课件10：1.6 微积分基本定理

【解析】(1)对，根据微积分基本定理的概念知，该说 法正确． (2)对，事实上，被积函数的原函数有无数多个，取原 函数的常数项为0，给计算带来方便． (3)对，根据微积分基本定理的概念知，该说法正确． (4)错，如（x2）′＝2x，（x2＋1）′＝2x，不唯一. 【答案】(1)的打“√”，错误的打“×”)． (1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数的导数． () (2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便 通常取原函数的常数项为0.( ) (3)只有在连续的区间上才能用微积分基本定理求定积分 的值．( )
(4)若=F′（x）= f（x）,则F（x）唯一( )
变式训练 求下列函数的定积分． (1)∫21x＋1x2dx； (2)∫94 x(1＋ x)dx.
解：(1)∫21x＋1x2dx ＝∫21x2＋2＋x12dx ＝∫21x2dx＋∫212dx＋∫21x12dx
＝13x3 12＋2x 21＋－1x21
＝13×(23－13)＋2×(2－1)－21－1＝269.
2．若 F′(x)＝x2，则 F(x)的解析式不正确的是( ) A．F(x)＝13x3 B．F(x)＝x3 C．F(x)＝13x3＋1 D．F(x)＝13x3＋c(c 为常数)
【解析】因为F(x)＝x3的导函数为F′(x)＝3x2. 所以F(x)＝x3的解析式不正确． 【答案】B
3.∫102xdx＝________． 【解析】∫102xdx＝x2|10＝12－0＝1. 【答案】1
解：(1)∫20f(x)dx
＝∫10(2x＋ex)dx＋∫21x－1xdx
＝(x2＋ex)10＋12x2－ln x21
＝(1＋e)－(0＋e0)＋12×22－ln
2－21×1－ln
1
＝e＋32－ln 2.
(2)因为 y＝|x2－1|＝1x2－－x12，，01≤≤xx<≤21，， 所以∫20|x2－1|dx＝∫10(1－x2)dx＋∫21(x2－1)dx ＝x－x33|10＋x33－x|21＝1－31＋38－2－13－1 ＝2.
4.设函数 f（x）＝x32－＋x1，，10≤≤xx≤<21，，则∫20f(x)dx＝________． 【解析】∫20f(x)dx＝∫10(x2＋1)dx＋∫21(3－x)dx ＝x33＋x10 ＋3x－x2221＝167. 【答案】167
5．曲线 y＝2x2 与直线 x＝1，x＝2 及 y＝0 所围成的平 面图形的面积为________． 【解析】依题意， 所求面积为 S＝∫212x2dx＝23x3|21＝136－23＝134. 【答案】134
核心突破 类型 1 利用微积分基本定理求定积分(自主研析) 典例 1 求下列定积分． (1)∫3－1(4x－x2)dx；(2)∫1－1exdx. 解：(1)因为2x2－13x3′＝4x－x2， 所以∫3－1(4x－x2)dx＝2x2－13x3|3－1
=2×32－333－2×（－1）2－（－31）3＝230. (2)因为(ex)′＝ex，所以∫1－1exdx＝ex|1－1＝e－1e.
归纳升华 处理含有参数的定积分问题的注意点： (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来 考查，先用微积分基本定理计算定积分是解决此类问题的 前提； (2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数 f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念．
课堂小结 1．应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积 函数的一个原函数，在求原函数时，通常先判断原函数 的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注 意符号和系数的调整，直到原函数F(x)的导函数F′(x)＝ f(x)为止，然后再利用微积分基本定理求出结果．
2．分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成n段定积分 和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行；带 绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．

1.6 微积分基本定理
学习目标 1.了解导数与定积分的关系、了解微积分基本定理的 含义(难点)． 2.会求简单函数的定积分(重点、难点)．
知识提炼 微积分基本定理 (1)定理内容：如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并 且 F′(x)＝f(x)，那么∫baf(x)dx＝F(b)－F(a)．这个结论叫作 微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼茨公式． (2)定理的符号表示：∫baf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)．
【解析】∫10(1－2x＋2t)dt＝[(1－2x)t＋t2]|10＝2－2x， 即 f(x)＝2－2x.因为 x∈[1，2]， 所以 f(2)≤f(x)≤f(1)，即－2≤f(x)≤0， 所以函数 f(x)的值域是[－2，0]． 【答案】[－2，0]
迁移探究 1 将原已知条件改为 f(t)＝∫10(1－2x＋2t)dx， 则 f(t)＝________．
(2)∫94 x(1＋ x)dx
＝∫94(
x＋x)dx＝
2 3x
x＋21x294
＝32×9×3＋12×92－32×4×2＋12×42 ＝2671.
类型 2 求分段函数的定积分 2x＋ex，0≤x≤1，
典例 2 (1)若 f(x)＝x－1x，1<x≤2， 求∫20f(x)dx； (2)计算定积分：∫20|x2－1|dx.
归纳升华 (1)利用微积分基本定理求定积分，关键是求使F′(x) ＝f(x)的F(x)，其求法是反方向运用求导公式． (2)当被积函数是积的形式时，应先化和差的形式， 再利用定积分的性质化简，最后再用微积分基本定 理求定积分的值．
(3)对于多项式函数的原函数，应注意 xn(n≠－1)的原函数 为nx＋n＋11，它的应用很广泛．
(2)∫1－1e|x|dx＝∫0－1e－xdx＋∫10exdx ＝－e－x0－1＋ex10 ＝－e0＋e1＋e1－e0 ＝2e－2. 【答案】(1)sin 1－13 (2)2e－2
类型 3 微积分基本定理的综合应用(互动探究) 典例 3 已知 x∈[1，2]，f(x)＝∫10(1－2x＋2t)dt， 则 f(x)的值域是________．
变式训练 (1)设 f(x)＝xc2o（s xx－≤01）（，x＞0）， 则∫1－1f(x)dx＝________． (2)∫1－1e|x|dx＝________．
【解析】(1)∫1－1f(x)dx＝∫0－1x2dx＋∫10(cos x－1)dx ＝13x3|0－1＋(sin x－x)|10 ＝13－13(－1)3＋sin(1－0)－(1－0) ＝23＋sin 1－1＝sin 1－13
【解析】f(t)＝∫10(1－2x＋2t)dx＝[(1＋2t)x－x2]|10＝2t. 【答案】2t
迁移探究 2 将原已知条件改为 f(t)＝∫10(2tx2－t2x)dx， 则 f(t)的最大值是________． 【解析】因为∫10(2tx2－t2x)dx＝32tx3－12t2x2|10＝23t－12t2， 所以 f(t)＝23t－12t2＝－12t－232＋ 29， 所以，当 t＝23时，f(t)有最大值为29. 【答案】29