条件概率与三个公式

2、推广
乘法公式可以推广到多个事件的各事件的情况：
概率论
设A，B，C为三个事件，且P(AB)>0,则
P( ABC ) P( A) P( B | A) P(C | AB)
一般地，设有个事件A1,A2…,An,n≥2,并且
P( A1 A2 ... An1 ) 0
则有 P A A A 1 2 n
P( AB) P( B | A) P( B) P( A)
P( AB) P( A) P( B)
所以
P( AB) P( A) P( B) P( A | B) P( A) P( B) P( B)
概率论
补充例 设某种动物由出生算起活到20年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁 的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？
P(B|A)= 1/3. 容易看到
1 1 6 P( AB) P(B|A) 3 36 P( A)
概率论
例 1.15 假设5个同样的球，其中2个红球，3个白球， 先后从中随机（无放回）抽取两次，设A={先抽到是红球}， B={后抽到是红球} ，求在事件A发生的条件下，事件B发生 的概率。 解 为了叙述方便，把5个球依次编号为1，2，3，4，5，
= (4/5)(1/4)= 1/5
概率论
同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、 第2个人都没有抽到. 因此
P ( A3 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 )
＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5
继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5. 这就是有关抽签顺序问题的正确解答. 也就是说，
为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.
若事件A已发生, 则为使 B 也发生 , 试验结果必须是既在 A 中又在B中的样本点 , 即此点必属 于AB. 由于我们已经知道A已发生, 故A变成了新的样本空间 （也称为 缩减的样本空间）, 于是 有(1).
A
AB B
S
即“事件A已发生”相当给了我们一个“信息”， 使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.
抽签不必争先恐后.
2、全概率公式 完全事件组 满足下列条件：
概率论
设有限个或无限多个事件H1,H2,…,Hn，…
（1）各事件两两互不相容，即 H i H j （2）各事件之和
i j
H1 H 2 ... H n ...
则称事件组为完全事件组，也称为完备组或样本空间 的一个划分。
补充例题 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下 时打破的概率为0.5，若第一次未打破，第二次落下打破的 概率为0.7，若前两次未打破，第三次落下打破的概率为0.9， 试求透镜落下三次未打破的概率。 解
概率论
设 Ai 透镜第 i 次落下打破 , i 1,2,3 ,
B 透镜落下三次未打破 , 则 B A1 A2 A3 .
概率论
3. 条件概率的性质(自行验证)
条件概率 P | A 具备概率定义的三个条 : 件
1 非负性 : 对于任意的事件 B , P B | A 0 ; 2 规范性 : P S | A 1 ; 3 可列可加性 : 设 B1 , B2 ,是两两互斥事件 , 则有
i 1
n
P A P A | H i P H i
i 1
n
概率论
全概率公式 .
全概率公式的基本思想 是把一个未知的复杂事 件 分解为若干个已知的简单事件再求解 , 而这些简单 事件组成一个互不相容事件组 , 使得某个未知事件 A 与这组互不相容事件中至少一个同时发生 ,故在
概率论
全概率公式：设试验E的样本空间为Ω，H1，H2，…， Hn是Ω的一个完全事件组，且每个事件的概率都不等于0， 则对任意事件A，有
P A P A | H i P H i
i 1
n
证明
因为
A A A H1 H 2 H n
AH1 AH 2 AH n
若已知P(A), P(B|A)时, 可以反求P(AB). 即 若P(A)>0,则 P(AB)= P(A) P(B|A) (2)
概率论
1、乘法公式
将A、B的位置对调，有
若 P(B)>0,则
P(BA)=P(A|B) P(B)
而 故
P(AB)=P(BA) P(B)>0 , 则 P(AB)= P(B) P(A|B) (3)
1 14 P( B | A) 3 34
P( B | A)
概率论
又例如，掷一颗均匀骰子，B={掷出2点}， A={掷出偶数点}， P(B )=1/6， P(B|A)=？
已知事件A发生，此时试验所有可能结果 掷骰子 构成的集合就是A，
A中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其
中只有1个在集B中. 于是
P A1 P A2 | A1 P A3 | A1 A2
0.5 0.3 0.1 0.015
补充例题 抽签问题 一场精彩的足球赛将要举行, 5个 球迷好不容易才搞到一张入场券.大家 都想去,只好用抽签的方法来解决.
