山东省济宁市2021届新高考数学第四次押题试卷含解析

山东省济宁市2021届新高考数学第四次押题试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()()23
ln 1x f x x
+=
的大致图象是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断. 【详解】
由题意可知函数()f x 为奇函数，可排除B 选项； 当x 0<时，()0f x ＜，可排除D 选项； 当x 1=时，()12f ln =，当x 3=时，ln10ln10
(3),ln 22727
f =
>， 即()()1?
3f f ＞，可排除C 选项， 故选：A 【点睛】
本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．
2．已知椭圆()22
2210x y a b a b +=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，点P 椭圆上，且PF AF ⊥，若
1
tan 2
PAF ∠=
，则椭圆的离心率e 为（ ） A ．
14
B ．13
C ．12
D ．
2
3
【答案】C 【解析】 【分析】
不妨设P 在第一象限，故2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，根据1
tan 2PAF ∠=得到2120e e --=，解得答案.
【详解】
不妨设P 在第一象限，故2
,b P c a ⎛⎫
⎪⎝⎭，21tan 2b a
PAF a c ∠==+，即2220a ac c --=， 即2120e e --=，解得1
2
e =，1e =-（舍去）.
故选：C . 【点睛】
本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力. 3．已知13ω>
，函数()sin 23f x x πω⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭在区间(,2)ππ内没有最值，给出下列四个结论：
①()f x 在(,2)ππ上单调递增； ②511,1224ω⎡⎤
∈⎢
⎥⎣
⎦ ③()f x 在[0,]π上没有零点； ④()f x 在[0,]π上只有一个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．②④ B ．①③
C ．②③
D ．①②④
【答案】A 【解析】 【分析】
先根据函数()sin 23f x x πω⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
在区间(,2)ππ内没有最值求出1512224
k k ω-
+剟或51112224k k ω+
+剟.再根据已知求出11
32
ω<„，判断函数的单调性和零点情况得解. 【详解】
因为函数()sin 23f x x πω⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
在区间(,2)ππ内没有最值. 所以22422
332
k k π
π
π
π
πωπωππ-
-
<-
+
剟，或32242,2
3
3
2
k k k π
π
π
π
πωπωππ+
-
<-
+
∈Z 剟 解得1512224k k ω-+剟或511
12224k k ω++剟. 又212,23T ππωω=>…，所以1132
ω<„. 令0k =.可得511,1224ω⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
.且()f x 在(,2)ππ上单调递减. 当[0,]x π∈时，2,2333x π
π
πωπω⎡⎤-
∈--⎢⎥⎣⎦，且72,3212ππππω⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦
，
所以()f x 在[0,]π上只有一个零点. 所以正确结论的编号②④ 故选：A. 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，过2F 作一条直线与双曲线右支交
于A B ，两点，坐标原点为O ，若2
2215OA a b BF a =+=，，则该双曲线的离心率为（ ） A ．
15 B ．
10 C ．
15 D ．
10 【答案】B 【解析】 【分析】
由题可知121
2
OA c F F ==
，1290F AF ∠=︒，再结合双曲线第一定义，可得122AF AF a =+，对1Rt AF B V 有2
2
2
11AF AB BF +=，
即()()
()2
2
2
22
235AF a
AF
a
a +++=，解得2AF a =，再对12Rt AF F △，由勾股定理可得
()()2
2
232a a c +=，化简即可求解
【详解】
如图，因为15BF a =，所以2523BF a a a =-=.因为121
2
OA c F F ==所以1290F AF ∠=︒. 在1Rt AF B V 中，2
2
2
11AF AB BF +=，即()()
()2
2
2
22
235AF a
AF
a
a +++=，
得2AF a =，则123AF a a a =+=.在12Rt AF F △中，由()()2
2
232a a c +=得10
c e a =
=
.
故选：B 【点睛】
本题考查双曲线的离心率求法，几何性质的应用，属于中档题
5．设全集U =R ，集合{}02A x x =<≤，{}
1B x x =<，则集合A B =U （ ）
A ．()2,+∞
B ．[)2,+∞
C ．(],2-∞
D ．(],1-∞
【答案】C 【解析】
∵集合{}
02A x x =<≤，{}
1B x x =<， ∴A B ⋃= (]
,2-∞
点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集.
