河北省唐山市2021届高三数学上学期第一次摸底试题含解析.docx

河北省唐山市2021届高三数学上学期第一次摸底试题(含解析)
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A = {x|》2 一》一6<0} , B = {x|x>0),则A B =( )
A.{%|-2<x<3}
B. {x|O<x<3}
C. (x|-3<x<2}
D. {%|0<x<2}
【答案】B
【解析】
【分析】
解一元二次不等式可得集合A,再求交集即可.
【详解】因为A = {x|.『一x-6<0} = {x|-2<x<3} , B = {x|x>0},
所以A B = {x10<x<3},
故选：B.
【点睛】本题主要考查集合的交集运算，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题.
2.若复数z满足z(l + z) = 2,则|z|=( )
A. 1-i
B. y/2
C. 1 + z
D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数z满足z(l + z) = 2,利用复数的除法得到z = l-i,再利用求模公式求解.
【详解】因为复数Z满足z（l+，） = 2,
2所以Z=" =2(1)=i
(1 + 0(1-z)
所以I z| = J12 +(—1)2 = yf2，
故选：B 【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的模，属于基础题.
3.特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策.某教育行政部门为本
地两所农村小学招聘了6名特岗教师，其中体育教师2名，数学教师4名.按每所学校1名体
育教师，2名数学教师进行分配，则不同的分配方案有（）
A. 24
B. 14
C. 12
D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
先把4名数学教师平分为2组，再把2名体育教师分别放入这两组，最后把这两组教师分配到两所农村小学，即可计算出结果.
c2c2
【详解】先把4名数学教师平分为2组，有土2 = 3种方法,
4
再把2名体育教师分别放入这两组，有盅=2种方法, 最后把这两组教师分配到两所农村小学，共有3x2x定=12种方法.
故选：C.
【点睛】本题考查计数原理和排列组合应用，属于基础题.
4.居民消费价格指数是反映一定时期内城乡居民所购买的生活消费品和服务项目价格变动趋势和程度的相对数，是对城市居民消费价格指数和农村居民消费价格指数进行综合汇总计算的结果.通过该指数可以观察和分析消费品的零售价格和服务项目价格变动对城乡居民实际生活费支出的影响程度.如图，是疫情期间我国的居民消费价格指数与食品类居民消费价格指数折线图，据此图，下列分析中不合理的是（）
A.居民消费价格指数变化幅度相对不大
B.食品类居民消费价格指数变化幅度相对较大
C.食品类居民消费价格指数高于居民消费价格指数
D.食品类居民消费价格指数与居民消费价格指数的变化趋势很不一致
【答案】D
【解析】
【分析】
根据折线图，逐个分析选项即可得选项A,B,C合理，选项。

不合理.
【详解】对于选项A：由折线图可知，居民消费价格指数线比较平缓，所以居民消费价格指数变化幅度相对不大，所以选项A合理；
对于选项B：由折线图可知，食品类居民消费价格指数线起伏较大，所以品类居民消费价格指数变化幅度相对较大，所以选项3合理；
对于选项C：由折线图可知，食品类居民消费价格指数线一直在居民消费价格指数线上方，所以食品类居民消费价格指数高于居民消费价格指数，所以选项C合理；
对于选项。

