兰州市城关区树人中学2019-2020学年八年级(下)第一次月考数学试卷(含答案解析)

六盘水二十中2019-2020学年八年级(下)第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.若x<y，则下列式子中，错误的是()
A. x−1<y−1
B. −2x<−2y
C. x+3<y+3
D. x
2<y
2
2.周长为13，边长为整数的等腰三角形有()
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
3.若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形顶角的度数为()
A. 40°
B. 100°
C. 40°或100°
D. 40°或70°
4.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的
周长为13cm，则△ABC的周长为()
A. 16cm
B. 13cm
C. 19cm
D. 10cm
5.点P是△ABC内一点，且P到△ABC的三边距离相等，则P是△ABC哪三条线的交点()
A. 边的垂直平分线
B. 角平分线
C. 高线
D. 中位线
6.若关于x的不等式组{x
2
+x+1
3
>0
3x+5a+4>4(x+1)+3a
恰有三个整数解，则a的取值范围是()
A. 1≤a<3
2B. 1<a≤3
2
C. 1<a<3
2
D. a≤1或a>3
2
7.小颖、小虹和小聪三人去公园玩跷跷板，她们三人的体重分别为a，b，c.从下面的示意图可知，
她们三人体重大小的关系是()
A. a<b<c
B. c<a<b
C. c<b<a
D. b<a<c
8.如图，在△ABC中，∠B=∠C，D为BC边上的一点，E点在AC边上，
∠ADE=∠AED，若∠BAD=20°，则∠CDE=()
A. 10°
B. 15°
C. 20°
D. 30°
9.如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=50°，
则∠DEF=()
A. 55°
B. 60°
C. 65°
D. 70°
10.若实数m、n满足|m−2|+√n−4=0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC
的周长是()
A. 12
B. 10
C. 8
D. 6
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11.若关于x的不等式(1−a)x>3可化为x<3
，则a的取值范围是______．
1−a
12.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，AD是△ABC的一条角
平分线，则∠DAC=__________，∠ADB=__________．
13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AP平分∠BAC，交BC于点P，且AP=17，AC=15，则点
P到AB的距离是____________．
14.定理“线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”的逆定理是
______________________________．
>−2的最大整数解是．
15.不等式1−2x
3
16.如图，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交
AC于点E，△BCE的周长等于50，则BC的长为________．
17.不等式3x+1>0的解集是_______________．
18.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CBA=60°，AC=4√3，以点
C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D，再分别以点B和点D
BD的长为半径作弧，两弧相交于点M，作射线CM
为圆心，大于1
2
交AB于点N，则BN的长为______．
三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）
19.为开展体育大课间活动，某学校需要购买篮球与足球若干个，已知购买3个篮球和2个需求共
需要575元，购买4个篮球和3个足球共需要785元．
(1)购买一个篮球，一个足球各需多少元？
(2)若体育老师带了8000元去购买这种篮球与足球共80个，由于数量较多，店主给出篮球与足
球一律打八折的优惠价，那么他最多能购买多少个篮球？同时买了多少个足球？
四、解答题（本大题共7小题，共66.0分）
(x−2)，并把它的解集表示在数轴上．
20.解不等式1−(2−x)>4
3
21.解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
4−2(x−3)≥4(x+1)
22.用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：四边形ABCD.请确定点P，使PA=PD，且点P到边BC、CD的距离相等．
结论：______．
23.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA的延长线上，EP⊥BC，
垂足为P，EP交AB于点F.求证：△AEF是等腰三角形
24.如图，在等边三角形ABC中，D是BC边的中点，E是AB延长线上的一点，且BE=BD，过点
D作DH⊥AB于H．
(1)求∠BAD和∠BDE的度数；
(2)求证：点H是AE的中点．
25.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，DE垂直平分AC，交BC于点D，交AC于点E，
且DE=2cm.求BC的长．
26.在昆明市“创文”工作的带动下，某班学生开展了“文明在行动”的志愿者活动，准备购买一
些书包送到希望学校.已知A品牌的书包每个40元，B品牌的书包每个42元．经协商：购买A 品牌书包按原价的九折销售；购买B品牌书包10个以内(包括10个)按原价销售，10个以上超出的部分按原价的八折销售．
(1)设购买x 个A品牌的书包需要y1元，求出y1关于x 的函数关系式；
(2)购买x 个B品牌的书包需要y2元，求出y2关于x 的函数关系式；
(3)若购买书包的数量超过10个，问购买哪种品牌的书包更合算？说明理由．
【答案与解析】1.答案：B
解析：
本题主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：
