
11．【答案】D 【解析】
试题分析：分段间隔为5030
1500
，故选D. 考点：系统抽样 12．【答案】D
【解析】解：依题意，不等式化为，
解得﹣1＜x ≤2， 故选D
【点评】本题主要考查不等式的解法，关键是将不等式转化为特定的不等式去解．
二、填空题
13．【答案】 45 ．
【解析】解：第三项的系数为C n 2，第五项的系数为C n 4
，
由第三项与第五项的系数之比为可得n=10，则T i+1=C10i（x2）10﹣i（﹣）i=（﹣1）i C10i=，
令40﹣5r=0，解得r=8，故所求的常数项为（﹣1）8C108=45，
故答案为：45．
14．【答案】5．
【解析】二项式定理．
【专题】计算题．
【分析】要想使已知展开式中没有常数项，需（x）n（n∈N+）的展开式中无常数项、x﹣1项、x﹣2项，利
用（x）n（n∈N+）的通项公式讨论即可．
【解答】解：设（x）n（n∈N+）的展开式的通项为T r+1，则T r+1=x n﹣r x﹣3r=x n﹣4r，2≤n≤8，
当n=2时，若r=0，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠2；
当n=3时，若r=1，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠3；
当n=4时，若r=1，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠4；
当n=5时，r=0、1、2、3、4、5时，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中均没有常数项，故n=5适合题意；
当n=6时，若r=1，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠6；
当n=7时，若r=2，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠7；
当n=8时，若r=2，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠2；
综上所述，n=5时，满足题意．
故答案为：5．
【点评】本题考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，突出考查分类讨论思想的应用，属于难题．15．【答案】50π
【解析】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，
所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，
所以球的半径为：；则这个球的表面积是：=50π．
故答案为：50π．
16．【答案】20．
【解析】解：∵a=5，由椭圆第一定义可知△PQF2的周长=4a．
∴△PQF2的周长=20．，
故答案为20．
【点评】作出草图，结合图形求解事半功倍．
17．【答案】．
【解析】解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6×6=36，即（a，b）的情况有36种，
事件“a+b为偶数”包含基本事件：
（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），
（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）
（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个，
“在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：
（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个，
故在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是P==
故答案为：
【点评】本题主要考查概率的计算，以条件概率为载体，考查条件概率的计算，解题的关键是判断概率的类型，从而利用相应公式，分别求出对应的测度是解决本题的关键．
18．【答案】{（x，y）|xy＞0，且﹣1≤x≤2，﹣≤y≤1}．
【解析】解：图中的阴影部分的点设为（x，y）则
{x，y）|﹣1≤x≤0，﹣≤y≤0或0≤x≤2，0≤y≤1}
={（x，y）|xy＞0且﹣1≤x≤2，﹣≤y≤1}
故答案为：{（x，y）|xy＞0，且﹣1≤x≤2，﹣≤y≤1}．
三、解答题
19．【答案】
【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合
【试题解析】（Ⅰ）因为
．
所以函数的最小正周期为．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得．
因为，
所以，
所以．
所以．
且当时，取到最大值；
当时，取到最小值．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）若4人全是女生，共有C74=35种情况；若4人全是男生，共有C84=70种情况；
故全为女生的概率为=．…
（Ⅱ）共15人，任意选出4名同学的方法总数是C154，选出男生的人数为X=0，1，2，3，4…
P（X=0）==；P（X=1）==；P（X=2）==；
P（X=3）==；P（X=4）==．…
0 1 2 3 4
EX=0×+1×+2×+3×+4×=．…
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望及古典概型的概率加法公式，正确理解题意是解决问题的基础．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意可得a=2，2c=2，即c=1，
b==，
则椭圆的标准方程为+=1；
（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），
代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，
由2+x E=，可得x E=，
y E=k（x E﹣2）=，
由于AE⊥AF，只要将上式的k换为﹣，
可得x F=，y F=，
由2=+，可得P为EF的中点，
即有P（，），
则直线AP的斜率为t==，
当k=0时，t=0；
当k≠0时，t=，
再令s=﹣k，可得t=，
当s=0时，t=0；当s＞0时，t=≤=，
当且仅当4s=时，取得最大值；
当s＜0时，t=≥﹣，
综上可得直线AP的斜率的取值范围是[﹣，]．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查直线的斜率的取值范围的求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（1）依题意，画出散点图如图所示，
（2）从散点图可以看出，这些点大致在一条直线附近，
设所求的线性回归方程为
．
则，
∴年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为=0.5x+0.4．
（3）由（2）可知，当x=11时， =0.5x+0.4=0.5×11+0.4=5.9（万元）．
∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．
23．【答案】（1）()5f x x =+，[]3,2x ∈-；（2）[]()10f f x x =+，{}3x ∈-.
【解析】
试
题解析：
（1）设()(0)f x kx b k =+>，111]
由题意有：32,27,k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得1,5,k b =⎧⎨=⎩
∴()5f x x =+，[]3,2x ∈-．
（2）(())(5)10f f x f x x =+=+，{}3x ∈-．
考点：待定系数法．
24．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵BD为圆O的直径，∴AB⊥AD，
∵直线AE是圆O所在平面的垂线，
∴AD⊥AE，
∵AB∩AE=A，
∴AD⊥平面ABE，
∴AD⊥BE；
（Ⅱ）解：多面体EF﹣ABCD体积V=V B﹣AEFC+V D﹣AEFC=2V B﹣AEFC．
∵直线AE，CF是圆O所在平面的两条垂线，
∴AE∥CF，∥AE⊥AC，AF⊥AC．
∵AE=CF=，∴AEFC为矩形，
∵AC=2，
∴S AEFC=2，
作BM⊥AC交AC于点M，则BM⊥平面AEFC，
∴V=2V B﹣AEFC=2×≤=．
∴多面体EF﹣ABCD体积的最大值为．
【点评】本题考查线面垂直，线线垂直，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．。