：食品类居民消费价格指数与居民消费价格指数的变化趋势大致一致，所以选项。

不合理，
故选：D
【点睛】本题主要考查了对统计折线图的分析和理解能力，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. .
5.下图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（）
角为60° 【答案】D 【解析】 【分析】 首先画出正方体的展开图的立体图，从而得到直线与直线CZ ）为异面直线，再求异面直线 所成角即可得到答案. 【详解】正方体的展开图的立体图形如图所示:
由图知：直线AB 与直线CQ 为异面直线，故A, B 错误；
连接CE, DE,因为AB//CE,所以ZDCE 或其补角为异面直线AB 与CQ 所成角. 又因为 DCE 为等边三角形，所以ZDCE = 6Q°.
所以直线A3与直线异面且所成的角为60° ,故C 错误，D 正确. 故选：D
【点睛】本题主要考查异面直线成角问题，属于简单题.
6.
已知 /'3） = 2，—g ）,若/（m ） + /（77）>0,则（ ）
A. m + n>0
B. m + n<0
C. m-n>0
D.
m — n<0
【答案】A 【解析】
B.直线AB 与直线CD 相交
C.直线AB 与直线CD 异面垂直
D.直线AB 与直线CD 异面且所成的
A.直线A3与直线CO 平行
【分析】
根据增函数加增函数是增函数和奇函数定义可知函数是增函数且是奇函数，即有/(m)>/(-«),得到m>-n,即可解得.
【详解】因为> =2"。

= 一(!》均为增函数，所以/(%)=2X-Q^|是增函数，又因为
/(-%) = =-/(%),所以函数是奇函数，/( i^+ (T)为0化为
/(m)>-/(n) = /(-n),所以m>—〃即m + n>0.
故选：A
【点睛】本题考查了判断函数的单调性、奇偶性，解题中需要根据增函数加增函数是增函数和奇函数定义判断，属于基本题型，关键是要准确掌握基本初等函数的单调性和指数的运算性质.
7,已知人都是单位向量，满足加一2牛则COS(Q,I +2Z?)=( )
A.匝
B.近
C. 1
D.吏
5 5 2 2
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据|a + 2Z?| = |a-2Z?| 得到a-b = 0 >从而得到a-(a + 2b^ = \, |a + 2Z?|=^,再计算cos (a, a+ 2》)即可.
【详解】因为|a + 2，= |a —2，，所以(a + 2b\ =(a-2b^ ,得到a-b = 0-
la" + 4-a ■ b + 4-b'
=-^5，
故选：A
【点睛】本题主要考查平面向量的夹角公式，熟记公式为解题关键，属于简单题.
8.已知/(x) = |sinx|cosx,则( )
A. f(x)的值域为[-1,1]
B. f⑴在0,-上单调
C.兀为f(x)的周期
D.修,o]为f(x)图像的对称中心
【答案】D
【解析】
【分析】
化为分段函数，根据三角函数的性质进而逐一分析各个答案的正误，可得结论.
—sin 2 尤,2k7i <x< ■ + 2k 兀, k E Z
【详解】•.• f (x) = |sinx|cosx = < 2],
-—sin 2x, -n + Ikn <x< 2k7i, k cZ
函数的值域为-，故A错误；
2 2
f(x)在区间0,§上单调递增，在三,兀上单调递减，故B错误；
/'(X)的周期为2兀,故C错误；
因为 / (^ - x) = |sin- x)|COS(TT - x) = -|sin x\cos% , f(7V—x) + f^x) = 0,
所以为/'(x)图象的对称中心，故D正确；
故选：D.
【点睛】本题主要以命题的真假判断与应用为载体，考查了三角函数的图象和性质，属于中档题.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9.设0 <a<Z?<l, 0 < c < 1,则( )
A. c" < c b
B. log f a < log。

C. a c < b c
D.
log fl c<log fe c
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据指数函数，对数函数，蓦函数的单调性可判断.
【详解】对于A,当0 <c< 1时，y = c x单调递减，所以由a<b可得c" > c"，故A错误；
对于B,当0 <c< 1时，y = logcX单调递减，所以由a<b可得log c a > log c b,故B错误; 对于C,当0 <c< 1时，y = x c在(0,+x>)单调递增，由0<a<b<l可得a c < b c，故C正确；对于D,当0 <c< 1时，J = log c x单调递减，所以由0 <a<Z?<l可得力>0，
1 1
则 ------ <- -----,BP log a c < log b c,故D 正确.
log。