6．已知非零向量,a b r r 满足a b λ=r r ，若,a b r
r 夹角的余弦值为1930
，且()()
23a b a b -⊥+r r r r ，则实数λ的
值为（ ） A ．49
-
B ．
23
C ．
3
2
或49-
D ．
3
2
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量垂直则数量积为零，结合a b λ=r r
以及夹角的余弦值，即可求得参数值.
【详解】
依题意，得()()
230a b a b -⋅+=r r r r ，即223520a a b b -⋅-=r r r r .
将a b λ=r r
代入可得，21819120λλ--=，
解得32
λ=
（4
9λ=-舍去）.
故选：D. 【点睛】
本题考查向量数量积的应用，涉及由向量垂直求参数值，属基础题.
7．已知函数32,0()ln ,0
x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1
(())f f e =（ ）
A ．
3
2
B ．1
C ．-1
D ．0
【答案】A 【解析】 【分析】
由函数32,0()ln ,0
x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，求得11()ln 1f e e ==-，进而求得1
(())f f e 的值，得到答案.
【详解】
由题意函数32,0
()ln ,0
x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，
则11()ln 1f e e ==-，所以1313
(())(1)2(1)2
f f f e -=-=--=，故选A. 【点睛】
本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（ ） A ．4 B ．8
C ．16
D ．2
【答案】A 【解析】 【分析】
利用等差的求和公式和等差数列的性质即可求得. 【详解】
()
1252512511152550442
a a S a a a a +=
=⇒+=⇒+=.
故选:A . 【点睛】
本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,考查基本量的计算,难度容易. 9．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是
3
4
，则判断框中应填入的条件是（ ）
A ．5?i >
B ．5?i <
C ．4?i >
D ．4?i <
【答案】D 【解析】
【分析】
首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及i 的关系，最终得出选项． 【详解】
经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，
第一次循环：11
0112122S i =+
==+=⨯，； 第二次循环：112
2132233S i =+
==+=⨯，； 第三次循环：213
3143344
S i =+
==+=⨯，， 此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，4i ∴<？，故选D ． 【点睛】
题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题． 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．
10．已知函数()()2
22ln 25f x a x ax =+++.设1a <-，若对任意不相等的正数1x ，2x ，恒有
()()
1212
8f x f x x x -≥-，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．()3,1--
B ．()2,1--
C ．(],3-∞-
D ．(],2-∞-
【答案】D 【解析】 【分析】
求解()f x 的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数12,x x ，构造新函数，讨论其单调性即可求解. 【详解】
()f x 的定义域为()0,∞+，()()2221224ax a a f x ax x x
+++'=+=
， 当1a <-时，()0f x '<，故()f x 在()0,∞+单调递减； 不妨设12x x <，而1a <-，知()f x 在()0,∞+单调递减，
从而对任意1x 、()20,x ∈+∞，恒有()()
1212
8f x f x x x -≥-，
即
()()12128f x f x x x -≥-，
()()()12218f x f x x x -≥-，()()112288f x x f x x ≥++，
令()()8g x f x x =+，则()22
48a g x ax x
+'=
++，原不等式等价于()g x 在()0,∞+单调递减，即1
240a ax x
+++≤， 从而()22221412
2121
x x a x x ---≤=-++，因为()2
2212221x x --≥-+， 所以实数a 的取值范围是(],2-∞- 故选：D. 【点睛】
此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目. 11．已知5
2i 12i
a =+-（a ∈R ），i 为虚数单位，则a =（ ）
A B ．3
C ．1
D ．5
【答案】C 【解析】 【分析】
利用复数代数形式的乘法运算化简得答案. 【详解】 由
5
2i 12i
a =+-，得12i 2i a +=+，解得1a =. 故选:C. 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘法运算,是基础题.