入场 券
概率论
5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没 写. 将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.
概率论
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式 条件概率
乘法公式 全概公式、 贝叶斯公式
概率论
一、条件概率
1. 条件概率的概念
在解决许多概率问题时，往往需要在有某 些附加信息(条件)下求事件的概率.
如在事件A发生的条件下求事件B发生的概率， 将此概率记作P(B|A).
一般地 P(B|A) ≠ P(B)
例1 将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况。 设事件A表示至少有一次为H，事件B表示两次掷出同一面， 求已知事件A发生的条件下事件B发生的概率。 样本空间 S＝｛HH，HT，TH，TT｝ A＝｛HH，HT，TH｝ 有了A已经发生这一信息，知道“TT”不可能发生，于 是试验“两次掷出同一面”所有可能的结果所成的集合就是 A。 A中共有3个元素，且仅有“HH”∈B。于是在事件A发 生的条件下事件B发生的概率
且
所以
AHi AH j , i j
P A P AH1 P AH 2 P AH n
P A | H1 P H1 P A | H n P H n
P A | H i P H i
2 1 2
把的基本事件一一列出
(1,2) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (1,3) (2,3) (3,2) (4,2) (5,2)
概率论
从表中可以看到，当事件A发 生时，事件B只有（1,2）,（2,1） (1,4) (2,4) (3,4) (4,3) (5,3) 两个基本事件。 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,4) 于是
后抽比先抽的确实吃亏吗？
概率论
设Ai＝“第i个人抽到入场券”
i＝1,2,3,4,5.
则 Ai 表示“第i个人未抽到入场券” 显然，P(A1)=1/5，P( A1)＝4/5 由于
A2 A1 A2
注意到，如果第二个抽到入场券，必须是第一个人没有 抽到入场券时才发生
由乘法公式
P ( A2 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 )
概率论
概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系
联系：
事件A，B都发生了
区别： （1）在P(B|A)中，事件A，B发生有时间上的差异，
A先B后；在P（AB）中，事件A，B同时发生。 （2）样本空间不同，在P(B|A)中，事件A成为样 本空间；在P（AB）中，样本空仍为
二、 概率的三个公式
P( AB) 由条件概率的定义： P( B | A) P( A)
应用全概率公式时 ,关键是要找到的一个合适的划分
当实际问题中， ( A) 不易直接求得，但却 P 容易找到Ω的一个划分 H1 , H 2 , H n , 且 P( H i ) 和
P( A | H i )或为已知，或容易求得，那么就可以
用全概公式求出 P( A)
概率论
例1.19 设有两箱同一种商品：第一箱内装有50件， 其中10件优质品；第二箱内装有30件，其中8件优质品。 随意打开一箱，然后从箱中任意取出两件， （1）求先取出的是优质品的概率 ； （2）在先取出的是优质品的条件下，求后取出的也是 优质品的概率 。 解 设 Hi={先打开第i箱} （i=1,2） （j=1,2）
P A1 P A2 |A1 P ( A3 | A1 A2 )... P An | A1 A2 An1
例1.18 假设某铁路编组站随机地发往三地E1，E2，E3 的各2、3、4节车皮，求发往同一地区的车皮恰好相邻的概率。
解 设事件Bi＝“发往Ei地区的车皮恰好相邻” (i=1,2,3) 将发往E1、 E2、 E3的三个不同地区的的车皮统一编组， 且发往同一地的车皮恰好相邻的总共有3！＝6种不同的情形。 其中每一种情形对应B1，B2，B3的一种排列，且6种排列都是 等可能的，因此 由乘法公式，得
概率论
注意：若H1，H2，…，Hn是样本空间的一个划分，则对 每次试验，事件组H1，H2，…，Hn有且只有一个发生。
H1
H2
Hn
最常用的完全事件组是 A 与
A
A
A
概率论
例如：一盒子中有编号为1—5的5个球，现从中任 取一球，考察所取得球的号码X。
则样本空间： ＝{1，2，3，4，5} 而A={X<3}，B={X=3},C={X>3}为 的一个划分 A={1,2,3}，B={3,4},C={5,6}不是 的一个划分