a log c b
故选：CD.
【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数、幕函数的单调性判断大小，属于基础题.
10.若f%2+—的展开式中尸的系数是-160,则( )
A. a =
B.所有项系数之和为1
2
C.二项式系数之和为64
D.常数项为-320
【答案】ABC
【解析】
【分析】
首先根据展开式中¥的系数是-160得到a = -~,从而判断A正确，令x = l得到所有项系数
2
之和为1,从而判断B正确，根据二项式系数之和为26,从而判断C正确，根据[J - 的常数项为C；
(x2)2{_2] A—320,从而判断D错误.
【详解】对选项A, L2+—的展开式中尸项为,
(ax J ' )\ax)
所以= 一160，解得a = —5，故A正确；
由A 知.•岸+月6 =岸_邛 [ ax) [ %)
令x = l,所有项系数之和为(1-2)6 = 1,故B 正确; 对选项C,二项式系数之和为26 =64，故C 正确；
故选：ABC 【点睛】本题主要考查二项式的定理的各项系数之和，项的系数之和，常数项，属于中档题.
2
11. 已知双曲线C:》2—云_ = 1。

〉0)的一条渐近线l-.y = 2A /2X ，设E 是。

的左右焦
点，点尹在/上，且0鸟| = |逐|,。

为坐标原点，则( )
A.。

的虚轴长为 4、/3
B. ZF }PF 2 =90°
c. ||尸川-"司=2
D .
的面积为6^5
【答案】ABD 【解析】 【分析】
求出双曲线的标准方程和基本量，根据双曲线的定义及直角三角形的有关性质逐一选择.. 【详解】由渐近线/:、= 2』么，可得b = 2^i ，" = 1，c = 3,所以虚轴长 4^2 - A 正确; 由|C 闾=|。

田=|死|,
为直角三角形，B 正确；
因为点夕不在双曲线上，根据双曲线的定义||Pg|-|P&||?2 , C 不正确； 由渐近线 l\y = 2^2x ，知 tan 匕POg=2jL sin ZPO^
2
Sv 捋F, = 2S VPOF , = OP OF 2 -sinZPOF 2 = 3X 3X % = 6^2，D 正确.
故选：ABD
【点睛】本题考查由根据渐近线方程确定双曲线的基本量，同时考查双曲线的定义，属于基
对选项D,
24。

： =240，故 D 错误.
础题.
12.已知 /(x) = x-———sin %.( )
71
A. /'(x)的零点个数为4
B. /'(X)的极值点个数为3
C.才轴为曲线y = /(%)的切线
D.若/(%!)=/(x2),则+x2 =n
【答案】BC
【解析】
【分析】
2x 2x
首先根据/(%)=0得到1一一=cosx,分别画出y = l —-和y = cosx的图像，从而得到n 7i 函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案.
2_x 2x
【详解】/'(%) = 1 ------ COSX ,令/>'(尤)=0,得到1 ------- = cosX.
7i n
2工
分别画出y = l——和y = cosx的图像，如图所示：
71
jr
由图知：1—— = cosx有三个解，即/，(x)=0有三个解，分别为0，兀• 7C 2
所以xe(-oo,0), /,(x) = l一一-cosx>0 , f(x)为增函数，71
f 0, —j,广(工)=1 ------- cosx < 0 , f(jv)为减函数，
/'(%) = 1- —-COSX > 0 ,
71
xe(<r,+oo) , /'(x) = 1- —-cosx< 0 , n
/(X)为减函数.
所以当1 = 0时，f(x)取得极大值为0,当x = |
时，取得极小值为普-1，
当X = 7U时，取得极大值为0,
所以函数f(x)有两个零点，三个极值点，A错误，B正确.
因为函数f(x)的极大值为0,所以x轴为曲线y = f(x)的切线，故C正确.
因为/'(X)在(Y°,O)为增函数，［°，号］为减函数，
所以存在也，*满足工1<0<》2〈如且/(^) = /(^2), TT
显然工1 +工2 < 5，故D错误.
故选：BC
【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
x+ y-2 > 0
13.已知x, y满足约束条件< x-y-2<0 ,则z = 2x+y的最小值为.
"2
【答案】2
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论.
【详解】由z = 2x+y ,得y = —2x + z,
由图象可知当直线y = -2x+z过点A时，直线y = -2x+z的在y轴的截距最小，此时z最
小，
y = 2
由 c C，解得(°，2)，
x+y-2=0
此时z = 2x+y = 2,
故答案为：2
【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.
14.已知等差数列｛%｝的公差不为零，若％, %，％成等比数列，则/=•
【答案】0
【解析】
【分析】
设等差数列｛%｝的公差为d , CO,根据。