12．设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆C ：2
212
x y +=交于不同的两点P ，Q ，若原点O 在以PQ 为直径
的圆的外部，则直线l 的斜率k 的取值范围为（ ）
A ．⎛ ⎝⎭
B ．⎛ ⎝⎭⎝U
C ．⎝
D ．⎛ ⎝⎭⎝U
【解析】 【分析】
设直线l ：2y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，可得0OP OQ ⋅>u u u r u u u r
，
联立直线l 与椭圆C 方程，结合韦达定理，即可求得答案. 【详解】
显然直线0x =不满足条件，故可设直线l ：2y kx =+，
()11,P x y ，()22,Q x y ，由2
2122x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()22
12860k x kx +++=，
Q ()
226424120k k ∆=-+>，
∴
解得k >
或k <，
∴122812k x x k +=-
+，122
612x x k =+， Q 02
POQ π
<∠<，
∴0OP OQ ⋅>u u u r u u u r
，
∴()()1212121222OP OQ x x y y x x kx kx ⋅=+=+++u u u r u u u r
()()2
12
12124k
x x
k x x =++++()2222
22611610240121212k k k k k k
+-=
-+=>+++， ∴
解得k <<
∴直线l 的斜率k
的取值范围为22k ⎛⎫⎛∈- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝U . 故选：D. 【点睛】
本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．
已知边长为ABCD 中，60A ∠=︒，现沿对角线BD 折起，使得二面角A BD C --为120︒，此时点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则该球的表面积为________. 【答案】112π 【解析】
分别取BD ，AC 的中点M ，N ，连接MN ，由图形的对称性可知球心必在MN 的延长线上，设球心为O ，半径为R ，ON x =，由勾股定理可得x 、2R ，再根据球的面积公式计算可得； 【详解】
如图，分别取BD ，AC 的中点M ，N ，连接MN ， 则易得6AM CM ==，3MN =，23MD =，33CN =， 由图形的对称性可知球心必在MN 的延长线上，
设球心为O ，半径为R ，ON x =，可得2222
27
(3)12
R x R x ⎧=+⎨=++⎩，解得1x =，228R =. 故该球的表面积为24112==S R ππ.
故答案为：112π 【点睛】
本题考查多面体的外接球的计算，属于中档题.
14．设1021001210(2)x a a x a x a x =+++L ，则2a =_____， （)()22
024101359a a a a a a a a +++⋯+-+++⋯+的值为______． 【答案】720 1 【解析】 【分析】
利用二项展开式()n a b +的通式1C r n r r
r n T a b -+=可求出2a ；令1021001210(2)x a a x a x a x =+++L 中的
1x =，1x =-得两个式子，代入)()22
024101359a a a a a a a a +++⋯+-+++⋯+可得结果.
【详解】
利用二项式系数公式，2
822210(2)720T C x x ==，故2720a =，
1010011001210(21),(21)a a a a a a a ++⋯+=-+-⋯+=，
故（)()2
2
024101359a a a a a a a a +++⋯+-+++⋯+
=()()10
10
011001210(21)(21)1a a a a a a a ++⋯+-+-⋯+==，
故答案为：720；1. 【点睛】
本题考查二项展开式的通项公式的应用，考查赋值法，是基础题.
15．已知函数()221
1
x kx f x x x ++=++，若对于任意正实数123,,x x x ，均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边边长
的三角形，则实数k 的取值范围是_______. 【答案】1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
根据三角形三边关系可知()()()123f x f x f x +>对任意的123,,x x x 恒成立,将()f x 的解析式用分离常数法变形,由均值不等式可得分母的取值范围,则整个式子的取值范围由1k -的符号决定,故分为三类讨论,根据函数的单调性求出函数值域,再讨论k ,转化为()()12f x f x +的最小值与()3f x 的最大值的不等式,进而求出k 的取值范围. 【详解】
因为对任意正实数123,,x x x ,都存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形, 故()()()123f x f x f x +>对任意的123,,x x x 恒成立,
()()222111
111111k x x kx k f x x x x x x x
-++-==+=+
++++++,令113t x x =++≥, 则()1
13k y t t
-=+
≥, 当10k ->,即1k >时,该函数在[
)3,+∞上单调递减,则21,3k y +⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
； 当1k =,即1k =时,{}1y ∈,
当10k -<,即1k <时,该函数在[)3,+∞上单调递增,则2,13k y +⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
,
所以,当1k >时,因为()()122423k f x f x +<+≤,()32
13
k f x +<≤, 所以
2
23
k +≤,解得14k <≤； 当1k =时,()()()1231f x f x f x ===,满足条件； 当1k <时,
()()122423k f x f x +≤+<,且()32
13
k f x +≤<,
所以24
1
3
k+
≥,解得
1
1
2
k
-≤<,
综上,
1
4
2
k
-≤≤,
故答案为:
1
,4
2
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
【点睛】
本题考查参数范围,考查三角形的构成条件,考查利用函数单调性求函数值域,考查分类讨论思想与转化思想.
