条件概率与三个公式

后抽比先抽的确实吃亏吗？
概率论
设Ai＝“第i个人抽到入场券”
i＝1,2,3,4,5.
则 Ai 表示“第i个人未抽到入场券” 显然，P(A1)=1/5，P( A1)＝4/5 由于
A2 A1 A2
注意到，如果第二个抽到入场券，必须是第一个人没有 抽到入场券时才发生
由乘法公式
P ( A2 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 )
概率论
全概率公式：设试验E的样本空间为Ω，H1，H2，…， Hn是Ω的一个完全事件组，且每个事件的概率都不等于0， 则对任意事件A，有
P A P A | H i P H i
i 1
n
证明
因为
A A A H1 H 2 H n
AH1 AH 2 AH n
1 14 P( B | A) 3 34
P( B | A)
概率论
又例如，掷一颗均匀骰子，B={掷出2点}， A={掷出偶数点}， P(B )=1/6， P(B|A)=？
已知事件A发生，此时试验所有可能结果 掷骰子 构成的集合就是A，
A中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其
中只有1个在集B中. 于是
概率论
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式 条件概率
乘法公式 全概公式、 贝叶斯公式
概率论
一、条件概率
1. 条件概率的概念
在解决许多概率问题时，往往需要在有某 些附加信息(条件)下求事件的概率.
如在事件A发生的条件下求事件B发生的概率， 将此概率记作P(B|A).
一般地 P(B|A) ≠ P(B)
概率论
概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系
联系：
事件A，B都发生了
区别： （1）在P(B|A)中，事件A，B发生有时间上的差异，
A先B后；在P（AB）中，事件A，B同时发生。 （2）样本空间不同，在P(B|A)中，事件A成为样 本空间；在P（AB）中，样本空仍为
二、 概率的三个公式
P( AB) 由条件概率的定义： P( B | A) P( A)
概率论
1 P( B | A) 3
概率论
源自文库
由上面的结果可以看到
2 P( B) P( B | A) 4
事实上，求P(B|A)是限制在事件A已经发生的条件下考虑 事件B发生的概率的，而不是在整个样本间空间考察B发生的 情况了。 另外 故有
3 P( A) 4
1 P( AB) 4
P( AB) P( A)
P A1 P A2 | A1 P A3 | A1 A2
0.5 0.3 0.1 0.015
补充例题 抽签问题 一场精彩的足球赛将要举行, 5个 球迷好不容易才搞到一张入场券.大家 都想去,只好用抽签的方法来解决.
入场 券
概率论
5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没 写. 将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.
解 设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}
所求为 P(B|A) . 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4 显然，该动物要活到25岁以上，必然已经活过了 20年，即AB＝B，所以P(AB)=P(B) 于是
P ( AB) P ( B) 0.4 P ( B | A) 0.5 P ( A) P ( A) 0.8
P( AB) P( B | A) P( B) P( A)
P( AB) P( A) P( B)
所以
P( AB) P( A) P( B) P( A | B) P( A) P( B) P( B)
概率论
补充例 设某种动物由出生算起活到20年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁 的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？
P A1 P A2 |A1 P ( A3 | A1 A2 )... P An | A1 A2 An1
例1.18 假设某铁路编组站随机地发往三地E1，E2，E3 的各2、3、4节车皮，求发往同一地区的车皮恰好相邻的概率。
解 设事件Bi＝“发往Ei地区的车皮恰好相邻” (i=1,2,3) 将发往E1、 E2、 E3的三个不同地区的的车皮统一编组， 且发往同一地的车皮恰好相邻的总共有3！＝6种不同的情形。 其中每一种情形对应B1，B2，B3的一种排列，且6种排列都是 等可能的，因此 由乘法公式，得
2 1 2
把的基本事件一一列出
(1,2) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (1,3) (2,3) (3,2) (4,2) (5,2)
概率论
从表中可以看到，当事件A发 生时，事件B只有（1,2）,（2,1） (1,4) (2,4) (3,4) (4,3) (5,3) 两个基本事件。 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,4) 于是
补充例题 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下 时打破的概率为0.5，若第一次未打破，第二次落下打破的 概率为0.7，若前两次未打破，第三次落下打破的概率为0.9， 试求透镜落下三次未打破的概率。 解
概率论
设 Ai 透镜第 i 次落下打破 , i 1,2,3 ,
B 透镜落下三次未打破 , 则 B A1 A2 A3 .