3，%，%成等比数列，得到«4 = %%,再根据
等差数列的通项公式可得结果.
【详解】设等差数列｛%｝的公差为d , d?0,
因为。

3，。

4，%成等比数列，所以
所以(巧 + 3J)2 = (% + 2d)(q + 5d),整理得a x d + <72 = 0,
因为d #0 ,所以d = -t/j,
以a、=+ d = ciy一ciy = 0.
故答案为：0.
【点睛】本题考查了等比中项，考查了等差数列通项公式基本量的运算，属于基础题.
15.尸是抛物线C: y2=4x的焦点，夕是。

上且位于第一象限内的点，点夕在。

的准线上的射影为0,且
|P0=2,则AP涉外接圆的方程为.
［答案】x2 + (y-l)2=2
【解析】
【分析】
由题可判断△反PQ为直角三角形，即△户涉外接圆的圆心为FQ中点，求出圆心和半径即可写出圆的方程.
由抛物线方程可知焦点尸(1,0),准线方程为x = -l,
|P0=2,心+1 = 2,即x p=\,则y p=2,
.•.P(1,2),Q(—1,2),
:.FPLPQ，即△FPQ为直角三角形，
••• APQF外接圆的圆心为尸。

中点，即圆心为(0,1),半径为!伊。

| =皿，
APQF外接圆的方程为必+(,_1)2=2.
故答案为：x2 +(y — 1)2 =2.
【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查圆的方程的求解，属于基础题.
16.己知四棱台ABCDfBGDi中，上、下底面都是正方形，下底面棱长为2,其余各棱
长均为1,则该四棱台的外接球的表面积为.
【答案】10〃
【解析】
【分析】
画出如图的图形，根据直角三角形计算出相关量，由此计算出外接球的半径，即可求出球表面积.
如图，在四棱台ABCD-ABCD]中，连接AGAG，BD,BiDi，
设ACcBD = F , AG Bq = E,连接EF并延长到点。

，
设。

为四棱台ABCD—外接球心，连接Q4, Q4],
在平面ACQ4中，作AH 1 AC,垂足为H,则脚=AC M =2^冷=笠, 2 2 2
在直角三角形AA.H中，"=如2一由="一修J =g,
...EF = AH=g,
在直角三角形AOF中，OA =』0玲+ Ap2 =加尸2 +应)2 = JoF。