16．已知A B C P
、、、是同一球面上的四个点，其中PA⊥平面ABC，ABC
V是正三角形，3
PA AB
==，则该球的表面积为______.
【答案】21π
【解析】
【分析】
求得等边三角形ABC的外接圆半径，利用勾股定理求得三棱锥P ABCD
-外接球的半径，进而求得外接球的表面积.
【详解】
设1
O是等边三角形的外心，则球心O在其正上方
1
2
PA处.设
1
O C r
=，由正弦定理得
3
223,3
3
sin
3
r r
π
====
.所以得三棱锥P ABCD
-外接球的半径
()()()
2
222
111
1921
3
244
R OO O C PA O C
⎛⎫
=+=+=+=
⎪
⎝⎭
，所以外接球的表面积为2
21
4421
4
R
πππ
=⨯=.
故答案为：21π
【点睛】
本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．购买一辆某品牌新能源汽车，在行驶三年后，政府将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对拟购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，其样本频率分布直方图如图所示
.
（1）估计拟购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）将频率视为概率，从拟购买该品牌汽车的消费群体中随机抽取4人，记对购车补贴金额的心理预期值高于3万元的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；
（3）统计最近5个月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下： 月份 2018.11 2018.12 2019.01 2019.02 2019.03
销售量（万辆）
0.5 0.6 1.0 1.4 1.7
试预计该品牌汽车在2019年4月份的销售量约为多少万辆？
附：对于一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线ˆˆˆy
bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()
1
1
2
2
2
1
1
ˆn n
i
i
i i
i i n
n
i i
i i x x y y x y nxy
b
x x x
nx ====---==
--∑∑∑∑，ˆˆa
y bx =-. 【答案】（1）1.7；（2） 2.4EX =，见解析；（2）2. 【解析】 【分析】
（1）平均数的估计值为每个小矩形组中值乘以小矩形面积的和； （2）易得(4,0.6)X B :，由二项分布列的期望公式计算；
（3）利用所给公式计算出回归直线ˆˆˆy
bx a =+即可解决. 【详解】
（1）由频率分布直方图可知，消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数的估计值为
1.50.1
2.50.3
3.50.3
4.50.15
5.50.1
6.50.05 3.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以方差的估计
值为2
2
(1.5 3.5)0.1s =-⨯2
(2.5 3.5)0.3+-⨯2
(3.5 3.5)0.3+-⨯2
(4.5 3.5)0.15+-⨯
2(5.5 3.5)0.1+-⨯2(6.5 3.5)0.05 1.7+-⨯=；
（2）由频率分布直方图可知，消费群体对购车补贴金额的心理预期值高于3万元的 频率为0.30.150.10.050.6P =+++=，则(4,0.6)X B :，所以X 的分布列为
44()0.60.4,0,1,2,3,4k
k k P X k C k -===，数学期望40.6 2.4EX =⨯=；
（3）将 2018年11月至2019年3月的月份数依次编号为 1，2，3，4，5，
记 (1,2,3,4,5)i x i i ==，10.5y =，20.6y =，3 1.0y =，4 1.4y =，5 1.7y =，由 散 点 图可知， 5组样本数据呈线性相关关系，因为3x =， 1.04y =，
1
0.5 1.23n
i
i i x y
==++∑ 5.68.518.8++=，
2
1
149162555n
i
i x
==++++=∑，则$18.853 1.040.325559
b -⨯⨯==-⨯，$ 1.040.3230.08a =-⨯=，
所以回归直线方程为$0.320.08y x =+，当6x =时，$0.3260.082y =⨯+=，预计该品 牌汽车在2019年4月份的销售量约为2万辆. 【点睛】
本题考查平均数、方差的估计值、二项分布列及其期望、线性回归直线方程及其应用，是一个概率与统计的综合题，本题是一道中档题.
18．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的焦点为1F ，2F ，离心率为12，点P 为椭圆C 上一动点，且12
PF F △
O 为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程；
(2)设点()11,M x y ，()22,N x y 为椭圆C 上的两个动点，当1212x x y y +为多少时，点O 到直线MN 的距离为定值.
