江苏省2019高考数学二轮复习 考前回扣4 数列、不等式学案

4.数列、不等式
1．等差数列及其性质
(1)等差数列的判定：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)或a n ＋1－a n ＝a n －a n －1 (n ≥2)． (2)等差数列的性质
①当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2
d ＝d 2
n 2＋⎝ ⎛
⎭
⎪⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数且常数项
为0.
②若公差d >0，则为递增等差数列；若公差d <0，则为递减等差数列；若公差d ＝0，则为常数列．
③当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ＋a n ＝2a p . ④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．
⑤⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
S n n 为等差数列． [问题1] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝12，S 20＝17，则S 30为________． 答案 15
2．等比数列及其性质 (1)等比数列的判定：
a n ＋1a n ＝q (q 为常数，q ≠0)或a n ＋1a n ＝a n
a n －1
(n ≥2)．
(2)等比数列的性质
①当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ·a n ＝a p ·a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ·a n ＝a 2
p . ②S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k (S k ≠0)成等比数列．
[问题2] (1)在等比数列{a n }中，a 3＋a 8＝124，a 4a 7＝－512，公比q 是整数，则a 10＝________. (2)各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5·a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________. 答案 (1)512 (2)10
3．求数列通项的常见类型及方法
(1)已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳、猜想法．
(2)如果给出的递推关系式符合等差或等比数列的定义，可直接利用等差或等比数列的公式写出通项公式．
(3)若已知数列的递推公式为a n ＋1＝a n ＋f (n )，可采用累加法． (4)数列的递推公式为a n ＋1＝a n ·f (n )，则采用累乘法．
(5)已知S n 与a n 的关系，利用关系式a n ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
S 1 ，n ＝1，S n －S n －1 ，n ≥2，
求a n .
(6)构造转化法：转化为等差或等比数列求通项公式．
[问题3] 已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (xy )＝xf (y )＋yf (x )成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n
)(n ∈N *
)，且a 1＝2，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________. 答案 n ·2n
解析 令x ＝2，y ＝2
n －1
，当n ≥2时，f (xy )＝f (2n )＝2f (2
n －1
)＋2
n －1
f (2)，即a n ＝2a n －1＋2n ，a n 2n ＝a n －1
2n －1＋1，
所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫
a n 2n 是首项为1，公差为1的等差数列，由此可得a n
2n ＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝n ·2n
，当n ＝1时，满足a 1＝2. 4．数列求和的方法
(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式； (2)分组求和法； (3)倒序相加法； (4)错位相减法； (5)裂项法 如：
1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；1n (n ＋k )＝1k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋k .
(6)并项法
数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．
[问题4] 数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝1
2(n ∈N ，n ≥1)，若a 2＝1，S n 是{a n }的前n 项和，则S 21的
值为________． 答案 92
5．如何解含参数的一元二次不等式
解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小，也是分大于、等于、小于三种情况．在解一元二次不等式时，一定要画出二次函数的图象，注意数形结合． [问题5] 解关于x 的不等式ax 2
－(a ＋1)x ＋1<0 (a >0)．
解 原不等式化为⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1a (x －1)<0.
∴当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
1<x <
1a ； 当a >1时，不等式的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
1
a <x <1
； 当a ＝1时，不等式的解集为∅. 6．处理二次不等式恒成立的常用方法
(1)结合二次函数的图象和性质用判别式法，当x 的取值为全体实数时，一般应用此法． (2)转化为求函数最值问题，如大于零恒成立可转化最小值大于零． (3)能分离变量的，尽量把参变量和变量分离出来． (4)数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形．
[问题6] 如果kx 2
＋2kx －(k ＋2)<0恒成立，则实数k 的取值范围是__________． 答案 (－1,0]
解析 当k ＝0时，原不等式等价于－2<0，显然恒成立，所以k ＝0符合题意． 当k ≠0时，由题意，得
⎩
⎪⎨⎪⎧
k <0，
(2k )2
－4k ·[－(k ＋2)]<0，
解得－1<k <0.所以－1<k ≤0.