+2，在直角三角形AEO中，
c>A =』"+OE2=』"+(OF + FE)2 = Jg J +。

尸+乎J =』0「2+同F+l ,
O\=OA, ... JoF。

+ 同F +1 = J OP + 2 ,
该四棱台的外接球的表面积为4勿=10 勿.
故答案为：10兀【点睛】本题考查几何体外接球问题，属于中档题.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在AA3C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c , c = 2.有以下3个条件：①2ccos A = b；②2b —a = 2ccosA；③a + b = 2c.请在以上3个条件中选择一个，求AABC面积的最大值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析.
【解析】【分析】若选择①：利用正弦定理得到2sinCcosA = sinB,再利用A+B+C= TT以及两角和与差的
正弦公式得到sin(A-C) = 0,最后利用三角形的面积公式求解即可；若选择②：利用正弦定
理得到2sinB— sin4= 2siG c(A,再利用A+B+C=7t以及两角和的正弦公式得到
cosC = ：,再利用余弦定理以及三角形的面积公式求解即可；若选择③：先利用基本不等式2
得到ab<4,再利用余弦定理得到cosC>^,最后利用三角形的面积公式求解即可.
2
【详解】若选择①:
由正弦定理土二土二一^得: sin A sin B sin C
可将2ccosA = b化为：2 sin Ccos A = sin B ,
又A + B + C = z,所以sinB = sin(A+C),
所以2sin Ccos A = sin(A + C),
即sin A cos C — cos A sin C = 0,
.•.sin(A —C) = 0,
A — C 9
:.a = c = 2,
1 71
所以S MBC ^-ac sin B = 2 sin B<2 (当B =-时取到等号),
所以AABC面积的最大值为2.
若选择②：
由正弦定理a = b = °可将2b-a = 2ccos A 化：2sinB-sin A = 2sinCcos A , sin A sin B sin C
又A+ B + C = 7i ,
所以sin8 = sin(A+C),
所以2sin(A + C) —sin A = 2sinCcos A ,
艮fl 2 sin A cos C = sin A ,
/. cos C =—,
2
又Ce(0,^-),
:.C = ~, 3
又由余弦定理，=疽+ 〃 _2泌s’C可得:
4 = a2 +Z?2—ab> lab — ab — ab（当且仅当a = b时取等号），
f c*sin*2sinC = &
所以AABC面积的最大值为也.
若选择③：
因为c = 2,
所以a + b = 2c = 4> 2y[ab ,
/. ab<4（当且仅当a-b时取等号），
/ .方2 _ 2
又由余弦定理cosC= 一得：
2ab。

2+所_（官）2牌2+所）_；汕 1 （当且仅当a"时取等号）, cos C = ----------- - -- = -- ---------- - ——> -- =—
lab lab lab 2
71
:.0<C<-,
3
S MBC =|-«^sinC<^-x4xsin^ = ^ （当且仅当。

=Z?时取等号），
所以AABC面积的最大值为右.
【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理以及三角形的面积公式解三角形.属于中档
18. 在数列｛《,｝中，％=1, a 2 =3, a tl+2=3a H+l -2a n -n + l.
(1) 证明｛a*—%—"｝为等比数列；
(2) 求q.
【答案】(1)证明见解析；(2)。

2"T +』3T).
2
【解析】
【分析】
(1) 由 a n+2=3a n+l -2a n -n+l,构造出。

，同 一a
n+i _(n+1) = 2(^+1 ~a n -n )的关系，然 后利用等比数列的通项
公式即可求解.
(2) 由(1)得％+i —%=2"T+〃，利用累加法求解通项。

“即可
【详解】解：(1)由％+2 = 3。

,+1 — 一位+1得。

"+2 _ %+1 一（〃 +1） = 2%+] _ 一 〃+1 一 （〃+1） = 2（%+] _ a n - ri ）,
又tz 2 —（\ —1 = 1,所以｛%+1-％—〃｝是以1为首项，以2为公比 等比数列.
（2）由（1）得tz /j+1 —a n —n = 2" 1,所以 a n+l — a n = 2" ｝ + n ,.
所以 n>2 时，（/ _%） + （% _。