【答案】（1）22143x y +=；
（2）当1212x x y y +＝0时，点O 到直线MN 的距离为定值7
. 【解析】 【分析】
（1）12PF F △的面积最大时，P 是短轴端点，由此可得bc =222a b c =+可得,a b ，从而得椭圆方程；
（2）在直线MN 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，现椭圆方程联立消元（y ）后应用韦达定理得
1212,x x x x +，注意>0∆，一是计算1212x x y y +，二是计算原点到直线MN 的距离，两者比较可得结论．
【详解】
（1）因为P 在椭圆上，当P 是短轴端点时，P 到x 轴距离最大，此时12PF F ∆
面积最大，所以
122c b bc ⨯⨯==
2221
2bc c a a b c
⎧=⎪
⎪=⎨⎪=+⎪⎩
，解得21
a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 所以椭圆方程为22
143
x y +=．
（2）在12x x ≠时，设直线MN 方程为y kx m =+
，原点到此直线的距离为d =2
2
21m
d k =+， 由2214
3y kx m
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kmx m +++-=，
2222644(34)(412)0k m k m ∆=-+->，2243m k <+，
所以122834km x x k +=-+，2122
412
34m x x k
-=+， 22121212121212()()(1)()x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++
222222
2
222
4128712(1)(1)343434m k m m k k m k k k
--+=+⋅-+=+++， 所以当12120x x y y +=时，2
212(1)7m k =+，22
21217m d k ==+
，7
d = 若12x x =，则12y y =-，221212110x x y y x y +=-=，2211x y =，2
127x =
，7
d x ==， 综上所述，当1212x x y y +＝0时，点O 到直线MN
的距离为定值7
. 【点睛】
本题考查求椭圆方程与椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力．解题方法是“设而不求”法．在直线与圆锥曲线相交时常用此法通过韦达定理联系已知式与待求式． 19．已知函数()f x x x a =+-.
（1）当2a =时，求不等式()4f x <的解集；
（2）若()1f x ≥对任意x ∈R 成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）{}
13x x -<<（2）(][),11,-∞-+∞U 【解析】 【分析】
（1）把2a =代入，利用零点分段讨论法求解；
（2）()1f x ≥对任意x ∈R 成立转化为求()f x 的最小值可得. 【详解】
解：（1）当2a =时，不等式()4f x <可化为24x x +-<. 讨论：
①当0x <时，()24x x ---<，所以1x >-，所以10x -<<； ②当02x ≤≤时，()24x x --<，所以24<，所以02x ≤≤； ③当2x >时，()24x x +-<，所以3x <，所以23x <<. 综上，当2a =时，不等式()4f x <的解集为{}
13x x -<<. （2）因为()x x a x x a --≤+-， 所以x x a a +-≥.
又因为()f x x x a =+-，()1f x ≥对任意x ∈R 成立， 所以1a ≤， 所以1a ≤-或1a ≥.
故实数a 的取值范围为(][),11,-∞-+∞U . 【点睛】
本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题，恒成立问题一般是转化为最值问题求解，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.
20．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，点E 在线段AD 上，且//CE AB .
（1）求证：CE ⊥平面PAD ； （2）若1==PA AB ，3AD =，2CD =
，45CDA ∠=︒，求二面角P CE B --的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）5
【解析】 【分析】
（1）要证明CE ⊥平面PAD ，只需证明CE PA ⊥，CE AD ⊥，即可求得答案；
（2）先根据已知证明四边形ABCE 为矩形，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立坐标系A xyz -，求得平面PEC 的法向量为n r ，平面BEC 的法向量AP u u u r
，设二面角P CE B --的平面
角为θ，cos |cos ,|n AP θ=〈〉r u u u r
，即可求得答案.
【详解】
（1）Q PA ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，
∴PA CE ⊥.
Q AB AD ⊥，CE AB ∥，
∴CE AD ⊥.
又Q PA AD A ⋂=，
∴CE ⊥平面PAD .
（2）由（1）可知CE AD ⊥.
在Rt ECD △中，cos 451DE CD ︒=⋅=，
sin451CE CD =⋅︒=.
∴2AE AD ED =-=.
又Q 1AB CE ==，//AB CE ，
∴四边形ABCE 为矩形.