7．利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正，二定，三相等”．常用技巧：
(1)对不能出现定值的式子进行适当配凑． (2)对已知条件的最值可代入(常数代换法)或消元．
(3)当题中等号条件不成立时，可考虑从函数的单调性入手求最值． [问题7] 若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是__________． 答案 7＋4 3
解析 由题意得⎩⎨⎧
ab >0，
ab ≥0，
3a ＋4b >0，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
a >0，
b >0.
又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ， 所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )， 所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3
b
＝1.
所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫4a ＋3b ＝7＋4b a
＋3a b
≥7＋2
4b a ·3a
b
＝7＋43，
当且仅当4b a ＝3a
b
时取等号．
8．解决线性规划问题有三步 (1)画：画出可行域(有图象)．
(2)变：将目标函数变形，从中抽象出截距或斜率或距离． (3)代：将合适的点代入到原来目标函数中求最值． 利用线性规划思想能解决的几类值域(最值)问题 (1)截距型：如求z ＝y －x 的取值范围． (2)条件含参数型：
①已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2≤0，y －1≤0，
x ＋2y ＋k ≥0，且z ＝y －x 的最小值是－4，则实数k ＝2.
②已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2≤0，y －1≤0，
x ＋2y ＋k ≥0，
且存在无数组(x ，y )使得z ＝y ＋ax 取得最小
值，则实数a ＝1
2.
(3)斜率型：如求
y ＋b
x ＋a
的取值范围． (4)距离型(圆半径平方型R 2
)：如求(x －a )2
＋(x －b )2
的取值范围．
[问题8] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥0，x ＋y ≤2，
y ≥0.
若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝
________. 答案 2
解析 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知x ＝2，y ＝0符合题意，所以2a ＋0＝4，此时a ＝2.
易错点1 忽视等比数列中q 的范围
例1 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则数列{a n }的公比q ＝________.
易错分析 没有考虑等比数列求和公式S n ＝a 1(1－q n )
1－q
中q ≠1的条件，本题中q ＝1恰好符合
题目条件．
解析 ①当q ＝1时，S 3＋S 6＝9a 1，S 9＝9a 1， ∴S 3＋S 6＝S 9成立．
②当q ≠1时，由S 3＋S 6＝S 9，
得a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝a 1(1－q 9)1－q
.
∴q 9－q 6－q 3＋1＝0，即(q 3－1)(q 6
－1)＝0. ∵q ≠1，∴q 3－1≠0，∴q 6
＝1，∴q ＝－1.
答案 1或－1
易错点2 忽视分类讨论
例2 若等差数列{a n }的首项a 1＝21，公差d ＝－4， 求S n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.
易错分析 要去掉|a n |的绝对值符号，要考虑a n 的符号，对n 不讨论或讨论不当容易导致错误．
解 a n ＝21－4(n －1)＝25－4n . 令a n ≥0，得n ≤6，n ∈Z .
当n ≤6时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－2n 2
＋23n ； 当n ≥7时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6)－(a 7＋a 8＋…＋a n )
＝2(a 1＋a 2＋…＋a 6)－(a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7＋a 8＋…＋a n ) ＝2n 2
－23n ＋132.
所以S n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－2n 2
＋23n ，n ≤6，
2n 2
－23n ＋132，n ≥7.
易错点3 已知S n 求a n 时忽略n ＝1
例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *
)，求数列{a n }的通项a n . 易错分析 a n ＝S n －S n －1成立的条件是n ≥2，若忽略对n ＝1时的验证则出错． 解 因为a n ＋1＝2S n ， 所以S n ＋1＝3S n ，所以S n ＋1
S n
＝3. 因为S 1＝a 1＝1，
所以数列{S n }是首项为1、公比为3的等比数列，S n ＝3n －1
(n ∈N *
)．
所以当n ≥2时，a n ＝2S n －1＝2×3
n －2
(n ≥2)， 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1，n ＝1，
2×3n －2，n ≥2，n ∈N *
.