2）+ （。

4 _%）+ =（2°+1） +（2*+2）+（22+3）+ +（2"-2+n-l ） =（20 + 2'+22
+ +2”一2）+ [1 + 2 + 3+ +（n-l ）] 2"T —1 +
【点睛】本题考查利用构造法和累加法求数列的通项公式问题，属于一般题
19. 在四棱锥P-ABCD 中，RD 上底面ABCD,底面A3CD 是边长为2的菱形,
ZDAB = 60° , W 是 AD 的中点.
因此 ct n — €Z] =2”T + 2 n （n-l ） ~~ —1，a n = 2"-1 +
" 2
当〃 =1时, «! = 1也满足上式,
故 a n = 2"-' + n （n-l ）
(1)求证：平面PBE1.平面PAD ■,
(2)直线P8与平面PAO所成角为45° ,求二面角C-PE-D的余弦值.
【答案】(1)证明详见解析；(2)
17
【解析】
【分析】
(1)利用线面垂直证明面面垂直；
(2)建立空间直角坐标系，用两个平面的法向量求面面角即可.
【详解】(1)连接由题意可知是等边三角形，又E是AO的中点，所以BE 1AD；由PD±底面A3CQ, BEu 底面A3C‘r),所以PD ± BE ,且PDc AD = D , 所以，BE1平面PAD ,且BEu平面PBE,所以平面PBE 1平面PAD .
(2)由(1)可知，FB在平面PAD±的射影为PE,所以直线P3与平面PAO所成角为ZBPE= 45°.
在R中，PE = BE = — AD = y/3-
2
所以，在Rf以DPE中，DE = AD = 1, pjj = ^JpE2 -DE2 = -
以&为原点，瓦4的方向为x轴正方向，E3的方向为/轴正方向，"4为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz.
由题设可得p （—1,0,很），c （一2,后,0）, 8（0瑚,0）,所以时= （—1,0,皿）,
EC = （-2,后,0）.
『21） 可取衍=1,-7=,—^= •
由（1）知EB =（O,后,0）是平面PEZ ）的一个法向量,
则cos 伽,2屈 所以二面角C-PE-D 的余弦值为3匣.
17
【点睛】本题考查了面面垂直的判断方法，考查了利用空间向量求面面角的问题.
20. 田忌赛马的故事出自《史记》中的《孙子吴起列传》.齐国的大将田忌很喜欢赛马，有一 回，他和齐威王约定，要进行一场比赛.双方各自有三匹马，马都可以分为上，中，下三等. 上等马都比中等马强，中等马都比下等马强，但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等级的 马强一些，比赛共三局，每局双方分别各派一匹马出场，且每匹马只赛一局，胜两局或三局 的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方马的出场顺序.
（1） 求在第一局比赛中田忌胜利的概率：
（2） 若第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马，求本场比赛田忌胜利的 概率；
（3） 写出在一场比赛中田忌胜利的概率（直接写出结果）.
【答案】（1） —;（2） — ； （3）—.
3
2 6
【解析】
【分析】 （1） 首先将田忌的三匹马按照上、中、下三等分别记为匕、&、岩，齐威王的三匹马按照 上、中、下三等分别记为吗、吧、地，列出第一局双方参赛的马匹的全部情况，再找到田 忌胜利的情况，即可得到答案.
（2） 首先设事件3= “第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马”，事件 C= “田忌获得本场比赛胜利”，列举出事件B, C 的个数，利用条件概率公式即可的得到 答案.
设m = （x,y,z ）是平面PEC 的法向量，贝！J< EP • m = 0 ,
,得＜ EC-m = 0 -x + ,\/2z — 0 —2x + A /3 y =
（3）根据题意直接写出答案即可.
【详解】将田忌的三匹马按照上、中、下三等分别记为二、&、T3,
齐威王的三匹马按照上、中、下三等分别记为期、吧、昭，
并且用马的记号表示该马上场比赛.
（1）设事件Q= "第一局双方参赛的马匹”，事件A= “在第一局比赛中田忌胜利”，
由题意得Q = ｛（7；期）,（7］吧）,（邛幻,（&期）,（&吧）,（7；吧）,（乌坷）,（司助,（中；）｝,
A = ｛（观）,（砂）,（砂）｝,
3 1
则在第一局比赛中田忌胜利的概率是P（ A）= 6 = §.
（2）设事件3= “第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马”，
事件。