(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．解：A．x−1<y−1，成立；
B.−2x>−2y，故错误；
C.x+3<y+3，成立；
D.x
2<y
2
，成立．
故选B．
2.答案：B
解析：
本题考查了等腰三角形的判定及三角形三边关系有关知识，由已知条件，根据三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合边长是整数进行分析．
解：周长为13，边长为整数的等腰三角形的边长只能为：3，5，5；或4，4，5；或6，6，1共三组．故选B．
3.答案：C
解析：
此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握等边对等角的知识，掌握分类讨论思想的应用．
由等腰三角形中有一个角等于40°，可分别从①若40°为顶角与②若40°为底角去分析求解即可求得答案．
解：∵等腰三角形中有一个角等于40°，
∴①若40°为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为40°；
②若40°为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：180°−40°×2=100°．
∴这个等腰三角形的顶角的度数为：40°或100°．
故选：C
4.答案：C
解析：解：∵DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，
∴AC=2AE=6cm，AD=DC，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+AD=13cm，
∴AB+BD+DC=AB+BC=13cm，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=13+6=19(cm)．
故选：C．
根据线段垂直平分线性质得出AD=DC，求出AC和AB+BC的长，即可求出答案．
本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．5.答案：B
解析：
本题考查的是角平分线的性质，掌握到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上解答．
解：∵P到△ABC的三边距离相等，
∴点P在△ABC的三条角平分线上，
∴P是△ABC三条角平分线的交点，
故选B．
6.答案：B
解析：解：解不等式x
2+x+1
3
>0，得：x>−2
5
，
解不等式3x+5a+4>4(x+1)+3a，得：x<2a，
∵不等式组恰有三个整数解，
∴这三个整数解为0、1、2，
∴2<2a≤3，
解得1<a≤3
2
，
故选：B．
先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解，求出实数a的取值范围．
此题考查的是一元一次不等式的解法和整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
7.答案：D
解析：解：依图得a>b，c>a⇒b<a<c．
故选D．
解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．
8.答案：A
解析：
本题考查的是三角形外角的性质，等腰三角形的性质的有关知识，先根据三角形外角的性质得出∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+20°，∠AED=∠C+∠EDC，再根据∠B=∠C，∠ADE=∠AED即可得出结论．
解：∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+20°，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED=∠C+∠EDC，
∵∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∴∠C+∠EDC=∠ADC−∠EDC=∠B+20°−∠EDC，
解得∠EDC=10°．
故选A．
9.答案：C
解析：
此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，以及三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角和为180°．
首先证明△DBE≌△ECF，进而得到∠EFC=∠DEB，再根据三角形内角和计算出∠CFE+∠FEC的度数，进而得到∠DEB+∠FEC的度数，然后可算出∠DEF的度数．
解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△DBE和△ECF中，
{BD=EC ∠B=∠C EB=CF
，
∴△DBE≌△ECF(SAS)，
∴∠EFC=∠DEB，
∵∠A=50°，
∴∠C=(180°−50°)÷2=65°，
∴∠CFE+∠FEC=180°−65°=115°，
∴∠DEB+∠FEC=115°，
∴∠DEF=180°−115°=65°．
故选：C．
10.答案：B
解析：
本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质．关键是根据非负数的性质求m、n的值，再根据m 或n作为腰，分类求解．由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解．
解：∵|m−2|+√n−4=0，
∴m−2=0，n−4=0，
解得m=2，n=4，
当m=2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；
当n=4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4=10．
故选B．
11.答案：a>1
解析：解：关于x的不等式(1−a)x>3可化为x<3
，
1−a
1−a<0，
a>1，
故答案为：a>1．
根据不等式的性质3，可得答案．
本题考查了不等式的性质，不等式的两边都乘或都除以同一个负数，不等号的方向改变．
12.答案：30°；105°.
解析：
本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质和角平分线的定义，利用角平分线的定义求出∠DAC的度数，根据三角形的内角和与三角形外角性质计算∠ADB的度数．
解：∵AD是△ABC的一条角平分线，
∴∠DAC=30°，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=30°+(180°−60°−45°)=105°．
故答案为30°；105°.