易错点4 数列最值问题忽略n 的限制
例4 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫910n (n ∈N *
)，则数列{a n }的最大项是
__________．
易错分析 求解数列{a n }的前n 项和S n 的最值，无论是利用S n 还是利用a n 来求，都要注意n 的取值的限制，因为数列中可能出现零项，所以在利用不等式(组)求解时，不能漏掉不等式(组)中的等号，避免造成无解或漏解的失误．
解析 因为a n ＋1－a n ＝(n ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1－(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫910n ·7－n 10，当n <7时，a n ＋1－a n
>0，即a n ＋1>a n ；当n ＝7时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >7时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n .故a 1<a 2<…<a 7
＝a 8>a 9>a 10…，
所以此数列的最大项是第7项或第8项． 答案 第7项或第8项
易错点5 裂项法求和搞错剩余项
例5 在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝1
a n a n ＋1
，则数列{b n }的前n 项和为__________．
易错分析 裂项相消后搞错剩余项，导致求和错误．一般情况下剩余的项是对称的，即前面剩余的项和后面剩余的项是对应的． 解析 由已知得a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n
n ＋1
＝
1n ＋1(1＋2＋…＋n )＝n
2
， 从而b n ＝1
a n a n ＋1＝1
n 2·n ＋12
＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n －1n ＋1，
所以数列{b n }的前n 项和为
S n ＝4⎣⎢⎡
⎝
⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13－14
＋…
⎦
⎥⎤＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
n －1n ＋1
＝4⎝
⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝4n
n ＋1
. 答案
4n n ＋1
易错点6 线性规划问题最优解判断错误
例6 P (x ，y )满足|x |＋|y |≤1，求ax ＋y 的最大值及最小值．
易错分析 由ax ＋y ＝t ，得y ＝－ax ＋t ，欲求t 的最值，要看参数a 的符号．忽视参数的符号变化，易导致最值错误．
解 P (x ，y )满足的线性区域如图所示．
①当a <－1时，直线y ＝－ax ＋t 分别过点(－1,0)与(1,0)时，ax ＋y 取得最大值与最小值，
其值分别为－a，a.
②当－1≤a≤1时，直线y＝－ax＋t分别过(0,1)与(0，－1)时，ax＋y取得最大值与最小值，其值分别为1，－1.
③当a>1时，直线y＝－ax＋t分别过点(1,0)与(－1,0)时，ax＋y取得最大值与最小值，其值分别为a，－a.
易错点7 运用基本不等式忽视条件
例7 函数y ＝x 2＋5
x 2＋4
的最小值为________．
易错分析 应用基本不等式求函数最值，当等号成立的条件不成立时，往往考虑函数的性质，结合函数的单调性，同时注意函数的定义域．
解析 y ＝x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4
.
设t ＝x 2
＋4，则t ≥2，所以函数变为f (t )＝t ＋1t
(t ≥2)．这时，f (t )在[2，＋∞)上单调
递增，所以f (t )≥f (2)＝52，所以函数y ＝x 2
＋5x 2＋
4的最小值为5
2.
答案 5
2
1．不等式221
12x x +-⎛⎫ ⎪⎝⎭
>1的解集是________．
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，12
解析 ∵不等式221
12x x +-⎛⎫ ⎪
⎝⎭
>1，
∴2x 2
＋x －1<0，即(2x －1)(x ＋1)<0， 解得－1<x <1
2
，
∴原不等式的解集为⎝
⎛⎭⎪⎫－1，12. 2．已知等差数列{a n }的公差为d ，若a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的方差为8，则d 的值为________． 答案 ±2
解析 因为{a n }成等差数列，所以a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的平均数为a 3，所以方差为15[(－2d )
2
＋(－d )2
＋0＋(d )2
＋(2d )2
]＝2d 2
＝8，解得d ＝±2.
3．已知数列{a n }满足13n a +＝9·3n a
(n ∈N *
)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则13
l o
g (a 5＋a 7＋a 9)＝________. 答案 －3
解析 由已知123933n n n a
a
a
++=⋅=，所以a n ＋1＝a n ＋2，所以数列{a n }是公差为2的等差数列，
a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋3d )＋(a 4＋3d )＋(a 6＋3d )＝(a 2＋a 4＋a 6)＋9d ＝9＋9×2＝27，13
log (a 5＋a 7
＋a 9)＝13
log 27＝－3.