概率论
p 6 P ( B1 B2 B3 )
P( B1 B2 B3 ) P( B1 ) P( B2 | B1 ) P( B3 ) P( B1 B2 )
即
2! 3! 1 1 98 765 1260 6 1 p 6 P ( B1 B2 B3 ) 0.0048 1260 210
其中1、2号球为红球，3，4，5号球为白球。并用(i,j) 表示两次抽球的结果：i表示先抽到的编号，j表示后抽 到的编号。
无放回抽样时,样本空间的基本事件数为n=5×4=20 有利于事件A的基本事件数为 有利于事件B的基本事件数为 有利于事件AB的基本事件数为
1 2 1 C2C31 8
1 2 1 C31C2 8
例1 将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况。 设事件A表示至少有一次为H，事件B表示两次掷出同一面， 求已知事件A发生的条件下事件B发生的概率。 样本空间 S＝｛HH，HT，TH，TT｝ A＝｛HH，HT，TH｝ 有了A已经发生这一信息，知道“TT”不可能发生，于 是试验“两次掷出同一面”所有可能的结果所成的集合就是 A。 A中共有3个元素，且仅有“HH”∈B。于是在事件A发 生的条件下事件B发生的概率
P(B|A)= 1/3. 容易看到
1 1 6 P( AB) P(B|A) 3 36 P( A)
概率论
例 1.15 假设5个同样的球，其中2个红球，3个白球， 先后从中随机（无放回）抽取两次，设A={先抽到是红球}， B={后抽到是红球} ，求在事件A发生的条件下，事件B发生 的概率。 解 为了叙述方便，把5个球依次编号为1，2，3，4，5，
8 2 20 5 2 1 P ( AB ) 20 10 P ( A) P ( B | A) 2 1 8 4
由此可得 P( B | A)
20 1 P( AB) 8 20 4 P( A)
2
2. 条件概率的定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称
概率论
P( AB) P( B | A) P( A) （1）
i 1
n
P A P A | H i P H i
i 1
n
概率论
全概率公式 .
全概率公式的基本思想 是把一个未知的复杂事 件 分解为若干个已知的简单事件再求解 , 而这些简单 事件组成一个互不相容事件组 , 使得某个未知事件 A 与这组互不相容事件中至少一个同时发生 ,故在
且
所以
AHi AH j , i j
P A P AH1 P AH 2 P AH n
P A | H1 P H1 P A | H n P H n
P A | H i P H i
因为
P ( A1 ) 1 P ( A) 1 0.5
P( A2 | A1 ) 1 P( A2 | A1 ) 1 0.7 0.3 P( A3 | A1 A2 ) 1 P( A3 | A1 A2 ) 1 0.9 0.1
概率论
所以
P B P A1 A2 A3
概率论
注意：若H1，H2，…，Hn是样本空间的一个划分，则对 每次试验，事件组H1，H2，…，Hn有且只有一个发生。
H1
H2
Hn
最常用的完全事件组是 A 与
A
A
A
概率论
例如：一盒子中有编号为1—5的5个球，现从中任 取一球，考察所取得球的号码X。
则样本空间： ＝{1，2，3，4，5} 而A={X<3}，B={X=3},C={X>3}为 的一个划分 A={1,2,3}，B={3,4},C={5,6}不是 的一个划分
概率论
3. 条件概率的性质(自行验证)
条件概率 P | A 具备概率定义的三个条 : 件
1 非负性 : 对于任意的事件 B , P B | A 0 ; 2 规范性 : P S | A 1 ; 3 可列可加性 : 设 B1 , B2 ,是两两互斥事件 , 则有
为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.
若事件A已发生, 则为使 B 也发生 , 试验结果必须是既在 A 中又在B中的样本点 , 即此点必属 于AB. 由于我们已经知道A已发生, 故A变成了新的样本空间 （也称为 缩减的样本空间）, 于是 有(1).
A
AB B
S
即“事件A已发生”相当给了我们一个“信息”， 使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.
2、推广
乘法公式可以推广到多个事件的各事件的情况：
概率论
设A，B，C为三个事件，且P(AB)>0,则
P( ABC ) P( A) P( B | A) P(C | AB)
一般地，设有个事件A1,A2…,An,n≥2,并且
P( A1 A2 ... An1 ) 0
则有 P A A A 1 2 n
P Bi A P Bi A i 1 i 1

即以前关于概率的性质对条件概率同样成立。
概率论
例1.17 设A和B是两个事件，证明，若
P( B | A) P( B)
则 证
P( A | B) P( A)
因为 P( B | A) P( B)
由条件概率的定义有
= (4/5)(1/4)= 1/5
概率论
同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、 第2个人都没有抽到. 因此
P ( A3 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 )
＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5
继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5. 这就是有关抽签顺序问题的正确解答. 也就是说，
若已知P(A), P(B|A)时, 可以反求P(AB). 即 若P(A)>0,则 P(AB)= P(A) P(B|A) (2)
概率论
1、乘法公式
将A、B的位置对调，有
若 P(B)>0,则
P(BA)=P(A|B) P(B)
而 故
P(AB)=P(BA) P(B)>0 , 则 P(AB)= P(B) P(A|B) (3)
抽签不必争先恐后.
2、全概率公式 完全事件组 满足下列条件：
概率论
设有限个或无限多个事件H1,H2,…,Hn，…
（1）各事件两两互不相容，即 H i H j （2）各事件之和
i j
H1 H 2 ... H n ...
则称事件组为完全事件组，也称为完备组或样本空间 的一个划分。
应用全概率公式时 ,关键是要找到的一个合适的划分
当实际问题中， ( A) 不易直接求得，但却 P 容易找到Ω的一个划分 H1 , H 2 , H n , 且 P( H i ) 和
P( A | H i )或为已知，或容易求得，那么就可以
用全概公式求出 P( A)
概率论
例1.19 设有两箱同一种商品：第一箱内装有50件， 其中10件优质品；第二箱内装有30件，其中8件优质品。 随意打开一箱，然后从箱中任意取出两件， （1）求先取出的是优质品的概率 ； （2）在先取出的是优质品的条件下，求后取出的也是 优质品的概率 。 解 设 Hi={先打开第i箱} （i=1,2） （j=1,2）