=“田忌获得本场比赛胜利”,
由题意得
3 = ｛伍町牌,7；期）,伍坷,砂,7；吗）,伍坷,7；地，弛）,亿坷,7；地，说）｝, 况=｛（础,砂砂）,（瑚砂,说）"
则本场比赛田忌胜利的概率是P（C|5）= | = |.
1
（3）一
6
【点睛】本题主要考查古典概率的求法，同时考查了条件概率，考查学生分析问题的能力, 属于中档题.
21.已知椭圆E：%+去=1（口＞人〉0）的离心率为乎直线l：x = ty +1交"A, 3两
点；当t = Q时，|仙|=半.
（1）求E的方程;
（2）设』在直线x = 3上的射影为〃，证明：直线BD过定点，并求定点坐标.
2
【答案】（1） y+y2 =1；（2）证明见解析，定点（2,0）.
【解析】
【分析】
（1）首先根据题意得到a2 = 3b2，椭圆过点［1，乎］从而得到a =也,b = l,即可得到椭圆的标准方程.
（2）首先设人（知弟，研邑况），则D（3，N I），联立椭圆与直线得到
（户+3）/+ 2邛-2 = 0,利用根系关系得到ty l-y2=y1+y2,再写出直线
奶：y =垄三L（x—3）+ M ,利用根系关系即可得到定点.
*2 一3
厂2 〃2_右2
【详解】（1）由题意得e2=% = =^- a a
由t = o时，|AB|=半，得到椭圆过点
因此。

=右，b = l,故E的方程是亏+寸=1.
（2）设A（心况），B（x2,y2）,则£＞（3,叫）.
将X = （y +1 代入东 + y2 = 1得（尸 + 3）＞2 + 2邛-2 = 0,
2t 2
y, + y2 = — -——，乂•勿=一-；——
•'2尸+3 •' '2尸+3 从而ty x-y2 = y x + y2①.
直线3£>:、=圣二斗(》一3)+叫，设直线3。

与x轴的交点为(吒，0)，工2 一3
则一(工0-3)+丹=0,.
%2 一」
所以气=此垃+ 3 =也* + 3 =我* + 3 ,
力一乂为一叫力一乂
将①式代入上式可得吒=2.
故直线BD过定点(2,0).
【点睛】本题第一问考查椭圆的标准方程，第二问考查直线与椭圆的位置关系，同时考查学生的计算能力，属于中档题.
22.已知A > 0 ,函数f[x) = ax-lnx.
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)若口〉一,证明，f (x) > 1 —xe m. (提示：(建)，=-D
【答案】(1) 1 + lntz； (2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)利用导数分析函数y = /(x)的单调性，进而可求得函数y = /(x)的最小值；
(2)构造函数g(x) = f(x)+x^m-l,利用导数证得g(x)血>0，由此可证得所证不等式成立.
【详解】(1) Q/(x) = ar-lnx,该函数的定义域为(0,+oo),则/''(》)=0-上，a>0.
当0<x<L时，/■'(%) <0,函数y = /(x)单调递减；
当x>-时，/,(x)>0,函数y = /(%)单调递增，
因此，函数y = /(%)的最小值为/■]L] = l + lna ；
(2)令g(x) = y(x) + xeF—1,贝ijg'(x) = a_\_(心1)广=皿项：F . JC尤e
由(1)得，当a>—时，/[ — | > 0 ,即ax-lnx>0 ,即ax > In x ,所以e双〉尤，e \ J
当0<x<L时，g'(x)<0,函数y = g(x)单调递减；
当x>-时，g'(x)>0,函数y = g(x)单调递增，
所以g (x)的最小值为g [J = m 口 + 土.
1 y
由(1)得a =一时，f(x)>0,所以一21nx,等号当且仅当x = e时成立，
e e
所以当。

> —,x ——时，有—>In ——— In u,,即In" > 0,所以g(尤)>0.
e a ea a ea
故原不等式得证.
【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.。