以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立坐标系A xyz -， 如图：
则：(0,0,0)A ，(1,2,0)C ，(0,2,0)E ，(0,0,1)P ，
∴：(1,2,1)PC =-u u u r
，(0,2,1)PE =-u u u r
设平面PEC 的法向量为(,,)n x y z =r
，
00n PC n PE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即2020x y z y z +-=⎧⎨-=⎩
，
令1y =，则2z =，0x =
(0,1,2)n ∴=r
由题PA ⊥平面ABCD ，即平面BEC 的法向量为(0,0,1)AP =u u u r
由二面角P CE B --的平面角为锐角， 设二面角P CE B --的平面角为θ
即cos |cos ,|5n AP θ=〈〉=
=r u u u r
∴sin 5
θ==
∴二面角P CE B --
.
【点睛】
本题主要考查了求证线面垂直和向量法求二面角，解题关键是掌握线面垂直判断定理和向量法求二面角的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
21．某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择，生产线①：有A ，B 两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.02，0.03.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为15万元；若A 工序出现故障，则生产成本增加2万元；若B 工序出现故障，则生产成本增加3万元；若A ，B 两道工序都出现故障，则生产成本增加5万元.生产线②：有a ，b 两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.04，0.01.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为14万元；若a 工序出现故障，则生产成本增加8万元；若b 工序出现故障，则生产成本增加5万元；若a ，b 两道工序都出现故障，则生产成本增加13万元.
（1）若选择生产线①，求生产成本恰好为18万元的概率；
（2）为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由. 【答案】（1）0.0294.（2）应选生产线②.见解析 【解析】 【分析】
（1）由题意转化条件得A 工序不出现故障B 工序出现故障，利用相互独立事件的概率公式即可得解； （2）分别算出两个生产线增加的生产成本的期望，进而求出两个生产线的生产成本期望值，比较期望值
【详解】
（1）若选择生产线①，生产成本恰好为18万元，即A 工序不出现故障B 工序出现故障，故所求的概率为()10.020.030.0294-⨯=.
（2）若选择生产线①，设增加的生产成本为ξ(万元)，则ξ的可能取值为0，2，3，5.
()()()10.0210.0300.9506P ξ==-=⨯-， ()()20.020.010.19403P ξ⨯-===， ()()310.020.030.0294P ξ⨯==-=, ()50.020.020.0006P ξ⨯===,
所以()00.950620.019430.029450.00060.13E ξ⨯+⨯+⨯+⨯==万元； 故选生产线①的生产成本期望值为150.1315.13+= (万元).
若选生产线②，设增加的生产成本为η（万元），则η的可能取值为0，8，5，13.
()()()10.0410.010.95040P η=-==⨯-， ()()0.0410.8010.0396P η=⨯-==， ()()10.040.5010.0096P η=-⨯==， ()0.040.0110.00034P η=⨯==，
所以()00.950480.039650.0096130.00040.37E η⨯+⨯+⨯+⨯==， 故选生产线②的生产成本期望值为140.3714.37+= (万元)， 故应选生产线②. 【点睛】
本题考查了相互独立事件的概率，考查了离散型随机变量期望的应用，属于中档题. 22．已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若对于任意m ，*N n ∈，且m n ≠，都有2m n m n m n S a a
a a m n m n
+-=+++-. （1）求证：数列{}n a 是等差数列
（2）若数列{}n c 满足(
)2
*
12N
n n n n a a c a n ++=-∈，且等差数列{}n
a 的公差为13
，存在正整数,p q ，使得p q a c +，求1a 的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）1
18
. 【解析】
（1）用数学归纳法证明即可；
（2）根据条件可得2
9
n n c a ==+，然后将p q a c +用1a ，p ，q 表示出来，根据1183(31)1
a m p q =--++是一个整数，可得结果． 【详解】
解：（1）令2m =，1n =，则
23
223
S a =， 即
2123
3
a a a a ++=，
∴1322a a a +=，∴123,,a a a 成等差数列， 下面用数学归纳法证明数列{}n a 是等差数列， 假设12,,,k a a a L 成等差数列，其中3k ≥，公差为d ， 令m k =，1n =1
121
k k S a a d k +=+++， ∴()()1112(1)
(1)k k k k S k a a d k a a a k d +=+++=++++
12(1)k k S a a k d =++++，
∴()1112(1)2k k S a a k d a kd +=+++=+， 即11k a a kd +=+，
∴121,,,,k k a a a a +L 成等差数列， ∴数列{}n a 是等差数列； （2）2
121233n n n n n n c a a a a a ++⎛⎫⎛⎫==+
+- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
， 2
9
n a =+，
若存在正整数,p q ，使得p q a c +是整数， 则11112(1)(1)339
p q a c a p a q +=+
-++-+ 122
239
p q a Z +-=+
+∈，
设122
239
p q m a +-=+
+，m Z ∈， ∴1183(31)1a m p q =--++是一个整数， ∴1181a ≥，从而1118
a ≥
，
又当11
18
a =时，有131a c Z +=∈， 综上，
1a 的最小值为
118
． 【点睛】
本题主要考查由递推关系得通项公式和等差数列的性质，关键是利用数学归纳法证明数列是等差数列，属于难题．
23．已知R a ∈，函数()1x
f x ae x =--，()()ln 1
g x x x =-+（ 2.71828e =L 是自然对数的底数）.