4．若命题“∀x ∈R ，ax 2
－ax －2≤0”为真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－8,0]
解析 当a ＝0时，－2≤0，不等式显然成立；
当a ≠0时，由题意知⎩
⎪⎨⎪⎧
a <0，
Δ＝a 2
＋8a ≤0，解得－8≤a <0.
综上可知，－8≤a ≤0.
5．(2018·江苏扬州中学模拟)已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a 2
n n 均为等差数列(n ∈N *
)，且
a 1＝2，则a 10＝
________. 答案 20
解析 设数列{a n }的公差为d ，则a n ＝nd ＋2－d ，
所以a 2n
n ＝(nd )2＋2(2－d )nd ＋(2－d )2
n
，
因为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a 2
n n 为等差数列，
所以d ＝2，故a 10＝20.
6．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
3x －2y ＋6>0，x ≤0，
y ≥0，则z ＝2x －y 的取值范围是________．
答案 (－4,0]
解析 由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，
作出不等式组对应的平面区域(阴影部分)如图，
平移直线y ＝2x －z ，由图象可知当直线y ＝2x －z 经过点A (－2,0)时，直线y ＝2x －z 的截距最大，此时z 最小．
当直线y ＝2x －z 经过点O (0,0)时，直线y ＝2x －z 的截距最小，此时z 最大． 所以z 的最小值为－4，最大值为0.
即－4<z ≤0.
7．(2018·南通、徐州、扬州等六市模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 8＝3，则a 5的值为________． 答案 －6
解析 设等比数列{a n }的公比为q . ∵S 3，S 9，S 6成等差数列， ∴2S 9＝S 3＋S 6，且q ≠1.
∴2a 1(1－q 9
)1－q ＝a 1(1－q 3
)1－q ＋a 1(1－q 6
)1－q ，
即2q 6
－q 3－1＝0. ∴q 3＝－12
或q 3
＝1(舍去)，
∵a 8＝3，∴a 5＝a 8q 3＝3
－1
2
＝－6.
8．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ≤8c ，2a ＋3b ≤2c ，则3a ＋8b
c
的取值范围为________．
答案 [27,30]
解析 方法一 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧
a c ＋2b
c
≤8，2c a ＋3c
b ≤2，
设a c ＝x ，b
c
＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2y ≤8，
2x ＋3y ≤2，
x ，y >0，
所求可转化为t ＝3x ＋8y .
又⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2y ≤8，2x ＋3
y ≤2，
x ，y >0
可化为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2y ≤8，
y ≥
3x 2x －2＝32x －2＋3
2，x >1，y >0，
可行域如图所示，当直线t ＝3x ＋8y 与曲线y ＝3x
2x －2
相切时有最小值，当直线t ＝3x ＋8y 经过点A 时有最大值．
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2y ＝8，y ＝3x 2x －2
，解得A (2,3)，即t max ＝30.
又y ＝
3x 2x －2，所以y ′＝－6(2x －2)2＝－3
8
， 解得x ＝3，y ＝94，即切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，94，
所以t min ＝27，即t 的取值范围为[27,30]． 方法二 因为2a ＋3b ≤2c ≤16
a ＋2
b ，
所以8＋4b a ＋3a b ≤16，即4b a ＋3a
b
≤8，
解得23≤a
b ≤2，
所以3a ＋8b c ≤8(3a ＋8b )a ＋2b
＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2b a ＋2b ＝8⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫3＋2a b
＋2≤30；
由2a ＋3b ≤2c 可知，1c ≥1a ＋32b ， 则
3a ＋8b c ≥(3a ＋8b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋32b ＝15＋8b a ＋9a 2b ≥27， 当且仅当8b a ＝9a
2b ，即3a ＝4b 时，取等号．
故
3a ＋8b
c
的取值范围为[27,30]．
9．已知a ＋b ＝2，b >0，当12|a |＋|a |
b
取最小值时，实数a 的值是________． 答案 －2 解析 方法一
12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥－14＋2 b 4|a |·|a |b ＝3
4
， 当且仅当a <0，且b 4|a |＝|a |
b
，即a ＝－2，b ＝4时取等号．
方法二 因为a ＋b ＝2，b >0， 所以12|a |＋|a |b ＝12|a |＋|a |2－a
，a <2.