13.答案：8
解析：
本题考查的是勾股定理，角平分线的性质有关知识，利用角平分线的性质可得PD=PC，然后再利用勾股定理进行解答即可．
解：∵∠C=90°，AP是∠BAC的平分线，
∴PD=PC，
∵AP=17，AC=15，
在Rt△PAC中，PC=√PA2−AC2=√172−152=8，
∴点P到AB的距离PD为8．
故答案为8．
14.答案：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
解析：
本题考查命题与定理.根据把原命题的题设与结论交换得到逆命题即可解答．
解：命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等”的逆命题是到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上，
故答案为：到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上．
15.答案：x=3
解析：
本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．首先解不等式，然后确定不等式中的整数解即可．
>−2，
解：1−2x
3
去分母得，1−2x>−6，
移项合并得，−2x>−7，
，
系数化为1得，x<7
2
所以x的最大整数解为x=3．
故答案为x=3．
16.答案：23
解析：
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出△BCE的周长=AC+BC是解题的关键．根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后求出△BCE的周长=AC+BC，然后代入数据进行计算即可得解．
解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，
∵AC=27，△BCE的周长等于50，
∴BC=50−27=23．
故答案为23．
17.答案：x>−1
3
解析：
本题考查了一元一次不等式组的解法，按照移项、系数化为1的步骤进行求解即可．
解：3x+1>0，
3x>−1，
x>−1
，
3
．
故答案为x>−1
3
18.答案：2
解析：【试题解析】
解：连接CD，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠CBA=60°，AC=4√3，
∴AB=8.BC=4，
∵作法可知BC=CD=4，CE是线段BD的垂直平分线，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC=4，
∴BN=DN=2，
故答案为：2．
连接CD，根据在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4可知AB=2BC=8，再由作法可知BC= CD=4，CE是线段BD的垂直平分线，故CD是斜边AB的中线，据此可得出BD的长，进而可得出结论．
本题考查的是作图−基本作图，熟知线段垂直平分线的作法和直角三角形的性质是解答此题的关键．
19.答案：解：(1)设购买一个篮球需要x 元，购买一个足球需要y 元，列方程得：
{3x +2y =5754x +3y =785
， 解得：
{x =155y =55
， 答：购买一个需要篮球155元，购买一个足球需要55元．
(2)设购买了a 个篮球，则购买了(80−a)个足球．列不等式得：
155×0.8a +55×0.8×(80−a)≤8000，
解得a ≤56．
∴a 最多可以购买56个篮球．
∴这所学校最多可以购买56个篮球．
解析：(1)设一个篮球、一个足球分别为x 、y 元，根据购买3个篮球和2个需求共需要575元，购买4个篮球和3个足球共需要785元，列出方程组，再进行求解即可得出答案；
(2)设最多买篮球a 个，则买足球(80−a)个，根据购买足球和篮球的总费用不超过8000元建立不等式求出其解即可．
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到建立方程的等量关系和建立不等式的不等关系是解答本题的关键．
20.答案：解：不等式去分母得：3−3(2−x)>4(x −2)，
去括号得：3−6+3x >4x −8，
移项合并得：x <5，
解析：不等式去分母，去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解集，再在数轴上表示出来． 此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.答案：解：去括号，得：4−2x +6≥4x +4，
移项，得：−2x −4x ≥4−4−6，
合并同类项，得：−6x≥−6，
系数化成1得：x≤1．
．
解析：本题考查了解一元一次不等式，去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化成1即可求解．解不等式要依据不等式的基本性质：
(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
22.答案：如图，P点即为所求．
解析：本题主要考查了复杂作图，正确掌握角平分线的性质是解题关键．
直接利用线段垂直平分线以及角平分线的性质得出答案．
23.答案：证明：在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EP⊥BC，
∴∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，
∴∠E=∠BFP，
又∵∠BFP=∠AFE，
∴∠E=∠AFE，
∴AF=AE，
∴△AEF是等腰三角形．
解析：根据等边对等角得出∠B=∠C，再根据EP⊥BC，得出∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，从而得出∠D=∠BFP，再根据对顶角相等得出∠E=∠AFE，最后根据等角对等边即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明∠E=∠AFE，注意等边对等角，以及等角对等边的使用．
24.答案：(1)解：∵在等边△ABC，且D是AC的中点，
∴∠DAB=1
2∠BAC=1
2
×60°=30°，∠ABC=60°，
∵BE=BD，
∴∠BDE=∠E，
∵∠ABC=∠BDE+∠E，
∴∠BDE=∠E=30°，
∴∠BAD=30°，∠BDE=30°．
(2)证明：由(1)可知，∠DAB=∠E=30°
∴AD=ED，△ADE为等腰三角形，
又∵DH⊥AE，
∴H是AE的中点．
解析：(1)根据等腰三角形的三线合一，可得∠DAB=30°，根据∠ABC=60°，BD=BE，推出∠E=30°．(2)要证M是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE△为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证．
本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为60°的知识．辅助线的作出是正确解答本题的关键．
25.答案：解：连接AD，
∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，∠DEC=90°，
∴∠DAC=∠C，
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
=30°，
∴∠B=∠C=180°−∠BAC
2
∴∠DAC=∠C=∠B=30°，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=60°，
∴∠BAD=120°−∠DAC=90°，
在Rt△CDE中，∠C=30°，DE=2，
∴CD=2DE=4，
∴AD=CD=4，
在Rt△BAD中，∠B=30°，
∴BD=2AD=8，
∴BC=BD+CD=12．
解析：此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法．
首先连接AD，由DE垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质，易得AD=CD，又由在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，易求得∠DAC=∠B=∠C=30°，继而可得∠BAD=90°，然后利用含30°角的直角三角形的性质，依次求得CD=AD、BD的长，进而可求得BC的长．
26.答案：解：(1)由题意得：；
(2)；
即：当0≤≤10时，，
当>10时；；
(3)若>10则：
当时，，解得；
当>时，，解得；
当时，，解得，
∵>10∴，
答：若购买35个书包，选A、B品牌都一样；若购买35个以上书包，选B品牌划算；若购买书包个数超过10个但小于35个，选A品牌划算．
解析：此题主要考查一次函数的应用．
(1)根据题意直接写出y1关于x 的函数关系式；
(2)根据题意直接分段写出y2关于x 的函数关系式；
(3)分类讨论y1和y2不同情况下，购买每种品牌的书包的价钱，从而确定购买哪种品牌的书包更合算．。