（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数；
（Ⅱ）若1a =，且命题“[
)0,x ∀∈+∞，()()f x kg x ≥”是假命题，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）当0a ≤时，()f x 没有极值点，当0a >时，()f x 有一个极小值点.（2）()1,+?
【解析】
试题分析 ：（1）()x
f x ae 1'=-，分a 0≤，a 0>讨论，当a 0≤时，对x R ∀∈，()x
f x ae 10'=-<，
当a 0>时()f x 0'=，解得x lna =-，()f x 在(),lna ∞--上是减函数，在()lna,∞-+上是增函数。

所以，当a 0≤时，()f x 没有极值点，当a 0>时，()f x 有一个极小值点.（2）原命题为假命题，则逆否命题为真命题。

即不等式()()f x kg x <在区间[
)0,∞+内有解。

设()()()F x f x kg x =-= ()x
e kln x 1++
()k 1x 1-+-，所以()x k F x e x 1=+
+' ()k 1-+，设()x
k h x e x 1
=++ ()k 1-+，则()()
x 2
k
h x e x 1=-
+'，且()h x '是增函数，所以()()h x h 0'≥' 1k =-。

所以分k 1≤和k>1讨论。

试题解析：（Ⅰ）因为()x
f x ae x 1=--，所以()x
f x ae 1'=-， 当a 0≤时，对x R ∀∈，()x
f x ae 10'=-<，
所以()f x 在(),∞∞-+是减函数，此时函数不存在极值， 所以函数()f x 没有极值点；
当a 0>时，()x
f x ae 1'=-，令()f x 0'=，解得x lna =-，
若()x ,lna ∞∈--，则()f x 0'<，所以()f x 在(),lna ∞--上是减函数，
若()x lna,∞∈-+，则()f x 0'>，所以()f x 在()lna,∞-+上是增函数，
当x lna =-时，()f x 取得极小值为()f lna lna -=，
函数()f x 有且仅有一个极小值点x lna =-，
所以当a 0≤时，()f x 没有极值点，当a 0>时，()f x 有一个极小值点.
（Ⅱ）命题“[)x 0,∞∀∈+，()()f x kg x ≥”是假命题，则“[)x 0,∞∃∈+，()()f x kg x <”是真命题，即不等式()()f x kg x <在区间[
)0,∞+内有解.
若a 1=，则设()()()F x f x kg x =-= ()x e kln x 1++ ()k 1x 1-+-， 所以()x k F x e x 1=++' ()k 1-+，设()x k h x e x 1
=++ ()k 1-+， 则()()x 2k h x e x 1=-+'，且()h x '是增函数，所以()()h x h 0'≥' 1k =-
当k 1≤时，()h x 0'≥，所以()h x 在[
)0,∞+上是增函数， ()()h x h 00≥=，即()F x 0'≥，所以()F x 在[)0,∞+上是增函数，
所以()()F x F 00≥=，即()()f x kg x ≥在[)x 0,∞∈+上恒成立.
当k 1>时，因为()()x 2k
h x e x 1=-+'在[)0,∞+是增函数，
因为()h 01k 0='-<，()h k 1'-= k 11e 0k
-->， 所以()h x '在()0,k 1-上存在唯一零点0x ，
当[)0x 0,x ∈时，()()0h x h x 0''<=，()h x 在[)00,x 上单调递减，
从而()()h x h 00≤=，即()F x 0'≤，所以()F x 在[)00,x 上单调递减，
所以当()0x 0,x ∈时，()()F x F 00<=，即()()f x kg x <.
所以不等式()()f x kg x <在区间[
)0,∞+内有解
综上所述，实数k 的取值范围为()1,∞+.。