设f (a )＝12|a |＋|a |
2－a
，a <2，
则f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧
12a ＋a 2－a
，0≤a <2，－12a －a
2－a ，a <0.
当a <0时，f (a )＝－12a －a
2－a
，
从而f ′(a )＝12a 2－2(a －2)2＝－(3a －2)(a ＋2)
2a 2(a －2)2
， 故当a <－2时，f ′(a )<0；当－2<a <0时，f ′(a )>0， 故f (a )在(－∞，－2)上是减函数，在(－2,0)上是增函数，
故当a ＝－2时，f (a )取得极小值34；同理，当0≤a <2时，函数f (a )在a ＝23处取得极小值5
4.
综上，当a ＝－2时，f (a )min ＝3
4
.
10．若a ，b 均为正实数，且a ＋b －a ≤m b 恒成立，则实数m 的最小值是________． 答案
2
解析 由于a ，b 均为正实数， 且a ＋b －a ≤m b ， 显然有m >0，b ≥a ，
两边平方得a ＋b －a ＋2a (b －a )≤m 2
b ， 即b ＋2a (b －a )≤m 2
b ， 于是m 2
≥1＋2
a b －⎝ ⎛⎭
⎪⎫a b 2
， 令a b
＝t (0<t ≤1)，
则m 2
≥1＋2t －t 2
在0<t ≤1时恒成立， 即m 2≥1＋2
－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14
， 从而m 2≥2，故m 的最小值为 2. 11．已知函数f (x )＝
2x
x 2＋6
. (1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围． 解 (1)f (x )>k ⇔kx 2
－2x ＋6k <0.
由已知{x |x <－3或x >－2}是其解集， 得kx 2
－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2. 由根与系数的关系可知，(－2)＋(－3)＝2
k
，
即k ＝－2
5.
(2)因为x >0，f (x )＝
2x x 2
＋6＝2x ＋6x
≤226
＝6
6
， 当且仅当x ＝6时取等号．
由已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立，故t ≥66
， 即t 的取值范围是⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫
66，＋∞. 12．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足8S n ＝a 2
n ＋4a n ＋3(n ∈N *
)，且a 1，a 2，
a 7依次是等比数列{
b n }的前三项．
(1)求数列{a n }及{b n }的通项公式；
(2)是否存在常数a >0且a ≠1，使得数列{a n －log a b n }(n ∈N *
)是常数列？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)当n ＝1时，8a 1＝a 2
1＋4a 1＋3，a 1＝1或a 1＝3. 当n ≥2时，8S n －1＝a 2
n －1＋4a n －1＋3，
a n ＝S n －S n －1＝1
8
(a 2n ＋4a n －a 2
n －1－4a n －1)，
从而(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－4)＝0.
因为{a n }的各项均为正数，所以a n －a n －1＝4. 所以，当a 1＝1时，a n ＝4n －3； 当a 1＝3时，a n ＝4n －1.
又因为当a 1＝1时，a 1，a 2，a 7分别为1,5,25，构成等比数列，所以b n ＝5n －1
.
当a 1＝3时，a 1，a 2，a 7分别为3,7,27，不构成等比数列，舍去． 所以数列{a n }和{b n }的通项公式分别为a n ＝4n －3，b n ＝5n －1
，n ∈N *
.
(2)存在满足条件的a ，理由如下： 由(1)知，a n ＝4n －3，b n ＝5
n －1
，从而a n －log a b n ＝4n －3－log a 5
n －1
＝4n －3－(n －1)·log a 5＝
(4－log a 5)n －3＋log a 5.由题意，得4－log a 5＝0，所以a ＝4
5.。